多面体的直观图

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多面体的直观图

多面体的直观图
1. 作一个长方体的直观图，使它的长、宽、高分别是3CM,4CM 和2CM 。

2. 作正三棱锥的直观图，使它的底面边长为a ，它的高为1.5a 。

3. 画出如下图所示的多面体中过三点M,N,P 的截面a
4. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中画出EF,FG 所确
定的平面与平面ABCD 的交线。

5. 在正方体1111D C B A ABCD -中，根据给出的条件，分别画出有关图形。

（1）过B,11,C A 三点的截面
（2）过C A B ,,1三点的截面
（3）上述两截面的交线。

6. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB,CD,BF,GH 中有几
对是异面直线？
7.如图，已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，︒=∠90ABC ， BC=2，AC=C A AA C A AA 1111,,32=⊥且.
（1）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小
（2）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小
（3）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离.
7. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，,2π
=∠ABC AB=a ，AD=3a ，
=⊥=∠PA ABCD PA ADC ，平面又,5
5arcsin a 。

求（1）二面角P-CD-A 的大小
（2）点A 到平面PBC 的距离。

多面体的直观图

§15.2 多面体的直观图（一）情景引入1、思考：怎样在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图？答：要求画图方法符合透视的原理2、下图是正方体的两种不同的直观图：平行透视：平行线保持平行点透视：平行线汇聚于一点（二）新授 “斜二测”作图法：（Ⅰ）规定按图1所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做z 轴、y 轴、x 轴；（Ⅱ）规定在z 轴和y 轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在x 轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一.“斜二测”作图法的两条重要性质：（Ⅰ）平行直线的斜二测图仍是平行直线；（Ⅱ）线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变. 例1、画水平放置的边长为3cm 和4cm 的矩形的直观图．解法一：（Ⅰ）在已知矩形ABCD （如图2）中，以AB 为y 轴方向，以AD 为x 轴方向，使'135xA y ∠=；（Ⅱ）在y 轴上取''4cm A B =，在x 轴上取''1.5cm A D =，过点'B 作，联结''D C ；135图1''B C ''A D则四边形''''A B C D 就是按题意画的矩形的直观图（如图3）．解法二：（Ⅰ）在已知矩形ABCD （如图4）中，以AB 为y 轴方向，以AD 为x 轴方向，使'135xA y ∠=；（Ⅱ）在y 轴上取''3cm A B =，在x 轴上取''2cm A D =，过点'B 作，联结''D C ；则四边形''''A B C D 就是按题意画的矩形的直观图（如图5）．［说明］（1）解法二可由学生操作完成；（2）在作图过程中，主要体会“斜二测”作图过程中，原图中的点、线在直观图中如何寻求．例2、在水平放置的平面α上，画一个边长为2cm 的正六边形．分析：如图6所示，六边形ABCDEF 是正六边形，联结FC 、AE ，其交点为G ，根据正六边形性质可知AE FC ⊥，AB ∥ED ∥FC ．解：以FC 为y 轴方向，以AE 为x 轴方向，画一个平行四边形作为水平放置的平面α的直观图．在y 轴上取''G F GF =，''G C GC =，''''12G E G A GE ==，过'A 、'E 分别作''A B ∥y 轴，''E D ∥图3图2BACD 4cm3cm 图5图4BA CD 4cm 3cm''B C ''A Dy 轴，且''A B AB =，''E D ED =，联结''F E 、''F A 、''D C 、''B C ．则六边形''''''A B C D E F 就是按题意画的正六边形（如图7）．［说明］在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：第一：保平行．第二：保共点、共线．第三：保平行线段的比不变．正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质．例3、画正三棱柱'''ABC A B C -的直观图，使它的底面是边长为2cm 的正三角形，高度是3cm . 分析：画柱体直观图的关键是画该柱体底面的直观图．解：在正三角形DEF （如图8）中，以DF 为y 轴方向，以GE 为x 轴方向，使135xOy =．在y 轴上取OA OC DG ==，在x 轴取12OB GE =，联结AB 、CB ．再将ABC ∆沿z 轴正方向平移3cm ，得'''A B C ∆，联结'AA 、'BB 、'CC ．则所得图形就是正三棱柱'''ABC A B C -F图6图7DFG［说明］直棱柱的作图，是在平面正多边形的直观图的基础上，使它沿z 轴正方向平移相应的长度，然后联结各定点所得，所以关键还是在于掌握平面多边形的直观图作法．例4、画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a 的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a ，且垂直于底面．解：在等腰直角三角形EFG （如图10）中，以EG 为y 轴方向，以EF 为x 轴方向，使135xAy =．在y 轴上取AC a =，在x 轴取2aAB =，在z 轴取AD a =，联结BC 、BD 、CD ．所得图形D ABC -就是按题意画的三棱锥的直观图（图11）．［说明］棱锥的作图，主要是顶点的位置，顶点在底面上的射影沿z 轴正方向平移相应长度就能得到顶点．五、巩固练习基础题：1. 在水平放置的平面α上，画一个边长为3cm 的正三角形的直观图.2. 在水平放置的平面α上，画满足下列条件的等腰直角三角形ABC 及其重心M ：（1）一条直角边平行于y 轴；（2）斜边平行于y 轴.3. 作直六棱柱的直观图，使它的底面是边长为a 的正六边形，它的高是2a .4. 作正四棱锥的直观图，使它的高是1.5a ，且底面的边长为a . 提高题：5.2，求原正三角形的边长. EFGaa图10图11。

