随机过程习题第2章
随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
第2章-随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤x 1和ξ(t 2) ≤x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ(t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ(t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ(t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ(t )的n 维概率密度函数。
随机过程第二章期末练习题
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
<答案> X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性 7、平稳过程 X(t)=u sin(ω t+ Φ)是否具有各态历经性？ m 0 <答案>具有各态历经性
计算题
1、已知随机过程 X(t)和 Y(t)的功率谱密度为
分别求 X ( t ) 和 Y ( t ) 的自相关函数和均方值。 2、随机过程 X ( t ) 定义为 X ( t ) = f ( t + ε ) ，其中 f ( t ) 是具有周期 T 的周期信号，ε是在 区间[0，T]内均匀分布的随机变量。证明 X ( t ) 是平稳随机过程。 （提示：利用周期函数的性 质 ）
3
1
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
2 2 机变量序列，已知 E[X (k)]=0， E[X (k)] = σ 。则 X(t)既是广义平稳随机过程， X 又是狭义平稳随机过程。 （V）
填空题
1、自然界的信号通常可以分两大类：＿＿＿＿信号和＿＿＿＿信号。 2、随机过程 X(t)的一维分布函数取决于＿＿＿＿和＿＿＿＿。 3、随机过程的数学期望表示＿＿＿＿。 4、随机过程的方差描述了＿＿＿＿。 5、自相关函数反映了＿＿＿＿。 6、＿＿＿＿、＿＿＿＿与＿＿＿＿是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征， 而＿＿＿＿和＿＿＿＿则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的 数字特征。 7、对于均值为 mX 、相关函数为 RX ( ) 的各态经历随机过程的任意样本函数 x(t ) ，必 有： lim
1 T 2T
T
T
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题二答案
0
sin
ux
f
xdx
0
sin
ux
f
xdx
0
0
sin
u
x
f
xdx
sin ux 0
f
x dx
0
令其中一式中的 x t
0
sin
ut
f
t
d
t
0
sin
ux
f
xdx
0
sin ut 0
证明：
X u
eiux f xdx
cos ux i sin ux f xdx
cos ux
f
xdx
i
sin
ux
f
xdx
（a）充分性：
当f
x
f
x时,sin ux
f
x
为奇函数
，
则i
c o vY Y, E Y 2 E Y 2 3 80
故（X,Y）的协方差矩阵为
cov X , X cov Y , X
1
cov X ,Y cov Y ,Y
18 0
0
3 80
4、已知二维随机变量（X,Y）服从联合正态分布，且
dFX
x
e tx f xdx
etxexdx etxdx
《随机过程概论》第2章 随机信号的基本概念 作业
第2章 随机信号的基本概念 作业
2-1、已知随机信号()0cos X t A t ω=，其中0ω 为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。
求00
0,,32t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度。
2-2、已知随机信号()X
t A Bt =+，其中,A B 皆为已知的随机变量。
①求随机信号()X t 的期望()E X t ⎡⎤⎣⎦和自相关函数()12,X R t t ；②若已知随机变量,A B 相互独立，试用,A B 的概率密度()A f a 和()B f b 来表示()X t 的一维概率密度();X f x t 。
2-3、两个随机信号()()0sin X
t t ω=+Φ与()()0cos Y t t ω=+Φ，其中0ω为常数，随机变量Φ服从[]0,2π的均匀分布；试求：
①两个随机信号的互相关函数()12,XY
R t t ； ②讨论两个随机信号的正交的条件，并且判定正交条件下它们的互不相关性与统计独立性。
2-4、设随机信号()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω为常数，,A B 是两个
线性无关的高斯随机变量，且期望都为0，方差为2σ，求()X
t 的一维概率密度函数。
数字通信原理第二版课后习题答案 第2章
图 2-3RC 高通滤波器
设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y(t)= τ [ dx(t ) / dt ] 式中， τ 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).
