求函数周期的方法
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期;例1. 求函数m≠0的最小正周期;解：因为所以函数m≠0的最小正周期例2. 求函数的最小正周期;解：因为所以函数的最小正周期为;二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期;1. 或的最小正周期;2. 的最小正周期;3. 的最小正周期;4. 的最小正周期例3. 求函数的最小正周期;解：因为所以函数的最小正周期为;例4. 求函数的最小正周期;解：因为,所以函数的最小正周期为;三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型,再用公式法求解;例5. 求函数的最小正周期;解：因为所以函数的最小正周期为;例6. 求函数的最小正周期;解：因为其中,所以函数的最小正周期为;四、最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式,可先找出各个加函数的最小正周期,然后找出所有周期的最小公倍数即得;注：1. 分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数;2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法;例7. 求函数的最小正周期;解：因为csc4x的最小正周期,的最小正周期,由于和的最小公倍数是;所以函数的最小正周期为;例8. 求函数的最小正周期;解：因为的最小正周期,最小正周期,由于和的最小公倍数是,所以函数的最小正周期为T＝;例9. 求函数的最小正周期;解：因为sinx的最小正周期,的最小正周期,sin4x的最小正周期,由于,的最小公倍数是2;所以函数的最小正周期为T＝;五、图像法利用函数图像直接求出函数的周期;例10. 求函数的最小正周期;解：函数的图像为图1;图1由图1可知：函数的最小正周期为;。
函数周期公式
函数周期公式函数周期公式主要知识:1．周期函数: 对于f (x) 定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f (x T) f (x) 恒成立,则称函数f ( x)具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期, 则kT（k Z, k 0 ）也是f (x) 的周期, 所有周期中的最小正数叫f ( x)的最小正周期．2．几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数:函数y f x 满足对定义域内任一实数x（其中a 为常数）,(1) f x f x a ,则y f x 是以T a 为周期的周期函数;(2) f x a f x ,则f x 是以T 2a 为周期的周期函数;(3) 1f x af x,则f x 是以T 2a 为周期的周期函数;(4) f x a f x b ,则f x 是以T a b 为周期的周期函数;以上（1）-（4）比较常见,其余几种题目中出现频率不如前四种高,并且经常以数形结合的方式求解。
(5) 函数y f (x) 满足f (a x) f (a x)（a 0 ）,若f ( x) 为奇函数, 则其周期为T 4a ,若f ( x) 为偶函数,则其周期为T 2a ．(6) 函数y f (x) x R 的图象关于直线x a 和x b a b 都对称,则函数f (x) 是以2 b a 为周期的周期函数;(7) 函数y f (x) x R 的图象关于两点A a,0 、B b,0 a b 都对称, 则函数f (x) 是以2 b a 为周期的周期函数;(8) 函数y f (x) x R 的图象关于A a,0 和直线x b a b 都对称,则函数f ( x) 是以4 b a 为周期的周期函数;（9）有些题目中可能用到构造,类似于常数列。
（二）主要方法:1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的x恒有 f (x T ) f ( x) ;二是能找到适合这一等式的非零常数T ,2 ．解决周期函数问题时, 要注意灵活运用以上结论, 同时要重视数形结合思想方法的运用, 还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．证明举例:。
高中数学求周期的知识点
高中数学求周期的知识点周期是数学中一个重要的概念，在高中数学学习中经常会遇到。
周期可以应用在函数、三角函数、几何等多个数学领域中。
本文将以“高中数学求周期的知识点”为标题，来介绍一些与周期相关的重要概念和求解方法。
一、函数的周期性函数的周期性是指函数在自变量的某个取值范围内反复出现相同的函数值。
在数学中，常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和周期函数的组合。
1.正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数。
它们的图像在一定范围内呈现一种重复的波动形态。
正弦函数的周期是2π，而余弦函数的周期也是2π。
对于一般形式的正弦函数和余弦函数，可以通过观察函数系数来确定它们的周期。
2.周期函数的组合通过对正弦函数、余弦函数等基本函数的线性组合，可以得到更复杂的周期函数。
例如，f(x)=2sin(x)+3cos(2x)就是一个周期为2π的函数。
对于这类函数的周期性，可以通过分析各个基本函数的周期，再确定组合函数的周期。
二、三角函数的周期性三角函数是一类具有周期性的函数，其中最常见的是正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在自变量增加2π的情况下，函数值会回到原来的值。
1.正弦函数的周期性正弦函数是一个周期函数，它以0为起点，在2π的范围内完成一个周期。
换句话说，对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在每个2π的整数倍处取得相同的函数值。
2.余弦函数的周期性余弦函数也是一个周期函数，它以0为起点，在2π的范围内完成一个周期。
