高等数学二重积分详细讲解

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重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区域和Y型区域的区分，通过例题学习在两种区域下二重积分转化成累次积分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算（三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi

高等数学课件D92二重积分的计算

电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和磁场的基础。了解电荷分布对于预测电场强度、电势差以及电磁波的传播等具有重要意义。
二重积分在电荷分布中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算电荷分布。通过将电荷区域离散化为微小单元，对每个单元的电荷密度进行积分，并利用二重积分对整个区域进行积分，可以得到总电荷量和电荷分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序，即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地表形态和地貌特征的重要手段。二重积分可以用于计算地表高程、坡度、坡向等地形参数，进而实现地形分类、地貌特征提取等应用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形，以梯形的面积近似代替被积函数的面积，通过求和所有梯形的面积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更精确的插值多项式来逼近被积函数，从而提高二重积分计算的精度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度。

高等数学二重积分详解

在此区间内任取一点x，
过该点自下而上作一条平行于y轴的射线，先穿过的边界
y 1(x)
oax
bx
y 1(x) 是y的积分下限，
后穿过的边界 y 2 (x) 是y的积分上限。
第二种情形可同理讨论。
对于其他情形，都可化为这两种情况加以转化。如下图：
y
D2 D1
D3
o
x
y
D2
D3
D1
射线和以极点为圆心的同心
圆，它们将区域D分成许多 o
A
小区域，除去含有边界点的小区域，其余小区域
i 的面积为：
r ri ri
i i
i

1 2
(ri

ri )2 i

1 2
ri2i
r ri

1 2
(2ri

ri
)ri i
ririi
4
o -2
(2,2)
y x4
y2 2x
x
小结：显然1）较2）麻烦。
例3 计算 I x2ey2 dxdy, 其中D由 x 0,
D
y 1及y x 围成。
解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)， (0,0)，所围区域如右。
先对x后对y积分：
I
1
dy
a 1 ( x)
c
D
D

b
dx
2 (x) f (x, y)dy
a
1 ( x)
o
x 2(y)
x
总结：二重积分的计算就是转化为二次定积
分，显然，确定积分次序和积分上、下限是关
键。这主要由积分区域D所确定。所谓

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要内容，用于计算平面上各种形状的曲线或曲面与坐标平面的“面积”。

在实际应用中，二重积分常常与物理、几何、概率统计等学科密切相关。

本文将详细介绍二重积分的计算方法，包括定积分的计算、计算面积和质量等应用问题，以及换元积分、极坐标系、重积分等高阶积分方法。

一、定积分的计算定积分是二重积分的基础，因此首先需要掌握如何计算定积分。

定积分可以通过定义式或者积分的性质计算。

1.定义式计算定积分的定义式如下：∫a^b f(x) dx = lim(n→∞) ∑(k=1,n) f(xi)Δx其中[a,b]是定积分的区间，f(x)是被积函数，x_i是区间[a,b]上的等间距点，Δx是x_i与x_i+1之间的距离。

当被积函数f(x)是连续函数时，可以通过定义式计算定积分。

具体方法是将区间[a, b]等分成n个小区间，取每个小区间的中点作为x_i，计算f(xi)Δx的和，然后取极限即可。

2.积分的性质计算定积分具有一些特殊的性质，可以利用这些性质计算定积分。

（1）和函数性质：∫a^b [f(x) + g(x)] dx = ∫a^b f(x) dx + ∫a^b g(x) dx（2）积分常数性质：∫a^b c f(x) dx = c∫a^b f(x) dx（3）分段函数性质：∫a^b ([f(x)]_a^c + [f(x)]_c^b) dx = ∫a^b f(x) dx（4）奇偶函数性质：当f(x)是奇函数时，∫-a^a f(x) dx = 0当f(x)是偶函数时，∫-a^a f(x) dx = 2∫0^a f(x) dx根据这些性质，可以将复杂的定积分化简为简单的定积分来计算。

