《流体力学》典型例题讲课稿
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
流体力学讲稿第三章201510a参考件1
y 2
y 2
y
( p p dz )dxdy ( p p dz )dxdy p dxdydz
z 2
z 2
z
故作用于微元体上对应的总合力为
2020/3/24
4
(
p
r i
p
r j
p
r k
)dxdydz
pdxdydz
x y z
设作用于微元体单位质量的体力为 Fr，则作用于微元体上的总
体力为
r Fb
1
步一：给出水波问题的基本（假定）条件 1）水是无粘性 (不考虑水粘性)； 2）水是不可压缩流体； 3）水波运动流场是无旋的。
水波问题是理想不可压流体的无旋运动问题
水波问题必须服从不可压势流运动的基本控制方程
2020/3/24
2
步二：推导出水波问题的基本方程
① 水的流体质点运动方程
1）拉格朗日形式
(tt )
f (rr,t)d
(t)
Dt t0
t
t0
t
8
现将
(t
t)分为两部分，即与
(视为控制体)重合部分
以
2
及新占区域 1 ，而从 空出部分可设为 3(均取t t 时刻)，故有
(t t) 1 2 1 3 ; I (t t) I(tt) (I1 I I3 )tt
由此 DI (t) lim I (t t) I (t)
流体的欧拉运动方程应用）
2020/3/24
6
第三章 流体运动的基本方程组
1. 系统与控制体
① 系统
---- 某一确定流体质点集合的总体称为系统,系统以外部分 称为外界,其与系统的分界面称为边界。
---- 系统的特点为：(i)系统内质点始终包含在系统内，系 统边界的形状和空间大小一般随运动而变；(ii)系统与外界 无质量交换，可有力的相互作用和能量交换(类似理论力学 质点系特性) 。
流体力学 1章讲稿
第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
流体力学课件第二章例题与习题
04
总结与思考
本章重点回顾
01 流体静力学基本概念：压力、压强、绝对 压强、真空压强等。
02 流体动力学基本概念：流速、流量、流阻 等。
03
流体流动的守恒定律：质量守恒、动量守 恒、能量守恒等。
04
流体流动的理想模型：不可压缩流体、一 维流动、二维流动等。
思考题与拓展阅读
01
思考题
02
如何理解流体静力学的基本概念？
03
流体动力学的基本概念有哪些？它们之间有何联系？
思考题与拓展阅读
流体流动的守恒定律有哪些？它们在 流体流动中有什么作用？
理想流体流动模型有哪些？它们在实 际应用中有何限制？
思考题与拓展阅读
《流体力学》教材及相关参考书 深入学习流体力学的基本原理和公式推导。
03
习题解答
习题一：流体静力学问题
流体静力学问题主要考 察流体在静止状态下的 压力、密度和重力之间
的关系。
01
1. 压力问题： 计算流 体在静止状态下，由于 重力作用产生的压力。
03
3. 平衡问题： 研究流 体在静止状态下，由于 重力与压力之间的平衡
关系。
05
2. 密度问题： 分析流
•·
02
04 体在不同深度下，由于
Hale Waihona Puke 例题二：伯努利方程的应用总结词
该题目主要考察了伯努利方程在解决实际问题中的应用，包括流速、压强、高度 等物理量的关系。
详细描述
通过分析一个管道中气体的流动，理解伯努利方程的应用。首先，我们需要确定 管道入口和出口处的流速和压强，然后利用伯努利方程计算出管道中任意截面的 流速和压强。此外，还需要考虑管道的摩擦阻力对气体流动的影响。
《流体力学》第三章流体动力学基础例题ppt课件
【例】 有一贮水安装如下图，贮水池足够大，当阀门 封锁时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开， 水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当 水管直径d=12cm时，经过出口的体积流量(不计流动损失)。
所以管内流量
q V4d2 V 2 0 .7 8 0 .1 52 22.7 0 8 0 .2〔3 m3/5 s〕
【例】 水流经过如下图管路流入大气，知：Ｕ形测压 管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72m H2O，管径 d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失， 试求管中流量qv。
【解】 首先计算1-1断面管路中心的压强。由于A-B为
等压面，列等压面方程得：Hgghp1g1h p1Hgghg1h
那么 pg 1Hg hh11.6 30.20.7 22
(mH2O)
列1-1和2-2断面的z1伯努p利g1方V 2程1g2 z2pபைடு நூலகம்2V 22g2
由延续性方程：
V1
V2
d2 d1
2
【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
当阀门封锁时，根据压强计的读数，运用流体静力学根本
Hpg a00pa0g.6paV 22g2
方程求出Ｈ值
p ag H p a 2 .8 p a
那么
H2. 8g pa2.89 98800 62 6(8 0 m2O H)
