导线表面电场强度的分析研究

参考文献
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公式代入二维边界积分公式，即可得到极坐标系下的曲线单元边界积分公式。
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算例
(1) 1000kV 特高压线路分裂导线的表面电场强度分布
为了验证本文提出的基于极坐标的曲线单元边界元方法的高效性，现分别采用二次插值的极 坐标曲线单元边界元法、线性插值的极坐标曲线单元边界元法和直角坐标系的线性单元边界元法 计算特高压线路分裂导线的表面电场强度。
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图 2（a）八分裂导线的排列方式
[6]
图 2（b）输电线路相线与地线位置示意图
线路的相导线分裂根数为 8 根 ，每根直径为 33mm，排列方式如图 2（a）所示，外接圆直 径为 1045mm，相间距为 18.5m，距地面 40m，两根地线在相线上方 16m 处，地线间距为 33.8m， 计算电压选取 1000kV。线路的相线和地线位置图如图 2（b）所示。
针对 1000kV 等级特高压线路分裂导线的表面电场强度，本文将使用本文方法计算的结果与 文献中使用逐次镜像法计算的结果进行了对比。 图 4 所示[7]为三相水平排列的特高压输电线路的相导线布置方式，采用 8 分裂导线，子导线
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（a）直角坐标系下线性单元边界元法的计算结果（b）极坐标系下线性插值的曲线单元边界法的计算结果
（c）极坐标下二次插值的曲线单元边界法的计算结果 图 3 导线表面最大电场强度
（d）三种方法的计算结果对比
由图 3（a） （b）(c)可以看出，每种方法增加节点数后，计算精度都显著提高。图 3（d）所 示的三种方法对比图表明，线性单元边界法在节点数增加到一定数量后，由于自身问题无法再进 行计算，而最终趋近的稳定值也达不到二次插值的曲线单元边界元法少节点时的值；线性插值的 曲线单元边界元法在大量增加节点数时，所达到的计算精度才渐渐振荡趋近于二次插值的曲线单 元边界法在少节点时的计算精度。 (2) 三相水平排列的特高压输电线路计算结果对比
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作者简介 何婷婷 1988，硕士研究生，华北电力大学电磁与超导电工研究所，主要研究方向为电磁场数值计算、电力系统电磁兼容。 王泽忠 1960，教授，博士生导师，华北电力大学电磁与超导电工研究所，长期从事电磁场数值计算、电力系统电磁兼容、电磁测量等方 面的研究。
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基于极坐标的曲线单元边界元法计算分 裂导线表面电场强度
何婷婷，王泽忠，史杰民，李海龙
(华北电力大学电磁与超导电工研究所，北京，102206)
摘要： 针对电力系统中输电线路分裂导线的表面电场强度的计算问题， 提出了基于极坐标系的曲线单元边界元法。
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基于极坐标系的曲线单元边界元法的基本原理
圆心在原点的圆周上任一点的直角坐标 x, y 均可转化为以极坐标 r, 表示的形式：
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x r cos y r sin
一个变量 决定。 圆的外法线方向 e n 用极坐标表示为： en cos ex sin e y 。 具有光滑边界的二维静电场的边界积分方程[5]为：
'

Hale Waihona Puke l 为求解区域的边界， R 为场点到源点的距离， n 为边界的外法线方向。 直角坐标系下的积分微元 d l 转换为极坐标系下的积分微元：
d l r d J d
式中，极角 0,2 ， J 为直角坐标到极坐标转换的雅克比行列式。
（3）
图 1 圆上的曲线单元转换为极坐标表示的线性单元
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结论
本文提出的基于极坐标的曲线单元边界元法，在单元积分和求解函数单元插值等方面有显著
