高中数学 复数(带答案)

复数

一．基本知识

【1】复数的基本概念

（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部

实数：当b = 0时复数a + b i 为实数

虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；

纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数

（2）两个复数相等的定义：

00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且

（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把22z a b =

+叫做复数z 的模；

【2】复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；

（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅

【3】复数的化简 c di z a bi +=

+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b

++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=

⋅≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi

+==+进一步建立方程求解

二． 例题分析

【例1】已知()14z a b i =++-，求

（1） 当,a b 为何值时z 为实数

（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数

（3） 当,a b 为何值时z 为虚数

（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

【例4】已知12z i =-，232z i =-+

（1） 求12z z +的值；

（2） 求12z z ⋅的值；

（3） 求12z z ⋅.

【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数2

1z i =-+的四个命题：其中的真命题为（

）

1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-

()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【例6】若复数()312a i

z a R i +=∈-（i 为虚数单位），

（1） 若z 为实数，求a 的值

（2） 当z 为纯虚，求a 的值.

【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第几 象限

【例8】（2012年天津）复数73i z i

-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --

例题答案

【答案1】(1)b=4 （2）a=-1，b≠4 （3）b≠4 （4）a<-1,b>4【答案2】a=6,b=8

【答案3】z=1+i z z =2

【答案4】(1)-1+i (2)-4+7i (3)√65

【答案5】c

【答案6】（1）a=-3／2 （2）a=6

【答案7】二

【答案8】b