代入到上式
V 22g H 0. 6g pa 29.80 2 6 .80.69 9880 0 6 26.7 0〔08m/s〕
流体力学 6章讲稿
第六章 不可压缩理想流体平面流动实际工程中，很多问题可以简化为平面流动问题。
对于二维平面流动问题, 除直接应用二维平面流的基本方程进行数学求解外,在一些条件下, 引入流函数并利用流函数的特性, 进行数学求解,可以更深入地认识、分折流场。
此外, 对于某些工程问题, 引入流函数进行求解, 可避免直接解基本方程时出现的不收敛问题, 即假解问题。
§6.1 平面流动的流函数及其性质 一． 二维平面流函数对于定常、可压缩、无源、二维平面流动，连续方程为0)(=⋅∇V ρ即0=∂∂+∂∂yvx u ρρ （2） 由上式可得 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ （3）证明： 二维情况下，直角坐标系下的哈密顿算子为j i yx ∂∂+∂∂=∇ 所以=+-⨯∇)(j i u v ρρ⨯∂∂+∂∂)(j i y x =+-)(j i u v ρρk )(yvx u ∂∂+∂∂ρρ 以方程(2)代入上式得到 0)(=+-⨯∇j i u v ρρ 证毕 方程（3）表明矢量a 场（j i a u v ρρ+-=）无旋，据前述理论,矢量a 存在数学势函数Ψ,由于这里矢量a 是与速度和密度的乘积相关联的量, 因此流体力学中把它的数学物理势Ψ称之为密流函数。
此即定常、可压缩、无源、二维平面流动下存在密流函数Ψ。
Ψ和密流的关系为v a xx ρψ-==∂∂ u a y y ρψ==∂∂ =∇ψj i u v ρρ+- 对于不可压缩、无源、二维平面流动, 连续方程为 0=⋅∇V仿上可以得出流函数Ψ(这里流函数我们也用字母Ψ表示,因为流函数较密流函数更多地被应用)。
同样有流函数Ψ和速度的关系为v x-=∂∂ψu y =∂∂ψ =∇ψj i u v +- k v ⨯∇=ψ（自证！）二、 流函数Ψ的性质1. 等密流函数值线(或等流函数值线)为流线 证明：在等密流函数值线上 Ψ＝c 即 d Ψ＝0也就是 0=∂∂+∂∂=dy ydx x d ψψψ 当Ψ为密流函数时，上式为 -ρvdx ＋ρudy ＝0 Ψ＝Const 当Ψ为流函数时则为 -vdx ＋udy ＝0 由它们均可以得到vdyu dx =上式正是二维平面流的流线方程, 即等密流函数值线(或等流函数值线) 为流线。
流体力学讲稿第二章201510参考件
*一位农民想通过一根很长的细管子将珍贵的葡萄酒从自己的乡 间农舍输送到山脚下的一位朋友家里。一切都很顺利：朋友家 的酒桶灌满了葡萄酒，但随后液体管子内的压力很快使木桶破 碎，葡萄酒浸泡了房子。
4）非均匀流体平衡的密度条件 --- 重力场中的非均匀流体若处于平衡,则流体呈现分层状态,即 各水平层内密度不变。 分析：由流体静力学原理，各层压强与水平位置无关，压强差为 两层间单位底面积上流体重量 gdz，故密度 必与水平位置无关。 3.均质流体的相对平衡 1)均质流体整体进行匀加速直线运动 如图示,xy平面平行容器流体之
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16
液体中曲面上的静压强分布
2）U形管流体测压原理 如图示,由流体静力学定律,有
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液柱式测压计
重液体
思考题 在水管上安装一复式水银测压计，试给出测压管 中1-2-3- p4
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3）帕斯卡原理及其应用 --- 若在静止均质流体的边界上施加一压强,该压强可以均匀 传遍整个流体,其值不变,此即帕斯卡原理。 --- 如图示，在活塞C加一推力Fc使流体产生压强增量 p
势,故斜压流体在有势体力作用下一般无法平衡。 ----对于互不混合的两种静止流体的分界面,沿界面上任一微 元线段 之压强增量可写为 ( p 与 在分界面上连续)
流体平衡基本方程
f ( p) g ( )
故得 即分界面为等压面。
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---若体力有势，因
，则界面的各侧为等压
面，也就是各自的等密面。 由 ，故 与 垂直，即分界面与体力方向垂直， 因而有势的体力其等势面（法向方向为 ）与分界面 （等压面）重合。 ----常见的流体分界面包括水面等自由表面（气液分界面），在 重力 作用下之平衡水面与重力等势面 一致。 --- 万有引力
流体力学知识点总结33981讲课稿
流体力学11.1 流体的基本性质1)压缩性流体是液体与气体的总称。
从宏观上看，流体也可看成一种连续媒质。
与弹性 体相似，流体也可发生形状的改变，所不同的是静止流体内部不存在剪切应力，这是因为如果流体内部有剪应力的话流体必定会流动，而对静止的流体来说流动是不存在的。
如前所述，作用在静止流体表面的压应力的变化会引起流体的体积应变，其大小可由胡克定律 v v k p ∆-=∆ 描述。
大量的实验表明，无论气体还是液体都是可以压缩的，但液体的可压缩量通常很小。
