正多边形和圆弧长和扇形面积
圆的弧长及面积计算
正多边形与圆及弧长与扇形面积的计算【知识点清单】中考数学一轮复习精讲+热考题型(全国通用)
B A O 专题27 正多边形与圆及弧长与扇形面积计算【知识要点】正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【解题思路】1.正边形半径、边心距和12边长构成直角三角形。
2.已知其中两个值，第三个值可以借助勾股定理求解。
正多边形的对称性：1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
2）一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心。
【小结】正n 变形的内角为(n−2)×180°n ，外角为3600n ，中心角为3600n 内角和为（ n-2 ）×180°。
【扩展】正多边形常见边心距与边长的比值第一种 正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，在Rt △BOD 中，OD:BD:OB=1: √3 : 2 (图一) 变式 正三角形内切圆与外切圆半径比为1:2 （图二）第二种 正方形 在⊙O 中四边形是正方形，在Rt △OAE 中，OE:AE:OE=1:1: √2 (图三) 变式 正方形内切圆与外切圆半径比为1: √2 （图四）第三种 正六变形 在⊙O 中六边形是正六边形，在Rt △OAB ，AB:OB:OA=1: √3 : 2 (图五)图一 图二 图三 图四 图五 设的半径为R ，圆心角所对弧长为l ，弧长公式：l=nπR180（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）扇形面积公式：圆锥的侧面积公式：122S l r rlππ==(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆与正多边形、弧长扇形的面积
得到正五边形ABCDE.
∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A
A
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴ ∠A=∠B.
B
E
·O
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
C
D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCDE的外接圆.
A
D
D' A'
C'
B
C
4.（2018·河南）如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC 的中点D逆时针旋转90°得到△A′B′C′，其 中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面 积为____________．
B′
C′
C
D
A
A′
B
5.如图，将半径为2，圆心角为120°的 扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O， B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则 图中阴影部分的面积是（ ）
圆心角为1°的扇形所对的面积是多少？
在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇
形面积计算公式为
S ＝ S n nR2
扇形 S扇形360 360圆
＝
n 360
πR2
扇形的面积与扇形所在的圆的半径和弧所对
的圆心角的度数有关系.
n
n
n
L弧 360 C圆 360 d 180 R
S扇形
C
A
D
B
O
割补法：由弧出发找扇形
2.（2015·河南）如图，在扇形AOB中， ∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于 点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧交OB
正多边形和圆、弧长和扇形面积分析
正多边形和圆、弧长和扇形面积一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．● 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长180n R l π=和扇形面积2360n R S π=扇的计算公式，并应用这些公式解决问题．● 了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题． 重点难点：● 重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；n °的圆心角所对的弧长180n R l π=，扇形面积2360n R S π=扇及它们的应用；圆锥侧面积和全面积的计算公式． ● 难点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程；圆锥侧面积和全面积的计算公式． 学习策略：● 要结合图形真正理解掌握相关概念，注意多观察实物模型、多动手.二、学习与应用（一）多边形的内角和公式为 ，多边形的外角和为 .（二）正n 边形有 个内角，每一个内角都 ，每一个内角的度数为 . （三）正n 边形有 个外角，每一个外角都 ，每一个外角度数为 . （四）正n 边形有 条对角线.（五）圆的半径为r ，则其周长为 ，面积为 .知识点一：正多边形的概念各边 ，各角也 的多边形是正多边形． “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识要点——预习和课堂学习知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边；（2）各角；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形（正方形）.知识点二：正多边形的重要元素（一）正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．（二）正多边形的有关概念（1）一个正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距．（三）正多边形的有关计算（1）正n边形每一个内角的度数是；（2）正n边形每个中心角的度数是；（3）正n边形每个外角的度数是 .知识点三：正多边形的性质（一）正多边形都只有个外接圆，圆有个内接正多边形.（二）正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形.（三）正多边形都是图形，对称轴的条数与它的数相同，每条对称轴都通过正n 边形的；当边数是偶数时，它也是对称图形，它的就是对称中心.知识点四：正多边形的画法（一）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.（二）用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图.知识点五：弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：（弧是圆的一部分）要点诠释：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即12R Rππ⨯=；（2）公式中的n表示1°圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：、度数、弧所在圆的，知道其中的两个量就可以求出第三个量.知识点六：扇形面积公式（一）扇形定义：由组成圆心角的两条和圆心角所对的所围成的图形叫做扇形.（二）扇形面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积（圆面积）公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即221360360RRππ⨯=；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形、扇形、扇形的，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式12S lR=扇形，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式12S ah=有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系：21136021802n R n RS R lRππ==⨯⨯=扇形.知识点七：圆锥的侧面积和全面积连接圆锥和底面圆上任意一点的叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形面积圆心角为n°，则圆锥的侧面积，全面积 .要点诠释：扇形的半径就是圆锥的，扇形的弧长就是圆锥底面圆的 .因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图形面积，全面积是由和组成的.类型一：正多边形的概念例1．（1）（2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：（1）（2）经典例题-自主学习（2）（2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.例2．已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形类型二：正多边形的有关计算例3．（1）（2011广东中山）正八边形的每个内角为（）A．120° B．135° C．140° D．144°（2）已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个八边形的面积.探究思考：这个八边形的边长a=?提示：如图所示，当OA=R时，AK OK==a====类型三：考查弧长和扇形的计算例4．（1）（2011广东广州）如图4，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧⌒BC的弧长为（）．A．33πB．32πC．πD．32π图 4（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即AB的长（结果精确到0.1mm）例5．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（结果精确到0.1）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1）.举一反三：【变式1】如图，AB为O的直径，CD AB⊥于点E，交O于点D，OF AC⊥于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当30D∠=，1BC=时，求圆中阴影部分的面积．类型四：圆锥面积的计算例6．（1）（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A.5πB. 4πC.3πD.2π（2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）举一反三：【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是cm80，母线长cm50.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.BA【变式2】如图，已知Rt △ABC 的斜边AB =13cm ，一条直角边AC =5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．（一）首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念；（二）在进行正多边形的有关计算时，要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算；（三）注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形；（四）注意弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不带单位，若圆心角的单位不统一，应先统一单位，化为度；（五）扇形面积公式lR S 21扇与三角形面积公式类似.