根轨迹绘制的基本原则
绘制根轨迹的一般规则
n
s
p
j
2h
1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点
p 1
p 2
p n
z 1
z 2
z m
0
1
2
1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3
N
s
Ds
N s
Ds
0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a
2h 1 h
jw
绘制根轨迹的基本原则
9.闭环极点的和与积
sn a n-1sn-1 a1s a 0 0 设根为s1, s2 , , sn , 则有 (s - s1)(s- s2 ) (s - sn ) 0 由代数方程根与系数的关系, 有
n
si -an-1
i1
对于稳定系统si 0,
n
(si ) a0
i 1
n
故有
i 1
σa
4 1
1.67
jω
与实轴的交角为
φa
180(1 2 μ) nm
1 3
π
60
(μ 0)
φa
180(1 2 μ) nm
3 3
π
180
(μ 1)
1
。
-4 -3 -2 -1 0
σ
-1
例2．已知某负反馈系统的开环传函为 试画出其根轨迹。
G(s) K (s 1) s(s 2)(s 3)
解：(1)根轨迹始于 p1 0, p2 -2, p3 -3; 终于z 1和无穷远点； (2)有3条根轨迹且对称于实轴；
可以解得s －2.47满足题意。
。1
-3
-2 -1
0
σ
最后画出系统的概略根轨迹如图所示。
-1
270
7、 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 当根轨迹增益K增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴 进入右半s平面，出项实部为正的特征根，系统将不稳定。
例：开环传递函数为G (s)
K
, 试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的 交点 ，
3s2 K 0
将KC＝6代入上式解得
sj 2
8、根轨迹的出射角与入射角
(1)出射角: 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
180根轨迹绘制法则
解：将开环零极点标注在s平面上。
j
由法则1，确定根轨迹起点和终点。
由法则2，确定有4条根轨迹分支。
由法则4，确定实轴上的根轨迹 [-∞,-2.5]、[-1.5,0] 。
由法则3，确定根轨迹有1条渐近线
-3 -2 -1 0
K1 K1 0
K1 0
m
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
K1
分分离点离点
分离角： (2k 1) / l
K1
K1 0
K1
会合? 点? ?
K1 0
式中，zi , pj 分别为开环系统 的零点和极点; l 为在s平面上 相遇又立即分开的根轨迹的条 数，k 0,1, , l 1。
称为终值角，以 zi 标志。
根轨迹的
j
起始角 [s]
p1 p1
p3
0
p2
p2
根轨迹的j 终止角
p1
z1
p1
z1
z1
0
z2
z2 p2 z2源自p2j[s] p1
p1
[s]
0
p2 p2
出射角对(a)复极点，
(b入) 射角对复零点。
法则6：根轨迹起始角和终值角。
用试探法得d≈-2.3。
由法则6，确定起始角和终止角。
p3 (2k 1) (135o 90o 26.6o ) 71.6o p4 71.6o 本题无须确定终止角。
由法则7，确定根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程为：s4 5s3 8s2 6s K* 0
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
42 绘制根轨迹的基本原则
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1
n
z
k
i 1
pi
m
zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2
0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2
Kg
0
Kg
6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
简述绘制根轨迹的规则
简述绘制根轨迹的规则
1.确定系统的传递函数，通常为开环传递函数。
2. 求出传递函数的特征方程，并确定系统的极点和零点。
3. 根据特征方程的根的实部和虚部的符号，确定根轨迹的起点
和方向。
实部为负时，起点在左侧无穷远点；实部为正时，起点在右侧无穷远点。
如果有根在虚轴上，起点在最靠近虚轴的点。
4. 根据特征方程的根的虚部和实部的大小，确定根轨迹的曲线
形状。
