随机变量的期望与方差(一)

① P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
② E( ) np
③ D( ) np(1 p)
1.定义：
事件的独立性
若 P( AB) P(A)P(B) ,则称事件A与事B相互独立
2.性质：
若事件A与B相互独立，则事件 A与B，A与B，A与B
也相互独立
3.判定：
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
两点分布(0-1分布)
形如 ξ 0 1 的分布列称为两点分布列 P 1-p p
又称0-1分布 ，称随机变量ξ服从两点分布 称 p 为成功概率 注：两点分布是结果“一分为二(成败,非黑即白)”概型
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
所以 (X ) DX 1.2 1.095
(3)(2013年上海)设非零常数d是等差数列x1, x2, x3,L , x19 的
公差,随机变量ξ等可能地取值 x1, x2, x3,L , x19,则 D _______
析：由题意得
E( )
x1
x2 19
x19
x10
而 xn x10 (n 10)d
D. 1 2 ,1 2
练习4.作用估算期望与方差……
作业：
1.《固学案》P：20 Ex2
2.《固学案》P：20 Ex9 3.若 ~ B(9 , 1) ，且ξ+2η=1
3
则D(η)=_____
预习：
继续研究 随机变量的期望与方差
x2
3.
故 x1+x2 =3
练习2.性质公式法求期望与方差
(5)已知随机变量ξ的分布列为
若η=2ξ+1，则E(η)=
A.1
B. 29
法1：定义法…… 36
C.
2 3
D.
1 6
法2：性质公式法 E(a b c) aE( ) bE() c
E(a b) aE( ) b 因 E( ) 1 1 0 1 1 1 1
35 2.92 12
D(X ) 1.71
(2)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 34 p 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
求D(X)和σ (X)
解：因 E(X ) 0 0.11 0.2 2 0.4 3.2 4 0.1 2
故 D(X ) (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 .2 (4 2)2 0.1 1.2
2.方差：体现了总体的稳定性(波动性)
三、常用的公式及性质：
随机变量及其分布列概述
随 细化数化分布列①
机 事
一选二算三列表 ② 六大分布公式化 ③
件 期望方差确定化④
分 布 列
求分布列的总思路
繁 (大)
事 件
分类：互斥事件加法公式 分步：独立事件乘法公式
简 (小)
事 件
六大分布套公式 陌生事件三步法
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
几何分布
如果事件A每次发生的概率均为p，则事件A在第k次首次
发生的概率为P(ξ＝k)＝ (1－p) k-1p (k＝1,2,3，…) 则称ξ服从几何分布，并记ξ～ G (p)
注1：几何分布的模型是放回抽样 注2：几何分布是“破天荒”概型
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
A与B独立 P(AB) P(A)P(B)
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
条件概率
1.定义： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率 并记为P(B|A). 读作：A发生的条件下B发生的概率 2.性质：
① 0 P(B | A) 1;
② D(a) 0
③ D(a b) a2D( )
④ D( ) E( 2 ) E2( )
⑤ E(a b c) aE( ) bE() c
⑥若 ~ B(n , p) ,则 E( ) np , D( ) np(1 p)
⑦若 ~ N( , 2) ,则 E( ) , D( ) 2
P(
1)
____
析：由题意得 D( ) n 2 ，即n=8
4
故
P(
1)
C81
(
1 2
)1
(1
1)7 2
1 32
(8)若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________
析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1) ＝D(ξ)＝1
(9)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验 当 p = ________时，成功次数的标准差的值最大， 其最大值为________
析：设成功次数为ξ，则ξ～B(100,p)
欲使标准差最大，只需D(ξ)＝100p(1-p)最大即可
故当p
=
1 2
时，有D(ξ)max=…=25
即标准差的最大值为5
(10)在10件产品中有2件次品，任意抽取3件,则抽到次品 个数的数学期望的值是_______
析：设抽到次品个数为ξ，则ξ服从超几何分布
其中N=10，M=2，n=3 ,故 E( ) 2 3 3
常见事件的字母表示
① A+B=A∪B
A、B中至少有一个发生
② AB=A∩B
A、B要同时发生
③ AB+ AB
A、B中恰好有一个发生
④ A·B = A+B A·B·C = A+B+C
A、B都不发生 A、B、C都不发生
⑤ A·B = A+ B
A、B不都发生
A·B·C = A+B+C A、B、C不都发生
求分布列的三大步骤： 一选二算三列表
p
11 66
34
11 66
56
11 66
故 E(X ) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 6 6 6 6 6 62