把弧长看作底，R 看做高就比较容易记忆了；（六）对组合图形面积的计算问题，应认真全面观察和分析图形，避免拿起题目就盲目乱做.经典例题透析总结规律和方法——强化所学 认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧．1．（1）（2011江苏南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.相同点：（1）______________（2）______________不同点：（1）______________（2）______________答案：相同点（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等…）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆…）；.不同点（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°（或…）；（2）正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条（或…）.（2）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，若分别以A、B、C、D为圆心，以OA长为半径作弧，分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证：八边形EFGHKLMN是正八边形.思路点拨：欲证八边形EFGHKLMN是正八边形，依据定义，只要证它的各角相等(都为135°)，各边也相等.证明：设正方形ABCD的边长为a，则同理可证同理可证∴八边形EFGHKLMN的各边相等而△BFG、△CHK、△DML、△AEN都是等腰直角三角形，由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135°∴八边形EFGHKLMN是正八边形.2．已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=36°，∴∠ABC=72°，∠ACB=72°，又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=36°∴五边形AEBCD是正五边形.类型二、正多边形的有关计算3. （1）（2011广东中山）正八边形的每个内角为（）A．120° B．135° C．140° D．144°思路点拨：正八边形的每个内角为，故选B.答案：Ｂ（2）已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．思路点拨：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB于M，在Rt△AOM 中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=利用勾股定理，可得边心距OM=∴所求正六边形的面积=6××AB×OM=.举一反三：【变式1】已知，如图，正八边形ABCDEFGH内接于半径为R的⊙O，求这个八边形的面积.解：如图，分别连结OA，OC及AC由正八边形的对称性，则AC⊥OB，∠AOC=90°探究思考：这个八边形的边长a=?提示：如图所示，当OA=R时，.类型三、考查弧长和扇形的计算4. （1）（2011广东广州）如图4，AB切⊙O于点B，OA=，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧的弧长为（）．A． B．C．π D．图4思路点拨：连结OB、OC，则，OB=，，，由弦BC∥OA得，所以△OBC为等边三角形，.则劣弧的弧长为，故选A.答案：A（2）制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)思路点拨：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．5．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长(•结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1).思路点拨：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．解：的长=S扇形=因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.4．举一反三：【变式1】如图，为的直径，于点，交于点，于点．(1)请写出三条与有关的正确结论；(2)当，时，求圆中阴影部分的面积．解：(1)答案不唯一，只要合理均可．例如：①；②；③；④；⑤是直角三角形；⑥是等腰三角形．(2)连结，则．，，．为的直径，．在中，，，．，．，是的中位线．．．．．类型四、圆锥面积的计算6．（1）（2011山东泰安）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．5π B. 4πC．3πD．2π思路点拨：圆锥的侧面展开图的弧长为2π，圆锥的侧面面积为2π，底面半径为1，圆锥的底面面积为π，则该圆锥的全面积是2π+π=3π.故选C.答案：C（2）圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)思路点拨：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸，只要计算纸帽的侧面积．解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为，则(cm)22.03(cm)S纸帽侧=×58×22.03=638.87(cm)638.87×20=12777.4(cm2)所以，至少需要12777.4cm2的纸．举一反三：【变式1】如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是，母线长.计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角.思路点拨：烟囱帽的展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面的周长.解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，.∵∴∴答：烟囱帽侧面展开图的圆心角是，面积是.【变式2】如图，已知Rt△ABC的斜边AB=13cm，一条直角边AC=5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．思路点拨：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径.解：在Rt△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，∴BC=12cm．∵OC·AB=BC·AC(由三角形面积得)，∴．∴所以，这个几何体的表面积为.。
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。
苏教版数学中考复习：正多边形与圆、弧长与扇形的面积、圆锥的侧面积与全面积课件
C B
例8、已知：在RtΔABC,
∠C=90°, AB=13 cm, BC=5 cm
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。 解：过C点作 CD AB ，垂足为 D点
AC BC 5 12 60 所以 CD AB 13 13
A
60 120 底面周长为 2 13 13
6.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 _______度,才能与原来的图形位置重合. 7.两个正三角形的内切圆的半径分别为12和18, 2﹕3 4﹕9 则它们的周长之比为______,面积之比为____。
知识回顾
一、圆的周长公式
C=2πr
S= π r2 二、圆的面积公式
n nr 三、弧长的计算公式 l 2r 360 180
4 . 3
4 2、已知扇形面积为 3 ，圆心角为120°，则
2 这个扇形的半径R=____．
4 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 3 ， 4 3 则这个扇形的面积，S =______
扇
4. (2006,武汉)如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互 外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到 四边形ABCD,则图形中四个扇形(空白部分)的面 积之和是___________.
小结:此类问题可直接运 用公式,但是扇形中的弧 长与母线、半径之间的关 系一定要清晰，不能混淆.
.9cm
例6：如图所示的扇形中，半径R=10，圆心 角θ=144°用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1)求这个圆锥的底面半径r;
(2)求这个圆锥的高.
A
C O
r
B
nR 分析:此题把公式 180 2r进行灵活运用，n、 R、r中知道两个就能求出另外一个。
2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积【含答案】
2022届中考数学一轮复习知识点串讲专题32 正多边形与圆及弧长和扇形面积【知识要点】知识点一正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）知识点二求弧长与扇形面积设⊙ria MO的半径为R，圆心角所对弧长为l，弧长公式：l=nπR（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）180扇形面积公式：母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（l为母线）备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积【考查题型】考查题型一求多边形中心角典例1．（2020·福建模拟）将下列四个正多边形同时绕中心开始旋转，且旋转角相等，则最先与原图形重合的是（）A．B．C．D．【答案】D【提示】由于正多边形是旋转中心对称图形，分别求出各个正多边形的中心角底数，比较大小即可得到结论.【详解】正方形中心角的度数=360=904︒︒；正五边形中心角的度数=360=725︒︒；正六边形中心角的度数=360=606︒︒；正八边形中心角的度数=360=458︒︒；∵457290︒︒︒︒＜60＜＜， ∴最先与原图形重合的是正八边形. 故选：D.变式1-1．（2020·富顺县一模）正六边形的边长为4，则它的面积为（ ） A ．3B ．3C ．60D ．123【答案】B【提示】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB 的度数及OG 的长，再由△OAB 的面积即可求解．【详解】解：如图，过正六边形中心O 作OG ⊥AB 于G ∵此多边形为正六边形， ∴∠AOB =3606︒=60°； ∵OA =OB ，∠AOB =60°,OG ⊥AB ∴△OAB 是等边三角形，1302AOG AOB ∠=∠=︒ ∴OA =AB =4， ∴OG =OA 33 ∴S △OAB =12×AB ×OG =12×4×33 ∴S 六边形=6S △OAB =6×33 故选：B ．变式1-2．（2020·天津和平区模拟）如图，ABCDEF 是中心为原点O ，顶点A ，D 在x 轴上，半径为4的正六边形，则顶点F 的坐标为（ ）A ．(2,23B ．()2,2-C ．(2,23-D ．(3-【答案】C【提示】连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt∠GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可． 【详解】 解：连接OF ，在Rt∠OFG 中，∠GOF=13603026⨯=，OF=4． ∠GF=2，3 ∴F （-2，3． 故选C ．变式1-3．（2020·河北唐山市二模）如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，若连接BM ，则MBC ∠的度数是（ ）A．12︒B．15︒C．30D．48︒【答案】A【提示】连接BM，OA，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，求出∠BOM，从而得到∠MOC，再根据圆周角定理得出∠MBC.