虚部相同时，曲线形状取决于实部的大小。
实部相同时，曲线形状取决于虚部的大小。
5. 根据系统的零点，确定根轨迹离开或逼近的方向。
如果零点
是实数，离开或逼近方向与实轴上的零点位置有关。
如果零点是虚数，离开或逼近方向与虚轴上的零点位置有关。
6. 根据根轨迹的数量和方向，确定系统的稳定性和性能。
在根
轨迹穿过虚轴时，系统发生振荡。
在根轨迹趋近无穷远点时，系统响应速度较慢，稳定性较好。
绘制根轨迹需要一定的数学基础和图像分析能力。
在实际应用中，通常使用计算机软件进行绘制和分析。
- 1 -。
第04_2章 常规根轨迹绘制的基本法则
点d，满足:
n 1 1 d z d p j 1 i 1 j i m
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3
用试凑法解出d≈-2.47，最后画出系统概略根轨迹如
图4-9(b)。
例4-4 设单位反馈系统的开环传递函数为
K (0.5s 1) G (s) 0 .5 s 2 s 1
当 | s | （无穷远处点 ）：① n m 时， * K
n
（终点），② n m 时，K * 0 （起点）。
即：当n≥m时，有n-m 条根轨迹的终点将在无穷远处 （开环无限零点)。若n＜m, 则有m-n条根轨迹始于无 穷远处（开环无限极点）。
图4-4 根轨迹的起点和终点表示图
zi
m
出 :
p (2k 1) ( z
i
j 1
m
j pi
p j pi );
j 1 ( j i )
n
n
k 0,1,2, (4-23)
k 0,1,2, (4-24)
z (2k 1) ( z z p z );
i
j 1 ( j i )
则仍然适用。用这些基本法则绘出的根轨迹，其相
角遵循180◦+2kπ的条件，因此称为180◦根轨迹。
1 绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。根轨迹起始于开环 极点, 终于开环零点。
根轨迹起点是指根轨迹增益Κ*= 0的根轨迹点，
而终点则是指Κ*→∞的根轨迹点。
在实际系统中，由于m≤n，因此有n-m条根轨迹
分离角定义：根轨迹分支进入分离点的切线方向与离
开分离点的切线方向之间的夹角。 当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离 角可由(2k+1)π/l确定，其中k=0，1，…，l-1。 显然，l=2时，分离角必为直角。
绘制根轨迹的基本原则
绘制根轨迹的基本原则绘制根轨迹是控制工程中常用的一种方法，它可以帮助我们分析系统的稳定性，相当于一个工程师的眼睛。
根轨迹是由根的轨迹组成的，而系统的根是指其特征方程的根。
特征方程是由系统的传递函数确定的，因此我们可以通过绘制特征方程的根轨迹来分析系统的动态性态。
绘制根轨迹的基本原则有以下几点。
1. 系统根轨迹的数量等于系统特征方程的根的数量。
这是因为每个根对应着系统中一个极点。
2. 根轨迹的起点和终点都在实轴上。
这是因为特征方程的根只有实数或成对的共轭复数根。
3. 根轨迹要从左侧的极点开始。
如果存在多个极点，则从最左侧的极点开始。
如果没有极点，则从传递函数的实轴交点开始。
4. 根轨迹要向右边的极点或者方向稳定，如果两个虚根前后交叉，则会出现不稳定性。
在解决此问题是，需要重新绘制，或者调整参数，使出现前后交叉的根跑到不相交的区域。
5. 当相邻两根的虚部相等时，其插值点在实轴上。
这个时候，由于两个根的插值点处于实轴上，因此根轨迹向这个点的方向发生了变化。
6. 根轨迹需要跨越系统的实轴部分。
无论极点的数量、位置以及根轨迹的线路，都必须穿过右半平面。
7. 根轨迹的末端，必须落到无限远点。
<1>｛1｝</1>因此，通过这几个基本原则，我们可以绘制出系统的根轨迹。
然而，在实际的工程中，我们会遇到许多不同的情况，例如系统传递函数变化、加入控制器等。
这时候，我们需要灵活应对，对基本原则进行微调，以便更好地分析系统的动态特性。
总结来说，根轨迹能够帮助工程师更好地了解控制系统的动态特性，这有助于他们进行有效的控制和优化。
在绘制根轨迹的过程中，需要严格遵循基本原则，同时对特殊情况进行灵活调整。
自动控制_04c根轨迹绘制的基本法则
→
d s( s 1)( s 2)s d 0 ds
d 3 s 3s 2 2s s d 0 ds
→
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
→
(3s 2 6s 2)sd 0
从而得
d1 0.422, d 2 1.578
由第4点知 d 2 不是根轨迹上的点，故舍去。因此我们可 最后画出根轨迹如图4-9所示。
a1 b1 (1 ) s
→
1 nm
a1 b1 1 ( n m) s
1 1 a1 b1 n a b s(1 ) m s[1 1 1 ] ( K ) nm s (n m) s
→
a1 b1 s K (n m)
1 nm
e
( 2 k 1) j nm