例如在500个大气压下，每增加一个大气压，水的体积减少量不到原体积的两万分之一。
同样的条件下，水银的体积减少量不到原体积的百万分之四。
因为液体的压缩量很小，通常可以不计液体的压缩性。
气体的可压缩性表现的十分明显，例如用不大的力推动活塞就可使气缸内的气体明显压缩。
但在可流动的情况下，有时也把气体视为不可压缩的，这是因为气体密度小在受压时体积还未来得及改变就已快速地流动并迅速达到密度均匀。
物理上常用 马赫数M来判定可流动气体的压缩性，其定义为M=流速/声速，若M 2<<1，可视气体为不可压缩的。
由此看出，当气流速度比声速小许多时可将空气视为不可压缩的，而当气流速度接近或超过声速时气体应视为可压缩的。
总之在实际问题中若不考虑流体的可压缩性时，可将流体抽象成不可压缩流体这一理想模型。
2)粘滞性为了解流动时流体内部的力学性质，设想如图10.1.1所示的实验。
在两个靠得很近的大平板之间放入流体，下板固定，在上板面施加一个沿流体表面切向的力F 。
此时上板面下的流体将受到一个平均剪应力F/A 的作用，式中A 是上板的面积。
实验表明，无论力F 多么小都能引起两板间的流体以某个速度流动，这正是流体的特征，当受到剪应力时会发生连续形变并开始流动。
通过观察可以发现，在流体与板面直接接触处的流体与板有相同的速度。
若图10.1.1中的上板以速度u沿x 方向运动下板静止，那么中间各层流体的速度是从0（下板）到u （上板）的一种分布，流体内各层之间形成流速差或速度梯度。
流体力学 7章讲稿
第七章 粘性流体动力学基础粘性是流体的属性,真实流动都是具有粘性的流动。
本章包括： (1) 粘性流体动力学问题的建立； (2) 粘性流动的基本特性； (3) 若干具体问题的解析求解和近似求解。
§7.1 流动的粘性效应一、圆柱绕流 (参讲义) 二、管内流动§7.2 层流与湍流§7.3 广义牛顿粘性应力公式流体作直线层流运动时，试验得到切应力与变形速率之间的关系式为：dy du μτ=)(212xv y u ∂∂+∂∂=μ 牛顿粘性应力公式yx p yx με2=流体作非直线层流动运动时,无法由试验给出应力p ij 与变形速率εij的关系一、应力张量由第四章，粘性流体的应力是二阶对称张量 pxx p xy p xz P={p ij }= p ij e i e j = p yx p yy p yzp zx p zy p zzp yx =p xy p zx =p xz p zy =p yz p n ＝n ﹒P ＝-e j n i p ij另外，在静止或理想流体中，过一点的任意平面的法向应力p n 的方向，都与该平面的单位法线向量n 的方向相反，且法向应力的数值p 与n 无关，即P n ＝-p n式中p 只是位置及时间的函数p ＝p(x,y,z,t)。
这个压力就是经典热力学平衡态意义上的压力。
在粘性流体动力学中，流体质点的物理量都处在变化过程中，过一点的不同平面上的法向应力的数值并不一定相同。
因此，严格说来，并不存在平衡态意义上的压力。
但定义一平均压力p m ,它是球形流体微团(也可取任意形状的流体微团)表面所受法向应力p nn 的平均值的负值，即⎰⎰→-=Ann a m dA p a p 0241limπ式中 a 为球形微团的半径。
球面上的法向应力p nn 和球面微元面积可写成 p nn =n ﹒p n =n i n j p ijn 1＝sin θcos ε n 2＝sin θsin ε n 3＝cos θ dA ＝a 2sin θd θd ε于是⎰⎰-=ππεθθπ020sin 4d d n n p p j i ijm此式右侧包括9项，分别积分之，最后得3)(31332211ij m p p p p p -=++-=即：流场中任意一点的平均压力p m ，等于过此点的三个坐标面上的法向应力p 11、p 22、p 33的算术平均值的负值。
流体力学习题集讲课稿
流体力学习题集第1章绪论习题1- 1从力学分析意义上说流体和固体有何不同？1- 2量纲与单位是同一概念吗？1- 3流体的容重和密度有何区别与联系？1- 4水的密度为1000 kg/m3, 2升的水的质量和重量是多少？1- 5体积为0.5m3的油料，重量为4410N,该油料的密度是多少？1-6水的容重=kN/m 3，= 10 3 Pa s，求它的运动粘滞系数。
1-7如图所示为一0.2m的平板，在油面上作水平运动，已知运动速度u= 1m/s，平板与固定边界的距离=1mm，油的动力粘滞系数为=题1-8图题1-7图Pa s，由平板所带动的油的速度成直线分布，求平板所受的阻力1-8旋转圆筒粘度计，悬挂着的内圆筒半径r = 20cm，高度h = 40cm，内筒不动，外圆筒以角速度=10 rad/s 旋转，两筒间距=0.3cm，内盛待测液体。
此时测得内筒所受力矩M= N m求油的动力粘滞系数。
（内筒底部与油的相互作用不计）1-9 一圆锥体绕其中心轴作等角速度=16 rad/s旋转，锥体与固定壁面的间隙=1mm,其间充满=Pa s的润滑油，锥体半径R = 0.3m，高R = 0.5m，求作用于圆锥体的阻力矩。
1-10如图所示为一水暖系统，为了防止水温升高时体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部设一膨胀水箱。