二、计算面积二重积分还可以用于计算平面上一些特定形状的曲线与坐标平面的“面积”。

具体可以分为以下两种情况。

1.曲线位于坐标平面的上方：设z=f(x,y)是定义在区域D上的连续函数，且在区域D上始终大于等于0，若D的边界由曲线C所围成，则D的面积可以用二重积分来计算：∬D dσ = ∬D dxdy = ∬D dA = ∫∫D dxdy其中，dσ表示微面积元素，dA表示微面积。

高等数学-二重积分

高等数学-二重积分二重积分作为高等数学的一部分，是积分学的重要内容之一，也是微积分的一个重要分支。

它可以用来求解平面图形的面积、质心、转动惯量等问题，同时也是理解三重积分和曲线积分的基础。

一、二重积分的定义对于平面直角坐标系中一个有界区域D，若在D内存在一个连续函数f(x,y)，则在D 上的二重积分值记为：∬Df(x,y)dxdy其中，dxdy表示对于(x,y)在D上的每一个点，都有一个微小的面积dxdy。

通常情况下，积分区域D是一个闭合区域，即被有限多条曲线所包围的区域。

1、线性性若f(x,y)和g(x,y)在D上可积，则对于任意实数a和b，有：∬D[af(x,y)+bg(x,y)]dxdy=a∬Df(x,y)dxdy+b∬Dg(x,y)dxdy2、积分的可加性若D可表示成D1和D2的并集，且D1和D2没有交集，则有：4、积分与面积的关系对于常数函数f(x,y)=1，在D上的二重积分值就是D的面积S。

即有：∬D1dxdy=S1、利用基本公式对于二重积分中的f(x,y)，若其为一元函数，则参照一元函数积分的公式进行计算即可。

若其为二元函数，则按照二元函数积分的公式计算。

2、极坐标法当积分区域D具有极轴对称性或者其中的许多边界方程可以转化为极坐标方程时，可以使用极坐标公式来求解。

即有：∬Df(x,y)dxdy=∫θ1θ2dθ∫r1r2f(r,θ)rdr其中，r为极径，θ为极角。

3、换元法当积分区域D无法采用基本公式或者极坐标法求解时，可以采用换元法来简化计算。

具体而言，可以通过将坐标系进行转化，将D映射为一个较为简单的区域，从而进行二重积分的计算。

1、面积计算二重积分可以用来计算平面图形的面积。

对于平面图形D，可设其边界方程为：g1(x)=a, g2(x)=b, h1(y)=c, h2(y)=d则D的面积可以表示为：S=∬Ddxdy=∫a^b∫c^d1dydx2、质心计算x0=∬Dxdxdy/M, y0=∬Dy dxdy/M其中，M为D的面积，x0和y0分别称为D的一阶矩。

二重积分知识点

二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。

二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。

本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。

二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。

若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。

2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。

三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。

4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。

二重积分计算方式

二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。

在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。

一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。

在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。

1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。

选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。

如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。

1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。

假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。

二重积分的概念与计算

二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。

本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。

一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。

通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。

二重积分的结果是一个实数。

二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。

具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。

得到一个关于x的函数。

步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。

得到最终的结果。

2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。

常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。

以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。

具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。

步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。

三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。

对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。

2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。

质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。

《高数14二重积分》课件

二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。

二重积分的概念和计算

二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。

在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。

首先，我们来介绍二重积分的概念。

在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。

如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。

这个过程可以用二重积分来表示。

二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。

我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。

而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。

在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。

首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。

闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。

一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。

根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。

在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。

接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。

对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。

然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。

对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。

然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。

接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。

最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。

对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。

高等数学二重积分概念.ppt

x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
O
二重积分不存在 .
D 1x
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y)d D2 f (x, y)d
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
目录上页下页返回结束
二重积分存在定理: (证明略)
定理1 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在 D : 0 x 1
4 证明: 解利用题中 x , y 位置的对称性, 有
其中D 为
y 1
D
O 1x
1 2
D (sin
x2
cos
y2 ) d
D (sin
y2
cos
x2)d
1 2
D (sin
x2
cos
x2)d
D (sin
y2
cos
y2)d
D (sin x2 cos x2 )d
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
目录上页下页返回结束
补充题
1. 估计 I
D
d
x2
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.