D( X ) (1 7)2 1 (2 7)2 1 (3 7)2 1 (4 7)2 1 (6 7)2 1
26 26 26 26 26
6
(4)若离散型随机变量X满足 P X
x1
2，P 3
X
x2
13，且x1
x 2，
又E(X)= 4 ,D(X)= 2
3
9
,则x1+x2 =_____
析：由题意得
2 3
x1
1 3
x2
4 3
,
(x1
4)2 3
2 3
(x2
4)2 3
1 3
2 9
解得Fra Baidu bibliotek
x1 x2
1 2
或
x1 x2
5 3 2 3
(舍（去舍)，） x1
§260 随机变量的期望与方差(一) 一、概念：
1.期望：E( ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn
2.方差：D( ) (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
二、作用(目的)：
1.期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
故 D(X ) (x1 E( ))2 (x2 E( ))2 (x19 E( ))2
19
[(9)2 (8)2 (7)2 92 ]d 2 19
2d 2 (12 22 32 92 ) 19
2d 2 91019
30d 2
19
6
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
②乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) 注：若A，B独立，则有 P( AB) P( A)P(B)
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
k＝0,1,2,…,m; m＝min{M，n}
X
0
1
…
m
即P
C0MCNn－ －0M CnN
C1MCNn－ －1M CnN
…
10 5
练习3.形法估算期望与方差
正态曲线是钟型 要求概率求面积 均值中众对称轴 前数期望后方差
指数二次组合体 左小右大总为 1 比较方差武大郎 平方去π同上母
(11)如图是正态分布 N(1
,12 )
和
N
(2
,
2 2
)
对应的曲线,则
A. 1 2 ,1 2
B. 1 2 ,1 2
C. 1 2 ,1 2 【C】
2 6 36
故 E() E(2 1) 2E( ) 1 2
3
(6)若 ~ B(n , 1) ,且 E( ) 2 ,则 P( 2) ____
3
析：由题意得 E( ) n 2 ,即n=6
3
故
P(
2)
C62
(
1)2 3
(1
1)4 3
80 243
(7)若
~
B(n
,
1 ),且 2
D(
)
2
,则
②如果B和C是两个互斥事件，那么
P(B UC | A) P(B | A) P(C | A).
3.求法： ①定义法 P(B | A) P( AB)
P( A)
②缩小样本空间法 P(B | A) n( AB) n( A)
§260 随机变量的期望与方差(一) 一、概念：
1.期望：E( ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn
2.方差：D( ) (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
二、作用(目的)：
1.期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
2.方差：体现了总体的稳定性(波动性)
三、常用的公式及性质：
期望与方差常用的公式及性质
① E(a) a
CmM
Cn－ m N－ M
CNn
称该分布列称为超几何分布
称随机变量X服从超几何分布. 并记X～ H (n,M,N)
注：元素属性两大类 质量抽检是范例
①
②
大 N总数抽小 n 次品 M 含小 k
①超几何分布是“结构一分为二(成分两大类)” 概型
②超几何分布的模型是不放回抽样
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
均匀分布
X 形如
p
x1
1 n
x2
1 n
x3
1 n
x4
1 n
…
…
xn
1
的分布列，
n
称为均匀分布
注：均匀分布是平等化概型
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值 二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率
计算概率常用的方法
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
定义法 模拟试验法 性质公式法
统计定义 古典概型 几何概型
常用的概率公式法
①加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 注：若A，B互斥，则有 P( A B) P( A) P(B)
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
二项分布——独立重复n次，恰好发生k次的概率 一、定义：参课本P：57
注1：互不影响为独立 概率相等即重复 重复n 次恰好 k 通项公式后项 p
注2：频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
二、常用的公式：
若 ~ B(n , p) ，则
⑧若 ~ H (n , M , N)
,则 E( ) nM , D( ) nM (N n)(N M )
N
N 2(N 1)
⑨若 ~ G( p) ,则 E( ) 1
p
, D( )
1 p p2
⑩若ξ,η相互独立，则
E() E( )E()
练习1.定义法求期望与方差
(1)课本P：66 例4
解：易得X的分布列为 X 1 2