15.2多面体的直观图

（2）棱锥的作图，主要是顶点的位置，顶点在底面上的射影沿轴正方向平移相应长度就能得到顶点.
3．问题拓展
例5.矩形的面积是，求用斜二测画法得到的直观图的面积.
[说明]由斜二测作法的线段比例关系以及角度的关系，我们可以得到多边形的直观图的面积是原图面积的倍.
三、巩固练习
1.在水平放置的平面上，作一个边长为的正三角形的直观图.
（2）规定在轴和轴方向上的线段的长度与其表示的真实长度相等，而在轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一.
2．例题分析
例1.画水平放置的边长为和的矩形的直观图.
画法：（1）在已知矩形OABC中，取OA所在的直线为x轴，取OC所在的直线为y轴，画对应的轴，轴，使．
（2）在轴上截取，在轴上截取，过点作,连，则就是矩形OABC的直观图．
第三，保平行线段的比不变．在正六边形ABCDEF中，AD∶FE∶BC=2∶1∶1、BE∶AF∶CD=2∶1∶1，CF∶ED∶AB=2∶1∶1.在直观图六边形A′B′C′D′E′F′中，A′D′∶F′E′∶B′C′=2∶l∶l，B′E′∶A′F′∶C′D′=2∶l∶1，C′F′∶E′D′∶A′B′=2∶1∶l．
15.2多面体的直观图
上海市第二中学李拥军
一、教学内容分析
多面体的直观图是学习了多面体的概念以后，如何在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图.课本在解决这个问题上分了两步，第一步举例说明平面多边形的水平放置图的画法（矩形和正六边形）；第二步，以三棱柱和三棱锥为例说明了棱柱和棱锥的直观图的作法，这样处理使得学生比较容易掌握画直观图的基本技能，也培养了学生的空间想象能力.在画矩形和三棱柱的直观图过程中，课本特别介绍了不同位置放置时，不同的直观图，要求学生掌握各种情况下画直观图，真正理解“斜二测”画直观图的本质.

第七章空间图形第三节多面体

C
AB 2AM 2OM cot 30
2 3 l2 h2
B
图7-48 例4图形
由一般棱锥的性质, 有
S
ABC
12 2
3
l2 h2
3 l2 h2 3 3 l 2 h2
S A1B1C1 SO12 1 , 所以 S ABC SO2 4
3 3
S 4 A1B1C1
l2 h2
2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积
按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、高的平方和.
例1 如图7-42所示,底面是菱形的直棱柱,对角线B1D和A1C 的长分别是9cm和15cm, 侧棱AA1的长是5cm, 求它的底面边长.
1
1
1
S正棱锥侧面积 2 hP, S正棱锥全面积 S 2 hP, V棱锥体积 3 HS
以上公式中, h为斜高, P为底的周长, H为棱锥高, S为底面积.
例5
已知正三棱锥的斜高等于6
1 2
cm,高等于6cm,
求它的全
面积.
S
解如图7-49所示,S - ABC是一个满足题设的正三棱锥,SO 为高,连接AO并延长与BC交于点D,则AD BC,连接SD,SD BC,SD为斜高,在直角 SOD中
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…,我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.
(1) 侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(3) 对角截面是平行四边形.

老师讲解高考数学二轮复习空间几何体的三视图和直观图

老师解说 2019 高考数学二轮复习空间几何体的三视图和直观图数学在科学发展和现代生活生产中的应用特别宽泛。

小编准备了空间几何体的三视图和直观图，希望你喜爱。

1.多面体的构造特点(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。

正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 .反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形 .(2)棱锥的底面是随意多边形，侧面是有一个公共极点的三角形 . 正棱锥：底面是正多边形，极点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥 .特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四周体 .反过来，正棱锥的底面是正多边形，且极点在底面的射影是底面正多边形的中心 .(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥获得，其上下底面是相像多边形.2.旋转体的构造特点(1)圆柱能够由矩形绕一边所在直线旋转一周获得.(2)圆锥能够由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周获得.(3)圆台能够由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周获得，也可由平行于底面的平面截圆锥获得 .(4)球能够由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周获得.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影获得，这类投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包含正视图、侧视图、俯视图.三视图的长度特点：长对正，宽相等，高平齐，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图同样长，侧视图和俯视图同样宽.若相邻两物体的表面订交，表面的交线是它们的分界限，在三视图中，要注意实、虚线的画法 .4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取相互垂直的x 轴、y 轴，两轴订交于点O，画直观图时，把它们画成对应的 x 轴、 y 轴，两轴订交于点 O，且使 xOy=45 或 135，已知图形中平行于 x 轴、 y 轴的线段，在直观图中平行于 x轴、y 轴.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变成本来的一半.(2)画几何体的高其实 ,任何一门学科都离不开照本宣科,重点是记忆有技巧 , “死记”以后会“活用”。

15.2多面体的直观图解析

（二):空间几何体的直观图的画法
思考4:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤？
建系 → 画一个底面
→ 画侧棱
→ 成图思考5:斜二测画法有哪些性质?
1.直线平行关系保持不变. 2.定点所分比例保持不变.
（二):空间几何体的直观图的画法
空间三维坐标系的画法不唯一, 但一般应遵循"右手系"原则. (右手拇指、食指、中指自然对应x轴、y轴、z轴)
z
y
o
x
例1.如图，一个水平放置的平面图形
的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的
底角为45°，两腰和上底边长均为1，求
这个平面图形的面积，并说明它是什么
图形.
D
C
1
D’
C’
2
A’
B’
A
B
解:A'B'=AB=1+ 2,实际图形中DC//AB,且DAB=90,
是一个直角梯形.
S= 1 (DC+AB) AD=2+ 2
思考4*:斜二测画法可以画多边形水平放置的直观图，如何画一个水平放置的圆？
O
O
y
x
（二):空间几何体的直观图的画法思考1:如何用斜二测画法画立体图形？
z
y
斜二轴测图画法(斜二测画法) x 1. 建坐标系，z轴、y轴、x轴分别表示铅锤方向、左右方向和前后方向(铅锤方向画作竖直，左右方向线段画作水平，前后方向线段画作与水平方向成45度角); 2.铅锤方向和左右方向线段长度保持不变，前后方向线段长度取实际长度一半.
y
x
斜二轴测图画法(斜二测画法)（预备） 1. 建坐标系，y轴、x轴分别表示左右方向和前后方向(左右方向线段画作水平，前后方向线段画作与水平方向成 45度角); 2.左右方向线段长度保持不变，前后方向线段长度取实际长度一半.