【详解】解：连接BM，OA，OC，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB=∠BOC=3605︒=72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM=3603︒=120°，∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，∴∠MOC=∠BOC-∠BOM=72°-48°=24°，∴∠MBC=12∠MOC=12°，故选A.考查题型二已知正多边形中心角求边数典例2．（2020·江苏南通市模拟）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形【答案】C【提示】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360︒，用360︒除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．【详解】由题意可得：边数为36036=10︒÷︒．则这个多边形是正十边形．故选：C．变式2-1．（2020·福建模拟）一个半径为3的圆内接正n边形的中心角所对的弧等于3π4，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【提示】先利用弧长公式求出中心角的度数，由此即可得出答案．【详解】设圆内接正n边形的中心角的度数为x︒由弧长公式得：33 1804 xππ⋅=解得45x=即圆内接正n边形的中心角的度数为45︒则360845n︒==︒故选：B．考查题型三正多边形与圆典例3．（2020·四川中考真题）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a【答案】A【提示】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形,BOH利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．【详解】解：设圆的半径为R ，如图，,,,OB R OH a OH BC ==⊥ 由ABC 为圆O 内接正三角形，60,BOH ∴∠=︒则正三角形的边心距为a ＝R ×cos60°＝12R ． 如图，四边形ABCD 为圆O 的内接正方形，,,,OB R OH b OH BC ==⊥ 45,BOH ∴∠=︒四边形的边心距为b ＝R ×cos45°＝22R ， 如图，六边形ABCDEF 为圆O 的正内接六边形，,,,OB R OH c OH BC ==⊥30,BOH ∴∠=︒正六边形的边心距为c ＝R ×cos30°＝32R ． ∵12R 22<R 32<R ， ∴a ＜b ＜c ， 故选：A ．变式3-1．（2020·湖北随州市·中考真题）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．34r =D ．3R =【答案】C 【提示】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A 正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B 正确,利用勾股定理求出r 和R,即可判断C 、D ． 【详解】如图所示,标上各点∠AO 为R∠OB 为r ∠AB 为h， 从图象可以得出AB=AO+OB∠即h R r =+∠A 正确∠∵三角形为等边三角形∠ ∴∠CAO=30°∠根据垂径定理可知∠ACO=90°∠ ∴AO=2OC∠即R=2r ∠B 正确∠在Rt △ACO 中，利用勾股定理可得∠AO 2=AC 2+OC 2∠即22212R a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∠ 由B 中关系可得∠()222122r a r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得3=r ∠则3R =∠所以C 错误，D 正确； 故选：C ．变式3-2．（2020·山东德州市·中考真题）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．34πB ．1234πC ．2438πD ．34π【答案】A【提示】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形的面积为：142362432⨯⨯=六个小半圆的面积为：22312ππ⋅⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=， 所以阴影部分的面积为：24312162434πππ+-=， 故选：A ．考查题型四 利用弧长公式求弧长、圆心角、半径典例4．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =2BC =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧交边BC 于点E ，连接AE ，则DE⏜的长为（ ）A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【提示】先根据矩形的性质可得2,90AD BC BAD B ==∠=∠=︒，再根据圆的性质可得2AE AD ==，然后利用余弦三角函数可得30BAE ∠=︒，从而可得60DAE ∠=︒，最后利用弧长公式即可得． 【详解】四边形ABCD 是矩形，3AB =2BC =2,90AD BC BAD B ∴==∠=∠=︒由圆的性质得：2AE AD == 在Rt ABE △中，3cos AB BAE AE ∠==30BAE =∴∠︒60DAE BAD BAE ∴∠=∠-∠=︒则DE ⏜的长为60221803ππ⨯⨯=故选：C ．变式4-1．（2020·内蒙古）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD⏜的长为（ ）A ．2πB ．4πC 2πD 2π【答案】D【提示】 根据::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=求出COD ∠的度数，根据4CD =得到半径，运用弧长公式计算即可．【详解】∠:7:11∠∠=AOD DOB ，+180∠∠=︒AOD DOB ， ∠71807018AOD ∠=︒⨯=︒， 又∠:2:7∠∠=AOC AOD ，∠20AOC ∠=︒ ，∠90COD ∠=︒，又∠4CD =， ∠16222OD == ∴CD ⏜=90222180180n ODπππ⨯⨯⨯⨯==． 故答案选D ．变式4-2．（2020·江苏苏州市·九年级二模）一个扇形的圆心角为120︒，扇形的弧长等于4,π则该扇形的面积等于（ ）A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π【答案】C【提示】根据弧长公式180n r l π=，代入求出r 的值，即可得到结论． 【详解】解：由题意得，4π＝120180r π， 解得：r ＝6，∴S ＝1642π⨯⨯＝12π． 故选：C.变式4-3．（2020·黑龙江哈尔滨市模拟）若扇形的圆心角是150︒，且面积是2240cm π，则此扇形的弧长是（ ）A ．10cm πB ．20cm πC ．30cm πD ．40cm π【答案】B 【提示】 先根据S 扇形=2360n R π求出该扇形的半径R ，然后再根据S 扇形=12lR 即可求得弧长l ． 【详解】解：由S 扇形=2360n R π，n=150°，可得240π=2150360R π，解得R=24； 又由S 扇形=12lR 可得240π=1242l ⨯，解得l =20π． 故答案为B ．变式4-4．（2020·辽宁盘锦市一模）一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A ．80°B ．90°C ．100°D ．120° 【答案】B【提示】 直接由弧长公式180n r l π=，结合题意可得出扇形圆心角的度数． 【详解】解：∵弧长是π，半径是2， ∴2180n ππ=， 解得：90n =︒变式4-5．（2020·扬州二模）如图，将等边△ABC 的边AC 逐渐变成以B 为圆心、BA 为半径的AC⏜，长度不变，AB 、BC 的长度也不变，则∠ABC 的度数大小由60°变为（ ）A ．（60π）° B ．（90π）° C ．（120π）° D ．（180π）°【答案】D【提示】设∠ABC 的度数为n ，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．【详解】解：设∠ABC 的度数大小由60变为n ，则AC=180n AB π，由AC=AB ， 解得n=180π故选D ．变式4-5．（2020·广西中考真题）如图，已知AB 的半径为5，所对的弦AB 长为8，点P 是AB⏜的中点，将AB⏜绕点A 逆时针旋转90°后得到AB ′⏜，则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是（ ）A 5πB 5C ．5πD ．2π【答案】B【提示】根据已知AB⏜的半径为5，所对的弦AB 长为8，点P 是AB ⏜的中点，利用垂径定理可得AC ＝4，PO ⊥AB ，再根据勾股定理可得AP 的长，利用弧长公式即可求出点P 的运动路径长．如图，设AB⏜的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP, AB′, AP′,∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB⏜的中点，根据垂径定理，得AC＝12AB＝4，PO⊥AB，OC22OA AC-＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP22AC PC+5∵将AB⏜绕点A逆时针旋转90°后得到AB′⏜，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴L PP′＝905180π⨯5．则在该旋转过程中，点P5π．故选：B．考查题型五扇形面积的相关计算典例5．（2020·江苏南通市·中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2【提示】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6， 所以这个几何体的侧面积＝12×π×6×8＝24π（cm 2）． 故选：B ．变式5-1．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π【答案】A【提示】 本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题．【详解】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示：由已知得：四边形DCEO 为矩形．∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积．2290105410==10360360AOB AOC S S S πππ••••--=阴影扇形扇形． 故选：A ．变式5-2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在⊙O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．22πB ．2πC ．22π- D ．2π-【答案】D【提示】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB 算出结果.【详解】解：∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB -S △OAB =29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-， 故选D.变式5-3．（2020·山东日照市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，若CD ＝3AE ＝9，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π932B ．12π﹣3C ．3π934D ．