东三省三模理科数学答案

2013年哈师大附中第三次模拟考试理科数学答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

ADBBC CABCA CB

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.1 14.1 15.

43

16. 4

三.解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >，

又 213,3,a a a 成等差数列∴2316a a a +=2' ∴260q q +-=，∴2q =（3q =-舍去）4' ∴1112n n n a a q --==6' （Ⅱ）12n n b n -=⋅

1

2

1

1222322

n n S n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ①

2321222322n

n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ②8'

由①-②得2

3

1

12222

2n n

n S n --=+++++-⋅ 10'

∴(1)21n

n S n =-⋅+12'

18. 解：（Ⅰ）

（Ⅱ）2K 的观测值424

.24991

1210069

317030)

2524456(1002

≈=

⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=

k

072

.2424.2> ，∴该论断犯错误的概率不能超过15

.0 12'

19. 法一：

（Ⅰ）证明：取A B 中点

M ，连结C M ,

.A C B C C M A B =

∴⊥ 又1C M BB ⊥ ,1AB BB B = C M ∴⊥面11

A AB

B ,

以,,MA MO MC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

设1AC BC C C a ===,

(0,0,0)

M (

,0,0)2

A a ，(

,0,0)2

B a

-

，(0,0,

)2

C a

(0,,0)2a

O ，1(0,)2C a (0,,)22

a C O ∴=- ，

(,0,0,)A B =

1,(,,

)22

AC a a a =-

，

0000CO AB =++= ,2210022

a a

CO AC =+-= ，,CO AB ∴⊥11,,C O AC AB AC

A ⊥= 又

1,AB AC ⊂平面1ABC ,

C O ∴⊥平面1ABC

6'

（Ⅱ）解：由已知CO 为平面1ABC 的一个法向量，(,

0,)2

2

C B a a =-

-

2

1cos ,3

2

a

C B C O C B C O C B C O

〈〉==

=

，∴直线B C 与平面1ABC 所成角的正弦值为

3

12'

法二：（Ⅰ）证明：取A B 中点M ，连结C M ，O M ,

.A C B C C M A B =∴⊥ ,

又1//,,,,O M BB O M AB O M C M M O M C M ∴⊥=⊂ 平面O C M ,

AB ∴⊥平面O C M ,A B C O ∴⊥,

连结1C A ,1,,BC AC BC C C BC ⊥⊥∴⊥ 平面11A AC C , 且1AC ⊂平面11A AC C ,1,BC AC ∴⊥

又11A C AC ⊥ ,且1A C BC C = ,1,A C BC ⊂平面1A BC ,

1AC ∴⊥平面1A BC ,C O ⊂平面1A BC ,

11,CO AC AB AC A ∴⊥= ,又 1,AB AC ⊂平面1ABC ,C O ∴⊥平面1ABC 6'

（Ⅱ）解：连结1M C 交C O 于N ，连结B N ,

C O ⊥ 面1ABC ，C B N ∴∠为B C 与平面1ABC 所成的角， 令1AC BC C C a ===，

在1Rt C CM

中，11,,,2

2

C C a C M a M C ==

∴=

1C N M C ⊥ 11,C N M C C M C C ∴⋅=

⋅3

2a C N a ⋅∴==，

C B a = ,R t C B N ∴

中，3sin 3

a

C N C B N C B

a

∠=

=

=

，

∴直线B C 与平面1ABC

3

12'

20. （Ⅰ）解： 法一：椭圆方程

2

2

12

x

y +=，取椭圆的右焦点2F ，连结2B F ，1(1,0)F -2(1,0)F

11PF ∴=，23PF =121

33

PF AP BP AP PF BP =∴==

12//AF BF ∴且

12

13

AF BF =

11213AF BF BF BF ∴+=+=4'

法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 2133BP AP y y =∴=

，显然直线A B 斜率存在，设直线A B 方程为

(2)y k x =+

由22

(2)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩得：222(12)420k y ky k +-+= 0∆>，1212

4412k y y y k

+==

+，22

1212

2312k

y y y k

==

+，

2

14

k ∴=

，符合0∆>，由对称性不妨设12

k =，解得41

(,)33

A -

，(0,1)

B 113AF BF ∴+=4' （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线A B 方程为(2)y k x =+

由2

2

(2)22

y k x x y =+⎧⎨

+=⎩得：222

(12)420k y ky k +-+=6'

0∆>得2

102

k ≤<

，122

412k y y k

+=

+，2122

212k

y y k

=

+，

若11x =-，则直线P A

的方程为2)2

y x =±

+

，将2

k =±

代入得:0∆=,

不满足题意，11x ∴≠-同理21x ≠-7'

111tan 1

y AF N x ∠=

+，212tan 1

y BF N x ∠=

+，121112tan tan 1

1

y y AF N BF N x x ∠+∠=

+

++

211122

12(1)(1)x y y x y y x x +++=

++21

112212(2)(

2)(1)(1)

y y y y y y k

k x x -++-+=

++

22

2

121212122

242

()(12)

120(1)(1)

(1)(1)

k

k y y y y k k k

k

x x x x ⋅

-

-+++==

=++++10'

11

tan AF N BF N ∠=-∠11AF M BF N ∴∠=∠12'

解：（Ⅰ）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2f x ax x

'=-

∵()f x 在2x =处取得极小值，∴(2)0f '=，即18

a =

此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18

a =

．4'

（Ⅱ）∵1()2f x ax x

'=-，

①当0a ≤时，()0f x '<，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，

∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾．6' ②当0a >时，2

21

()ax f x x -'=

令()0f x '>，得x >；()0f x '<，得0x <<