15.2 多面体的直观图

第十五章简单几何体
15.1 多面体的概念
15.2 多面体的直观图
注:焦点透视作图真实感强,但画法复杂
一、平行透视的“斜二测”画图法
z
135
y
x
规定： (1)铅垂方向,左右方向线段长度为真实长度.
(2)前后方向,线段长度为真实长度的一半.
例1.用斜二测画法画出边长为1的正方形和正三角形的直观图.
D1
C1
B1
E
A1
D B
C
F
G
A
例4.画出平面截正方体 ABCD A1B1C1D1 的截面. (1)平面EFC1 (2)平面 PQR 解:(1)截面 EFMC1 N
D1
C1 B1
A1
N
H
E
D
M
C
A
F
B
G
例4.画出平面截正方体 ABCD A1B1C1D1 的截面. (1)平面EFC1 (2)平面 PQR 解:(2)截面 PMQRN
D1 E A1 B1 C1
A
H G E D
F D A G B
F
C
B
C
课堂练习答案 1.
y
D
z
A1
D1
C1 B1
C
y
D
A (O) B
C
B
x
A (O)
x
课堂练习答案 2.截面 EFGHI
D1 E A1 B1 C1
3.截面 GHFIJ
A
H G
I
F D A G B
E F B
I
C
J
D
H
C

C
A
C

D

15.2多面体的直观图

C1 B1
D A
C B
例2.画水平放置的边长为a的正六边形的直观图
E
D
F
2a G
C
A
a
B
x
E
D
F
2a G
C
A
B
x
y y
练习：画水平放置的边长为3cm的正三角形直观图
A
B
M
C
3cm
A
B
M 3cm
C
多面体的直观图
z
y 正六棱柱
x
多面体的直观图
例3.画正三棱柱ABC-A’B’C’
C’
的直观图，使它的底面是边长
为2cm的正三角形，高为3cm
多面体的直观图
例4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a,且垂直于底面
D
A
C
B
多面体的截面
当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线所围成的平面图形叫做平面截多面体的截面。
例题5：1)已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1的中点，过A、P、D1作一个平面，画出此平面截正方体
D1
A1
M
C1 N B1
D A
C B
D1 D1
A1
M
C1 N B1
AA
D
D
D1
A1
M
CC
B
C1 N B1
七面体Leabharlann 四面体D AC B
练习1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
1）画出由点A1、C1、D确定的平面与正方体表
面的交线。
2)平面将正方体分割为怎样的两个多面体，画出

第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图文湘教版课件

2．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝ 23，C′D′＝O′C′sin 45°＝ 23× 22＝ 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′＝12×2×
()
解析：给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B(而不是A)．答案：B
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台的母线长为________ cm. 解析：抓住轴截面，利用相似比，由底面积之比为 1∶16，设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l，截得圆台的上、下底面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质得3＋3 l＝4rr，解得 l＝9. 所以，圆台的母线长为 9 cm. 答案：9
相对位置不改变.
3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图
形的面积的关系
S
＝直观图
2 4S
原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
4．转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台
4．三视图 (1)几何体的三视图包括正(主) 视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几
何体画出的轮廓线． (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等． ②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样

甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试卷及答案

甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}21A x x =-≤≤，(){}22420B x x a x a =+--≤ ，且{}1x 1A B x ⋂=-≤≤ ，则=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．设()2()44i z z z z -++-=--，则z =（） A ．2i -B ．2i +C ．12i -D ．12i +3．函数()cos lnxf x x xππ+=⋅-在(),ππ-上的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．设正项等比数列{}n a 的前4项和为90，且1336a a -=，则5a =（） A ．1B ．2C ．3D ．45．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（）A ．样本中A 层次的女生比相应层次的男生人数多B ．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大C ．D 层次的女生和E 层次的男生在整个样本中频率相等 D ．样本中B 层次的学生数和C 层次的学生数一样多 6．已知函数4||()1||x f x x =+，则不等式(23)2f x -<的解集是（） A ．(1,2) B ．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()(),12,-∞+∞D ．15,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．163B ．8C ．283D ．108．将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为奇函数，则ω的最小值为（） A ．4B ．3C ．2D ．19．已知三棱锥A BCD -的底面是正三角形，AB ⊥平面BCD ，且AB BC =，则直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值为（）A B C D 10．6名志愿者要到A ，B ，C 三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A 社区，则不同的安排方法共有（） A ．105种B ．144种C ．150种D ．210种11．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 且不与x 轴垂直的直线交C 的右支于A ，B 两点，若1AF AB ⊥，且12AB AF =，则C 的离心率为（）AB ．1CD ．112．已知0a >，若对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，不等式1ln(2)e 02ax x a -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设{}n a 是等差数列，且13a =，2414a a +=，则40a =___________. 14．已知向量a ，b 满足||1b =，且(2)a a b ⊥+，则||a b +=___________.15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，ABC 的三条边长分别为BC a =，AC b =，AB c =．延长线段CA 至点1A ，使得1AA a =，延长线段AC 至点2C ，使得2CC c =，以此类推得到点2A ，1B ，1C ，2B ，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知12a =，5b =，13c =，则由ABC 生成的康威圆的半径为______．三、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3b C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求B ；(2)若ABCsin sin A C B +=，求ABC 的周长.18．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为34，答对每道冬奥知识题的概率为23，每题答对与否不影响后续答题. (1)学生甲恰好答对两题的概率是多少？ (2)求学生甲答对的题数X 的分布列和数学期望.19．在四棱锥P ABCD -中，点E 是棱PA 上一点，BE PD ⊥，PA PB PD ==，12AB AD CD ==2=，60DAB ∠=︒.(1)证明：PD ⊥平面PAB ；(2)若CD AB ∥，求二面角A PD C --的正弦值.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 21．已知函数()ln 2f x x mx =-+有两个零点12,x x . (1)求m 的取值范围； (2)证明：12112e x x +>. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=--⎧⎨=⎩，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l '过点()2,1M -且与直线l 平行，直线l '交曲线C 于A ，B 两点，求11MA MB+的值． 23．已知a ，b ，c 均为正数，且2224161a b c ++=，证明：(1)24a b c ++≤ (2)2221116941a b c ++≥．参考答案：1．C 【分析】分类讨论解不等式，确定集合22aB x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，根据{}1x 1A B x ⋂=-≤≤，确定12a-=-，求得答案. 【详解】解()22420x a x a +--≤，即(2)(2)0x a x +-≤ ，当122a -≥即4a ≤-时，22ax ≤≤- ，此时A B =∅，不合题意；故122a -<，即4a >-，则22a B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ，由于{}21A x x =-≤≤，{}11A B x x ⋂=-≤≤，所以12a-=-，解得2a =，故选：C2．A 【分析】设i z b a =+，,a b ∈R ，根据()2()44i z z z z -++-=--，利用复数相等求解.【详解】解：设i z b a =+，,a b ∈R ，因为()2()44i z z z z -++-=--，所以24i 44i a b -+=--，解得2a =，1b =-，则2i z =-. 故选：A3．B 【分析】利用函数的奇偶性及函数值的符号即可做出判断.【详解】因为()()cos ln xf x x f x x ππ--=⋅=-+，所以f （x ）是奇函数，排除A ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，ln0x x π+>π-，所以()0f x >，排除C ，故选：B ．4．C 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式即可求解公比和首项,进而可求5a . 【详解】设公比为q ，易得1q ≠，由题设知()411901a q q-=-，即()()22111901a q q q-+=-，又1336a a -=，所以()21136a q-=，()2361901q q+=-，即22530q q +-=，解得12q =或3q =-（舍去），进而148a =，从而445114832a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.5．B 【分析】根据直方图的性质，扇形图可得各层次的频率，中位数，然后逐项分析即得. 【详解】设女生身高频率分布直方图中的组距为x ∆，由()1.52 2.53Δ1a a a a a x ++++=，得0.1a x ∆=，所以女生身高频率分布直方图中A 层次频率为20%，B 层次频率为30%，C 层次频率为25%，D 层次频率为15%，E 层次频率为10%，因为男、女生样本数未知，所以A 层次中男、女生人数不能比较，即选项A 错误；同理，D 层次女生在女生样本数中频率与E 层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C 错误；设女生人数为n ，男生人数为1000n -，但因男、女生人数可能不相等，则B 层次的学生数为()0.30.2510000.05250n n n +⨯-=+，C 层次的学生数为()0.250.310003000.05n n n +⨯-=-，因为n 不确定，所以0.05250n +与3000.05n -可能不相等，即D 错误；女生A ，B 两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为B ，C 层次的分界点，男生A ，B 两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在C 层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B 正确．故选：B.6．A 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，再得到0x ≥时()f x 的单调性，利用偶函数比大小的处理方式，转化为231x -<，即可求解. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，当0x ≥时，44444()4111x x f x x x x+-===-+++是增函数．