必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是 说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。
实轴上分离点的位置可用重根法和极值法求得。
1）重根法
N (s) G ( s) H ( s) K 1 K D( s) ( s pi )
* j 1 n i 1 *
(s z j )
时，可得
( j 1,2,, m) 所以根轨迹必终于开环零点。
实际系统中，m n ，因此有 n m 条根轨迹的终点将 在无穷远处。的确，当 s 时，
s zj
K lim
i 1 s m
s pi s zj
j 1
n
lim s
s
nm
具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点,则 根轨迹必终于开环零点。这时，开环零点数和开环极点数相等。
4.2根轨迹的绘制原则
，分别
当
时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点。
根据根轨迹的基本方程：
（1）根轨迹有m支的终点在m个有限零点处。
（2）n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
4、实轴上的根轨迹
结论：实轴上某试验点右侧的的开环实数零、 极点的个数为奇数时，则它在根轨迹上。
例1：系统的开环传函为 试绘制系统根轨迹图。
例2：系统的开环传函为
试绘制系统根轨迹图。
5.根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。
（1）倾角：设 为根轨迹上无穷远处的一点 ，则s平面上所
有的开环有限零点和极点到
角
的相角都相等，即为渐近线的倾
。代入根轨迹的相角条件得：
(2k 1) a , (k 0,1, n m 1) nm
六、根轨迹的分离点、会合点；
结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和 终点等性质画出根轨迹。
例5：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
例6：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
j 1 i 1 i l
m
n
zl 180 zl pi zl z j
i 1 j 1 j l
n
m
根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点，确定分支数；
二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点；
方程至少有一对共轭虚根。
பைடு நூலகம்
在闭环特征方程中令
为零即可求出 和 。
，然后使特征方程的实、虚部
例4：开环传递函数为：
，试求根轨迹与
虚轴的交点和
根轨迹绘制的基本原则
上有一分离点：d
1
2
d
1 1
1 j d 1 j
即 d 2 4d 2 0 解得：d 3.414 ，d 0.586 （舍去）
作出该系统的根轨迹如下图所示：
2020/7/10
15
复数根轨迹图在复平面上是圆的一部分
-3.414 -2
2020/7/10
-1+j
-1-j
16
【法则6】 根轨迹的起始角和终止角
2020/7/10
3
• 【法则2】 根轨迹的分支数与开环零点 数 m、开环极点数 n 中的大者相等，连 续并对称于实轴。
2020/7/10
4
•【法则3】.根轨迹的渐近线：
• 当n>m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角
为 a , 交点为 a 的一组渐近线趋向无穷远处。
根轨迹的渐进线可由下式而定：
4.2 绘制常规根轨迹的法则（不证明）
一般来说，绘制根轨迹时可以选择系统的任意参数作为可 变参数，但实际系统中最常用的可变参数是系统的开环根轨 迹增益 K *，因此以系统开环根轨迹增益为可变参数绘制的跟 轨迹就称为常规根轨迹。
本节讨论绘制常规根轨迹的基本法则和闭环极点的确定方法。 熟练地掌握这些法则，可以方便快速地绘制系统的根轨迹。 当然，这些法则同样也适应于系统其他参数作为可变参数时 的情况。
9
【法则5】 根轨迹的分离点与分离角：
两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点， 称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 是下列方程的解：
m
1
n
1
i1 d zi j1 d p j
分离点
B
z p2 Ap1
实轴上的分离点有以下两个特点: (1) 若实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段有 根轨迹, 则这两相邻点之间必有一个分离点。这两个相邻的极 点或两个相邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.
