人口模型(马尔萨斯__vs__logistic)
毕设之人口增长模型讲解(可编辑修改word版)
毕业设计——第一章绪论1.研究背景2.国内外研究现状3.人口概念介绍人口增长模型及其应用孙建锋第二章人口增长模型的概述1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）2.Logistic 模型（人口阻滞增长模型）3.年龄移算法模型4.L eslie 人口增长模型5.灰色 GM（1，1）预测模型6.人口发展方程7.各模型的优缺点对比第三章基本人口预测1.出生人数的预测2.死亡人数的预测3.分年龄分性别人口数预测4.人口总数预测第四章人口实例预测1.数据准备2.模型应用与求解3.结果分析4.结论及相关建议第一章绪论1.1研究背景人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。
以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。
人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。
发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。
众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。
中国在世纪之交的2000 年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。
为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。
人口问题
N
m
4
r
N0
o
dN ( t ) dt
Nm 2
N
N N
m
o
r (1
)N
tm 人口增长 最快点
t
•结论： 在人 口总数达到极限值Nm的一半以前是加速生长期，
过了这一点以后，生长率逐渐减小，并且趋于零。
•更复杂的人口模型
• ---Logisitic模型
N dN ( t ) rN (1 ( ) ) Nm dt N (t ) N 0 0
rdt
•求解
dN N
dN N
r dt
r t
ln N ( t ) rt C 1 t t0 , N (t0 ) N 0
N (t ) C e
C e
r t0
C1
C N 0e
N (t ) N 0 e
r (t t0 )
•分析 数据表明，在1700—1961年 期间，世界人口吻合较好。 在此期间，人口约35年增长 一倍。 按模型计算，取 r 0 . 02 ,
微分方程模型
2012-8-21
主讲人
张兰
人口模型的研究始于1798年马尔萨斯（Malthus）《人口 论》的出版，书中提出了著名的影响深远的Malthus人口模型， 1838年P.F.Verhust对malthus模型进行了修正，得到了 logistic模型．影响人口增长的因素很多：人口基数，出生率 与死亡率的高低，人口男女比例，人口年龄组成，工农业生产 水平的高底，营养条件，医疗水平，人口素质，环境污染．还 涉及到各民族的风俗习惯，传统观念，自然灾害，战争，人口 迁移等，对人口增减有很大影响．
Malthus模型和Logistic模型
Malthus 模型和Logistic 模型随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。
1798年．英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus 人口模型：人口总数为)(t p ,人口的出生率为b ，死亡率为d 。
任取时段【t ,t +dt 】，在此时段中的出生人数为b )(t p dt ，死亡人数为d )(t p dt 。
假设出生数及死亡数与)(t p 及dt 均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。
在时段【t ,t +dt 】中，人口增加量为)(dt t p +-)(t p ≈d )(t p ，它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即d )(t p =b )(t p dt －d )(t p dt =a )(t p dt ,其中a =b －d 称为人口的净增长率。
于是)(t p 满足微分方程dtt dp )(=a )(t p . (1) 若已知初始时刻t =t 0时的人口总数为p 0，那么)(t p 还满足初始条件t =t 0时，)(t p =p 0. (2)可以求得微分方程(1)满足初始条件(2)的解为（设a 是常数）)(t p =p 0e )0(t t a -, (3)即人口总数按指数增长。
模型参数的意义和作用：t 0为初始时刻（初始年度），p 0为初始年度t 0的人口总数，a 为每年的人口净增长率，b 为人口出生率，d为人口死亡率。
Malthus人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。
现在讨论模型的应用和正确性。
例如，根据统计数据知在1961年全世界人口为30.6亿，1951年-1961年十年每年人口净增长率约为0.02。
培训资料--微分方程模型人口模型等
x0
x0 0
t
人口发展方程
• 年龄分布对于人口预测的重要性 • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移
F(r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N(t) ~ 人口总数 r ( ) ~ 最高年龄
m
F(0,t) 0, F(r ,t) N(t) m p(r, t) F r
人口发展方程
f
(t
)
(t
)r2 r1
h(r,
t
)k
(r,
t
)
p(r,
t
)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p 0
(r
r
t)e (s)ds r t r
,
0
t
r
f (t r)e0(s)ds , t r
p0 (r)
• 正反馈系统
(r,t) p(r,t)dt, dt dr1
p p (r,t) p(r,t) 一阶偏微分方程
r t
p
r
p t
(r, t )
p(r, t )
人口发展方程
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t)
f
(t ),
t0
~生育率（控制人口手段）
p0 (0) f (0) --------相容性条件
b(r,
t)k
(r,
t)
p(r,
t)dr
b(r,t) (t)h(r,t)
0
r2 r1
h(r , t )dr
1
h~生育模式
(t)
马尔萨斯模型公式马尔萨斯模型
马尔萨斯模型公式马尔萨斯模型马尔萨斯模型人类社会进入21世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也空前的规模增长。