又因为()12f =，所以(23)2f x -<可化为(23)(1)f x f -<，可得到231x -<，解得12x <<．故选：A.7．D 【分析】多面体的直观图可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，根据三视图尺寸求出对应体积即可【详解】多面体的直观图如图所示，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成， 12332ABCS=⨯⨯=，则直三棱柱体积为1326ABCS BB ⋅=⨯=，四棱锥体积为()122343⨯⨯⨯=，所以多面体的体积为6410+=.故选：D8．C 【分析】根据伸缩及平移变换得到函数()y g x =，结合奇偶性得到()212k k Z ω=-∈，从而得到结果.【详解】由题意，()sin sin 2662612g x x x ωππωπωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =为奇函数，所以()612k k Z πωππ-=∈，解得()212k k Z ω=-∈，又0>ω，所以当k ＝0时，ω取得最小值2．故选：C9．B 【分析】根据线线垂直证明线面垂直，进而得面面垂直，根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而找到线面角，即可根据锐角三角函数求解.【详解】设2AB BC ==，CD 的中点为E ，连接AE ，BE ，过B 作BF AE ⊥交AE 于F ,因为AB ⊥平面BCD ，且=AB BC DB =，可知AD AC =,由于E 是CD 中点,因此,,,,BE DC AE CD BE AE E BE AE ⊥⊥⋂=⊂平面ABE ,故CD ⊥平面ABE ,又CD ⊂平面ACD ,因此平面ACD ⊥平面ABE ，且平面ACD 平面=ABE AE ,BF AE ⊥,BF ⊂平面ABE ,因此BF ⊥平面ACD ,所以BAE ∠是直线AB 与平面ACD 所成的角，因为AB BE ⊥，所以sin BE BAE AE ∠==故选：B10．D 【分析】先安排2名志愿者到A 社区，再考虑剩余的4名志愿者，分为两组，可以平均分，可以一组1人，一组3人，再对两组进行分配，从而求出最终答案. 【详解】先选出2名志愿者安排到A 社区，有26C 种方法，再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有224222C C A 种分法，另一种是1组1人，另一组3人，有1343C C 种分法，再分配到其他两个社区，则不同的安排方法共有21222342322642C C C C C A 210A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 故选：D11．C 【分析】根据双曲线的定义及12AB AF =求出12,AF AF ，利用勾股定理可求结果. 【详解】如图，设1AF m =，则22AF m a =-．又12AB AF =，所以22BF m a =+，所以14BF m a =+．又1AF AB ⊥，所以1BF =，由4m a +=，得)11m a AF ==，则)221AF m a a =-=，而122F F c =，则))22222411c a a =+，化简得223c a =，所以==ce a12．A 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】因为0a >，不等式1ln(2)e 02ax x a -≥恒成立，即1ln(2)e 2ax x a≥成立，即e 2ln(2)ax a x ≥，进而转化为ln(2)e 2ln(2)e ln(2)ax x ax x x x ≥=⋅恒成立.令()e x g x x =，则()(1)e x g x x '=+，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，则不等式1ln(2)e 02ax x a -≥恒成立等价于()(ln(2))g ax g x ≥恒成立. 因为0a >，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以0ax >，ln(2)0x >，所以ln2ax x ≥对任意的1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，所以ln(2)22a x x≥恒成立.设ln ()(1)t h t t t =>，可得21ln ()t h t t-'=.当1e t <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当e t >时，()0h t '<，()h t 单调递减.所以当e t =时，函数()h t 取得最大值，最大值为1(e)eh =，此时2e x =，所以12e a ≥，解得2e a ≥，即实数a 的取值范围是2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A【点睛】关键点睛：利用构造函数结合导数的性质是解题的关键. 13．81【分析】根据等差数列通项即可求解.【详解】因为243214a a a +==，所以37a =，又13a =，所以公差2d =，从而40323981a =+⨯=.故答案为：8114．1【分析】利用向量垂直时数量积为0可以列式，再将a b +平方后代入即可.【详解】因为(2)a a b ⊥+，所以()2·220a a b a a b +=+⋅=，222||21a b a a b b +=+⋅+=，则||1a b +=. 所以答案为：1.15．28y x =【分析】过点B 作抛物线C 准线的垂线，垂足为E ，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出p 的值，即可写出抛物线的标准方程. 【详解】过点B 作抛物线C 准线的垂线，垂足为E ，由抛物线的定义知，||||BF BE =，又|||AB BF =，所以||2||AE BE =，所以1tan 2EAB ∠=，所以1tan 2ODF ∠=.又||2pOF =，所以||OD p =，所以4DOFS ==△21224p p p ⨯⨯=，则4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.故答案为：28y x =.16ABC 的内心，再结合90ACB ∠=︒得ABC 的内切圆的半径2r =，再计算康威圆的半径即可.【详解】解：因为12CC CC =，12CA CB =，所以康威圆的圆心在ACB ∠的平分线上，同理可知康威圆的圆心在ABC ∠的平分线上，即康威圆的圆心为ABC 的内心．因为12a =，5b =，13c =，满足222+=a b c ，所以90ACB ∠=︒，所以ABC 的内切圆的半径5121322r +-==，所以，康威圆的半径R ==17．(1)2π3(2)4【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式化简，即可求解. （2）根据面积公式可得4ac =，由正弦定理化角为边，结合余弦定理即可求解4a c +=，b =.（1）因为sin 32b C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由正弦定理得：所以()1sin sin +2B C C A C B C C ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.展开得1sin sin cos cos sin 2B C B C B C B C C +=+，整理得1sin 222B B -=，即πsin 3B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πB <<，则33B ππ-=，所以2π3B =.（2）由（1）知1sin 2ABCSac B ===4ac =，因为sin sin A C B +=，由正弦定理得b =，由余弦定理得2222cos a c b ac B ac +-==-，即223()()44a c a c ac ++-==，解得4a c +=，b =所以ABC 的周长为4a b c ++=. 18．(1)716(2)分布列答案见解析，数学期望：136【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可分两类求解，（2）根据随机变量X 的取值以及对应事件的概率，即可按步骤求解分布列，进而计算期望. （1）学生甲恰好答对两题的概率231312724344316P ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，所以2111(0)4348P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212311121(1)C 443436P X ⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，由（1）知7(2)16P X ==，又2323(3)438P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为17313()12361686E X =⨯+⨯+⨯=.19．(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，证明出AB PD ⊥，从而证明出线面垂直；（2）证明出,,PB PA PD 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. （1）证明：取AB 的中点F ，连接FD ，FP ，BD .因为PA PB =，AB AD =，60DAB ∠=︒，所以AB AD BD ==，所以AB PF ⊥，AB FD ⊥.