第十三章梯度校正参数辩识方法_...

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确定性过程
0
过程
h( k )

y (k )
置
h(t ) h1 (t ), h2 (t ), , hN (t ) , , , 1 2 N
5

若过程参数的真值记作 0

则
y(t ) h (t )0

在离散时间点可写成


Leabharlann Baidu
令其梯度为零
E{h(k )[ z (k ) h (k ) ]}
ˆ
即求参数

的估计值使下列准则函数达到极小值
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1 1 2 J ( ) E{e (k )} E{[ z (k ) h (k ) ]2 } 2 2

准则函数的一阶负梯度
J ( ) E { h ( k )[ z ( k ) h (k ) ]}
12.1 梯度校正参数辩识方法
1
引言

最小二乘类参数辩识递推算法

新的参数估计值=老的参数估计值+增益矩阵
新息

梯度校正参数辩识方法（简称梯度校正法）

递推算法同样具有
的结构

基本原理不同于最小二乘类方法

基本做法 – 沿着准则函数的负梯度方向，逐步修正模 型参数估计值，直至准则函数达到最小值。 2
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式可写成
(k 1) (k ) R(k )h(k )[ y(k ) h (k ) (k )]





- 确定性问题的梯度校正参数估计递推公
式

其中权矩阵的选择至关重要
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随机性问题的梯度校正参数辩识方法

随机性问题的提法

确定性问题的梯度校正法与其他辩识方法相比
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解决上述问题的方法

可以是梯度校正法，通俗地说最速下降法 沿着 J ( ) 的负梯度方向不断修正 ( k ) 值 直至 J ( ) 达到最小值



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数学表达式
(k 1) (k ) R(k ) grad [ J ( )] |




(k )

R (k ) - N 维的对称阵，称作加权阵
( , k ) z(k ) x (k )
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随机逼近法

随机逼近法

梯度校正法的一种类型 颇受重视的参数估计方法

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随机逼近原理

考虑如下模型的辩识问题
z(k ) h (k ) e(k )


e(k ) - 均值为零的噪声

模型的参数辩识

通过极小化 e(k ) 的方差来实现



则
x ( k ) h( k ) s ( k ) z ( k ) h (k ) w(k )
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现在的问题

利用输入输出数据 x(k ) 和 z (k ) 确定参数

在 k 时刻的估计值 (k )


使准则函数

其中
1 2 J ( ) | ( , k ) | min (k ) (k ) 2
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置
x(k ) x1 (k ), h(k ) h1 (k ), s(k ) s1 (k ), 1 , 2 ,
, N
s2 (k ), , s N (k )

h2 (k ), , hN (k )

x2 (k ), , x N (k )

输入输出数据含有测量噪声
z (k ) y (k ) w(k ) xi (k ) hi (k ) si (k ),
i 1,2,, N
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其中

w(k ) 和 si (k ) 为零均值的不相关随机噪声
2 si , i j E{si (k ) si (k )} 0, i j

最大的优点：计算简单
缺点：如果过程的输入输出含有噪声，这种方法不能用


随机性问题的梯度校正法

特点：计算简单，可用于在线实时辩识 缺陷：事先必须知道噪声的一阶矩和二阶矩统计特性

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随机性问题
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设过程的输出 y(k )

模型参数 1 , 2 , , N 的线性组合
y(k ) h1 (k )1 h2 (k )2 hN (k ) N
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现在的问题

如何利用输入输出数据 h(k ) 和 y (k )

确定参数
在 k 时刻的估计值 (k )


使准则函数

式中
1 2 J ( ) | ( , k ) | min (k ) (k ) 2
( , k ) y (k ) h (k )

grad[ J ( )] - 准则函数 J ( ) 关于 的梯度

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当准则函数 J ( ) 取
式时
d grad[ J ( )] | (k ) d
1 2 2 ( , k ) (k )

( (k ), k )h(k )
[ y (k ) h (k ) (k )]h(k )
主要内容

确定性问题的梯度校正参数辩识方法
随机性问题的梯度校正参数辩识方法 随机逼近法


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确定性问题的梯度校正参数辩识方法

设过程的输出 y(t )

参数 1 , 2 , , N 的线性组合
y(t ) h1 (t )1 h2 (t )2 hN (t ) N

如果输出 y(t ) 和输入 h1 (t ), h2 (t ), , hN (t ) 是 可以准确测量的，则 式过程称作确定性过程
y(k ) h (k )0

其中
h(k ) h1 (k ), h2 (k ), , hN (k )

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例如

用差分方程描述的确定性过程
y(k ) a1 y(k 1) an y(k n)
b1u(k 1) bnu(k n)

可以化成
h ( k ) y ( k 1 ), , y ( k n ), u ( k 1 ), , u ( k n ) a , a , , a , b , b , , b 1 2 n 1 2 n