对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在每个2π的整数倍处取得相同的函数值。
三、求解周期的方法在实际应用中，有时需要求解函数的周期。
对于已知函数，我们可以通过以下方法来求解周期。
1.观察函数表达式对于特定的函数表达式，可以通过观察系数、指数和函数的性质来确定周期。
例如，对于f(x)=sin(3x)，可以发现系数3会使周期变为原来的1/3。
求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)
求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一）求值域一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。
二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125x y x -=+的值域。
四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。
例4．求函数2y x =五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k xk x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为增函数））例5．求函数y x =六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211x y x -=+的值域。
七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。
除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥∆，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。
周期一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
三角函数周期的几种求法.doc
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，f (x+T) = f ( X )都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期3 3解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)3 3 3 3=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]二f (x+3兀)这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)2 2 2二cos h x +sir?x二f (x).•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —2例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期cosx + cos3x解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）COS（X + 7l） + COS（X + 71）_ -sinx-sin3x-cox - cos3x_ sinx + sin 3xcos x +cos 3^二f （x）■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T Fcos x +cos 3x2.公式法：（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -Oco co co例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）- 2 2= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）3 3= l-2sin （x-—）3这里0二1 ・••周期T二2龙例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -12 2解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -12 2=2sin (3x-— ) -16这里⑵二3 ・•・周期为T二弐3例6：求y二tg (1+—)的周期解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-5 5 3(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
高三复习-函数的最小正周期怎么求
函数的最小正周期怎么求所谓的函数的最小正周期，一般在高中时期的话遇到的都是那种特殊形式的函数，比如;f(a-x)=f(x+a),这个函数的最小周期就是T=(a-x+x+a)/2=a。
还有是三角函数y=A sin(wx+b)+t，最小正周期就是T=2帕/w。
最小正周期求法公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|ω| ，正余切函数T=π/|ω|。
函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω0）的最小正周期都是；函数f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω0）的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω0）一类三角函数的最小正周期（这里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例3、求函数y=cotx－tanx的最小正周期.解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2·x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x∴T=π/2函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。