3【答案】A【提示】根据垂径定理得出CE=DE=12CD ＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB ⊥CD 于点E ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝3 设⊙O 的半径为r ，在直角△OED 中，OD 2＝OE 2+DE 2，即222(9)(33)r r =-+，解得，r ＝6，∴OE ＝3，∴cos ∠BOD ＝3162OE OD ==， ∴∠EOD ＝60°， ∴13666BOD S ππ=⨯=扇形，19333322RT OED S =⨯⨯=， 根据圆的对称性可得： ∴9=632S π阴影 故选：A ．变式5-4．（2020·西藏中考真题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上的一点，OD ⊥AC ，垂足为D ，延长OD 与半圆O 交于点E ．若AB ＝8，∠CAB ＝30°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．433πB ．4233π-C ．833πD ．8233π-【答案】D【提示】 根据垂径定理得到AE⏜＝CE ⏜，AD ＝CD ，解直角三角形得到OD ＝12OA ＝2，AD ＝32OA ＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵OD ⊥AC ，∴∠ADO ＝90°，AE⏜＝CE ⏜，AD ＝CD ， ∵∠CAB ＝30°，OA ＝4，∴OD ＝12OA ＝2，AD ＝32＝3 ∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOE ﹣S △ADO ＝2604360π⋅⨯﹣1232⨯＝83π﹣3 故选：D ．变式5-5．（2020·宁夏中考真题）如图，等腰直角三角形ABC 中，90,2C AC ∠=︒=C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．14π-B ．14π-C ．24π- D ．14π+ 【答案】A【提示】连接CD ，并求出CD 的值，再分别计算出扇形ECF 的面积和等腰三角形ACB 的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】连接CD ，如图，∵AB 是圆C 的切线，∴CD ⊥AB ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CD=12AB ， ∵90,2C AC ∠=︒=AC=BC ，∴AB=2，∴CD=1， 21901=22123604ABC ECFS S S ππ∆⨯∴-==-阴影扇形 故选：A ． 考查题型六 圆锥侧面积的相关计算典例6．（2020·湖南中考真题）一个圆锥的底面半径r ＝10，高h ＝20，则这个圆锥的侧面积是（ ） A ．3πB ．3C ．5D ．5 【答案】C【提示】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【详解】 221020+5， 这个圆锥的侧面积＝1255． 故选：C ．变式6-1．（2020·山东东营市·中考真题）用一个半径为3,面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A．πB．2πC．2D．1【答案】D【提示】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得12•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D．变式6-2．（2020·青海中考真题）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．3.6B．1.8 C．3D．6【答案】A【提示】先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径．【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°-252°=108°阴影部分的弧长为：1081236= 1805ππ⋅设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则3625rππ=，即183.65r==故选：A．变式6-3．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，有一块半径为1m，圆心角为90︒的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）．A ．1m 4B ．3m 4C ．154D 3 【答案】C【提示】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高．【详解】解：设圆锥的底面周长是l ，则l=9011801802n r πππ⨯⨯==m ， 则圆锥的底面半径是：()1224ππ÷=m ， 22115144⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 故选：C ．变式6-4．（2020·山东德州市·九年级三模）圆锥的母线长为9cm ，底面圆的直径为10cm ，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是( )A ．150°B ．200°C ．180°D ．240°【答案】B【提示】 因为展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长，根据弧长公式列方程即可．【详解】 解：•910180n ππ=， 解得n=200°．故选B ．变式6-5．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·九年级一模）若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．180° 【答案】C【详解】解:设母线长为R ，底面半径为r ，可得底面周长=2πr ，底面面积=πr 2，侧面面积=12lr=πrR ， 根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得3πr 2=πrR ，即R=3r.根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n ，有2180n R r ππ=， 即32180n r r ππ⋅=. 可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数n=120°．故选C ．。
多边形和圆的初步认识公式
多边形和圆的初步认识公式
以下是关于多边形和圆的初步认识公式：
正n边形的公式：
1. 一个内角 = (n-2) × 180° ÷ n。
2. 内角和度数 = (n-2) × 180度。
3. 中心角= 360 ÷ n。
4. 外角= 360 ÷ n。
5. 对角线数量 = n(n-3) ÷ 2。
圆的公式：
1. 圆的面积：S = πr^2 或S = πd^2/4。
2. 圆的直径：d = 2r。
3. 圆的周长：C = 2πr 或C = πd。
4. 扇形面积：S = nπr^2/360 = Lr/2（L为扇形的弧长）。
5. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
6. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
7. 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
8. 切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
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中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面积圆锥侧面积有关的计算
中考数学复习满分突破正多边形与圆与弧长公式扇形面
积圆锥侧面积有关的计算
一、正多边形与圆的关系
正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
一个正多边形可以画出一个内接圆，该圆的圆心即为正多边形的中心，且圆心与多边形的各个顶点连线都与多边形的一条边垂直。
正多边形的内角和公式为：
内角和=(n-2)×180°，其中n为正多边形的边数。
正多边形的外角和公式为：
外角和=360°，且每个外角的度数为360°/n，其中n为正多边形的边数。
1.弧长公式
弧长可以理解为一段圆周的长度。
弧长公式为：
弧长=弧度×半径，其中弧度=角度×π/180。
2.弧度制度数转换式
角度=弧度×180/π。
三、扇形面积的计算
扇形是由一条弧和两条半径组成的图形。
扇形面积公式为：
扇形面积=(弧长×半径)/2，其中弧长单位为弧度。
四、圆锥侧面积的计算
圆锥的侧面是由圆锥的母线、底面圆弧以及连接底面圆弧与顶点的三角形组成的。
圆锥侧面积公式为：
圆锥侧面积=弧长×母线/2，其中弧长单位为弧度，母线为连接圆锥顶点和底面圆圆心的线段长度。
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2010年中考数学二轮复习专题水平测试-正多边形与圆、弧长、扇形面积
2010年中考数学二轮复习专题水平测试21 正多边形与圆、弧长、扇形面积一、选择题1．（2009年贵州黔东南州）设矩形ABCD 的长与宽的和为2，以AB 为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（ ）A.最小值4πB.最大值4πC.最大值2πD.最小值2π2． (2009年陕西省)若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 A ．1.5 B ．2 C ．3 D ．6 3．（绵阳市）如图，△ABC 是直角边长为a 的等腰直角三角形，直角边AB 是半圆O 1的直径，半圆O 2过C 点且与半圆O 1相切，则图中阴影部分的面积是 A ．2367a π- B ．2365a π- C ．2367a D ．2365a4．2009仙桃）现有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（ ）．A.9°B.18°C.63°D.72° 5．（2009年广州市）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图5）所示），则sinθ的值为（ ） （A ）125 （B ）135 （C ）1310 （D ）13126．（2009年济宁市）一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是A. 4πB.6πC. 8πD. 12π7．(2009年日照）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 A.10cmB.30cmC.40cmD.300cm8．（2009年湖北十堰市）如图，已知RtΔABC 中，∠ACB =90°，AC = 4，BC=3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ ）． A ．π5168 B ．π24 C ．π584 D ．π129．（2009年台州市），⊙O 的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A． B． C ．10 D10．（2009年天津市）边长为a 的正六边形的内切圆的半径为（ ）A ．2aB ．a C．2a D ．12a11．（2009年济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm O B =，高8cm O C =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）A ．230cmB ．230cm πC ．260cm πD ．2120cm 12．（2009年茂名市）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（ ） A ．4π平方米 B ．2π平方米 C ．π平方米 D ．1π2平方米二、选择题13．（2009年江苏省）已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．14．(2009年黄冈市) 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．15．（2009年兰州）兰州市某中学的铅球场如图10所示，已知扇形AOB的面积是36米2，弧AB 的长度为9米，那么半径OA ＝ 米．16．（2009年凉山州）将A B C △绕点B 逆时针旋转到A BC ''△使A B C '、、在同一直线上，若90B C A ∠=°，304cm BAC AB ∠==°，，则图中阴影部分面积为cm 2．17．（2009年常德市）一个圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为3 cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2（结果保留π）．B18．（2009泰安）如图，（1）是某公司的图标，它是由一个扇环形和圆组成，其设计方法如图（2）所示，ABCD 是正方形，⊙O 是该正方形的内切圆，E 为切点，以B 为圆心，分别以BA.BE 为半径画扇形，得到如图所示的扇环形，图（1）中的圆与扇环的面积比为 。