若系统内水的总体积为8m,加温前后温差为50 C,在其温度范围内水的膨胀系数为，求膨胀水箱的最小容积。
（水的膨胀系数为/ C）1-11水在常温下，由5at压强增加到10at压强时，密度改变多少？1-12容积为4的水，当压强增加了5at时容积减少1升，该水的体积弹性系数为多少？为了使水的体积相对压缩1/1000,需要增大多少压强？td1^1事L 题1-10图第2章流体运动学基础题1-9图2-1给定速度场U x= x + y，Uy:=x y，U z = 0，且令t = 0 时x = a，ybz =C,求质点空间分布。
，2-2已知拉格朗日速度分布U x =(a sin t b cos t ) ，U y =a，y = b，z = c，试用(a cos t b sin t ) ，U z =。
流体力学习题课备课讲稿
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习题 矩形平板闸门，一侧挡水， 已知长L=2m，宽b=1m，形 心点水深hc=2m，倾角=45°， 闸门上缘A处设有转轴， 忽略闸门自重及门轴摩擦 力，试求开启闸门所需拉力T。
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习题
解：（1）解析法。 P pC A hC g bl 1000 9.807 2 1 2 39.228(kN )
8 9 9 .3 5 8
（kg/m3）
答：该油料的密度是899.358kg/m3。
2.水的密度为1000，2L水的质量和重量是多少？
解：
m V
1000 0.002
2（kg）
G m g 2 9 .8 0 7 1 9 .6 1 4 （N）
答：2L水的质量是2kg，重量是19.614N。
比A点高0.4m，A点在水下1.5m，求水面压强。
解：
p0 gh1 p表gh2
p0
p0 p表g(h2 h1)
1.5m
490010009.8(0.41.5) 5.880kPa
0.4m
A
相对压强为： -5.880 kPa。
绝对压强为：101.325-5.880=95.445 kPa。
答：水面相对压强为-5.880kPa，绝对压强为
H
M
0
H2R2 H
2H R33
z3dz
R3 H2R2 2
2 1 0 .1 1 0 1 3 60.330.520.32
39.568 N m
答：作用于圆锥体的阻力矩为39.568N.m。
习题
1.静止流体中存在：（ A ）
A.压应力；
B.压应力和拉应力；
C.压应力和剪应力； D.压应力、拉应力和剪应力。
《流体力学》典型例题20111120.pdf
中间： p1 p2 g( h3 h2 )
联立可得： 水g h1 h2
g h3 h2
水 g h4 h3
h1 h2 h3 h4
水
h3 h2
h
z
容器 A
容器 B
2
2
h
1
1
h1
h2
z
容器 A
容器 B
例题 5：如图所示， U 型管中水银面的高差 h＝0.32 m，其他流体为水。容器 A 和容器 B 中心的位置高差 z＝1 m 。求 A 、
12
2
( x y ) (x y)t C (t )
2
求速度势函数（二）
按势函数定义求
( x, y)
( x,0)
ux d x
(0,0)
( x, y )
uy d y
( x,0)
x
y
(x t)dx (y t)d y
0
0
1 ( x2 y2 ) ( x y)t C(t) 2
例题 10
已知： 速度场 ux 3bx2 3by 2, uy 6bxy, uz 0 。
求证： 此流动是不可压缩流体的 平面 势流，并求速度势函数。
解： ① uz 0,
0 ——平面流动
z
② ux x
uy 6bx 6bx 0 ——不可压缩 y
（ 1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。
（ 2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度 amax 。
z
Hh
O
x
a
L
解 ：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点， 一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为
X a,Y 0,Z g
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《流体力学》典型例题《例题力学》典型例题例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30的斜面作等速下滑运动。
已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。
求油的动力粘性系数。
解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du U dy τμμδ=＝ 又因等速运动，惯性力为零。
根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯ 例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m 、轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。