绘制零度根轨迹的8条法则
绘制零度根轨迹的8条法则绘制零度根轨迹的8条法则是控制系统理论中的重要概念，用于预测系统的根轨迹。
根轨迹是描述系统极点在复平面上运动的轨迹，对于开环稳定的连续时间系统，绘制根轨迹可以帮助设计者了解系统的稳定性、动态性能和调节器的参数调整等信息。
下面将详细介绍绘制零度根轨迹的八条法则。
1.根轨迹的起始点：零度根轨迹的起始点是系统零极点的交点，也就是系统传递函数的分子多项式与分母多项式的公共根。
起始点数目等于系统的零极点差异的绝对值。
如果起始点是虚数根，则起始点垂直于虚轴；如果起始点是实数根，则起始点沿着实轴移动。
2.根轨迹的末端点：根轨迹的末端点是极点的交点，也就是系统传递函数的分母多项式的根。
末端点数目等于系统的极点数目。
3.根轨迹的关于虚轴和实轴的对称性：零度根轨迹关于虚轴和实轴是对称的。
如果零度根轨迹中有一个点在复平面上，则它的共轭点也在轨迹上。
4.根轨迹的角度特征：根轨迹趋近虚轴的角度特征取决于系统的零和极点之间的差异。
如果零点在极点的左侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是奇数个180度。
如果零点在极点的右侧，则根轨迹的角度在趋近虚轴时是偶数个180度。
5.根轨迹的交点：当根轨迹与实轴或虚轴相交时，可以通过零点数目和交点的位置来确定系统的稳定性。
如果实轴上的交点数目为奇数，则系统不稳定。
如果虚轴上的交点数目为奇数，则系统是无法稳定的。
6.根轨迹的穿越特征：根轨迹可以穿越实轴或虚轴。
如果根轨迹穿越实轴，则必须有一个零点或极点位于实轴上。
如果根轨迹穿越虚轴，则必须有一个零点或极点位于虚轴上。
7.根轨迹的极点规律：根轨迹的极点位置取决于系统的极点位置。
当系统的极点靠近时，根轨迹的极点会趋向于其中一个极点。
当系统的极点远离时，根轨迹的极点会趋向于无穷远。
8.根轨迹的环绕特征：当根轨迹环绕其中一极点的次数等于该极点的倍数时，被环绕的极点是系统的稳定极点。
根轨迹环绕的次数与稳定电路发生变号的次数相同。
绘制根轨迹的基本法则
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
自动控制原理根轨迹绘制的基本准则
试确定根轨迹的分支数及起点、终点。 解：将开环传递函数改写成
) K (τ s + 1) τ G (s) = = 1 s (Ts + 1) s(s + ) T
Thursday, August 26, 2010
k (s +
1
其中
k＝
τK T
6
开环传递函数分母多项式最高阶次n=2，所以根轨迹分支数为2。 开环极点有两个： P1 = 0 开环零点有一个：
1 P2 = T 1
Z1 =
1 。其中一条根轨迹终 根轨迹起始于开环极点，即起始于0和 T 1 ，另一条终止于无穷远处。 止于开环零点，即
τ
τ
j
×
Thursday, August 26, 2010
Thursday, August 26, 2010
8
③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的 相角为0°；
z1
p2
说明：左侧实数极点的存在不影响相角条件。
④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量 的相角为180°；
× s s
2
× × p
p3
1
× p
4
1
s
3
z2
所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[p2 , p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。 同样s3点也不是根轨迹上的点。
(2k + 1)π θd = l
(k = 0,1,L , l 1)
Thursday, August 26, 2010
15
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N ( D(s) N (s) D(s) 0 求得
分离角为 a 180 / k 7 8 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹出射角与入射角
s j 代入特征方程求解，或用劳斯判据确定
开环复数极点处
px 180 (2k 1) ( px zi ) ( px p j )
根轨迹绘制的基本原则
序号 1 2 3 4 内容 根轨迹的连续性和对称性 根轨迹的分支数 根轨迹的起点与终点 根轨迹的渐近线 n 阶系统根轨迹分支数是 n 根轨迹 n 条分支从 n 个开环极点出发， 其中的 m 条趋向 m 个开 环零点，另外 n－m 条趋向无穷远处 L＝n－m 条趋向无穷远处分支的渐近线与实轴的交点和夹角为 规则 根轨迹是连续的，并且对称于实轴
a
p j zi
j 1 i 1
n
m
L
a
5 6 根轨迹在实轴上分布 根轨迹分离与会合点
2k 1 L
(k 0,1, 2,..., L -1)
实轴上某一区域，若其右方开环实数零极点个数之和为奇数， 则该区域必是根轨迹 分 离 会 合 点 由
n dD ( s ) 1 1 d z j 1 d p 或 ds 0 或 i 1 i j m
i 1 i 1 jx
m
n
px 1 px
开环复数零点处
zx 180 (2k 1) ( z x zi ) ( z x p j )
i 1 i x j 1
m
n
zx 1 zx