弧长扇形计算讲义教案
正多边形与圆、弧长、扇形面积公式教学目标 1、理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形．2、探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题．教学重点 1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系． 2．n°的圆心角所对的弧长，扇形面积及它们的应用．教学难点1．正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系2．弧长和扇形面积公式的应用；由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．一、正多边形与圆知识点讲解：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算⑴正n 边形的每个内角都等于()2180n n-⋅︒；⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则2221801801112sincos 422n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 精典例题：例1：填写下列表中的空格 正多边形边数 内角 中心角 半径边长 边心距 周长面积 323 4 1 62例题2：若正三角形、正方形、正六边形和圆的周长都相等，那么____________的面积最大；若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．例题3：在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的各边长均大于1且小于2，则这个多边形的边数必为___________．例题4：下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120 的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形其中，错误的命题是_____________．3R，则n等于____________．例题5：（1）正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为2（2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N边形每一个内角等于________．例题6：(09浙江台州)O⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此⊙的内接多边形周长为3，O圆的周长最接近的是( )A．6 B．8 C．10 D．17例题7：已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．例题8：已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．强化训练1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为。
9.中考数学专题07 正多边形和圆、弧长和扇形的面积专题详解(解析版)
正多边形和圆、弧长和扇形的面积真题测试一、单选题⌢上的任意一点，则∠APB的大小是1.（2020·柯桥模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】：连接OA、OB、如图所示：∵∠AOB＝360°＝60°，6∴∠APC＝1∠AOC＝30°.2故答案为：B.2.（2020·新都模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（）A. 140°B. 70°C. 80°D. 60°【答案】A【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝110°，∴∠A＝180°﹣∠C＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故答案为：A．3.（2020·吉林模拟）如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（）A. 80°B. 100°C. 120°D. 160°【答案】D【解析】：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，．∵四边形ACBD内接与⊙O，∠C＝100°，∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°．故答案为：D．4.（2020·启东模拟）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】B＝4π,【解析】：扇形的弧长＝120π×6180∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2.故答案为：B.5.（2020九下·中卫月考）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米.A. 1712πB. 176π C. 254π D. 7712π【答案】 D【解析】：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积= 90π×52360+60π×12360 = 7712π （平方米） 故答案为：D.6.（2020·无锡模拟）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（ ）A. 36πcm 2B. 12πcm 2C. 9πcm 2D. 6πcm 2【答案】 B【解析】：由题意得：n=120°，R=6，故可得扇形的面积S= nπr 2360 = 120π×62360 =12πcm 2 ． 故答案为：B ．7.（2020·南充模拟）如图A ，B ，C 是 ⊙O 上顺次3点，若 AC ， AB ， BC 分别是 ⊙O 内接正三角形、正方形、正n 边形的一边，则 n = （ ）A. 9B. 10C. 12D. 15【答案】 C【解析】：如图：连接 OA ， OB ， OC .∵若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则∠AOC=120°，∠AOB=90°.∴∠BOC=30°.∴360°=12，30°∴BC是⊙O内接正十二边形的一边.故答案为：C.8.（2020·开平模拟）如图，正五边形ABCDE绕点A旋转了α°，当α=36°时，则∠1=（）A. 72°B. 108°C. 144°D. 120°【答案】C=108°,【解析】：如图，因为正五边形的每一个内角为540°5∴α=36°,．∴∠2=108°−36°=72°,由旋转的旋转得：对应角相等，∴∠1=540°−3×108°−72°=144°.故答案为：C．9.（2020·石家庄模拟）如图，以正五边形ABCDE的对角线BE为边，作正方形BEFG,使点A落在正方形BEFG内，则∠ABG的度数为（）A. 18∘B. 36∘C. 54∘D. 72∘【答案】C【解析】：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=180°×(5−2)=108°，AB=AE，5(180°−∠A)=36°，∴∠ABE=∠BEA=12∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，∴∠ABG=∠EBG−∠ABE=90°−36°=54°．故答案为：C．10.（2020·台州模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）S2A. S1＞S2B. S1＝S2C. S1＜S2D. S1＝π3【答案】A⌢＝12，【解析】：由题意：EAC∴S2＝1×12×3＝18，∵S1＝6× √34×32＝27√32，∴S1＞S2，故答案为：A.11.（2020·湖州模拟）如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC＝110°，则扇形AOD的面积为（）A. 74π B. π C. 72π D. 2π【答案】B【解析】：∵∠ABC＝110°，∴优弧ADC所对的圆心角的度数为110°×2＝220°，∵CD是直径，∴∠COD＝180°，∵∠COD+∠AOD＝220°，∴∠AOD＝40°，∵⊙O的半径为3，∴扇形AOD的面积为40×π×32360＝π.故答案为：B.12.（2020·金牛模拟）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则DE⌢的长为（）cm．A. 15πB. 12πC. 15πD. 36π【答案】C【解析】：∵AB＝32cm，BD＝14cm，AB，AC夹角为150°，∴AD＝AB﹣BD＝18cm，∴DE⌢的长为：150∘×π×18＝15π（cm），180∘故答案为：C．13.（2020·河北模拟）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离不可能是（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】A【解析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2- √2小于等于1，故答案为：A．14.（2019九上·温州期中）如图，△ABC内接于⊙O，BC=6，AC=2，∠A-∠B=90°，则⊙O的面积为（）A. 9.6πB. 10πC. 10.8πD. 12π【答案】B【解析】如下图所示，过点B作圆的直径BE交圆于点E,则∠ECB=90°，∴∠E+∠EBC=90°，∵圆的内接四边形对角互补,∴∠E+∠A=180°①，∵∠A−∠ABC=90°①，①-①可得：∠E+∠ABC=90°，∴∠ABC=∠EBC，∴AC⌢=CE⌢，∴CE=AC=2，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BE=√BC2+CE2=√62+22=2√10，∴⊙O的半径为r=1BE=√10，2∴圆的面积= πr2=π⋅(√10)2=10π，故选B.15.（2019·上海模拟）正六边形的半径与边心距之比为（）A. 1：√3B. √3：1C. √3：2D. 2：√3【答案】D【解析】∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝√3R，2∴R：r＝1：√3＝2：√3，2故答案为：D．16.（2020·宁波模拟）如图，⊙O 上有一个动点A 和一个定点B ，令线段AB 的中点是点P ，过点B 作⊙O的切线BQ ，且BQ=3，现测得 AB ⌢ 的长度是 4π3， AB ⌢ 的度数是120°，若线段PQ 的最大值是m ，最小值是n ，则mn 的值是（ ）A. 3 √10B. 2 √13C. 9D. 10【答案】 C【解析】：如图，连接OP ，OB ，O'点为OB 的中点，设⊙O 的半径为r ，根据题意得120·π·r180=43π ， 解得r=2， ∵P 点为AB 的中点，∴OP ⊥AB ，∴∠OPB=90°，∴点P 在以OB 为直径的圆上，直线QO'交⊙O'于E. F ，如图，∵BQ 为切线，∴OB ⊥BQ ，在Rt △O'BQ 中，O'Q=√O ′B 2+BQ 2=√12+32=√10,∴QE=√10+1 ， QF=√10−1,即m=√10+1 ， n=√10−1,∴mn=（√10+1）（√10−1）=9.故答案为：C.17.（2019九上·无锡月考）如图，AB 是⊙o 直径，M ，N 是 AB⌢ 上两点，C 是 MN ⌢ 上任一点，∠ACB 角平分线交⊙o 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ，当点C 从M 运动到N 时，C 、E 两点的运动路径长之比为( )A. √2B. π2C. 32D. √52【答案】A【解析】如图，连接EB,设OA=r∵AB是直径∴∠ACB=90°∵E是△ACB的内心,∴∠AEB=135°∵∠ACD=∠BCD∴AD⌢=DB⌢∴AD=DB=√2r∴∠ADB=90°∴点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是GF⌢，点C的运动轨迹是MN⌢∵∠MON=2∠GDF，设∠GDF=α，则∠MON=2α，∴MN⌢GF⌢=2α·π·r180α·π·√2r180=√2故答案为：A18.（2019九上·浙江期中）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E 为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F。