最小公倍数法设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数。
求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
例4、求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.例5、求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。
求三角函数最小正周期的五种方法96233
求三⾓函数最⼩正周期的五种⽅法96233求三⾓函数最⼩正周期的五种⽅法spacetzs关于求三⾓函数最⼩正周期的问题，是三⾓函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题⽬类型及解决⽅法并不多，学⽣遇到较为复杂⼀点的问题时，往往不知从何⼊⼿。
本⽂将介绍求三⾓函数最⼩正周期常⽤的五种⽅法，仅供参考。
⼀、定义法直接利⽤周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最⼩正周期。
解：因为y m x =-cos()56π=-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最⼩正周期T m =10π||例2.求函数y xa =cot 的最⼩正周期。
解：因为y x a x a ax a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最⼩正周期为T a =||π。
⼆、公式法利⽤下列公式求解三⾓函数的最⼩正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最⼩正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最⼩正周期T =π3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最⼩正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最⼩正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最⼩正周期。
解：因为T ==πωω||⽽3 所以函数y x =|tan |3的最⼩正周期为T =π3。
例4.求函数y n m x =-cot()3π的最⼩正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||⽽，所以函数y n mx =-cot()3π的最⼩正周期为T n mmn =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三⾓函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再⽤公式法求解。
高中数学函数周期题解题方法
高中数学函数周期题解题方法高中数学中，函数周期题是一个常见的考点。
解决这类题目需要掌握一些基本的方法和技巧。
本文将针对高中数学函数周期题解题方法进行详细的讲解，并通过具体的例子来说明。
函数周期题的一般形式为：已知函数f(x)的周期为T，求函数f(x)在某个区间的取值范围。
解决这类题目的关键是找到函数的周期T，并确定函数在一个周期内的取值范围。
首先，我们来看一个简单的例子。
已知函数f(x)的周期为π，求函数f(x)在区间[0, 3π]内的取值范围。
解题思路如下：1. 确定函数的周期T为π，即f(x+π) = f(x)。
2. 找到一个周期内的取值范围。
可以通过绘制函数图像来观察，也可以通过计算来确定。
例如，我们可以计算出f(0)、f(π)、f(2π)、f(3π)的值，然后观察它们的关系。
假设f(0) = a，那么f(π) = f(0+π) = f(π) = a，同理可得f(2π) = a，f(3π) = a。
由此可知，在一个周期内，函数f(x)的取值范围为[a, a]，即函数f(x)在区间[0, 3π]内的取值范围为[a, a]。
通过这个例子，我们可以总结出解决函数周期题的一般方法：1. 确定函数的周期T。
2. 找到一个周期内的取值范围。
3. 根据给定的区间，确定函数在该区间内的取值范围。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。
已知函数f(x)的周期为2，求函数f(x)在区间[-3, 5]内的取值范围。
解题思路如下：1. 确定函数的周期T为2，即f(x+2) = f(x)。
2. 找到一个周期内的取值范围。
可以通过绘制函数图像来观察，也可以通过计算来确定。
假设f(0) = a，那么f(2) = f(0+2) = f(2) = a，同理可得f(4) = a。
由此可知，在一个周期内，函数f(x)的取值范围为[a, a]。
3. 根据给定的区间[-3, 5]，确定函数在该区间内的取值范围。
首先，我们可以计算出f(-3)、f(-1)、f(1)、f(3)、f(5)的值，然后观察它们的关系。
怎样求周期函数的周期
怎样求周期函数的周期
求周期函数的周期是一个重要的数学问题，它可以帮助我们更好地理解函数的特性。
首先，我们需要确定函数的函数式，即y=f(x)，其中f(x)是一个周期函数。
然后，我们可以求出函数的周期T，即T=2π/ω，其中ω是函数的角频率，它可以通过求解函数的导数得到。
最后，我们可以根据T的值来确定函数的周期。
此外，我们还可以通过函数图像来求函数的周期。
首先，我们需要确定函数的图像，然后找出图像中的一个周期，最后计算出图像中两个相邻周期之间的距离，即为函数的周期。
总之，求周期函数的周期是一个重要的数学问题，我们可以通过函数式和函数图像来求出函数的周期。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