求克服油的粘性阻力所消耗的功率。
解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅= 克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。
解：根据牛顿黏性定律 d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ== 2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。
水解：根据等压面的性质，采用相对压强可得：()()()123243g g g h h h h h h ρρρ---=-水水123432h h h h h h ρρ-+-=-水例题5：如图所示，U 型管中水银面的高差h ＝0.32 m ，其他流体为水。
容器A 和容器B 中心的位置高差z ＝1 m 。
求A 、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度γ水＝9810 N/m 3，水银的重度γ水银＝133416 N/m 3）。
解：根据等压面的性质可得：A 11p p h γ=+水，12p p h γ=+水银，B 22p p h γ=+水()()()()A B 211334160.3298100.32129743.92Pa p p h h h h h z γγγγ-=--=-+=⨯-⨯+=水银水水银水例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H ＝1.2m ，长L ＝3m ，静止时盛水深度h =0.9m 。
现水箱以20.98m a =的加速度沿水平方向做直线运动。
若取水的密度31000kg m ρ=，水箱中自由水面的压强0p ＝98000Pa 。
试求： （1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。
（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度max a 。
解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。
则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为0X a,Y ,Z g =-==- 代入非惯性坐标系中的压力全微分公式()d d d d d p X x Y y Z z W ρρ=++=，得()d d d p a x g z ρ=-+ ①积分得 ()1p ax gz c ρ=-++利用边界条件确定积分常数1c ：在坐标原点O （0x z ==）处，0p p =，得10c p =由式①可得水箱内的压强分布()()098000100009898980009809800p p ax gz .x .z x z ρ=-+=-+=-- 对于水箱中的等压面，有d 0p =，所以由式①可得等压面的微分方程d d a x g z =-积分得 2az x c g=-+上式给出了一簇斜率为a g -的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c =。
因此自由水面方程为0980198a .z x x .x g .=-=-=- （2）假设水箱以加速度max a 运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h '，则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2h H LL h '+⋅⋅=②又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系max g a H h L'-= ③②和③式联立求解，得：()()()2max 22 1.20.9g 9.8 1.96m s 3H h a L -⨯-==⨯= 例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D ＝1 m ，高H ＝2 m ，静止时水深为h ＝1.5 m 。
求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度ω应控制在多大？（2）当ω＝6 rad/s 时，筒底G 、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？