二次根式-第5讲根式一竞赛班教师版

第五讲 根式(1)

教学内容：

讲述二次根式的性质与运算法则；

二次根式的比较大小、二次根式的化简、二次根式的条件求值；

一、基础知识

1．式子(0)a a ≥叫做二次根式，这里a 可以是数，也可以是代数式，但a 必须是非负数。(0)a a ≥的运算结果也是一个非负数。

2．根式的性质如下：

（1）2()(0)a a a =≥

（2）2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩

3．二次根式的一些运算法则如下：

（1）()(0)a c b c a b c

c +=+≥ （2）(0,0)ab a b a b =⋅≥≥

（3）(0,0)a a a b b b =≥>

（4）()(0)n n a a a =≥

（5）若0a b ≥≥，则a b ≥

（6）设a 、b 、c 、d 、n 是有理数，且n 不是完全平方数，则当且仅当a ＝c ，b ＝d 时，有a b n c d n +=+；

（7）形如x a b =+，y a b =-的两个根式称为共轭根式，如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化因式；

4．化简二次根式的常用方法有因式分解法、公式法、换元法、利用非负数的性质等。

二、例题讲解

例1 （第5届希望杯）已知223(22)0a b a b --++-=求

b a

的值；

例2 已知最简根式32x y x y +-与642y x y ++-是同次根式，且y 是偶数，求y 的值； 《奥数教程》初二年级，P64，例2

例3 计算下列各题《奥数教程》初二年级，P64，例2

（1）（第四届美国数学邀请赛）

(567)(567)(567)(567)M =+++--+-++

（2）153********N +++=

++

（3）111...21232231009999100P =

++++++

例4 已知1c >,1x c c =--，1y c c =+-，21z c c =+-+，比较x 、y 、z 的大小；

《奥数教程》初二年级，P65，例4

例5 （2003年希望杯培训）已知0a b >>，化简233()3()a b ab a b a b a b a b a b

-++--÷-+-

《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P65，例2

例6 当2a b <时，把22

442a a ab b a b a

-+-中根号外的因式移入根号内； 《奥数教程》初二年级，P64，例1

例7 （1998年北京市初二数学竞赛初赛）化简223231692a a a a a a a

-+-⨯+--+- 《华罗庚数学奥林匹克教材》初二P123，例4

例8 （2001年希望杯）根式311a b a b

---化简后的结果是（ ） A ．a b --- B ．a b --

C ．a b -+

D ．a b --+- 《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P65，例1

二次根式的化简求值

例9 已知512

x -=，求55x x -的值； 《全国奥林匹克初二竞赛教材》P69，例1

例10 设151

a =-，求3224a a a --的值； 《全国奥林匹克初二竞赛教材》P74，例1

例11 化简222214469S x x x x x x =-+--++++

《奥数教程》初二年级，P68，例6

例12 （2001年北京市中学生数学竞赛初二试题）若有理数x 、y 、z 满足：

112()2

x y z x y z +-+-=++，则3()x yz -的值是多少？ 《全国奥林匹克初二竞赛教材》P75，例4

例13 （1999年江苏初中数学竞赛题）已知3232

x +=-，3232y -=+，求代数式2

2()()xy x y xy x y ++-+的值。

《华罗庚数学奥林匹克教材》初二P124，例6

三、练习题

1．（2001希望杯培训）设10a =，71b =+，32c =+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c a b >>

D ．b a c >> 《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P67，例5

2．已知101100M =-，9998N =-，则M 和N 的大小关系是（ ）

A ．M N >

B ．M N <

C ．M N =

D ．M N ≤ 《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P67，例6

3．把二次根式1a a

-化为最简二次根式是（ ） A ．a -

B ．a -

C ．a --

D ．a 《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P69，2

4．已知x 是实数，则1x x x πππ--+-+

的值是（ ） A ．1

1π- B ．1

1π+ C ．1

1π- D ．无法确定

《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P69，3

5．（1997年希望杯培训题）如果最简二次根式4411a b a b ++和2641a b a b +++是同类二次根式，则a ＝______；b ＝______；

《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P66，例3

6．（14届希望杯初二）在实数范围内解方程12 5.28x x y ππ-+

-+-=，得x ＝______；y ＝_______；

《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P69， 3

7．已知2132

x -<<，则22(32)1445x x x x +--++可化简为________； 《希望杯数学竞赛培训教程》初二年级P79，二2

8．设23x =+，23y =-，求33

x y y x

-的值； 《全国奥林匹克初二竞赛教材》P78，7

9．（1999年黄冈初中数学竞赛）已知3131

a -=+,3131

b +=-，求334a b +-的值； 《华罗庚数学奥林匹克教材》初二P128，7