大学物理上,质点运动学1-4 运动学的两类问题

x
t
t
dx
x0
vdt
0
0 (v0 a0t)dt
x

x0

v0t

1 2
a0t
2
5
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
（3） a dv dv dx v dv （变量变换） dt dx dt dx
a0dx vdv
（分离变量）
x
v
x0 a0dx
vdv
v0
（3） 质点停止时 υ 0 ekt 0, 则t
由 v v0ekt
x

xm

v0 k
9
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：质点沿 x 轴正向作直线运动，加速度a = - kx (k为正常数)。t = 0时，x = 0, v = v0 ，求：在什么位
置质点停止运动?
在 t = 0 时刻，x = x0， v = v0，试求：
（1）速度与时间的关系；（2）位置与时间的关系； （3）速度与位置的关系。
解：（1） a dv , dt
v
t
t
dv
v0
adt
0
0 a0dt
v v0 a0t, v v0 a0t
（2） v dx , dt
vv0 dv
t adt
t0
dr vdt ,
rr0dr
t vdt
t0
3
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：用矢量表示二维运动，设：r

t
2
i

(t
3

6)
j
(
SI
)
求：质点在头两秒的位移和平均加速度。
解：
r02

r2
r0
4i 2 j (6) j
解： a dv dv dx v dv （变量变换 ） dt dx dt dx
v
x
分离变量，积分： vdv kxdx
v0
0
可得：
1 2
(
v2

v02
)


1 2
kx2
v2 v02 kx2
v v02 kx2
质点停止运动时 v 0, x v0 , x v0 (舍去)
k
k
10
解： 质点作非匀加速的运动。
a dv dt dv 2tdt
v
t
积分： dv 2tdt
0
0
v t2
即有： dx t 2

x
dx
t t 2dt
dt
1
0
可得： x 1 1 t 3
3
7
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：设某质点沿 x 轴运动，在 t = 0 时x = 0， v = v0， 其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数

4i 8 j(m)
v
dr

2ti
3t 2 j (m
/Baidu Nhomakorabea
s)
dt



Δv02 v2 v0 4i 12 j(m / s)
a
Δv02

2i
6 j(m /
s2)
Δt
4
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：一质点作直线运动，其加速度为一常量 a0 ，已知
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
1.4 运动学的两类问题
1
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 。
r(t) 求导 vv(t) 求导 a(t)
速度的方向保持不变，但 大小随时间增大而减小， 直到速度等于零为止。
8
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
（2） v v0e kt
v dx dt
dx dt

v0e kt
dx v0ektdt
x dx
0
t 0
v0e
kt
dt
x v0 ekt t v0 1 ekt k 0k
为k ( k > 0 )，试求：（1）质点速度随时间变化的关系
式；（2）运动方程 ，（3）质点最终停止的位置?
解：（1）由题意及加速度 的定义式，可知：
a kv dv
dt
分离变量： dv kdt
v
v
积分：
dv

t
kdt
v0 v
0
v 得 ln kt
v0
所以 v v0ekt
积分
积分
2
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
一 已知质点的运动方程，可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度；
r rt
v dr dt
a
dv dt
d 2r dt 2
二 已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置, 可求质点速度及其运动方程 。
dv adt ,
a0 (
x

x0
)

1 2
(v 2

v02
)
v v0 a0t
x

x0

v0t

1 2
at
2
（两边同时积分）
v 2 v02 2a0 ( x x0 )
注意：这都是匀加速 直线运动公式，它们 不具有一般意义！
6
1.4 运动学的两类问题
第1章 质点运动学
例：质点沿 x 轴作直线运动，加速度 a = 2t 。t = 0时，x = 1m，v = 0，求：任意时刻质点的速度和位置。