改进。实际算例的计算结果表明：与直线单元边界元法和线性插值边界元法相比，划分的节点数 相同时，二次插值的曲线单元边界元法计算精度明显提高；计算精度要求相同的情况下，二次插 值的曲线单元边界元法节点数较少，从而减少计算量，节省计算计算时间。与逐次镜像法相比， 精度要求相同时，二次插值的曲线单元边界元法所划分的节点数少，可达到减小计算量，节省计 算时间的目的。
关键词：二维静电场 分裂导线表面电场强度 边界元法 曲线单元
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引言
分裂导线可有效提高线路的输电能力，计算输电线路分裂导线的表面电场强度分布对优化输
电走廊的电磁环境和提高线路的输电能力都有重要的意义[1]。输电线路的计算问题为开域问题， 边界元法把边值问题转化为边界积分方程，在离散化的边界进行计算，是处理这类问题的理想方 法[2]。传统的边界元法采用线性单元对求解区域的边界划分网格，剖分后用于积分的边界只是实 际边界的近似。因此，若网格剖分越粗，则得到的积分边界与实际边界相差越大，计算的误差也 越大。要提高计算精度，就必须增加单元和节点数，但这将使计算量大大增加，计算时间和计算 机的内存占用也随之增加[3]。为了在节点数较少的情况下提高边界元法的计算精度，考虑到导线 的截面为圆形，本文提出了基于极坐标系的曲线单元边界元法。算例表明，此方法与直线单元的 边界元法相比，在节点数相同时，计算精度明显提高；而计算精度要求相同时，节点数较少，计 算速度也大大提升。 工程上计算分裂导线表面电场强度分布的常用的较为精确的方法是逐次镜像法[4]。逐次镜像 法的基本原理是在一个多导体组成的体系中， 每一导体用一系列置于该导体内的镜像电荷来代替， 使表面维持等电位面，根据这些镜像电荷计算导体表面的电场强度。逐次镜像法计算分裂导线表 面电场强度时，对每根子导线是单独处理的，是一种较为精确的计算方法。本文通过算例，将二 次插值的曲线单元边界法的计算结果与文献中用逐次镜像法计算的结果进行对比。
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半径为 0.01778m，分裂间距为 0.4572m，相间距 D 为 15.24m，对地距离 H 为 21.34m，计算电压 取 1050kV。
图 4 三相水平排列的特高压输电线路的相导线布置方式
当计算精度一定时，镜像次数决定于各导线之间的距离与导线半径之比，比值越大，镜像次 数越少，当该比值大于 10 时，只镜像一次便能使误差小于 2%，对特高压线路来说，分裂间距与 导线半径之比一般均超过 20，所以只进行一次镜像便能求得足够精确的解[8]。因此文献中逐次镜 像法为一次镜像， 则在一个子导线内有 23 个其它导线的镜像， 计算出的导线表面最大电场强度为 16.62kV/cm； 而二次插值的曲线单元边界元法在每根子导线上划分了 20 个节点， 计算出的导线表 面最大电场强度为 16.56 kV/cm。结果表明， 计算精度要求相同时， 二次插值的曲线单元边界元法 在节点数较少的情况下，即可满足精度要求。
此方法中单元积分沿导线截面的圆周进行， 求解函数在基于极坐标系的曲线单元上沿圆周二次插值， 单元的外法线 方向为圆周的外法线方向。实际算例的计算结果显示，与直线单元边界元法相比，剖分的节点数相同时，二次插值 的曲线单元边界元法的计算精度明显提高； 在计算精度要求相同的情况下， 二次插值的曲线单元边界元法以较少的 节点数即可满足要求，从而提高计算速度，节省计算时间。与工程中常用的逐次镜像法相比，满足相同精度时，二 次插值的曲线单元边界元法的计算量较小。
（1）
式中，极角 0,2 。由式（1）可知，当该点所在圆的半径已知时，该点的位置可仅由
1 1 1 r' e R en r ln r' d l 2 2π R n 2R l
'
（2）
式中， r 为边界上的场点， r 为边界上的源点， r 为场点的电位， r 为源点的电位，
极坐标系下，圆周上的曲线单元转换为极坐标表示的线性单元（如图 1 所示） ，相应的曲线 单元上的积分转换为极坐标表示的线性单元上的积分。单元上的积分最终都要归于对单元上的局 部坐标的积分，把极坐标系下的单元积分微元用局部坐标表示为：
d l r d r J e d
式中 J e
（4）
d ，为极坐标系中整体坐标 到局部坐标 转换的雅克比行列式。将转换后的 d