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中成富强民主文明的社会主义国家的想需要，而且对全人类社会的美好理想来说，也是义不容辞的责任。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口38.6 50.2 62.9 76 92 10.6.5 123.2 131.7 年1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 表1 美国人口统计数据1）马尔萨斯模型最简单的人口模型是人所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则xk x0(1 r)k （1）显然，这个公式的基本条件是年利率r保持不变。
模型建立记时刻t的人口为x t，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x t是一个较大的整数。
为了利用积分这一数学工具，将x t视为连续、可微函数。
记初始时刻（t=0）的人口为x0。
假设人口增长率为常数r，即单位时间内x t的增量等于x t乘以r。
考虑到t到t t时间内的增量，显然有x t t x t rx t t令 t 0，得到x t满足微分方程dx rx，x 0 x0 （2）dt由这个方程容易解出x t x0ert （3）R>0时（3）式表示人口将按指数规律时间无限增长，称为指数增长模型。
参数估计（3）的参数r和x0可以用表1的数据估计。
为了用简单的线性最小二乘法，将（3）事取对数，可得y rt a，y lnx，a lnx0 （4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得r=0.2743/10年，x0=4.1884。
最新马尔萨斯人口增长
马尔萨斯人口增长2015年数学建模论文第二套题目：人口增长模型的确定专业、姓名：自动化强晓鹏提交日期： 2015.7.3题目：人口增长模型的确定摘要人口预测是制定正确的人口政策的科学依据。
预测人口增长的数学模型通常采用 3 种函数 ,即指数函数、Logistic函数和双曲。
3种模型的数学根源都在于二阶 Bernoulli 式微分方程。
文章用matlab等软件对美国1790-1980年的人口数据情况进行研究和处理，得到其人口增长所符合的不同模型结果，并探讨是否预测合理。
同时，根据走势预测了之后几十年的人口总数。
为控制人口发展提供了可靠依据。
关键词：美国人口模型 matlab 马尔萨斯模型 logistic模型一、问题重述：图表中给出的是1790-1980年间美国每隔10年的人口记录情况，从表中可以看出美国人口基本呈增长趋势。
由此，1.将表中的数据进行处理建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型。
2.进行分析预测接下来每隔十年的五次人口数量。
3.查阅实际数据与预测的数据进行对比。
4.马尔萨斯指数增长模型是否合理，尝试采用其他模型进行分析。
二、问题分析：首先，我们用matlab软件进行编程（见附录1），绘制出1790-1980年美国人口数据图，如图1。
图1. 1790-1890年美国人口增长数据图从图1可以看出1790年到1980年的人口是呈增长的趋势的，而且类似指数增长。
马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比，其数学模型为=（1）其中r为常数。
则方程组（1）的的解为（2）由此可看出，马尔萨斯生物总数增长定律指出任何生物都是随时间按指数方式增长的。
在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。
人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。
根据马尔萨斯模型进行分析预测，如果预测值与实际值有差别，那么可以改进该模型或者使用其他模型（Logistic）。
malthus人口模型
常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,并设0t t =时刻的人口为0N ,于是⎪⎩⎪⎨⎧==．，00)(d d N t N rN t N这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为)(00e )(t t r N t N -=,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是)1961(02.09e1006.3)(-⨯=t t N .这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫⎝⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为00d 1d ()m N N r N t N N t N ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，， 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,)(00e 11)(t t r m mN N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t N d d 单减,即人口增长率tNd d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.二、市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率tpd d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是()()[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，0)0(,d d p p p g r p f tpα 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t pαα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为ca db c a d b p t p t c a +-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-)(0e)(α.