6
《通信原理》习题第二章
解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= τ * j 2π f * X ( f ) ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j 2π f τ 习题 2.15 功率谱密度为 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边
2
4 1 + jω
则能量谱密度
4 16 G(f)= X ( f ) = = 1 + jω 1 + 4π 2 f 2
2
习题 2.4 X(t)= x1 cos 2π t − x2 sin 2π t ，它是一个随机过程，其中 x1 和 x2 是相互统 计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 σ 2 。试求：
Rn (τ )
1
Pn ( f )
k 2
0 0
τ
f
图 2-2
习题 2.11
已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
R(τ ) = 1 − τ , − 1 ≤ τ < 1
试求 X(t)的功率谱密度 PX ( f ) 并画出其曲线。 解：详见例 2-12 习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为
+∞ −∞
j 2π f τ
1 + τ , df = 1 − τ 0,
−1 ≤ τ ≤ 0 0 ≤τ <1 其它
k -k τ e ，k 为常数。 2
习题 2.10
南京大学随机过程练习题附中文解释及答案
8、(3.8)An unbiased die is successively rolled. Let X and Y denote, respectively, the number of rolls necessary to obtain a six and a five. Find (a) E[X], (b) E[X|Y=1] 相继地掷一颗不均匀的骰子。令 X 和 Y 分别记得到一个 6 和一个 5 所必须的抛 掷次数。求（a）E[X]，（b）E[X|Y=1]。 重要：E[E[X|Y]]=E[X]
3、(4.32) Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off? 在一天中两个开关或者开或者关。在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是[1+ 第 n-1 天是开的开关数]/4。例如，如果在第 n-1 天两个开关都是开的，那么在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是 3/4。问两个开关都是开的天数的比例是 多少？两个开关都是关的天数的比例是多少？
随机过程习题解答第1,2章
习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。
试求过程X （t ）的均值和协方差函数。
解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()k U t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk tn 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j kjk nk k k U s I Ut I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++=()ts s s 22λλλ-+=()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。
[应用随机过程][习题][01]
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上海理工大学
2010-7-30
第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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2010-7-30
第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]
随机过程第二章
B Z(s,t)R Z(s,t) m Z(s)m Z(t)
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复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s,t) B(t,s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
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在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
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在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
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有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn))的联合分布函数为
1?i复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttzieyexzetmtt2????????????z???mtmzemzetdztztztztszzzetsr????????????z??tmsmzetsbztzsz??t????m?smtsrtsbzzzz相互之间的关系16复随机过程的性质复随机过程xttt的协方差函数bst具有性质
例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。
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复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈பைடு நூலகம்}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
《随机过程》第二章补充习题
1、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题： （1） 求出该马氏链进入各常返类的概率；（2） 求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3） 计算：nn P ∞→lim 。
