高等数学二重积分详细讲解

]0y
dy
o
x
1 1 y3e y2 dy 1 1
30
6 3e
注意：若先对y后对x积分：
e
y
2
I
1
dx
1 x2ey2 dy
0
x
的原函数无法用初等函数表示出来，因而
此二重积分不能计算出来。
例4 交换下列二重积分的积分次序：
0
2 x
2
2x
I dx 2 f (x, y)dy dx 2 f (x, y)dy
2
d
2 r3dr 2 15 15
0
1
42
例6 计算I 4 x2 y2 d，其中 D : x2 y2 2x.
D
解：积分区域是如图所 y
示的圆域。
r 2cos
D : , 0 r 2cos.
2
2
则
θD
o
2
x
I 4 r2 rdrd
D
2
d
2 c os
0
2
4 r 2 rdr
y
法一 先y后x。
将积分区域投影到x轴上，
得到x的范围[0，1].
D
在[0，1]上任取一点x，
o
x1
x
过该点作一条平行于y轴的射线， 先穿过的边界
y x2 作y的积分下限， 后穿过的边界 y x 作y的上
限，这样就有
D : 0 x 1, x2 y x
所以
I
1
dx
0
x x2 ydy
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓 先积线，后积点
以第一种情况为例加以说明：
如图：
y
y 2(x)
区间[a,b]是x的取值范围。 D
在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行 于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
D
2
( )
0 d 0 f (r cos , r sin )rdr
θ
o
A
例5 计算 (x2 y2)d，其中D：1 x2 y2 4.
D
y
解：积分区域是如图所示的
环域，用极坐标计算方便。
D : 0 2 , 1 r 2.
因而
o 1 2x
(x2 y2 )d r3drd
D
D
r ( )
如图。
D
D : , 0 r ( )
则
o
A
( )
f (r cos , r sin )rdrd d 0 f (r cos , r sin )rdr
D
（1）极点在区域D内，如图：
r ( )
D : 0 2 , 0 r ( ) 则
f (r cos , r sin )rdrd
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。 如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
o
x
例1 计算 I x2 ydxdy, D为直线 y x与抛物线
D
y x2 所围的区域。
不妨用两种情形分别进行计算，加以比较。
解：积分区域D如图。
2 2
[
1 3
(4
r
2
)
3 2
]2cos 0
d
8 3
2 2
(1 sin3 )d
8.
3
一般地，当积分区域为圆域、环域或它们的 一部分，以及被积函数中含有 x2 y2 时，多采用 极坐标系下的计算会比较方便。
追求人生的美好!
我们的共同目标!
第二节 二重积分的计算
一 直角坐标系中的计算方法 二 极坐标系中的计算方法
计算二重积分的基本思想：化为两次定积分
一 直角坐标系中的计算方法
分别用平行于x轴和y y
轴的直线对区域进行分
d
割，如图。可见，除边缘
外，其余均为矩形，其面 Δy
积为
xy
c
可以证明：
oa
Δx
Δσ bx
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
y 1(x)
a
bx
在区间[a，b]
内任取一点x，过此
z
点作与yoz面平行
的平面，它与曲顶
柱体相交得到一个
一个曲边梯形：
y
z f (x, y)
y 2(x)
D
y 1(x)
底为 1(x) y 2 (x)
高为 z f (x, y)
o
a
x
bx
其面积为
S(x) 2 (x) f (x, y)dy 1 ( x)
所以
I
1
dy
0
y x2 ydx
y
11 [ 03
x3
y]y
y
dy
1 3
5
1
(
y
2
y4 )dy
1
0
35
小结：在二重积分的计算中，有时积分次
序的选择显得相当重要，因而具体计算时，应注
意观察积分区域的特征和被积函数的特点，选择
恰当的积分次序，以便使计算尽可能简单。
例2 将 I f (x, y)d化成二次积分，其中D由
2 0
0
0
解：这是先对y后对x的积分，积分区域为
D : 2 x 0, 0 y 2 x 及0 x 2, 0 y 2 x
2
2
可知积分区域由 y 0, y 2 x , y 2 x
2
2
所围成，如下图：
y
故改变积分次序后得
1
1
22 y
I dy f (x, y)dx
0
2 y2
D
D
其中dxdy称为面积元素。
利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分
以下均设函数 f (x, y) 0且在D上连续。
（1）当积分区域为
a x b, 1(x) y 2 (x)
如图所示：
z f (x, y)
y
y 2(x)
z
D y
y 1(x)
oa
bx
o
相应的曲顶柱体如右图。
y 2 (x)
所以
2
2x
8
2x
I dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
2x
2
x4
2）先对x后对y积分：
得
D : 2 y 4, y2 x y 4
2
如图。
y
所以
I f (x, y)d
D
4
y4
dy
2
y2
f (x, y)dx
2
(8来自百度文库4)
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
1 2
ri2i
r ri
1 2
(2ri
ri
)ri i
ririi
i o
i
i
ri
(ri ,i )
ri
A
在圆周 r ri 上任取一点 (ri ,i ) ，其中i i i i ,
设其直角坐标为 (i ,i ) ，它们的关系为
所以
i ri cosi ,i ri sini
n
lim
0
i1
所以根据平行截面面积为已知的立体的立体公式，
得
V
b
S(x)dx
b
[
2 (x)
f (x, y)dy]dx
a
a 1 ( x)
于是，得二重积分的计算公式：
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a 1 ( x)
a
1 ( x)
x2
11 [ 02
x
2
y
2
]x x
2
1 2
1
(
x4
x6
)dx
1
0
35
法二
y
将积分区域投影到y轴上， 1
得到y的范围[0，1].
在[0，1]上任取一点y，
y D
过该点作一条平行于x轴的射线， o
x
则先穿过的边界 x y为x的下限，后穿过的边界
x y 为x的上限，于是
D : 0 y 1, y x y.
f (i ,i )i
lim 0
f (ri cosi , ri sini )ririi
因此
f (x, y)d f (x, y)dxdy f (r cos, r sin )rdrd
D
D
D
此公式可将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系
下的二重积分，其中 rdrd为极坐标系中的面积元素。
2 化为二次积分 一般均是先对r积分再对θ积分，因而主要是
-2
o
2x
二、极坐标系中的计算方法
1 直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中 的二重积分
如图所示的极坐标系中
的积分区域D， 过极点O引
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i
1 2
(ri
ri )2 i
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
y x2e y2 dx
0
0
y
y 1
yx
1
11 [ 03
x3e y2
D
y x 4 , y2 2x 围成。
解：解方程组
y x 4
y
2
2x
得这条直线和抛物线的交点为
(8,4),(2,-2)，如右图。 1）先对y后对x积分：
y
y x4
(8,4)
y2 2x
o
8
x
(2,2)
得 D : 0 x 2, 2x y 2x及2 x 8, x 4 y 2x
确定r、 θ的积分上下限，分情况讨论：
（1）极点在区域D外，如图：
r 2( )
D
D : , 1( ) r 2( )
则
r 1( )
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
d
2 ( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
D
（2）极点在区域D的边界上，
类似地，若积分区域为
D : c y d, 1(y) x 2(y) 如右图所示，则二重积分的计算 y
公式为
d
f (x, y)dxdy
b
[
2 (x) f (x, y)dy]dx
x 1(y)
a 1 ( x)
c
D
D
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积