高一数学上学期知识点归纳

高一上学期知识点及解题技巧归纳一、常见不等式解法 1.含绝对值不等式的解法【提示】(1)一元二次不等式的解为“大两边、小中间”，即“大于大根或小于小根”，“大于小根小于大根”.(2)若a<0，是什么情况？一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数区别与联系？望自行思考. 3.分式不等式：（1）； （2）；（3） ； （4）.4.指数不等式与对数不等式(1)当时,；.(2)当时,；5.经典例题及易混易错题型略.二、与集合相关的知识 1.集合间的基本关系0)20(0)ax bx c a ++>>()()()()00>⋅⇔>x g x f x g x f ()()()()00<⋅⇔<x g x f x g x f ()()()()()⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥000x g x g x f x g x f ()()()()()⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤000x g x g x f x g x f 1a >()()()()f x g x aa f x g x >⇔>()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩01a <<()()()()f x g x a a f x g x >⇔<()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩(1)包含A=B 和A B 两种情况. AB 分A= Ø和A ≠ Ø两种情况.(2)与∈的区别.(3)Ø 与{Ø}的区别：前者代表空集，后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集Ø∈{Ø}、Ø{Ø}均正确. 【解题思路点拔】学好集合间基本关系须熟记四个结论：(1)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.(2)任何一个集合是它本身的子集，A A. 只有一个子集，就是它本身.(3)集合是子集和真子集具有传递性，若且，则.(4)已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.2.集合的基本运算AA(CuB)= Cu (A 德摩根公式(CuB)= Cu(A 德摩根公式B A ⊆≠⊂≠⊂⊆⊆φ⊆φB A ⊆B C ⊆A C ⊆A B {x x ∈AA A =∅=∅B A ⊆B B ⊆A B {x x ∈AA A =A ∅=B A ⊇B B ⊇【常用公式及结论】 (1)容斥原理：(2)例：A ={(x ，y)| y =x+1} ,B={y|y =x2+1} ,则A ∩B =. 解题思路及注意点：读懂集合中元素的意义是解决集合问题的关键.例：，，其中,若,求r 的取值范围.【解题思路点拔】学好集合问题须做到“五看”：一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合； 二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单；四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用. 3.经典例题及易混易错题型忽视空集是任何非空集合的子集，导致思维不全面.,勿忘空集和集合本身. 树立分类讨论思想，分Φ和非空集合两种情况进行讨论.例：设，，若，求实数a 组成的集合的子集有多少个？答案：a= ，故其子集共有个.例:已知集合、，若，则实数a 的取值范围是 。

答案：或. 易错点分析：读不懂集合，导致求x2+1 =x-1的根。

A ={y|y =x2+1} ， B={y|y =x-1} ,则A ∩B =[1，+∞). 三、函数及其表示 1.映射与函数的区别与联系区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义中两个集合为“非空数集”.即映射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.联系：均为一对一或一对多，不可多对一.函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广. 【提示】(1)函数图像是特点是什么？判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可.须会从图形和代数式两种判断方法.(2)原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域、值域与集合A 和集合B 的关系？函数定义域=集合A, 函数值域集合B. (3)从集合到集合的映射有个.(4)第一个集合中的元素必须有象.2.函数的三要素:定义域、值域和对应法则．讲解如何从图像尤其是分段函数图像判断定义域和值域.树立函数定义域优先原则，在求解函数单调区间、值域、奇偶性时，均要先求函数定义域. 3.两个函数相同的定义及判断方法()()card AB cardA cardB card A B =+-()()card A BC cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R⇔=∅(){}22,|4A x y x y =+=()()(){}222,|34B x y x y r =-+-=0r >A B φ=B A ⊆{}2|8150A x x x =-+={}|10B x ax =-=A B B =110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭328={}2|40A x x x =+=(){}22|2110B x x a x a =+++-=B A ⊆1a =1a ≤-⊆{}n a a a a A ,,,,321⋅⋅⋅={}m b b b b B ,,,,321⋅⋅⋅=nm只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）.与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备).实际解题时，定义域、对应法则哪一要素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数. 4.常见函数概念 （1）分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． （2）复合函数将原函数分解为两个基本函数：内函数与外函数， 称为f 、g 的复合函数. (3)反函数就是把y 与x 互换一下，用含有y 的代数式表示x.为了书写习惯，再调换x 、y 位置即可.a.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的（如）．因此，所有偶函数不存在反函数．b.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．c.互为反函数的两个函数增减性相同．d.函数f （x ）与它的反函数f-1（x ）图象关于直线y=x 对称e.一般地，的反函数．是先的反函数，在左移三个单位．是先左移三个单位，在的反函数．(4)抽象函数无具体函数解析式的函数均为抽象函数.5.函数定义域的求法 (1)具体函数定义域求法 一般遵循以下原则：a.是整式时，定义域是全体实数．b.是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．c.是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．d.对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．e.零（负）指数幂的底数不能为零．f.若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．h.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． i.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． (2)抽象函数或复合函数定义域求法a.若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出.b. 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域. 6.函数值域或最值求法：(1)分析或观察法: 对于比较简单的函数，通过观察直接得到值域或最值．(2) 利用常见函数值域法：熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及幂函数的值域，是求解复杂函数值域的基础.（3）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．)]([x g f y =)(x g u =)]([x g f y =1y x =3)f(x 3)(x f 1+≠+-3)(x f 1+-f(x)3)f(x +)f(x ()f x ()f x ()f x ()f x(4)判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．(5)函数单调性法(6)换元法(7)利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等） （8）分离常数法（9）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．（10）数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． （11）利用函数有界性（等）.（12）不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． 与值域求法相关的变型题（已知函数值域，求解参数范围）已知函数（1）如果函数的定义域为R求实数m 的取值范围。

（2）如果函数的值域为R 求实数m 的取值范围。

【易错点分析】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。

另一方面对两个问题中定义域为R 和值域为R 的含义理解不透彻导致错解。

解析：（1）据题意知若函数的定义域为R 即对任意的x 值恒成立，令，当=0时，即或。

经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x 值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m 的取值范围为或。

（2）如果函数的值域为R 即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。

经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m 的取值范围是。