2、 （网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。
平分是指第五球后双方分数相同。
平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。
如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。
如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。
若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1） 试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2） 分析各状态的性质；（3） 试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4） 试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。
3、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1） 研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2） 针对状态1和2，确定其平稳分布；（3） 若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6） 计算：}12{35==X X P ；（7） 计算：nn P ∞→lim 。
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
随机过程第2章 平稳过程与二阶矩过程
2.1 相关函数
{
{
{
对于宽平稳过程 X (t )而言，其平均值定义为 η = E { X ( t )} = η x 其中 E ( X )表示对随机变量X取均值。 互相关函数为 R(τ ) = E{X(t +τ )X * (t)}= Rx (τ ) = Rxx(τ ) * 表示取共轭运算。 (τ ) 显然， R(−τ ) = R *。 若X(t) 是实的宽平稳过程，则R(τ)为偶函数。
R xy (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 )Y (t 2 )) = R (t1 , t 2 + a ) − R (t1 , t 2 )
R yy (t1 , t 2 ) = E (Y (t1 )Y (t 2 )) = R xy (t1 + a, t 2 ) − R xy (t1 , t 2 ) = R (t1 + a, t 2 + a ) − R(t1 + a, t 2 ) − R(t1 , t 2 + a ) + R(t1 , t 2 )
平稳过程与二阶矩过程
第二章 平稳过程与二阶矩过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2012
内容简介
{ { { { { { { { { { {
2.1 相关函数 2.2 功率谱 2.3 功率谱与时域平均 2.4 线性系统 2.5 随机连续性 2.6 随机微分(均方意义) 2.7 Taylor级数 2.8 随机微分方程 2.9 随机积分 2.10 遍历性讨论 2.11 抽样定理与随机预测
推广 应用
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
第二章随机过程(函数)
西安电子科技大学 理学院
不相关:2阶联合中心矩
E[(X-E(X) )(Y-E(Y) )] = 0
正交:2阶联合原点矩
E(XY) = 0
独立：f(X,Y,x,y)=f(X,x)f(Y,y)
48
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同样对于离散随机过程有：
49
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西安电子科技大学 理学院
章
序
题目
绪论
学 时 4
主要内容
课程介绍、方法分享、相互熟悉、概率论回顾。
第一章
第二章
随机过程(函 16 数)
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
第三章
随机微积分
6
随机微积分及其求解方法介绍。
第四章
随机场
18
随机过程(函数)理解、概念、研究方法。
无线电物理中 无线电物理中的随机场简单应用，纵横分析、资料 第五章 随机场及简单 2 分析、学习方法升华，作业及课堂情况考核。 应用
西安电子科技大学理学院40西安电子科技大学理学院4133相关函数相关函数均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特均值和方差只描述了随机过程在某个特定时刻的统计特所用的只是一维概率密度所用的只是一维概率密度能反映随机过程在两个不同能反映随机过程在两个不同时刻状态之间的联系时刻状态之间的联系如图所示的两个随机过程如图所示的两个随机过程x和和yytt大致具有相同的均值和方差大致具有相同的均值和方差但这两个信号还是有明但这两个信号还是有明显的区别的显的区别的yytt随时间随时间t的变化较为剧烈的变化较为剧烈各个不同时刻各个不同时刻状态之间的相关性较弱状态之间的相关性较弱随时间的变化较为缓慢随时间的变化较为缓慢同时刻状态之间的相关性较强同时刻状态之间的相关性较强若只用均值函数和方差函数若只用均值函数和方差函数是不能反映出这些特征的是不能反映出这些特征的相关函数能反映两个不同时刻状相关函数能反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征态之间相关程度的数字特征
随机过程第2章习题
= x m-1 • exp{− xm xm −1} ( xm ≥ 0, xm −1 ≥ 0)
4
fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) ( x m /x1 , x 2 , L, x m-1 ) 只与 ξ ( m − 1) 有关，该过程是马尔可夫过程。
第7题 有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数 定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后 相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过 n 次交换，过 程的状态为 ξ ( n ), n = 1,2,3, L 。 （1）试问该过程是否为马尔可夫链； （2）计算它的一步转移概率矩阵。 解（1） ： 该过程是马尔可夫链； 解（2） ：
⎧e − x1 ( x1 ≥ 0) f ξ (1) ( x1 ) = f1 ( x1 ) = ⎨ ⎩0 (其它xi 值)
ξ (1), ξ (2), L , ξ ( m) 的 m 维联合概率密度为
