任意角的三角函数(第一课时)教案

1.2.1 任意角的三角函数（第1课时）
一、教材分析
本课时是在必修4“任意角和弧度制”和义务教育“锐角三角函数”的基础上学习任意角的三角函数。

三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，是继必修1指数函数、对数函数和幂函数之后另一个基本初等函数，而三角函数又是学习其他数学知识（三角变换、向量、解析几何等）的重要基础，三角函数的图象和性质在研究简谐运动、波等周期性变化现象中以及实际生活中，都有广泛应用。

三角函数概念是研究三角函数图象与性质的基础，为帮助学生奠定三角函数概念的良好基础，本课时以人教A版必修4 P11-P13及例1～例3为基本教学内容。

二、学情分析
学生基本具备了学习本课时的知识基础和思想方法基础：锐角三角函数、函数概念、任意角和弧度制等是本课时的知识基础，任意角和弧度制知识形成过程中数形结合的思想方法、指数函数知识形成过程中抽象概括的逻辑方法等是本课时的方法基础。

因此，只要有序地呈现学习材料组织学习活动，学生就能较好调动知识与方法储备，参与任意角的三角函数的“再发现”过程，建构对任意角的三角函数的理解。

三、教学分析
㈠教学目标
1．知识与技能：理解任意角的三角函数的概念，理解三角函数在各象限的符号，会求角α的各三角函数值，了解三角函数的定义域。

2．过程与方法：在概念形成与探究三角函数值符号的过程中，进一步体会抽象概括的逻辑方法和数形结合思想，提高逻辑推理能力。

3．情感态度与价值观：在新旧概念比较中，体会数学知识的发展；在探讨定义域与解决问题的过程中，培养理性精神和科学态度。

㈡重点与难点
重点：理解任意角三角函数的定义。

难点：用单位圆上点的坐标刻画三角函数。

㈢教法与学法
1．教法：引导发现法。

以APOS理论为指导，以问题为主线，让学生在问题解决过程中亲历任意角的三角函数的形成过程，理解任意角的三角函数。

1
图
2．学法指导：指导学生适时转化——新旧转化、数形转化等，让学生充分体验不同象限角对应的三角函数值，指导学生抽象概括将感性认识提升为理性认识。

㈣教具与学具
1．教具：直尺、圆规、PowerPoint 课件。

2．学具：直尺、圆规。

四、教学过程
㈠概念引入：初中学习了锐角三角函数，如图1，锐角α的正弦、余弦、正切分别是什么？
引导学生回顾锐角三角函数的概念、符号、表达式。

在OMP Rt ∆中，OP MP =αsin ，OP OM =αcos ，OM
MP
=αtan 。

㈡概念形成：如何在直角坐标系中用点的坐标表示角α的正弦、余弦与正切？
1．用角α终边上点的坐标表示αsin 、αcos 与αtan 1.1．将OMP Rt ∆（角α）放入适当的直角坐标系中。

如图2，以OMP Rt ∆的顶点O 为原点，OM 边所在的直线为
x 轴（点M 在x 轴正半轴上）建立平面直角坐标系。

1.2．用点P 的坐标表示αsin 、αcos 与αtan 。

在图2中，若点) , (b a P ，则a OM =，b MP =，22b a OP +=，从而r
b
=
αsin ，r a =
αcos ，a
b =αtan 。

2．用单位圆上的点P 的坐标表示αsin 、αcos 与αtan 2.1．单位圆的概念，如图3，在直角坐标系中， 以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。

2.2．由相似三角形的知识，对于确定的角α，r b =αsin ，r a =αcos ，a
b
=αtan 的
值不会随点) , (b a P 在角α的终边上的位置的改变而改变。

x
P α（R ∈α）
终边与单位圆的交点) , (y x P
唯一确定
唯一确定
y =αsin
唯一确定
正弦函数
角α及其终边
如图4，将点) , (b a P 取为角α的终边（即射线OP ） 与单位圆的交点，此时，122=+=b a OP ，b =αsin ，
a =αcos ，a
b =
αtan 。