又PF FD F ⋂=，所以AB ⊥平面PFD ，从而AB PD ⊥. 因为BE PD ⊥，ABBE B =，所以PD ⊥平面PAB .（2）因为PD ⊥平面PAB ，所以PD PB ⊥，PD PA ⊥，又2AB AD BD ===，所以PA PB PD ===因为222PA PB AB +=，所以PB PA ⊥.以P 为坐标原点，PA ，PB ，PD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz -.则A ，B ，D ，因为CD AB ∥，所以2(DC AB ==-，PD =. 设平面PDC 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00DC m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令1x =，则1y =，0z =，所以(1,1,0)m =.因为PB PA ⊥，PD PB ⊥，所以PB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)n =，所以2cos ,||||2m n m n m n ⋅〈〉==，2sin ,2m n 〈〉=，即二面角A PD C --.20．(1)22143x y +=(2)是，定点()1,0【分析】（1）由离心率的值和右顶点坐标，得出椭圆C 的方程；（2）显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：(4)y k x =-，与椭圆方程联立，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，()22,D x y -，利用韦达定理求出直线AD 的方程，得到与x 轴交点为定值，从而得出直线AD 过定点．（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12c e a==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<，所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--．又()12128y y k x x +=+-，所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212212121842443kx x x k x x x ky x x x x x x x k +---=++---+，即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+，所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=，由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+．因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-．又()12121244x x my my m y y -=+--=-，所以直线AD 的方程可化为()()()()()()()()12121121121121212144y y y y my y m y y y y y x my y x m y y m y y m y y -++++-+=--+=-+---()()()()()()12121222121212424134my y y y y y x x m y y m y y m y y +++=-+=---+-，此时直线AD 恒过点（1,0），当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y ＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD 恒过点（1，0）．【点睛】关键点睛：借助韦达定理表示直线AD 的方程，是确定定点的关键. 21．(1)(0,e) (2)证明见解析【分析】（1）将函数()ln 2f x x mx =-+有两个零点12,x x 问题变为，转化为ln 2x m x+=有两个根，即ln 2()x g x x+=的图像与直线y m =有两个交点，继而利用导数判断函数单调性，数形结合，求得参数范围；（2）方程ln 2x m x +=的两个根分别为12,x x ，则1212ln 2ln 2x x x x ++=，利用换元，可得令111t x =，221t x =，可得1112222ln 2ln t t t t t t -=-，构造函数()2ln h t t t t =-，利用导数研究其单调性，继而再构造函数()()(2e )(0e)H t h t h t t =--<<，利用其单调性证明结论. （1）由题意知，()f x 的定义域为(0,)+∞，函数()ln 2f x x mx =-+有两个零点12,x x 即ln 20x mx -+=有两个根，等价于方程ln 2x m x+=有两个根. 设ln 2()x g x x +=，即ln 2()x g x x +=的图像与直线y m =有两个交点. 因为2ln 1()x g x x --'=，所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()e e g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0,x x >趋近0时，()g x 趋近负无穷大，当x 趋近正无穷大时，()0,()g x g x >趋近0，由图可知，m 的取值范围是(0,e). （2）证明：由（1）知方程ln 2x m x+=的两个根分别为12,x x ，则1212ln 2ln 2x x x x ++=. 令111t x =，221t x =，则1112222ln 2ln t t t t t t -=-，设12t t <，()2ln h t t t t =-，则()1ln h t t '=-，当0e t <<时，()0h t '>，当t e >时，()0h t '<，故()h t 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，且()()12h t h t =，故120e t t <<<.设()()(2e )(0e)H t h t h t t =--<<，则()()(2e )H t h t h t '''=+-，因为()()222()1ln [1ln(2e )]2ln 2e 2ln e 2e 0H t t t t t '=-+--=--+>--+=，所以()H t 在(0,e)上单调递增，所以()1(e)0H t H <=，即()()112e h t h t <-，从而()()212e h t h t <-. 因为120e t t <<<，所以12e e t ->，又()h t 在(e,)+∞上单调递减，所以212e t t >-，即122e t t +>，所以12112e x x +>. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了参数的求法以及用导数证明不等式问题，综合性强，计算量大，解答时要能熟练应用导数的相关知识，解答的关键是对所要研究的不等式或函数式进行合理变式，构造新函数，从而利用导数解决问题. 22．(1)()2214x y ++=，20x y +-= (2)2【分析】（1）利用三角消参即可求出曲线C 的普通方程；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）利用直线参方形式中的“t 的几何意义”即可求解（1）因为曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=--⎧⎨=⎩，（θ为参数），所以曲线C 的普通方程为()2214x y ++=．由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos cos sin 44ππρθρθ+，即sin cos 2ρθρθ+=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）因为直线l 的斜率为1-，所以l 的倾斜角为34π，所以过点()2,1M -且与直线l 平行的直线l '的方程可设为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．设点A，B对应的参数分别为1t，2t，将21xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2214x y++=，可得22114⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得220t+-=，则0∆>，12t t+=-122t t=-，所以1212||11||||2||||||||t tMA MBMA MB MA MB t t-++====．23．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用重要不等式，结合综合法得证；（2）利用三元均值不等式即可证明不等式.（1）由已知可得()()()2222222223416441616a b c a b a c b c=++++++++()2222416416824a b c ab ac bc a b c≥+++++=++，当且仅当24a b c===时，等号成立．又a，b，c均为正数，所以24a b c++≤（2）因为()()22224a b c++≥当且仅当24a b c===时，等号成立，所以31⨯≤，整理得()32112abc⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以2221119416a b c++≥=，当且仅当243a b c===时，等号成立．。