⎧f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ⎪ ⎪ = x1x 2 L x m-1 • exp{−( xm xm −1 + xm −1 xm − 2 + L + x2 x1 + x1 )} ⎨ ( x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L , xm ≥ 0) ⎪ ⎪f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) = 0 (其它xi 值) ⎩
= ftm+2 / tm+1 ( xm + 2 / xm +1 ) ftm+1 / tm ( xm +1 / xm ) = ftm=1 ,tm+2 / tm ( xm +1 , xm + 2 / xm )
随机过程习题第2章
设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。
试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。
随机过程_汪荣鑫_答案2,3,4
1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？ （1）设随机过程 X (t ) e
Xt
，t>0，其中 X 具有在区间 (0, T ) 中的均匀分布
解：∵ 该随机过程的数学期望为
mx (t ) EX (t ) e xt
0
T
1 1 1 Tt dx e xt T [e 1] const 0 T Tt Tt
E[cos( 0 t ) cos( 0 t 0 )]
1 E[cos 0 cos(2 0 t 0 2)] 2
1 1 E (cos 0 ) E cos(2 0 t 0 2) 2 2 1 1 2 1 1 cos 0 cos(2 0 t 0 2 )d cos 0 2 2 0 2 2
2
2 0
1 [1 cos 2t ] 2t
不是常数
3
3．设随机过程
X (t ) A cos( 0 t ), t
其中 0 是常数，A 与Φ 是独立随机变量。Φ 服从在区间（0，2π ）中的均匀分布。A 服从 瑞利分布，其密度为
x x2 2 2 f ( x ) 2 e 0
EA
2
x2
0
x
2
x
2
e
x2 2
2
dx
0
x de
2
x2 2 2
x e
2
2
2
0
0
e
x2 2
2
d ( x ) 2
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2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。
试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=ΛΛΛΛΛΛ根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。
试证明：)/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t =证明：首先，由条件概率的定义式得)(),,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t =然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得)(),()/()()()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==)/()/(21/23/2123x x f x x f t t t t = 2.3 若)(t ξ是一马尔可夫过程，2121++<<<<<m m m t t t t t Λ。
试证明：)/,(),,,/,(21/,2121,,,/,212121m m m t t t m m m t t t t t x x x f x x x x x f m m m m m m ++++++++=ΛΛ 证明：首先，利用性质：}|{}|{}|{C B P BC A P C AB P =得),,,/(),,,,/(),,,/,(211,,,/1212,,,/2121,,,/,21112122121m m t t t t m m m t t t t t m m m t t t t t x x x x f x x x x x f x x x x x f m m m m m m m m ΛΛΛΛΛΛ++++++++++=于是，由马尔可夫性得)/(),/(),,,/,(1/12,/2121,,,/,1122121m m t t m m m t t t m m m t t t t t x x f x x x f x x x x x f m m m m m m m m ++++++++++=ΛΛ再利用性质}|{}|{}|{C AB P C B P BC A P =得),,,/,(2121,,,/,2121m m m t t t t t x x x x x f m m m ΛΛ++++=)/,(21/,21m m m t t t x x x f m m m ++++ 2.4 若有随机变量序列ΛΛ,,,,21n ξξξ，且ΛΛ,,,,21n ξξξ之间相互统计独立，n ξ的概率密度函数为)()(n n n x f x f n =ξ，),2,1(0][Λ==n E n ξ。
定义另一随机变量序列}{n η如下：ΛΛΛΛΛnn ξξξηξξξηξξηξη+++=++=+==21321321211试证明：（1）序列ΛΛ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性；（2）111112211]/[],,,/[-----======n n n n n n n y y E y y y E ηηηηηηΛ (1) 证明：由于ΛΛ,,,,21n ξξξ相互统计独立，其n 维联合概率密度函数为)()()(),,,(21212121n n y f y f y f y y y f n n ξξξξξξΛΛΛ=由随机变量序列}{n η与}{n ξ的关系可得如下的雅可比行列式1111011001==ΛO M M M O ΛJ 所以，ΛΛ,,,,21n ηηη的n 维联合概率密度函数为)()()(),,,(1121212121---=n n n x x f x x f x f x x x f n n ξξξηηηΛΛΛ于是，)()()()()()()()(),,/(121121*********,,,/2121121--------=-----=-n n n n n n n n n n x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x x x f n n n n n n ξξξξξξξξηηηηΛΛΛΛ由于221211211221211d d d )()()()(d d d ),,,(),(21211---∞+∞---∞+∞-----==⎰⎰-n n n n n n n n n x x x x x f x x f x f x x f x x x x x x f x x f n n n n n ΛΛΛΛΛξξξξηηηηη且221211212211211d d d )()()(d d d ),,,()(211211---∞+∞--∞+∞-----==⎰⎰--n n n n n n x x x x x f x x f x f x x x x x x f x f n n n ΛΛΛΛΛξξξηηηη所以，)()/(11/1---=-n n n n x x f x x f n n n ξηη因此)/(),/(1/121,,,/1121----=n n n n x x f x x x x f n n n n ηηηηηηΛΛ所以，序列ΛΛ,,,,21n ηηη具有马尔可夫性。