求函数f_x_周期的几种常见方法
f ( x + 2) = = + =
3+ f ( x) , 1- 3f ( x ) f ( x + 2 a) = f [ ( x + a ) + a ] ^ f ( x + a) =
( 1)
f ( x) - [ f ( x) ] 2 成立 ( a > 0) , 求证 f ( x ) 为 周 期函数, 并求出它的一个周期. 证 明 ^ f(x + a) = 1 2 +
3+ f ( x ) ( a X 0) , 试问 f ( x ) 是不 1 - 3f ( x ) 是周期函数, 若是, 求出它的周 期; 若不是, 说明 理 由.
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数学通报
1997 年
第1期
( 1) + ( 2) , 得 f ( x - 1) + f ( x + 2) = 0 , _ f ( x - 1) = - f ( x + 2) . f ( x ) = - f ( x + 3) ; 在( 4) 中以 x + 3 代 x , 得 f ( x + 3) = - f ( x + 6) . ( 5) 将( 5) 代入( 4) , 得 f ( x + 6) = f ( x ) . _ f ( x ) 为周期函数, 6 是它的一个周期. 4 递推法 例5 函数 f ( x ) 定义域为 R , 且对于任意 x ( 3) ( 4) 得 在( 3) 中以 x + 1 代 x , 得
x1+ x2 ( 2 )f
1 1 2 - [ f (x )] ) = - f ( x) + [ f (x )]2 = (f ( x) ) , 4 2 _ f ( x + 2 a) = = 而 f (x ) = f[(x 1 + 2 (f ( x) 1 2 ) 2 ( 1) 1 2 +
求函数周期的方法
求函数周期的方法函数周期是指函数在自变量取某个特定值范围内的变化规律的重复性。
简单来说，周期就是函数图像重复出现的最小单位。
求函数周期的方法有多种，下面我将详细介绍其中的几种常见方法。
1. 平移法：对于一般的周期函数，可以通过平移函数图像来观察其周期。
具体操作是，将函数图像向左或向右平移，直到图像与原图像重合。
此时，平移的距离就是函数的周期。
2. 求解方程法：对于已知的函数形式，可以通过求解函数周期的方程来求得其周期。
例如，对于正弦函数y = Asin(Bx + C)，其中A表示函数振幅，B表示函数的周期，C表示函数图像的平移量。
当C = 0时，函数图像的一个周期为2π/B，即函数的周期为2π/B。
3. 寻找最小正周期法：对于一些特定形式的函数，可以通过寻找最小正周期的方法来求函数的周期。
最小正周期指的是在函数周期范围内的最小正数值。
例如，对于指数函数y = e^x，它的最小正周期为无穷大，即该函数为无周期函数。
而对于幂函数y = x^a，当a为有理数时，函数的最小正周期为1；当a为无理数时，函数为无周期函数。
4. 余数法：这是一种常用的求函数周期的方法。
对于周期为T的函数，可以选择一个自变量x0，并计算x0 + T的函数值和x0的函数值的差值。
如果这个差值为0，则T为函数的周期；否则，继续取另一个自变量x1 = x0 + T，重复上述步骤，直到找到一个差值为0的情况。
这个差值为0时对应的T就是函数的周期。
这个方法适用于各种类型的函数，但对于复杂函数可能需要进行多次计算。
5. 系数法：对于一些特定形式的函数，可以通过分析函数中的系数来求得其周期。
例如，对于三角函数y = Asin(Bx + C)，其中B表示函数的周期。
当B为整数倍的π时，函数的周期为2π/B；当B为非整数倍的π时，函数没有周期。
需要注意的是，以上的方法并不是适用于所有类型的函数，复杂的函数可能需要更加复杂的方法来求解周期。
此外，对于无周期的函数，上述方法也不适用。
例谈求函数周期的几种常见方法
例谈求函数周期的几种常见方法董㊀强(西安市第八十五中学ꎬ陕西西安７１００６１)摘㊀要:周期性是函数的基本性质ꎬ文章通过高考真题和一些模拟题对函数周期的几种常见求法进行总结.关键词:周期性ꎻ公式法ꎻ函数ꎻ高考题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００１２－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:董强(１９８５－)ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:西安市教育科学研究 十四五 规划２０２１年度小课题: 思维型教学理论指导下的教师专业成长研究 (项目编号:２０２１ＸＫＴ－ＺＸＳＸ１６２).㊀㊀一般地ꎬ对于函数ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ设其定义域为Ｄꎬ若存在非零常数Ｔꎬ使得∀ｘɪＤꎬｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ)都成立ꎬ那么就称函数ｙ＝ｆ(ｘ)为周期函数ꎬＴ为函数ｆ(ｘ)的一个周期.当Ｔ为函数ｆ(ｘ)的周期时ꎬｋＴ(ｋɪＺ)也是该函数的周期.对于三角函数ꎬ可以通过公式求得其周期ꎻ对于抽象函数ꎬ可以根据周期函数的定义ꎬ合理运用所给函数性质ꎬ求出其周期.１三角函数的周期性(公式法)三角函数是典型的周期函数ꎬ对于三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｃｏｓ(ωｘ＋φ)ꎬｙ＝Ａｔａｎ(ωｘ＋φ)(ｘɪＲ)而言ꎬ它们的周期分别是２πωꎬ２πωꎬπωꎻ而函数ｙ＝Ａ｜ｓｉｎ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｃｏｓ(ωｘ＋φ)｜ꎬｙ＝Ａ｜ｔａｎ(ωｘ＋φ)｜的周期均为πω.例１㊀(２０１５年天津理第１５题第(１)问)已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎ２(ｘ－π６)ꎬｘɪＲ.求ｆ(ｘ)的最小正周期.