下面对所得结果进行讨论:（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足0)(),(=-p g r p f ,即d p c b p a +=+-,于是得ca db p +-=,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得p t p t =+∞→)(lim这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格p 上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于t c a c a p p tp)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,0d d <t p ,)(t p 单调下降向p 靠拢；当p p <0时, 0d d >tp ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0⨯,t 时刻容器内溶液的质量浓度为tt x )23(100)(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为t tt x d 2)23(100)(-+,这样即可列出方程t txt x d 1002d 03.0d +-=,即txt x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为d 20.03d 100(0)10x x t tx ⎧+=⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为24)100(109)100(01.0)(t t t x +⨯++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为34)100(10901.0100)()(t t t x t p +⨯+=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即t V C t V C x d d d 2211-=,其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，tV V V xC )(2102-+=于是,有混合溶液的数学模型11220d d (0)xC V C V tx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.四、振动模型振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为txhd d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得)(d d d d 22x f kx t xh tx m +--= , ①这就是该物体的强迫振动方程.由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为0d d 22=+kx txm ,令2ω=mk,方程变为 0d d 222=+x tx ω,特征方程为 022=+ωλ, 特征根为ωλi 2,1±=,通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,或将其写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22212222112221图4()t t A ωϕωϕcos sin sin cos +=，)sin(ϕω+=t A 其中 2221C C A +=,22212sin CC C +=ϕ,22211cos CC C +=ϕ.这就是说,无阻尼自由振动的振幅2221C C A +=,频率mk=ω均为常数. 2.有阻尼自由振动在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为0d d d d 22=++kx t xh tx m ,令2ω=m k ,δ2=mh,方程变为 0d d 2d d 222=++x t xtx ωδ, 特征方程为0222=++ωδλλ,特征根 222,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分为如下三种情形：(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为ttC C x )(2)(12222eeωδδωδδ-+--+-+=(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为tt C C x δ-+=e)(21这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.图5 图6(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为)sin C sinC (e 222221t t x t δωδωδ-+-=-将其简化为)sin(e 22ϕδωδ+-=-t A x t其中,cos ,sin ,22211222122221C C C C C C C C A ++=+=ϕϕ振幅A tδ-e 随时间t 的增加而减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.3.无阻尼强迫振动在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为pt m kx t xm sin d d 22=+,pt x tx sin d d 222=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：（1）当ω≠p 时,其通解为 图7t C t C pt px ωωωcos sin sin 12122++-=, 此时,特解的振幅221p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的现象；（2）当ω=p 时,其通解为t C t C pt t px ωωcos sin cos 2121++-=, 此时,特解的振幅t p21随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.4.阻尼强迫振动在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设ωδ<,方程①变为pt x t xtx sin d d 2d d 222=++ωδ ,特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为pt B pt A x cos sin *+=,其中22222224)(p p p A δωω+--=,222224)(2pp pB δωδ+--=, 还可将其化为*22222221[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p pδδ=---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,pt px cos 21*δ-=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.。