正多边形和圆及弧长和扇形面积思维导图
（1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形 的外接圆． （2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心 角．
圆
积为S，则
S扇形=nπR2/360
扇形面积的计算
或S扇形=lR/2（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法：
弧长和扇形面积
① 接用公式法； ②和差法；
③ 补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形 的面积．
圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母 线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧=1/2•2πr•l=πrl．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不 一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才 有等弧的概念，才是三者的统一．
（1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的
图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心 距．
弧长的计算
（1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=nπR/180
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都 不要带单位．
专题06 正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积【考题猜想,34题9种题型】(解析版)
06正多边形与圆、弧长与扇形面积、圆锥的侧面积（34题9种题型）一、正多边形与圆有关的计算（共7小题）（2）如图1，连接OB、四边形ABCD是O内接正方形，∴中心角3604 BOC︒∠==同（1）的方法可证：MON∠如图2，连接OB、OC，五边形ABCDE是O∴中心角3605 BOC︒∠==同（1）的方法可证：MON∠（3）由上可知，MON∠的度数与正三角形边数的关系是MON∠的度数与正方形边数的关系是3604 MON︒∠=，MON∠的度数与正五边形边数的关系是3605 MON︒∠=归纳类推得：MON∠的度数与正n边形边数n的关系是【答案】A（－2，0），B（－1，－3），C 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接EG＝22-，得出结论．OE OG【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形解题的关键是熟练运用这些性质．3．（2022秋·江苏·九年级期中）如图，六边形【答案】正方形ABCD 【分析】过点O 作OE ∵正方形ABCD 是半径为360904BOC ︒∴∠==︒，BE OE ∴=．在Rt OBE 中，BEO ∠由勾股定理可得222OE BE OB +=，2236OE BE ∴+=，【点睛】本题考查估算出圆周率圆周率π的值是解题关键．7．（2023春·浙江台州·九年级校考期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长度”n k．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k k、；(3)[总结]随着n的增大，n k【答案】(1)33π(2)4π，23πk≈（3）解：3 1.65进π的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长内切圆周长更接近，其比值更接近于【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键．(1)求证：ACB E ∠=∠；(2)若30ACB ∠=︒，AC 【答案】(1)见解析(2)π【分析】（1）根据垂径定理得到，则根据等弧所对的圆周角相等即可证明结论；（2）先利用（1）的结论得到形，所以3OA AC ==，然后根据弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：∵半径∴，∴ACB E ∠=∠．（2）解：∵E ACB ∠=∠∴60AOC ∠=︒，∵OA OC =,∴OAC 为等边三角形，∴3OA AC ==，∴603180AC l ππ⨯== ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．9．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）(1)求证：AC AF =；(2)若⊙O 的半径为3，CAF ∠【答案】(1)证明见解析；(2)52π【分析】（1）根据已知条件可证明四边形代换可得AFC ACF ∠=∠，即可得出答案；（2）连接,AO CO ，由（1）中结论可计算出根据弧长计算公式计算即可得出答案．【详解】（1）证明：∵AD ∴四边形ABED 为平行四边形，∴B D ∠=∠，∵AFC B ACF ∠=∠∠=∠，∴AFC ACF ∠=∠，∴AC AF =．（2）解：连接,AO CO ，如图，由（1）得AFC ACF ∠=∠，∵18030752AFC ︒-︒∠==︒，∴2150AOC AFC ∠=∠=︒，∴ AC 的长15035180l π⨯⨯==【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考(1)画出11AOB △；(2)点1A 坐标为______，点1B 坐标为(3)点A 的运动路径长为______．【答案】(1)见解析(2)()4,1-，()3,3-(3)17π2【分析】（1）分别作出点A 、B 绕点可得到11AOB △；（2）根据（1）中的图形写出点A （3）根据点A 的运动路径是以点弧长公式求出点A 的运动路径长即可．【详解】（1）解：如图所示，1AOB △（2）由图可知，点1A 的坐标为(-故答案为：()4,1-，()3,3-（3）点A 的运动路径是以点O 为圆心，221417OA =+=,∴点A 的运动路径长为9017180π⨯故答案为：17π2【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是解题的关键．12．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 逆时针旋转90︒到11A B ．(1)求点1A 的坐标；(2)求点B 运动的路径长．【答案】(1)(1,5)-(2)172π【分析】（1）连接OA 、OA 11A E AC ==，则点1A 的坐标是（2）由旋转得1OB OB =，长，就是点B 运动的路径长．【详解】（1）解：连接OA将线段AB 绕原点O 逆时针旋转90︒到1OA OA ∴=，190AOA COE ∠=∠=︒，190A OE AOC AOE ∴∠=∠=︒-∠，在1A OE 和AOC 中，111A EO ACO A OE AOC OA OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴1(AAS)AOE AOC △≌△，(5,1)A ，5OE OC ∴==，11A E AC ==，点1A 在第二象限，∴点1A 的坐标是(1,5)-．（2）由旋转得1OB OB =，1BOB 90∠=︒以点O 为圆心，OB 的长为半径作 1BB ，则点作BD y ⊥轴于点D ，(1,4)B ，1BD ∴=，4OD =，22221417OB BD OD ∴=+=+=，∴ 19017171802BB l ππ⨯⨯==，∴点B 运动的路径长是172π．【点睛】此题重点考查图形与坐标、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．13．（2022秋·江苏·九年级期末）如图，O ，P 为半圆上任意一点过P 点作PE ⊥∵CO ⊥AB ，∴OA =OC ，∴△ACO 为等腰直角三角形，14．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图1，AB 是O 的弦，2,60AB AOB =∠=︒，P 是优弧AB 上的一个动点（不与点A 和点B 重合）， ,,PA PB AB 组成了一个新图形（记为“图形 P AB -”），设点P 到直线AB的距离为x ，图形 P AB-的面积为y ．(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量(2)记扇形OAB的面积为S OAB，当扇形①在图2中，作出一个满足条件的点PA PB，再画一条线，将图形②在第①题所作图中，连接,写出必要的文字说明．）（2）解：①如图2所示，点②以点1P的情况为例，过点O作OC AB⊥，垂足为C、，则折线连接1PC CD弧线的画法：以点1P的情况为例，以1P为圆心，1P A长为半径画弧，交【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题作图的关键．（1）计算弧田的实际面积．（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与π近似值为3，3近似值为1.7【答案】（1）弧田的实际面积为（1）中计算的弧田实际面积相差【分析】（1）先利用勾股定理及含再通过扇形面积公式求解扇形AOB （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（【详解】（1）解：OD ⊥ 弦AB ∴由垂径定理可知：OD 平分AB 32A BA C m ∴==，AOC ∠=在R t A C O ∆中，OC 对应的角的为(1)求O 的半径；(2)经测量AOB ∠的度数约为106【答案】(1)15cm (2)2651084π-【分析】（1）过点O 作OD AB ⊥于点从而得出6OD r =-，然后利用勾股定理建立关于（2）弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可．【详解】（1）解：过点O 作OD ∵点O 为圆心，24AB =，弓形∴112AD BD AB ===，点C （2）∵15r =，106AOB ∠=(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)BD(2)254π．【分析】（1）根据圆周角定理得出根据勾股定理求出(1)在网格中画出△A 1B 1(2)计算线段A 1C 1在变换到【答案】(1)见解析(2)2π【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点利用网格特点和旋转的性质画出点（2）线段A 1C 1在变换到到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(1)解：如图，△A 1B 1C 1和△(2)解：由图可知，112AC A =【答案】（1）画图见解析；（2）10 2π【分析】（1）根据网格结构找出点A、可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积【详解】解：（1）△A1OB1如图所示；(1)建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出①圆心P的坐标：P（_______，的半径为_______．