解析㊀ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ２－１－ｃｏｓ(２ｘ－π３)２＝１２(１２ｃｏｓ２ｘ＋３２ｓｉｎ２ｘ)－１２ｃｏｓ２ｘ＝３４ｓｉｎ２ｘ－１４ｃｏｓ２ｘ＝１２ｓｉｎ(２ｘ－π６).所以ｆ(ｘ)周期Ｔ＝２π２＝π.评析㊀求解三角函数问题的一般思路是先通过三角函数恒等变形将函数式进行化简ꎬ再由公式求出三角函数的周期.本题先利用降幂公式将已知函数化简ꎬ再利用辅助角公式将其转化为同一个角的三角函数ꎬ从而利用公式法求得周期.㊀例２㊀(２０１５年重庆理第１８题第(１)问)已知２１函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ.求ｆ(ｘ)的最小正周期和最大值.解析㊀ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(π２－ｘ)ｓｉｎｘ－３ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓｘｓｉｎｘ－３２(１＋ｃｏｓ２ｘ)＝１２ｓｉｎ２ｘ－３２ｃｏｓ２ｘ－３２＝ｓｉｎ(２ｘ－π３)－３２.所以ｆ(ｘ)的最小正周期为πꎬ最大值为２－３２.评析㊀在求解三角函数的问题时常需进行恒等变形ꎬ常用方法有降幂法和变量归一法ꎬ本题利用诱导公式㊁二倍角公式㊁辅助角公式化简ｆ(ｘ)后ꎬ即可求出ｆ(ｘ)的最小正周期及最大值.２利用函数周期的定义求周期对于一些抽象函数ꎬ充分利用函数周期的定义是求函数周期的常见方法.例３㊀(２０１２年山东)定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).当－３ɤｘ<－１时ꎬｆ(ｘ)＝－(ｘ＋２)２ꎻ当－１ɤｘ<３时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ.则ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.３３５㊀㊀Ｂ.３３８㊀㊀Ｃ.１６７８㊀㊀Ｄ.２０１２解析由ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)知ꎬ函数ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ结合题设有ｆ(－３)＝ｆ(３)＝－１ꎬｆ(－２)＝ｆ(４)＝０ꎬｆ(－１)＝ｆ(５)＝－１ꎬｆ(０)＝ｆ(６)＝０ꎬｆ(１)＝１ꎬｆ(２)＝２ꎬ所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(６)＝１＋２－１＋０－１＋０＝１.所以ｆ(１)＋ｆ(２)＋ ＋ｆ(２０１２)＝ｆ(１)＋ｆ(２)＋３３５ˑ１＝１＋２＋３３５＝３３８.评析㊀由函数周期的定义知ｆ(ｘ)的周期为６ꎬ故需要算出一个周期内的６个函数值ꎬ再将待求式子分成周期的倍数ꎬ利用分段函数来计算前６个函数值就可以了.例４㊀设ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且对任意实数ｘꎬ恒有ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).当ｘɪ[０ꎬ２]时ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２.求证:ｆ(ｘ)是周期函数.证明㊀因为ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.评析㊀证明一个函数是周期函数ꎬ只需证明存在一个非零常数Ｔꎬ使ｆ(ｘ＋Ｔ)＝ｆ(ｘ).在周期性与奇偶性相结合的函数综合问题中ꎬ周期性起到转换自变量值的作用ꎬ奇偶性起到调节函数值符号的作用.㊀３利用抽象函数的对称性求周期函数的对称性往往和周期性密不可分ꎬ如果一个函数既有对称轴ꎬ又有对称中心ꎬ那么这个函数是一个周期函数ꎬ可结合函数周期的定义推出其周期.例５㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ且它的图象关于直线ｘ＝１对称ꎬ求证:ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.证明㊀由函数ｆ(ｘ)的图象关于ｘ＝１对称ꎬ有ｆ(ｘ＋１)＝ｆ(１－ｘ)ꎬ即有ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ＋２).又函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数ꎬ故有ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ).故ｆ(ｘ＋２)＝－ｆ(ｘ).从而ｆ(ｘ＋４)＝－ｆ(ｘ＋２)＝ｆ(ｘ).即ｆ(ｘ)是周期为４的周期函数.例６㊀已知定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)ꎬ对任意ｘɪＲꎬ都有ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)成立ꎬ若函数ｙ＝ｆ(ｘ＋１)的图象关于直线ｘ＝－１对称ꎬ则ｆ(２０１３)＝(㊀㊀).３１Ａ.０㊀㊀Ｂ.２０１３㊀㊀Ｃ.３㊀㊀Ｄ.－２０１３解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ＋１)关于ｘ＝－１对称知ꎬｙ＝ｆ(ｘ)关于ｘ＝０对称ꎬ故ｆ(ｘ)为偶函数.在ｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(３)中ꎬ令ｘ＝－３ꎬ得ｆ(３)＝ｆ(－３)＋ｆ(３).即ｆ(－３)＝０.所以ｆ(３)＝０ꎬｆ(ｘ＋６)＝ｆ(ｘ).所以Ｔ＝６.ｆ(２０１３)＝ｆ(６ˑ３３５＋３)＝ｆ(３)＝０.故选Ａ.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)对任意ｘɪＲ都有ｆ(ｘ＋６)＋ｆ(ｘ)＝２ｆ(３)ꎬｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ且ｆ(４)＝４ꎬ则ｆ(２０１２)＝(㊀㊀).Ａ.０㊀㊀㊀Ｂ.