(2) 证明：根据条件均值的定义得]/[)/(),/(],,,/[111/121,,/1122111121---∞+∞--∞+∞---=======--⎰⎰n n n nn nn nn n n n n n y E dy y y f y dy y y y y f y y y y E n n n n ηηηηηηηηηηηηΛΛΛ于是，由给定的关系n n ξξξη+++=Λ21和0][=n E ξ11112211][],,,/[----=+====n n n n n n y y E y y y E ξηηηηΛ2.5 设有随机过程ξ(n ) (n =1，2，3，…)，它的状态空间I ：{x ：0<x <1}是连续的，它的参数T 为离散的，T =n (n =1，2，3，…)。
设ξ (1)为（0，1）间均匀分布的随机变量，即ξ (1)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<==)(0)10(1)()(11)1(11其它值x x f x f ξξ (1), ξ (2),…, ξ (m )的联合概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<<<<<==--值其它i m m m m m m m m m x x x x f x x x x x x x x x f x x x f ,0),,,()10(1),,,(),,,(21,,2,11112121)(,),2(),1(21,,2,1ΛΛΛΛΛΛΛΛξξξ (1) 求ξ (2)的边际概率密度f 2(x 2)； (2) 试问该过程是否为马尔可夫过程；(3) 求转移概率密度f 2|1(x 2| x 1)，……，f m |m -1(x m | x m -1)。
(4) 求}31)3(,43)1({<<ξξP 。
(1) 解：由给出的ξ (1), ξ (2),…, ξ (m )的联合概率密度函数可知)10(1),(121212,1<<<=x x x x x f其分布区域如右图加黑部分所示。
因此，)2(ξ的边际概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==⎰值其它i x x x x dx x x f ,01)(0 ln 1)(12211222(2) 证明：因为11211,,2,121,,2,11211,,2,1|1),,,(),,,(),,|(-----==m m m m m m m m m x x x x f x x x f x x x x f ΛΛΛΛΛΛ(0< x m <x m -1 <…<x 1 <1)显然,1,2,1|-m m f Λ只与x m -1有关，所以该过程是马尔可夫过程。
(3) 解：由(2)得11211,2,1|11|1),|()|(-----==m m m m m m m m m x x x x x f x x f ΛΛ其中，0< x m <x m -1<1 (m =1，2，3，…)。
(4) 解：由给出的ξ (1)，ξ (2)，…，ξ (m )的联合概率密度函数可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<=其它值,0)10(,1),,(123213213,2,1x x x xx x x x f于是，[]131313212212321313,1ln 1d 1d ),,(),(xx x x x x x x x x x x x x x f x x f ===⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其它值,0)10(,ln 113311x x x x x1x所以，31)23ln(32)23ln(32d ln 21d d ln 1}31)3(,43)1({23/10343313/104/33131133++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==<<⎰⎰⎰x x x x x x x x P xx ξξ2.6 设有一参数离散、状态连续的随机过程Λ,2,1),(=n n ξ，它的状态空间为{}0;:≥x x I ，又)1(ξ的概率密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥==-值其它100)()(111111x x e x f x f x ξ)(,),2(),1(m ξξξΛ的m 维联合概率密度为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥≥++++-=----值其它i x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x f m m m m m m m m m m 0),,,()0,,0,0()](exp[),,,(21,,2,12111221112121,,2,1ΛΛΛΛΛΛΛ （1） 求边际概率密度),,,(1211,,2,1--m m x x x f ΛΛ （2） 求)2(ξ的概率密度；（3） 说明该过程是马尔可夫过程，并求其转移概率密度)/(1/1--m m t t x x f m m (1) 解：由m 维联合概率密度可得m -1维联合概率密度)](exp[)exp()](exp[)](exp[),,,(11221221011122112101122111211211,,2,1x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x dx x x x x x x x x x x x x x f m m m mm m m m m mm m m m m m m +++-=-+++-=++++-=---∞+----∞+------⎰⎰ΛΛΛΛΛΛΛΛ(2) 解：同(1)理可求得：)](ex p[),,,(112323212212,,2,1x x x x x x x x x x x f m m m m m +++-=-----ΛΛΛΛM)](ex p[),(1121212,1x x x x x x f +-=所以，⎪⎩⎪⎨⎧≥+=+-=⎰∞+值其它222201112122,00,)1(1)](exp[)(x x x dx x x x x x f(3) 解：由条件概率的定义可得)exp(),,,(),,,(),,,/(111211,,2,121,,2,11211,,2,1/-------==m m m m m m m m m m m x x x x x x f x x x f x x x x f ΛΛΛΛΛΛ由此可见，当m -1时刻的状态确定时，m 时刻的状态与以前时刻的状态无关。