数学建模人口模型论文
论文题目：中国人口模型与预测姓名：陈贵华学号：设施农业专业：二班姓名：刘艳阳学号：********专业：数学与应用数学金融班姓名：王方杰学号：********专业：数学与应用数学金融班注：团体合作，无明确分工！！中国人口模型与预测目录一.摘要 (2)二.问题重述................................................................ 错误!未定义书签。
三.问题的分析 (5)四.建模过程................................................................ 错误!未定义书签。
（一）Malthus模型................................................ 错误!未定义书签。
1.模型假设 ..................................................... 错误!未定义书签。
2.定义符号说明 ............................................. 错误!未定义书签。
3.模型建立 ..................................................... 错误!未定义书签。
4.模型求解 ..................................................... 错误!未定义书签。
（二）Logistic模型.............................................. 错误!未定义书签。
1.基本假设 ..................................................... 错误!未定义书签。
2.定义符号说明 ............................................. 错误!未定义书签。
人口模型马尔萨斯vslogistic
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求
近似解 不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变 化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成 称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计 因（rm得马(模ax就种规 。近x据r)到 尔型为 模 程 实 是)最(是x群xx律似实或)的 萨拟了 型 师 采际)简x引数是，地际生就 斯合得 ， 原 用问单或进量未得将物背是 模方题出 我 则 尽的一，总知到x景马 型法dm的一 们 。 可d形次数（函x了看t，尔 的来个 不 工 能数式增项4数实成它萨 最.求有 妨 程 简学（是6长r（，验常无）(斯 简14的实 采 师 单模常。竞.但结数法指6模 单统际 用 们 的型数）争x根果）用出x型 的计m时意 一 在 方，项的)，，筹。 改x，义 下 建 法此）支x种算对 进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，
人口模型
p p ( r , t ) p( r , t ) r t
p p 人口发展方程 r t ( r , t ) p ( r , t ) p ( r ,0) p0 ( r ), r 0 ~已知函数（人口调查） p (0, t ) f (t ), t 0 ~生育率（控制人口手段）
a a x 时， x' ' (t ) 0 ， x(t ) 为凸。 2b b
令上述第二个方程的右边为 0，得 x1 0 ， x 2 b ，称它们是微分方程（(5.15)
x(t ) ，故又称 衡解。易知 tlim b b a
dx BDI E dt x(t 0 ) x0
以下介绍的两个人口模型都是根据这个原理建立的.
(5.11)
微分方程模型实例1——人口模型
马尔萨斯(Malthus)模型
考虑一个国家或地区的人口总数随时间变化的情况，记x(t) 为t时刻该国家或地区的人口总数，对一个国家而言，迁 入和迁出人数相对很小，故略去迁移对人口变化的影响， 即人口变化仅与出生率和死亡率有关。
短期预报比较准确 不适合中长期预报
没有考虑环境对人口增长的制约作用。
微分方程模型实例1——人口模型
洛杰斯蒂克(Logistic)模型 提出背景
人们发现在人口比较稀少，资源较丰富的条件下，人口
增长较快，可以在短期内维持常数增长率；但当人口数量
发展到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺，交通 拥挤等，这又导致人口增长率的减少，这种现象在某些动 物种群的实验中也观察到。 在1837年，荷兰生物数学家Verhulst引入常数K，表示人 类生存空间及可利用资源(食物、水、空气)等环境因素所能 容纳的最大人口数量(也称为饱和系数或环境容纳量)。
人口模型
人口数已突破了20世纪初所设的极限人口。由 此可见该模型的缺点之一是 不易确定。事 实上，随着一个国家经济的腾飞，他所拥有的 食物就越丰富。 的值也就越大；
5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数。某 生物学家估计，r=0.029，又当人口总数为
时，人口每年以2%的速率增长。
由逻辑模型得
即
从而得 即世界人口总数极限值近100亿。
（5）式给出了在任意时间的年龄分布，但是它并不能直接 反映增长过程动态的情况。
为此我们需要考虑莱斯利矩阵L的特征值和特征向量，L 的特征根是它的特征多项式的根，这个特征多项式为
p() | E L | n a1 n1 a2b1 n2 a3b1b2 n3 ... anb1b2...bn1,
女孩的平均数。 bi (i 1, 2,L , n 1) 表示第i年龄组的女性可望活到第（i+1）年
龄组的人数所占的比例。
显然 ai 0(i 1, 2,L , n), 0 bi 1(i 1, 2,L , n 1). 不允许任何 bi 等于0，否则就没有一个女性会活到超过第i年龄组
一、马尔萨斯(Malthus)模型
美国人口统计学家马尔萨斯在担任牧 师期间，察看了教堂100多年人口生统计 资料，发现人口出生率是一个常数，于 1798年在‹‹人口原理››一书中提出了闻名于 世的马尔萨斯人口模型。他的基本假设是 ：在人口自然生长过程中，净相对增长率 （出生率与死亡率之差）是常数，即单位 时间内人口的增长量与人口成正比，比例 系数设为r。在此假设下，推导并求解人 口随时间变化的人口模型。