－４㊀㊀㊀Ｃ.－８㊀㊀㊀Ｄ.－１６解析㊀由ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象关于点(１ꎬ０)对称ꎬ可知ｆ(ｘ)关于点(０ꎬ０)对称.故ｆ(ｘ)为奇函数.令ｘ＝－３ꎬ则ｆ(３)＋ｆ(－３)＝２ｆ(３)ꎬｆ(－３)＝ｆ(３).又ｆ(－３)＝－ｆ(３)ꎬ所以ｆ(３)＝０.所以ｆ(６＋ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０.所以ｆ(１２＋ｘ)＝－ｆ(６＋ｘ)＝ｆ(ｘ).于是ｆ(ｘ)是一个周期为１２的周期函数.因此ｆ(２０１２)＝ｆ(－４)＝－ｆ(４)＝－４.故选Ｂ.例８㊀已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ(ｘ)ꎬ满足ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ且在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ若方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)在区间[－８ꎬ８]上有四个不同的根ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬ则ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝.解析㊀因为函数ｆ(ｘ)在区间[０ꎬ２]上单调递增ꎬ又ｆ(ｘ)是Ｒ上的奇函数ꎬ故ｆ(０)＝０ꎬｆ(ｘ)的图象关于坐标原点对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[－２ꎬ２]上的特征图象(如图１).由ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)得ｆ(４－ｘ)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ＝２对称ꎬ这样就得到了函数ｆ(ｘ)在[２ꎬ６]上的特征图象.因为ｆ(ｘ－４)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ－８)＝－ｆ(ｘ－４)＝ｆ(ｘ).故函数ｆ(ｘ)是以８为周期的周期函数.根据函数的周期性得到ｆ(ｘ)在[－８ꎬ８]上的特征图象(如图１所示).图１根据图象不难看出ꎬ方程ｆ(ｘ)＝ｍ(ｍ>０)的两根关于直线ｘ＝２对称ꎬ另两根关于直线ｘ＝－６对称ꎬ故四个根的和为２ˑ(－６)＋２ˑ２＝－８.评析㊀例５~例８是根据函数的对称性求得函数的周期.一般地ꎬ有以下一些常用的结论:(１)若ｘ＝ａꎬｘ＝ｂ都是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(２)若(ａꎬ０)ꎬ(ｂꎬ０)都是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝２ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(３)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬ(ｂꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬ则Ｔ＝４ａ－ｂ是函数ｆ(ｘ)的周期ꎻ(４)若ｘ＝ａ是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则直线ｘ＝ａ＋ｎＴ２(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称轴ꎻ(５)若(ａꎬ０)是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心ꎬＴ是ｆ(ｘ)的一个周期ꎬ则点(ａ＋ｎＴ２ꎬ０)(ｎɪＺ)也是函数ｆ(ｘ)图象的对称中心.参考文献:[１]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(数学)[Ｍ].北京:知识出版社ꎬ２０１５.[责任编辑:李㊀璟]４１。
初中数学 如何求解三角函数的周期性问题
初中数学如何求解三角函数的周期性问题三角函数的周期性是指函数在一定范围内重复出现相同的数值。
不同的三角函数具有不同的周期性特点，下面将介绍三角函数的周期性问题以及求解方法。
1. 正弦函数的周期性正弦函数sin(x)的周期是2π，即在区间[0,2π]内，sin(x)重复出现相同的数值。
根据周期性，我们可以推导出以下性质：- sin(x+2π)=sin(x)，即sin函数的值在每一个周期内重复。
- sin(x+2kπ)=sin(x)，其中k为任意整数。
2. 余弦函数的周期性余弦函数cos(x)的周期也是2π，即在区间[0,2π]内，cos(x)重复出现相同的数值。
类似于正弦函数，可以推导出以下性质：- cos(x+2π)=cos(x)，即cos函数的值在每一个周期内重复。
- cos(x+2kπ)=cos(x)，其中k为任意整数。
3. 正切函数的周期性正切函数tan(x)的周期是π，即在区间[0,π]内，tan(x)重复出现相同的数值。
同样，可以推导出以下性质：- tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的值在每一个周期内重复。
- tan(x+πk)=tan(x)，其中k为任意整数。
4. 周期性问题的求解方法-方法一：观察函数图像通过观察三角函数的图像，我们可以直观地看出函数的周期性特点。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是波动的曲线，可以看出函数的周期是2π；而正切函数的图像在每个π的间隔内重复。
-方法二：利用性质和恒等式根据三角函数的性质和恒等式，我们可以得出函数的周期性。
例如，通过sin(x+2π)=sin(x)可以得知正弦函数的周期是2π。