C解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,r z H ==，则由：()22,,d d d d X x Y y Z gp X x Y y Z z ωωρ⎧===-⎪⎨=++⎪⎩，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202g r z H ω=+ 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d 2g 4D r D r H r h ωππ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭⎰由此可求得：22016gD H h ω=-，带入自由表面方程得：2222g 8D z h r ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若使ω达到某一最大值而水不溢出，则有2r D =时，z H =，带入上式，得()8.854rad s ω===（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为2222220g g 2g 2g 16g r r D p H z h z ωωωρρ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将G 点条件：0,0r z ==带入得：2222G 61g 10009.8 1.512450Pa 16g 169.8D p h ωρ⎛⎫⎛⎫⨯=-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭同理，将C 点条件：2,0r D z ==带入得：222222C 61g 10009.8 1.516950Pa 8g 16g 169.8D D p h ωωρ⎛⎫⎛⎫⨯=+-=⨯⨯+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mm d =，高500mm H =，容器内装水，水深为1300mm h =，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速1n 。
解：以自由液面的最低处为坐标原点，自由液面方程为H gd gr z ===822222ωω旋转后无水的体积为：()2224222102d 2d 2644dd r d V z r r r r d H h ggωωππππ=⨯=⨯==-⎰⎰14187g(H h ).dω⇒=-= ()rad s 1301783n .ωπ⇒== ()r min例9 已知平面直角坐标系中的二维速度场()()x t y t =+++u i j 。
试求： （1）迹线方程；d d d d x y zx y z t u u u === （2）流线方程；d d d x y zx y z u u u == （3）0t =时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度； （4）涡量，并判断流动是否有旋。
解：（1）将,x y u x t u y t =+=+代入迹线方程d d d d x y x y u ,u t t==得： d d d d x y x t,y t t t=+=+ 解这个微分方程得迹线的参数方程：1,1t t x ae t y be t =--=--其中，,a b 是积分常数（拉格朗日变数）。
消掉时间t ，并给定,a b 即可得到以,x y 表示的流体质点(),a b 的迹线方程。
例如：已知欧拉法表示的速度场22x y =-u i j ，求流体质点的迹线方程，并说明迹线形状。
将2,2x y u x u y ==代入迹线微分方程：d d d d x y x y u ,u t t==，得： d d 22d d x y x,y t t== 分离变量并积分，得： 12ln 2ln 2x t c y t c =+⎧⎨=-+⎩从上两式中消去时间t 得迹线方程： 12xy c c =+ 即： xy c =可见，该流场中流体质点的迹线为一双曲线。
（2）将,x y u x t u y t =+=+代入流线微分方程d d x y x y u u =得：d d x y x t y t=++ 将t 看成常数，积分上式得流线方程：()()ln ln ln x t y t c +=++ 或 ()()x t c y t +=+（3）由质点导数的定义可得流动在x 和y 方向的加速度分量分别为：D D x x x x x x y u u u ua u u t t x y∂∂∂==++∂∂∂()()110x t y t =++⨯++⨯1x t =++ D D y y y y y xyu u u u a u u ttxy∂∂∂==++∂∂∂()()101x t y t =++⨯++⨯1y t =++所以，0t =时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度为：()()D 1122D x x a a x t y t t==+=+++++=+ua i j i j i j （4）由涡量的定义，对于题中所给的平面流动有：0y x z u u x y Ω∂∂=∇⨯==-=∂∂⎛⎫⎪⎝⎭Ωu k k 所以流动无旋。
例10 已知二维速度场为4x u x y =-，4y u y x =--。
（教材P68） （1）证明该速度分布可以表示不可压缩流体的平面流动； （2）求该二维流场的流函数； （3）证明该流动为势流； （4）求速度势函数。
解：（1）平面流动判定不可压缩流体平面流动的连续方程为0yx u u x y∂∂+=∂∂ 由已知条件可求()41x u x y x x∂∂=-=∂∂，()41y u y x y y ∂∂=--=-∂∂，可见速度分布满足连续方程。
故可以表示不可压缩流体的平面运动。