2015年3月3日，现任全国人大教科文卫委员会委 员，国家卫计委科学技术研究所所长马旭表示， 全面放开二胎预计在今年不会搞区域性试点，单 独二孩政策效果还要再观察一段时间。
数学应用典型案例模型1马尔萨斯人口增长(指数增长)模型
xt x0ert (1-4)
这个解表明人口将按指数规律增长，这就是世界著名的 Malthus 人口模型。 1.6 模型分析
上述数学模型是在所给出的模型假设条件下得到的。如果人口的发展确实是 按照这个假设条件在发展，那么这个模型应该是对的。用 19 世纪以前欧洲一些 地区人口统计数据检验这个模型，得到令人满意的结果。但是，人口的发展真的 是按照这样的规律发展吗？在 Malthus 以前的 100 年里，人口发展基本上是按照 这个规律发展的。那么，以后人口的发展是否还将按照这个规律发展？从这个模 型本身用纯粹的数学方法就可分析出结论。
图 3-1
我们用 x（t）表示在时间 t 时野兔的数量，y（t）表示在时间 t 时狐狸的 数量。
根据上述分析，野兔（被捕食）的增长速率 dx 一方面与自身数量 x 成正比； dt
另一方面，由于狐狸（捕食）的存在又制约了野兔的增长速率，故模型又假设野 兔的增长速率是一个与狐狸数量成正比的量的减函数。因此，被捕食方程（野兔
模型 3 捕食——被捕食模型 所用知识：微分方程组 内容介绍：
设在一个海岛上考察狐狸----野兔生态系统。狐狸吃野兔，野兔吃草（假设 草总是充足的）。野兔（被捕食）的数量取决于两个方面：自身数量与狐狸（捕 食）的数量。狐狸的数量也取决于两个方面：自身数量与野兔的数量。每个群体 的改变必然引起另一群体的改变。例如，野兔数量增加，狐狸容易捕食，狐狸的 数量也随着增加；狐狸数量的增加，吃掉许多野兔，引起野兔的数量减少，狐狸 进入饥饿状态，狐狸的数量又减少，但这又引起野兔的数量增加；从而出现反复 循环。下图所画曲线表示狐狸----野兔生态系统岁时间而变化的情况。
天津工业大学数学建模教学团队编写
数学应用典型案例
模型 1 马尔萨斯人口增长（指数增长）模型 所用知识：常微分方程 内容介绍：
马尔萨斯人口模型
第二，济贫法的作用适得其反。
马尔萨斯认为，贫民是贫困的原因，摆脱贫苦的唯一方法是让大自然发挥“抑制” 的作用，强制地实现人口与事物的平衡。
1834年，英国政府根据马尔萨斯的思想撤销了1601年以来的旧济贫法，并制定了一项新济贫法，新济贫法规定：取消一切对穷人的金钱和实物救济，让贫民到习艺所进行沉重的劳动。
四．马尔萨斯人口增长模型（数学模型）马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N(t)的变化率与生物总数成正比，其数学模型为马尔萨斯人口方程（数学模型）其中r为常数. 方程（1）的解为因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。
人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。
英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。
根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。
事实上，2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。
五．所得出的结论马尔萨斯根据上述基本观点引申出几点结论：①贫困和罪恶是人口规律作用的结果，而不是社会经济和政治制度造成的。
②只有私有制才能消除人口的过快增长。
③工人的工资受人口规律的支配，工资水平随人口的增减而变动。
④济贫法促使人口增长。
以上结论充分体现了马尔萨斯人口论为资本主义制度辩护的本质。
该理论以土地报酬递减规律为基础，认为由于土地报酬递减规律的作用，食物生产只能以算术级数增长，赶不上以几何级数增长的人口需要，并认为这是“永恒的人口自然规律”。
过去发生的事情将来还可能发生；人口的增长会受到贫困或其他困苦因素的遏制，除非我们以资源节制的方式，并且要过道德清白的生活，力戒早婚。
人口指数增长模型
次多项式，然后用画图函数
plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算
结果之间的图形，看结果如何。
利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下：
t=linspace(0,11,12);
x=
[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口 38.6 502. 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 年 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
三、实验环境
MATLAB6.5
四、实验步骤
为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将
x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得
lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,
所以可得y= rt+a。
根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一
人类文明发展到今天,人们越来越意识到地球资源的有限性,我们感受 到"地球在变小",人口与资源之间的矛盾日渐突出,人口问题已成为当前 世界上被最普遍关注的问题之一,当然人口增长规律的发现以及人口增 长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义.本 节介绍几个经典的人口模型. 3.3.1模型I:人口指数增长模型(马尔萨斯Malthus,1766--1834) 1) 模型假设 时刻t人口增长的速率,即单位时间人口的增长量,与当时人口数成正比, 即人口增长率为常数r. 以P(t)表示时刻t某地区(或国家)的人口数,设人口数P(t)足够大,可以 视做连续函数处理,且P(t)关于t连续可微. 2) 模型建立及求解 据模型假设,在t到时间内人口数的增长量为 , 两端除以,得到 , 即,单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比. 令,就可以写出下面的微分方程: , 如果设时刻的人口数为,则满足初值问题: (1) 下面进行求解,重新整理模型方程(1)的第一个表达式,可得 , 两端积分,并结合初值条件得 . 显然,当时,此时人口数随时间指数地增长,故模型称为指数增长模型(或 Malthus模型).如下图3-2所示. 3) 模型检验 19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合.19世纪以后 的许多国家,模型遇到了很大的挑战. 注意到,而我们的地球是有限的,故指数增长模型(Malthus模型)对未来