-方法三：使用周期性性质进行计算在具体计算中，我们可以利用三角函数的周期性性质进行简化。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，如果需要计算f(10π)，我们可以利用sin(x)的周期性知道f(10π)=sin(2π)=0。
总结：三角函数的周期性是指函数在一定范围内重复出现相同的数值。
高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法
高中数学解题方法系列：三角函数周期问题的3种方法1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++= f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法(共4页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-求三角函数最小正周期的五种方法一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m≠0）的最小正周期例2. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1. 或的最小正周期。
2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。
4. 的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4. 求函数的最小正周期。
解：因为，所以函数的最小正周期为。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。
例5. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例6. 求函数的最小正周期。
解：因为其中，所以函数的最小正周期为。
四、最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7. 求函数的最小正周期。
解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和的最小公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是，所以函数的最小正周期为T＝。
例9. 求函数的最小正周期。
解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期，sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T＝。
五、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。
例10. 求函数的最小正周期。
解：函数的图像为图1。
图1由图1可知：函数的最小正周期为。
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求函数周期的方法
一、 定义法
周期函数的定义： 设函数()f x 定义在数集D 上, 若存在常数T>0,x D ∀∈,且f(x+T)=f(x),则()f x 为周期函数，称其中最小的正常数T 为最小正周期。
例1：求函数y ＝｜sinx ｜＋｜cosx ｜的最小正周期.
例2：求函数x y 2sin =的最小正周期
根据定义0T ∀>,因为()()22sin sin 0x T x +-=，即222sin cos 2cos sin 02222
x T T x T T ++=,亦即()()sin 2sin 0x T T +=,由此可得()sin 20x T +=或者sin 0T =
由于()sin 20x T +=的通解为2T K x π=-，显然它是依赖于x ,因此求不出依赖于x 的非零常数解，即这样的T 不能作为周期。
由sin 0T =，得最小的非零正数解为T π=,即它不依赖于x ，所以2sin y x =是周期函数，且其周期为T π=.
性质结论：
（1） 若T 是()y f x =，x ∈A 的周期，则T 也是()y f x =的周期．
（2） 若T 是()y f x =,x ∈ A 的周期，且()x nT A n Z +∈∈，则nT 也是()y f x =的周期．
（3） 设()f x 有最小正周期T ，那么除(1,2,3
)nT n ±=外，函数()f X 无其
他周期。
是周期函数，且与()f x 相同的周期。
（7）可导的周期函数的导函数也是周期函数。
又若对于原函数存在的连续的周期函数()f x (T 是其最小正周期)有，0()0T x f x d =⎰ ，则其原函数也是周期函数，且它们的周期相同。
例：2()sin f x x =，因为2(sin )sin 2,x x '=而sin 2x 的周期T π=。
（8）设()x ϕ是以T 为周期的周期函数，()f x 是任意函数，则复合函数()f x ϕ⎡⎤⎣⎦必也是以T 为周期的周期函数，此时()f x ϕ⎡⎤⎣⎦的最小正周期不一定就是()x ϕ的最小正周期。
例：()2sin f x x =可看成()2,sin g x μμμ==复合而成，显然2sin x 的最小正周期 0T π=，而sin x 的最小正周期02T π=
二、最小公倍数法
若函数()f x 与()g x 都是定义在D 上的周期函数，周期分别为1T 与2T ，且,f
g g
都是D
小正周期为40π。
三、图像法
例4：求函数1)3
sin(2++=πx y 的最小正周期 （π2）
四、公式法
例5：求函数x
x x x x f 3cos cos 3sin sin )(++=
的最小正周期 （π）
五、单位圆法
例6：求函数x x y 2tan 1tan 2-=
的最小正周期（π）
六、等周期法
理论依据：若对于任意的M x ∈，都有()),()()(x f T x f x g T x g =+⇔=+且函数)
(x f
()M x ∈的最小正周期为T ，则函数))((M x x g ∈的最小正周期也为T 。
例7：求函数5
sin 31sin 2)(-+=x x x f 的最小正周期（π2） 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。