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档理

§8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积1．多面体的结构特点2.3.空间几何体的直观图经常使用斜二测画法来画，其规那么：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中维持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原先的一半．4．空间几何体的三视图(1)三视图的主视图、俯视图、左视图别离是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．(2)三视图的特点：三视图知足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．5．柱、锥、台和球的侧面积和体积1． (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． ( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，假设∠A 的两边别离平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，那么在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． ( × ) (5)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ ) (6)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ )2． (2021·四川)一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的直观图能够是 ( )答案 D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3． (2021·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，若是不计容器的厚度，那么球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3cm 3答案 A解析作出该球轴截面的图象如下图，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，因此V ＝43πR 3＝500π3. 4．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．答案62解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，因此原三角形的面积为62.5．假设一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，那么该圆锥的体积为________．答案33π 解析侧面展开图扇形的半径为2，圆锥底面半径为1， ∴h ＝22－1＝3，∴V ＝13π×1×3＝33π.题型一空间几何体的结构特点例1 (1)以下说法正确的选项是( )A ．有两个平面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都能够是直角三角形C ．有两个平面相互平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不必然交于一点 (2)给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，那么这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相似，但侧棱长必然相等．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3思维启发从多面体、旋转体的概念入手，能够借助实例或几何模型明白得几何体的结构特点．答案 (1)B (2)A解析 (1)A 错，如图1；B 正确，如图2，其中底面ABCD 是矩形，可证明∠PAB ，∠PCB 都是直角，如此四个侧面都是直角三角形；C 错，如图3；D 错，由棱台的概念知，其侧棱必相交于同一点．(2)①不必然，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②不必然，因为“其余各面都是三角形”并非等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图1所示；③不必然，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，可是侧棱长不必然相等．思维升华 (1)有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体不必然是棱柱． (2)既然棱台是由棱锥概念的，因此在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略． (3)旋转体的形成不仅要看由何种图形旋转取得，还要看旋转轴是哪条直线．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C是展开图上的三点，那么在正方体盒子中，∠ABC 的值为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析还原正方体，如下图，连接AB ，BC ，AC ，可得△ABC 是正三角形，那么∠ABC ＝60°. 题型二空间几何体的三视图和直观图例2 (1)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图能够是( )(2)正三角形AOB 的边长为a ，成立如下图的直角坐标系xOy ，那么它的直观图的面积是________．思维启发 (1)由主视图和左视图可知该几何体的高是1，由体积是12可求出底面积．由底面积的大小可判定其俯视图是哪个．(2)依照直观图画法规那么确信平面图形和其直观图面积的关系．答案 (1)C (2)616a 2解析 (1)由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是12可知该几何体的底面积是12，由图知A 的面积是1，B 的面积是π4，C 的面积是12，D 的面积是π4，应选C.(2)画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616a 2.思维升华 (1)三视图中，主视图和左视图一样高，主视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一样在已知图形中成立直角坐标系，尽可能运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(1)(2021·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，那么该正方体的主视图的面积不可能等于( )A ．1 B.2 C.2－12D.2＋12(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，那么原图形是 ( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．一样的平行四边形答案 (1)C (2)C解析 (1)由俯视图知正方体的底面水平放置，其主视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.(2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．题型三空间几何体的表面积与体积例3 (1)一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为 ( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)已知某几何体的三视图如下图，其中主视图、左视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，依照图中的数据可得几何体的体积为 ( ) A.2π3＋12B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12思维启发先由三视图确信几何体的组成及气宇，然后求表面积或体积．答案 (1)C (2)C解析 (1)由三视图知该几何体的直观图如下图，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.因此S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.(2)由三视图确信该几何体是一个半球体与三棱锥组成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，因此三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt△ABC 是半球底面的内接三角形，因此球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，因此半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.思维升华解决此类问题需先由三视图确信几何体的结构特点，判定是不是为组合体，由哪些简单几何体组成，并准确判定这些几何体之间的关系，将其切割为一些简单的几何体，再求出各个简单几何体的体积，最后求出组合体的体积．(2021·课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有极点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，那么此棱锥的体积为 ( ) A.26 B.36 C.23 D.22答案 A解析由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，因此三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍．在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如下图， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝ 12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.转化思想在立体几何计算中的应用典例：(12分)如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面通过棱CC ′到M 的最短线路长为29，设这条最短线路与CC ′的交点为N ，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 与NC 的长；(3)三棱锥C —MNP 的体积．思维启发 (1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN ＋NP 最短在展开图上呈现如何的形式；(3)三棱锥以谁做底好．标准解答解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长别离为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97.[2分](2)将该三棱柱的侧面沿棱BB ′展开，如以下图，设PC ＝x ，那么MP 2＝MA 2＋(AC ＋x )2. ∵MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，∴x ＝2，即PC ＝2.又NC ∥AM ，故PC PA ＝NCAM ，即25＝NC 2.∴NC ＝45.[8分](3)S △PCN ＝12×CP ×CN ＝12×2×45＝45.在三棱锥M —PCN 中，M 到面PCN 的距离，即h ＝32×3＝332.∴V C —MNP ＝V M —PCN ＝13·h ·S △PCN＝13×332×45＝235.[12分] 温馨提示 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的全然思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．(2)若是已知的空间几何体是多面体，那么依照问题的具体情形能够将那个多面体沿多面体中某条棱或两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．若是是圆柱、圆锥那么可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．(3)此题的易错点是，不明白从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.方式与技术1．棱柱、棱锥要把握各部份的结构特点，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界限和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)明白得“长对正、宽平齐、高相等”．4．直观图画法：平行性、长度两个要素．5．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规那么的几何体通过度割或补形将其转化为规那么的几何体求解．6．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确信有关元素间的数量关系，并作出适合的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的极点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．失误与防范1．台体能够看成是由锥体截得的，但必然强调截面与底面平行．2．注意空间几何体的不同放置对三视图的阻碍．3．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．A组专项基础训练(时刻：40分钟)一、选择题1．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A．20 B．15C．12 D．10答案D解析如图，在正五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从极点A动身的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点动身的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．2．(2021·福建)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么那个几何体不能够是( )A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱答案 D解析考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，第一排除选项A 和C. 关于如下图三棱锥O －ABC ，当OA 、OB 、OC 两两垂直且OA ＝OB ＝OC 时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B. 不论圆柱如何设置，其三视图的形状都可不能完全相同，故答案选D.3． (2021·重庆)某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为( )A.5603B.5803 C ．200 D ．240答案 C解析由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S ＝2＋8×42＝20.又棱柱的高为10，因此体积V ＝Sh ＝20×10＝200.4．如图是一个物体的三视图，那么此三视图所描述物体的直观图是( ) 答案 D解析由俯视图可知是B 和D 中的一个，由主视图和左视图可知B 错．5．某几何体的三视图如下图，其中俯视图是个半圆，那么该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3D.52π＋3答案 C解析由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2.二、填空题6. 如下图，E 、F 别离为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，那么四边形BFD 1E 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影是________．(填序号)答案 ②解析四边形在面DCC 1D 1上的正投影为②：B 在面DCC 1D 1上的正投影为C ，F 、E 在面DCC 1D 1上的投影应在边CC 1与DD 1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．7．已知三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，那么该三棱锥的外接球的表面积为________．答案 3π 解析如图，构造正方体ANDM —FBEC .因为三棱锥A —BCD 的所有棱长都为2，因此正方体ANDM —FBEC 的棱长为1.因此该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A —BCD 的外接球确实是正方体ANDM —FBEC 的外接球，因此三棱锥A —BCD 的外接球的半径为32.因此三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3π. 8． (2021·江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 别离是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，那么V 1∶V 2＝________.答案 1∶24解析设三棱锥F －ADE 的高为h ，则V 1V 2＝13h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD ·AE ·sin∠DAE 2h 122AD 2AE sin∠DAE＝124. 三、解答题9．一个几何体的三视图及其相关数据如下图，求那个几何体的表面积．解那个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依照图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故那个几何体的表面积为S ＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12×(2＋4)×3＝11π2＋3 3.10．已知一个正三棱台的两底面边长别离为30 cm 和20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．解如下图，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1别离为两底面中心，D 、D 1别离为BC和B 1C 1的中点，那么DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033，由S 侧＝S 上＋S 下，得12×(20＋30)×3DD 1＝34×(202＋302)，解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中，O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，因此棱台的高为4 3 cm. B 组专项能力提升(时刻：30分钟)1．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( )A.25VB.13VC.23VD.310V 答案 D解析设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2.连接MD .因为M 是AE 的中点，因此V M —ABCD ＝12V . 因此V E —MBC ＝12V －V E —MDC . 而V E —MBC ＝V B —EMC ，V E —MDC ＝V D —EMC ，因此V E —MBCV E —MDC ＝V B —EMC V D —EMC ＝h 1h 2.因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，因此h 1h 2＝32. 因此V E —MBC ＝V M －EBC ＝310V .2．某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥的表面积是( ) A ．28＋6 5 B ．30＋65C ．56＋125 D ．60＋125 答案 B 解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如下图，其中AE ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，且CD ＝4，BD ＝5，BE ＝2，ED ＝3，AE ＝4.∵AE ＝4，ED ＝3，∴AD ＝5.又CD ⊥BD ，CD ⊥AE ，则CD ⊥平面ABD ，故CD ⊥AD ，因此AC ＝41且S △ACD ＝10.在Rt△ABE 中，AE ＝4，BE ＝2，故AB ＝25. 在Rt△BCD 中，BD ＝5，CD ＝4，故S △BCD ＝10，且BC ＝41.在△ABD 中，AE ＝4，BD ＝5，故S △ABD ＝10.在△ABC 中，AB ＝25，BC ＝AC ＝41，则AB 边上的高h ＝6，故S △ABC ＝12×25×6＝6 5. 因此，该三棱锥的表面积为S ＝30＋65. 3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的底面直径为________．答案 2解析设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r .那么12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ，∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)依照图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA .解 (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.(2)由左视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD ＝6，且AD ⊥PD ，因此在Rt△APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝622＋62＝6 3 cm.5．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝a ，PA ＝PC ＝2a ，假设在那个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．解当球内切于四棱锥，即与四棱锥各面均相切时球半径最大，设球的半径为r ，球心为O ，连接OP 、OA 、OB 、OC 、OD ，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高都是r ，底面别离为原四棱锥的侧面和底面，则V P －ABCD ＝13r (S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △PAD ＋S 正方形ABCD )＝13r (2＋2)a 2.由题意，知PD ⊥底面ABCD ，∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝13a 3. 由体积相等，得13r (2＋2)a 2＝13a 3，解得r ＝12(2－2)a .。