㈢概念明晰：任意角的三角函数的定义。

这是教学的重点：从函数角度看待b =αsin ，a =αcos ，a
b
=αtan ，明确定义任意角的三角函数，揭示任意角的三角函数的本质。

1．在弧度制下，锐角三角函数的自变量、对应关系分别是什么？
在弧度制下，锐角α的弧度数等于单位圆中圆心角α所对的弧长，) , (b a P 为角α的终边与单位圆的交点，因此，在弧度制下，锐角α唯一地确定单位圆上的点) , (b a P ，点) , (b a P 唯一地确定实数a 与b ，从而唯一地确定b =αsin ，a =αcos ，a
b
=
αtan 。

所以，锐角三角函数是以实数α（角α的弧度数）为自变量，以角α终边与单位圆交点的坐标或坐标比值为函数值的函数。

2．将锐角三角函数推广到任意角的三角函数
如图5，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点) , (y x P ，则 ⑴y 叫做α的正弦（sine ），记作αsin ，即
y =αsin ；
⑵x 叫做α的余弦（cosine ），记作αcos ，即
x =αcos ；
⑶
x
y
叫做α的正切（tangent ），记作αtan ，即 x
y
=αtan （0≠x ）。

αsin ，αcos ，αtan 分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数。

由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看作自变量为实数的函数。

对应关系直观表示如下（讲解正弦函数的对应关系，其他由学生完成）：
(P α（R ∈α）
终边与单位圆的交点) , (y x P
唯一确定
唯一确定 x =αsin
唯一确定
余弦函数
角α及其终边
3．三角函数的定义域 当ππ
αk +=
2
（Z k ∈）时，角α的终边在y 轴上，点) , (y x P 的横坐标0=x ，
x
y
=
αtan 无意义，除此之外，对于确定的角α，αsin 、αcos 和α
tan 的值都是唯一确定的，所以，正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集R 、正切函数的定义域为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k R
, 2 , |ππααα。

㈣概念巩固：例题
3个例题，分别是直接应用代数式（定义）求三角函数值，解直角三角形求三角函数值，定义及其形成过程中思想方法结合运用求三角函数值。

例1由学生口答。

例1．如图6，已知角α的终边与单位圆的交点是1(22
P -， 求角α的正弦、余
弦和正切值。

解：根据三角函数定义得：sin 2α=，1cos 2
α=-，32123tan -=-=α。

O
x
y
•B
A
3
5π7
图O
x
y
8
图M 0
M )
4 , 3(0--P P
例2．求
53
π
的正弦、余弦和正切值。

解：如图7，在直角坐标系中，作3
5π
=
∠AOB ，易知， AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标为)2
3
, 21(-。

所以， 2335sin -=π，2135cos =π，33
5tan -=π。

例3．已知角α的终边经过点)4 , 3(0--P ，求角α的正弦、余弦和正切值。

解：由已知得5)4()3(||220=-+-=OP 。

如图8，设角α的终边与单位圆交于点) , (y x P ，分别过
P 、0P 作x 轴的垂线段MP 、00P M ，则
4||00=P M ，3||0=OM ，y MP -=||，x OM =||。

由00~P OM OMP ∆∆得：5
4
||||||||1sin 000-=-=-==
=OP P M OP MP y y α， 53||||||||1cos 00-=-=-===OP OM OP OM x x α，34
5
354
tan =--
==x y α。

注：一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为) , (y x ，它与原点的距离为r ，则r
y =
αsin ，r x =
αcos ，x
y
=αtan （0≠x ）。

㈤概念内化：将新概念（任意角的各个三角函数）系统化，并与角、坐标系相联系。

例4．探究证明：⑴探究三角函数值在各象限的符号；
⑵求证：当不等式组⎩⎨⎧><0tan 0
sin θθ成立时，角θ为第三象限角。

反之也对。

问题⑴以填图的方式完成，并说理讨论：角α在第二象限→角α终边上的点) , (y x P 在第二象限→0<x ，0>y →0sin >α，0cos <α，0tan <α。

……，依此类推。

问题⑵以练习讲评方式完成，关注学生问题解决的完备性与严谨性。

①若θ为第三象限角，由⑴可得0sin <θ，0tan >θ。

②若sin 0θ<成立，则θ角的终边可能位于第三或第四象限或与y 轴的非正半轴重合；若tan 0θ>成立，则角θ的终边可能位于第一或第三象限。

因为0sin <θ与0tan >θ同时成立，所以角θ的终边只能位于第三象限，角θ为第三象限角。

五、课外练习
必做：P15练习1，2，3；
选做：P20习题1.2 A 组第2题。

六、板书设计。