高数课件27二重积分

二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球表面或天体表
面的重力场
质点：质量集中于一点的物
体
位移：质点在重力场中的位
置变化
二重积分：计算质点在重力场中的位移所需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场中单位电荷所具有的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算电场中的电势分布，分析电场特性
电势的物理意义：描述电场中电荷所具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿过一个平面的磁力线数量
计算公式：Φ=B·S，其中B为磁感应强度，S为平面面积
应用：计算磁场中的磁通量，了解磁场分布情况
实例：计算一个圆形线圈中的磁通量，了解线圈磁场的分布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义极坐标系下的二重积分计算公式极坐标系下的二重积分计算步骤极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形式
计算参数方程的偏导数
计算参数方程的雅可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积计算旋转体的体积计算曲面的面积计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积的一种方法

二重积分的积分方法和积分公式

二重积分的积分方法和积分公式二重积分是高等数学中一个重要的概念，主要用于求解平面区域上的积分问题。

在实际应用中，二重积分常常伴随着一些积分方法和积分公式，有助于简化计算过程，提高计算效率。

本文将详细介绍二重积分的积分方法和积分公式。

一、二重积分的基本概念首先，我们需要了解二重积分的基本概念。

对于一个平面区域D，如果对于每一个区域内的点(x,y)，都有一个实数f(x,y)与之对应，那么我们称f(x,y)是D上的一个二元函数。

此时，通过对区域D进行分割，我们可以得到很多个小区域，用矩形来近似表达每个小区域，使得这些小矩形的面积的和趋近于区域D的面积，这个和就可以作为表示f(x,y)在区域D上的对应二重积分。