空间几何体的结构特征及三视图和直观图经典课件(最新)

图 12
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【反思·升华】三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
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空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件
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1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
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(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
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高频考点 2 空间几何体的三视图【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

高中数学知识点精讲精析多面体的直观图

第二节多面体的直观图要点精讲1.概念：用来表示空间图形平面图像，叫做空间图形的直观图.把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.2.斜二测画法斜二测画法为国家规定的画直观图的一种方法，它的规则为：（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的''X O ,''Y O ,使'''X OY ∠=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；（3）画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于'X 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于'Y 轴，且长度变为原来的一半；（4）擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）.典型例题【例1】画水平放置的边长为2cm 的正六边形的直观图．【答案】画法：（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴．画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°．（2）在x ′轴上截取O ′A ′=OA ，截取O ′D ′=OD ，对于不在x 轴、y 轴上的顶点B ，C ，E ，F ，都向x 轴作垂线，它们的垂足为M ，N ．在x ′轴上截取O ′M ′=OM ，截取O ′N ′=ON ，过M ′，N ′作与y ′轴平行的直线，在这两直线上截取''''''''12M B M F N C N E MF ====.（3）连A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′F ′，则所得的六边形就是正六边形ABCDEF 的直观图．【解析】[说明] 在斜二测画法中，直观图仍保留了原图中三个主要的性质：第一，保平行．在正六边形 ABCDEF 中， AB ∥FE ∥BC ， BE ∥AF ∥CD ，FC ∥ED ∥AB ，在直观图六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′中A ′D ′∥F ′E ′∥B ′C ′，B ′E ′∥A ′F ′∥C ′D ′，F ′C ′∥E ′D ′∥A ′B ′．第二，保共点、共线．在正六边形ABCDEF 中，A ，O ，D 三点共线，B ，O ，E 三点共线，C ，O ，F 三点共线；AD ，BE ，CF 三线共点．在直观图六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，A ′，O ′，D ′三点共线，B ′，O ′，E ′三点共线，C ′，O ′，F ′三点共线；A ′D ′，B ′E ′，C ′F ′三线共点．第三，保平行线段的比不变．在正六边形ABCDEF 中，AD ∶FE ∶BC=2∶1∶1、BE ∶AF ∶CD=2∶1∶1，CF ∶ED ∶AB=2∶1∶1.在直观图六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，A ′D ′∶F ′E ′∶B ′C ′=2∶l ∶l ， B ′E ′∶A ′F ′∶C ′D ′=2∶l ∶1， C ′F ′∶E ′D ′∶A ′B ′=2∶1∶l ．正因为有这“三保”，所以直观图的形状虽然有很大的变化，但我们仍能借助于直观图加上概念想象出原图的形状和性质．【例2】画水平放置的边长为3cm 和4cm 的矩形的直观图.【答案】画法：（1）在已知矩形OABC 中，取OA 所在的直线为x 轴，取OC 所在的直线为y 轴，画对应的轴，轴，使．（2）在'x 轴上截取''4O A cm =，在'y 轴上截取'' 1.5OC cm =，过'A 点作 ,连，则就是矩形OABC 的直观图．【解析】[说明]（1）原矩形的放置也可以是3,4OA cm OC cm ==,那么直观图''''O A BC 'x 'y ''''//A B O C ='''45x o y ︒∠=''C B ''''O A B C的图形也会随之变化.（可由学生操作）（2）在作图过程中，主要体会“斜二测”作图过程中，原图中的点、线在直观图中如何寻求.。

立体几何与空间向量

空间几何体的结构、三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．(2)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．2．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．3．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆．②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.空间几何体的表面积和体积1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 34.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． (2)几个与球有关的切、接常用结论 a ．正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b ．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. c ．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.空间点、线、面位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．直线、平面平行判定与性质1．直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b空间向量及其运算1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 推论如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ 1 . (3)空间向量基本定理如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积 a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23立体几何中的向量方法-证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.立体几何中的向量方法-求空间角和距离1．两条异面直线所成角的求法设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则l 1与l 2所成的角θa 与b 的夹角β范围 (0，π2][0，π] 求法cos θ＝|a ·b ||a ||b |cos β＝a ·b|a ||b |2.直线与平面所成角的求法设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n ||a ||n |. 3．求二面角的大小(1)如图①，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 4．利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO→|＝|AB →·n ||n |.。

多面体的直观图

多面体的直观图

多面体的直观图

15.2多面体的直观图

第七章 空间图形 第三节 多面体

老师讲解高考数学二轮复习空间几何体的三视图和直观图

15.2多面体的直观图解析

15.2 多面体的直观图

15.2多面体的直观图

第七章第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 文 湘教版课件

甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试卷及答案

2021届高考数学 8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积配套文档 理

空间几何体的结构特征及三视图和直观图 经典课件(最新)

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