人口模型(马尔萨斯vslogistic)PDF (1)
。型 模 的 应 相 立 建 行 然自大的丽美 究 研 便 自征特的统系态生据根以可趣兴有若家 大 � 究 研来 合复 的 型 方 � 续 连。 为 化问 散 离 模单简些一过通以可析分的统系态 生 般 一 题 的 面方这下 一析分略简以�型模长增群种单的单简个几立建将节本 。长增的身自类人制控须必至甚�衡平态生制控 并持保须必类人�用利与发开理合的料资然自持保了为
: 景背 史 历 定鉴的品赝
5例
。决解上本基 们家学科的学大 �nolleM-eigenraC�伦梅·基内卡被才�年7691到直�年02了拖直一题问一这 。品造伪个一是确的”徒门的斯牟埃在“明证地定确、地学科全完求要们他 �意满到感者疑怀使能不释解种这。 了心用太不就时品制伪的来后制炮在他 �后以掉卖易容么多”徒门的斯牟埃在“幅这到看他当�且而。了退消气志的 他�后作杰的样这出造创当。家画流三于高他明证来�”徒门的斯牟埃在“ 制绘心决下他�恼懊分十而位地有没中界术艺在他因曾伦格梅·范于由�是答 回的者疑怀于对组小家专。下买会学特兰布伦被价高的元美万71以并�迹真 为定认家定鉴物文被经已画幅这前之此在�上实事。的造伪伦格梅·范是”徒 门的斯牟埃在“ 的名著信相肯不是还人多许�束结未并此到情事�而然
0
4 8 8 1. 4 �
0
x
� 3 2 3 4. 1 �
x nl �
3 2 3 4. 1 � t 3 4 7 2. 0 � y
3 2 3 4. 1 3 4 7 2. 0 � p
�示表 �果结出输 )1,y,t(tifylop=p
;]67 9.26 2.05 6.83 4.13 2.32 1.71 9.21 6.9 2.7 3.5 9.3[=x 据数入输%
。型模数指口 人为称又此因�长增限无律规数指按将口人明表�时0>r当 �2.4�
人口增长的Logistic模型分析及其应用
人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。
关键词：人口Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。
这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。
记t时刻的人口总数为x(t)。
初始时刻t=0时的人口为x0。
人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。
那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。
于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。
在r>0时，人口将按指数规律增长。
但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。
然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。
历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。
原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。
基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。
这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。
最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。
由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。
xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。
因此就有，这个模型就是Logistic 模型。
为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
表示： y 0.2743t 1.4323
ln x0 1.4323 x0 4.1884 x(t ) 4.1884e0.2743t
模型预测
假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将
以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，
（4.2）
x(t ) x0ert
（4.2）
当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 口指数模型。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时 间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：2 x0 x0erT 故 T ln 2
r
模型检验
x(t ) x0ert
（4.2）
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成 称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计 因（rm得马(模ax就种规 。近x据r)到 尔型为 模 程 实 是)最(是x群xx律似实或)的 萨拟了 型 师 采际)简x引数是，地际生就 斯合得 ， 原 用问单或进量未得将物背是 模方题出 我 则 尽的一，总知到x景马 型法dm的一 们 。 可d形次数（函x了看t，尔 的来个 不 工 能数式增项4数实成它萨 最.求有 妨 程 简学（是6长r（，验常无）(斯 简14的实 采 师 单模常。竞.但结数法指6模 单统际 用 们 的型数）争x根果）用出x型 的计m时意 一 在 方，项的)，，筹。 改x，义 下 建 法此）支x种算对 进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，
用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作 单位），对模型作检验。
r , x0
参数估计： r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计
（4.2）式两边取对数，得：
ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
几乎完全吻合，见图4.2。
图4-2