其数学表达式为：∬Df(x,y)dxdy其中f(x,y)是被积函数，D是被积区域，dxdy表示在x轴和y 轴上的微小增量。

二、二重积分的积分方法1. 变量代换法变量代换法常用于解决被积函数较为复杂的情况。

通过建立一个新的变量，将原式中的变量替换为新的变量，并计算出新的变量的微分值，从而得到新的被积函数和被积区域。

例如，对于二重积分∬Dx^2y dxdy，如果我们令u=xy，v=y，那么在新的变量下，原式可化为∬D(u/v)dvdu。

此时，我们需要通过计算出u和v的微分值，将原被积函数与被积区域进行转化，从而得到简洁的结果。

2. 极坐标法极坐标法常用于解决被积区域的对称性问题。

通过将二维平面上的坐标系转化为极坐标系，可以轻松地描述出各种对称图形的被积区域，并简化计算过程。

例如，对于二重积分∬Dxy dxdy，如果我们将被积区域D转化为极坐标系下的区域，可以得到简化后的被积函数为∫0^πdθ∫0^Rρ^3sinθcosθdρ。

此时，我们只需要进行简单的积分运算，就可以得到最终的结果。

3. 分部积分法分部积分法常用于解决被积函数中的乘积项问题。

通过将乘积项拆分成不同的部分，并对每一部分进行不同的求导和积分操作，可以简化被积函数的形式，并且可以将原式化简为更易于计算的形式。

二重积分计算方法

二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。

计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。

直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。

对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。

具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。

2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。

3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。

极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。

极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。

具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。

极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。

2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。

3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。

4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。

变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。

具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。

2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。

3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。

4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。

总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。

二重积分的概念和计算

二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。

所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。

二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。

此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。

Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。

山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024

山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。

二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。

本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。

1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。

这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。

希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。

高等数学10.1二重积分的概念与性质

第十章重积分
§1. 二重积分的概念与性质
一、二重积分问题的提出
z f ( x, y)
１．曲顶柱体的体积曲顶柱体体积=？特点：曲顶.
D
柱体体积= 底面积× 高特点：平顶.
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
S
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲
0 y i x
D
n
0 i 1
积分区域Ｄ为底面积当被积函数大于零二重积分是f(x,y)为高的曲顶柱体的体积
二重积分的几何意义
2.
(1 x y)d , D : x y 1, x 0, y 0.
D
z
解曲面z
f ( x , y ) 1 x y 是一平面,
i 1
n
D
.
x
1. 曲顶柱体的体积 S : z = f (x,y)
z
元素法
1 任意分割区域 D,化整为零
2 以平代曲
V i f ( x i , y i ) i
3 积零为整 V f ( x i , y i ) i
i 1 n
V
4 取极限
令分法无限变细
V = lim f ( x i , y i )Δ σ i
D
n
0 i 1
积分和面积元素被积表达式
f ( i , i ) i 存在，则称此极限为如果极限 lim 0
f ( x , y ) 在闭区域D上的二重积分，记为
D
积分区域
积分变量
n
被积函数
i 1
f ( x , y )d
记 f ( , ) 对二重积分定义的说明： lim i i i D 0

高等数学二重积分的计算ppt课件

则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
例1. 计算
其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
例2. 计算
其中D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
一、利用直角坐标计算二重积分
且在D上连续时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
则
若D为Y –型区域
则
当被积函数
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
由于
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(1)
(2)
例6. 计算
其中
解: 在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数 ,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
注:
利用例Байду номын сангаас可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
①
故①式成立 .
例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
显然,
对应有
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线 =常数, 分划区域D 为
即
设

二重积分计算方法总结

二重积分计算方法总结二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量。

本文将总结二重积分的计算方法，并介绍其应用领域和注意事项。

一、二重积分的基本概念二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上进行积分运算。

具体地说，对于定义在平面区域D上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面区域D上的面积元素。

二重积分的计算方法有多种，下面将分别介绍。

二、二重积分的计算方法1. 基本方法：将平面区域D划分为若干个小矩形，计算每个小矩形上函数值与面积的乘积，再将所有小矩形的乘积求和即可得到二重积分的近似值。

当小矩形的数量无限增加时，近似值趋近于准确值。

2. 极坐标法：对于具有极坐标方程的平面区域D，可以通过转换成极坐标系来简化计算。

具体做法是将二重积分转化为极坐标下的二重积分，并利用极坐标的相关性质进行计算。

3. 变量代换法：对于某些具有特殊形式的平面区域D，可以通过变量代换来简化计算。

常见的变量代换方法有矩形坐标系到极坐标系、直角坐标系到柱坐标系等。

4. 先y后x法：当被积函数的表达式较为复杂时，可以通过先对y 进行积分，再对x进行积分的方法来简化计算。

这种方法常用于计算面积和质心等物理量。

三、二重积分的应用领域二重积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用场景：1. 计算平面区域的面积：通过对二维平面区域上的函数进行二重积分，可以得到该区域的面积。

2. 计算平面区域的质量：假设平面区域上每个点的密度为ρ(x,y)，则通过对ρ(x,y)与面积元素dA进行二重积分，可以计算出该区域的质量。

3. 计算平面区域的重心：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x、y的乘积进行二重积分，可以求解出该区域的重心坐标。

4. 计算平面区域的矩：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x的幂次进行二重积分，可以计算出该区域的各阶矩。

大学课件高等数学下学期8-2二重积分的计算

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例设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
y
xR
解 z R2 x2 y2 是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
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二、在直角坐标系下计算二重积分
(1) 积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
1
y
dx 1
2
(x
x3 )dx
9.
1
4
x
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例1 求
双曲线xyD
xy122围d成,的其闭中区 D是域由. 直线xy
2,
y
x和
y x
解2 将D看成Y型区域
D2 x 1
1
1
xy D11
D1 : 2 y 1, y x 2 O
x 第
D2 : 1 y 2, y x 2
一种
D1
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记 I=
xy cos x sin ydxdy (1,1)
y
(1,1)
D
D2 D1
则I= I1+ I2, 其中
D3
D4 O
x
I1= xydxdy
(1,1)
D
I2= cos x sin ydxdy
D
D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称
而 I1 = xydxdy xydxdy xydxdy
D
D
a
1 ( xa)
b
(
2( x)
f ( x, y)dy)dx
a 1 ( x)
a