②P绕点A逆时针旋转90︒(2)将ABC【答案】(1)图见详解；①5，3；②(2)图见解析；线段BC扫过的图形的面积为【分析】（1）作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于一点，即为据图形，结合网格的特点，即可得出求出外接圆的半径；、（2）根据网格的特点，把AB AC再根据勾股定理，结合网格的特点，分别求出面积，再根据线段BC扫过的图形的面积为①圆心P 的坐标：()53P ，，②P 的半径为：224225+=；故答案为：①5，3；②25（2）解：如图即为所求图形，∵由勾股定理得：2262AC =+=∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90︒得到∴ABC 的面积等于ADE V 的面积，∴线段BC 扫过的图形的面积S =扇形()290210901423602360ππ︒⨯︒⨯=+⨯⨯-︒8π=．【点睛】本题考查了坐标与图形，确定外接圆的圆心、勾股定理、画旋转图形、扇形的面积，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答问题．六、求不规则图形面积（共5小题）21．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ．（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF =22.5°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）48π-．【分析】（1）连接OD ，易得ABC ODB ∠=∠，由AB AC =，易得A ABC CB =∠∠，等量代换得ODB ACB ∠=∠，利用平行线的判定得//OD AC ，由切线的性质得DF OD ⊥，得出结论；（2）连接OE ，利用（1）的结论得67.5ABC ACB ∠=∠=︒，易得45BAC ∠=︒，得出90AOE ∠=︒，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．【详解】（1）证明：连接OD ，OB OD = ，ABC ODB ∴∠=∠，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∴∠ODB =∠ACB ，∴OD ∥AC ．∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ．∴DF ⊥AC ．（2）连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF =22.5°．∴∠ABC =∠ACB =67.5°，∴∠BAC =45°．∵OA =OE ，(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)∠P的度数为60°(2)图中阴影部分的面积为16 1633π-【分析】(1)先证明∠APB=180°−∠AOB，根据∠(2)连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠角和得到∠AOB=180°−∠APB=120°，再在Rt则S△P AO=83，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；会利用面积的和差计算不规则图形的面积．解题的关键是辅助线的添加．25．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图1(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；与OA，OB都相切，且与 AB只有一个交点(2)如图2，在扇形AOB的内部，1OS；O11302EOO AOB ∴∠=∠=︒，【点睛】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．七、求圆锥的侧面积（共3小题）(2)直线AB与⊙如图1，作OE⊥∵AO平分∠BAC而OE⊥AB，OC在Rt △ABC 中，∵∴AB=2512+∵S △AOB +S △AOC ∴12×13r+12×5r=弧相切于DE、FG、HI的中点，显然又可剪3个∴最多可剪出9个纸杯的侧面（如图所示）八、求圆锥的底面半径（共3小题）(1)求证：DC 与A 相切；(2)过点B 作A 的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？【答案】(1)见解析(2)见解析(3)能，理由见解析【分析】（1）过点A 作AG DC ⊥于点G ，勾股定理求得（2）作线段AB 的垂直平分线，交A 于点H ，作直线根据勾股定理的逆定理证明AHB 是直角三角形，即可求解；（3）根据弧长公式求得 EF的长，继而求得圆锥的底面半径，连接点R ，,BR AC 交于点O ，过点O 作OP BC ⊥于点P ，则与r 的大小，进而比较r 与圆锥底面半径的大小即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AG DC ⊥于点G ∵45,22ADC AD ∠=︒=，理由，∵HA HB =2=，22AB =∴222HA HB AB +=∴ABH 是直角三角形，且AH HB⊥∴HB 是A 的切线；（3）解：∵45,D AB CD∠=︒∥∴135BAD ∠=︒，∴ 135321802EF ππ=⨯=则圆锥的底面圆的半径为33224ππ=如图，连接AC 交 EF于点Q ，过点B 作BR DC ⊥于点R ，O 与,BC CD 相切，∵AB BC=∴BCA BAC∠=∠∵AB CD∥∴BAC ACD∠=∠解得()222122221r ==-=-+∴()2222422BO =-=-,∴()()222224222232162AO BO AB =+=-+=-，∴321622OQ AO AQ =-=--，()3216222223216222OQ r -=----=--，∵()()22321622232162824162--=--=-，又()2224162576512640-=-=>，∴0OQ r ->，即OQ r >，∵32224->．∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．(1)求这个扇形的半径；(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．【答案】(1)3(2)12【分析】(1)连接BC ，根据垂径定理，求得BC (2)设圆锥底面圆的半径为【详解】（1）如图，连接∵60BAC ∠=︒，OB OC =∴120BOC ∠=︒，OBC ∠∴()2=2=23BC BD ⨯-∴这个扇形的半径为3（2）设圆锥底面圆的半径为根据题意，得60180π︒⨯⨯︒解得12r =．故圆锥底面圆的半径为【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．九、圆锥侧面积的最短路径问题（共3小题）。
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正多边形与圆、弧长与扇形面积一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法就是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!学习目标:● 了解正多边形与圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形与圆的有关知识画正多边形.● 通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长180n R l π=与扇形面积2360n R S π=扇的计算公式,并应用这些公式解决问题、● 了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题、 重点难点:● 重点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;n °的圆心角所对的弧长180n R l π=,扇形面积2360n R S π=扇及它们的应用;圆锥侧面积与全面积的计算公式. ● 难点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;弧长与扇形面积公式的应用;由圆的周长与面积迁移到弧长与扇形面积公式的过程;圆锥侧面积与全面积的计算公式. 学习策略:● 要结合图形真正理解掌握相关概念,注意多观察实物模型、多动手、二、学习与应用(一)多边形的内角与公式为 ,多边形的外角与为 、(二)正ｎ边形有 个内角,每一个内角都 ,每一个内角的度数为 、 (三)正n 边形有 个外角,每一个外角都 ,每一个外角度数为 、 (四)正ｎ边形有 条对角线.(五)圆的半径为r ,则其周长为 ,面积为 、知识点一:正多边形的概念各边 ,各角也 的多边形就是正多边形、 “凡事预则立,不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性与针对性.知识要点——预习与课堂学习知识回顾——复习学习新知识之前,瞧瞧您的知识贮备过关了不？判断一个多边形就是否就是正多边形,必须满足两个条件:(1)各边;(2)各角 ;缺一不可、如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不就是正多边形(正方形)、知识点二:正多边形的重要元素(一)正多边形的外接圆与圆的内接正多边形正多边形与圆的关系十分密切,只要把一个圆分成的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就就是这个正多边形的外接圆.(二)正多边形的有关概念(1)一个正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心.(２)正多边形圆的半径叫做正多边形的半径.(３)正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角、(4)正多边形的到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距、(三)正多边形的有关计算(1)正n边形每一个内角的度数就是 ;(2)正n边形每个中心角的度数就是;(3)正n边形每个外角的度数就是、知识点三:正多边形的性质(一)正多边形都只有个外接圆,圆有个内接正多边形、(二)正ｎ边形的半径与边心距把正n边形分成个全等的直角三角形、(三)正多边形都就是图形,对称轴的条数与它的数相同,每条对称轴都通过正n边形的;当边数就是偶数时,它也就是对称图形,它的就就是对称中心、知识点四:正多边形的画法(一)用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆、(二)用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形,可以用圆规与直尺作图、知识点五:弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式: n°的圆心角所对的圆的弧长公式: (弧就是圆的一部分)要点诠释:12360180R R ππ⨯=; (２)公式中的n 表示1°圆心角的倍数,故n 与１8０都不带单位,R 为弧所在圆的半径;(3)弧长公式所涉及的三个量: 、 度数、弧所在圆的 ,知道其中的两个量就可以求出第三个量、 知识点六:扇形面积公式 (一)扇形定义:由组成圆心角的两条 与圆心角所对的 所围成的图形叫做扇形、 (二)扇形面积公式:半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式: n °的圆心角所对的扇形面积公式: 要点诠释:（1） 对于扇形面积公式,关键要理解圆心角就是1°的扇形面积就是圆面积的 ,即221360360R R ππ⨯=; (２)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形 、扇形 、扇形的 ,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(３)扇形面积公式12S lR =扇形,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式12S ah =有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:21136021802n R n R S R lR ππ==⨯⨯=扇形、 知识点七:圆锥的侧面积与全面积连接圆锥 与底面圆上任意一点的 叫做圆锥的母线、圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,侧面展开图中的扇形面积圆心角为ｎ°,则圆锥的侧面积 ,全面积 、 要点诠释:扇形的半径就就是圆锥的 ,扇形的弧长就就是圆锥底面圆的 .