Malthus模型和Logistic模型的总结
Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4.4） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t) ，则有
dN N
dt
为物质的衰变常数。
初始条件
N t t0
N0
N (t)
N e (tt0 ) 0
t
t0
1
ln
N0 N
t
t0
1
ln
N0 N
半衰期 T 1 ln 2
碳-14 T 5568 年
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。
现象。
2
几何级数的增长
N/人
1.51Βιβλιοθήκη 0.50 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 计算并作图，观察并分析结果。
模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
从而有：
dx
dt
r(x)x
即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，
而到2670年，人M口a达lth3u6×s模10型15个实，际只上好只一有个在人群站体在总另一人的
肩上排成二层所净它了数生生物以增应。不物存等长当M故太群存原率与a马大 体 空 因lt不人23尔..h553时的间，x u1可口0萨1才各，就1s能数模斯合成有可始量型模理员限能终有假型，之的发保关设是到间自生持。的不总由然生马常人尔完数于资存萨数斯口善增有源竞模型，的人大限及争口预。时的食等测 ，
模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效
求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求
近似解 不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变 化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。
这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和 更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而 铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅 从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
假设：人口净增长率r是一常数
符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t 0时的人口
则 r x(t t) x(t) x(t )t
于是x（t）满足如下微分方程：
dx
dt
rx
x(0) x0
（4.1）
（3.1）的解为： x(t ) x0ert
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有
0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%
的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量
375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，x(0)=5的Logistic曲
线：
x(t)
375 1 74e2.309t
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学
家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有
过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历 经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹， 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据， 范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监 狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为 真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回 答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制 “在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他 的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后， 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意， 他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。 这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210 （放射性）
T 138天 T 22年
假设
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪 的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少 还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟
以1790－1900年的数据拟合（4.3）式，用 Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年，
Matlab计算示范 ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=[0：11]； %输入数据 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1)
x(t)
xm
1 ( xm 1)ert
x0
（4.7）
易见：
lim
t
x(t )
xm
x(t)的图形请看图4.1
图4-1
模型检验
练习二： （1）用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化
的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格 4-1；