因此,要求圆锥的侧面积就就是求展开图 形面积,全面积就是由 与 组成的、类型一:正多边形的概念例1、(1)(２０１1江苏南通)比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点.例如ﻩ它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、 它们的一个不同点:正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是中心对称图形、请您再写出它们的两个相同点与不同点、经典例题-自主学习ﻩ (２)ﻩ不同点:(1)ﻩ (2)(２)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、C、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证:八边形EFGHＫLMN就是正八边形、例２、已知:如图,△ABC就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB、求证:五边形ＡEＢＣＤ就是正五边形类型二:正多边形的有关计算例3、(1)(20１1广东中山)正八边形的每个内角为( )A.120° B、1３5° Ｃ.1４0° ﻩ D.14４°(2)已知正六边形ＡＢCDEＦ,如图所示,其外接圆的半径就是a,•求正六边形的周长与面积、DEBOM举一反三:【变式1】已知,如图,正八边形ABCDE ＦGH 内接于半径为R 的⊙O ,求这个八边形的面积.探究思考:这个八边形的边长a =?提示:如图所示,当ＯＡ=Ｒ时,2AK OK R ==a = ＝ = =类型三:考查弧长与扇形的计算例4.(1)(2011广东广州)如图4,ＡB 切⊙O 于点B ,OA =２3,ＡB =3,弦BC ∥OA ,则劣弧 ⌒BC的弧长为( ). Ａ.错误!π ﻩB.错误!π ﻩ C.πﻩＤ、错误!π图 4(2)制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即AB 的长(结果精确到0、１mm )CBO例５、如图,已知扇形ＡO Ｂ的半径为１０,∠ＡＯB =60°,求AB 的长(结果精确到0、1)与扇形ＡOB 的面积(结果精确到０.1).举一反三:【变式1】如图,AB 为O 的直径,CD AB ⊥于点E ,交O 于点D ,OF AC ⊥于点F 、(1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当30D ∠=,1BC =时,求圆中阴影部分的面积、类型四:圆锥面积的计算例6.(１)(201１山东泰安)一圆锥的侧面展开图就是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积就是( )A 、5π Ｂ、 4π C.３π D.2π(2)圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为5８ｃm ,高为20c ｍ,要制作２0顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0、1cm ２)举一反三:【变式１】如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径就是cm 80,母线长cm 50、计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角、CBAO FDE【变式2】如图,已知Ｒt △ABC 的斜边ＡＢ=13ｃm ,一条直角边A Ｃ＝5cm ,以直线ＡB 为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积.三、总结与测评要想学习成绩好,总结测评少不了！课后复习就是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力、(一)首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念;(二)在进行正多边形的有关计算时,要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算;(三)注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形;(四)注意弧长公式中,n 表示1°的圆心角的倍数,n 与180都不带单位,若圆心角的单位不统一,应先统一单位,化为度;(五)扇形面积公式lR S 21扇与三角形面积公式类似、把弧长瞧作底,R 瞧做高就比较容易记忆了; (六)对组合图形面积的计算问题,应认真全面观察与分析图形,避免拿起题目就盲目乱做、经典例题透析总结规律与方法——强化所学认真回顾总结本部分内容的规律与方法,熟练掌握技能技巧.1.(1)(201１江苏南通)比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点、例如它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、它们的一个不同点:正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是中心对称图形、ﻫ请您再写出它们的两个相同点与不同点.ﻫ相同点:(1)____＿____＿___＿(2)＿__＿__＿＿_____＿ﻫ不同点:(1)＿＿_＿___＿＿___＿＿ﻫ (2)_____＿_____＿__答案:相同点(1)每个内角都相等(或每个外角都相等或对角线都相等…);(２)都就是轴对称图形(或都有外接圆与内切圆…);、不同点(１)正五边形的每个内角就是１08°,正六边形的每个内角就是1２0°(或…);(2)正五边形的对称轴就是５条,正六边形的对称轴就是６条(或…)、ﻫ(２)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、Ｃ、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、Ｋ、L、Ｍ、Ｎ点、ﻫ求证:八边形EFGHKLＭN就是正八边形、ﻫ思路点拨:欲证八边形EFGＨKＬMＮ就是正八边形,依据定义,只要证它的各角相等(都为13５°),各边也相等、证明:设正方形ＡBCD的边长为a,则ﻫﻫﻫ同理可证ﻫﻫ同理可证∴八边形EFGＨKLMＮ的各边相等而△BＦＧ、△CＨK、△ＤML、△ＡＥＮ都就是等腰直角三角形,由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135°∴八边形EＦGHKLＭN就是正八边形、ﻫ 2.已知:如图,△AＢＣ就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦ＢD、CE分别平分∠ABC、∠ＡCB、求证:五边形ＡEBCD就是正五边形ﻫ解:∵△ABC就是等腰三角形,顶角∠Ａ＝36°,ﻫ∴∠AＢＣ=72°,∠AＣB＝72°,又弦BＤ、CE分别平分∠AＢC、∠ACBﻫ∴∠ABＤ=∠DBC=∠AＣE＝∠BCＥ=∠BAＣ＝３6°∴五边形ＡEBＣD就是正五边形.ﻫﻫ类型二、正多边形的有关计算ﻫ3、 (1)(20１１广东中山)正八边形的每个内角为( )Ａ、12０°B、135° C.1４0° D.144°思路点拨:正八边形的每个内角为,故选B、ﻫ答案:B(2)已知正六边形AＢCDEF,如图所示,其外接圆的半径就是a,•求正六边形的周长与面积、思路点拨:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件就是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OＭ⊥AB于M,在Ｒt△AOM 中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积就是由六块正三角形面积组成的.ﻫ解:如图所示,由于AＢCDEF就是正六边形,所以它的中心角等于,ﻫ△ＯBＣ就是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.ﻫ因此,所求的正六边形的周长为6a在Rｔ△ＯＡＭ中,OA=ａ,ＡM=ＡB=利用勾股定理,可得边心距∴所求正六边形的面积=6××AB×OM＝、ﻫ举一反三:【变式1】已知,如图,正八边形ABCDEFGH内接于半径为Ｒ的⊙Ｏ,求这个八边形的面积、解:如图,分别连结OA,OＣ及ＡC由正八边形的对称性,则AC⊥OB,∠AOＣ=90°ﻫﻫﻫﻫﻫ探究思考:ﻫ这个八边形的边长a＝?提示:如图所示,当ＯA=R时,ﻫﻫ、ﻫ类型三、考查弧长与扇形的计算4、 (１)(201１广东广州)如图４,ＡB切⊙O于点B,OA=,AＢ＝3,弦BC∥OA,则劣弧的弧长为( )、A、 B. C.π D、图4思路点拨:连结OＢ、OC,则,OB＝,,,由弦ＢC∥OA得A、答案:Aﻫﻫ (2)制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm)ﻫﻫ思路点拨:要求的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.ﻫ解:R＝4０ｍm,ｎ=110∴的长==≈７6、８(mｍ)因此,管道的展直长度约为76、8mm、5.如图,已知扇形AOB的半径为１0,∠AOB=６0°,求的长(•结果精确到0.１)与扇形ＡＯB的面积(结果精确到0、1).ﻫ思路点拨:要求弧长与扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足、ﻫ解:的长＝S扇形=因此,的长为１0、５,扇形AOB的面积为5２、4、ﻫﻫ举一反三:ﻫ【变式１】如图,为的直径,于点,交于点,于点.(1)请写出三条与有关的正确结论;ﻫ (2)当,时,求圆中阴影部分的面积、ﻫ解:(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:①; ②; ③;ﻫ④; ⑤就是直角三角形; ⑥就是等腰三角形.ﻫ(2)连结,则.,,.ﻫ为的直径,、在中,,,、,.ﻫ,就是的中位线、.、ﻫ..ﻫ类型四、圆锥面积的计算ﻫ6、(1)(２011山东泰安)一圆锥的侧面展开图就是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积就是( )ﻫＡ.5π B、4π C.3πＤ、2πﻫ思路点拨:圆锥的侧面展开图的弧长为2π,圆锥的侧面面积为2π,底面半径为1,圆锥的底面面积为π,则该圆锥的全面积就是2π+π=3π、故选C.答案:Cﻫ (2)圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为58cm,高为２0cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到０、１cm2)思路点拨:要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸,只要计算纸帽的侧面积.解:设纸帽的底面半径为ｒcｍ,母线长为,则(cm)ﻫ22、0３(cm)ﻫＳ纸帽侧=×５８×2２、0３=63８、８7(cｍ)ﻫ638、87×2０=1２777.4(ｃm２)ﻫ所以,至少需要1２777、4cm2的纸.举一反三:【变式1】如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径就是,母线长、计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角、思路点拨:烟囱帽的展开图就是扇形,这个扇形的半径就是圆锥的母线长,弧长就是圆锥底面的周长、ﻫ解:设扇形的半径为,弧长为,圆心角为,则,、ﻫ∵ﻫ∴ﻫ∴答:烟囱帽侧面展开图的圆心角就是,面积就是、ﻫ【变式２】如图,已知Ｒt△ABＣ的斜边AB＝13cm,一条直角边AC=5ｃm,以直线AＢ为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积、ﻫ思路点拨:首先应了解这个几何体的形状就是上下两个圆锥,共用一个底面,表面积即为两个圆锥的侧面积之与.根据可知,用第二个公式比较好求,但就是得求出底面圆的半径、ﻫ解:在Ｒt△ABC中,AＢ=１3cm,AＣ=5cm,∴BC＝1２cm.∵OＣ·AB＝BＣ·AC(由三角形面积得),ﻫ∴、ﻫ∴所以,这个几何体的表面积为、。