离散数学测试(数理逻辑)
计算机学院离散数学第1章测试试卷(09级)
安徽大学计算机学院2010 —20 11 学年第 1 学期《离散数学---数理逻辑部分》测试试卷院/系 计算机 年级 09 专业 计算机科技 姓名 倪晨 学号 E10914029一、填空题（每小题1分，共16分）1、 判断下列公式的类型① (P Q)( P Q R)∨⌝→⌝∧∧是 偶然 式；② (Q P)(P Q)→∧⌝∧是 永假 式； ③ ()P (P Q P →∧→是 永真 式；2、 命题联结词有 否定 、合取 、 析取 、 蕴含 、 等值 。
3、 含有n 个命题变元的主析取范式的个数是 2的2n 个 。
4、 辖域：紧接在量词之后最小的子公式 。
5、 命题公式P 与()()P Q P Q ∧∨∧⌝是 等值 （等值、不等值）。
6、 ()()()(),,,x y P x y Q x y xP x y ∀∀∧∧∃的自由变元是 y 。
7、 已知公式A 含有两个命题变元，且A 的主析取范式为12m m ∨，则它的主合取范式为 ()()P Q P Q ⌝∨⌝∧∨。
8、 假言推理的规则为 如果P 且P →Q 是真 则Q 。
9、 “中国有四大发明” 是（是，不是）命题。
10、 谓词公式()()()(),,,,x Px y tQ t z R x y t ∀∧∃→中量词∃的辖域为 Q(t,z) 。
二、选择题（每小题2分，共20分） 1、 下列语句中哪个是真命题（ C ） （A ）我正在说谎（B ）如果1+2=3，那么雪是黑的 （C ）如果1+2=5，那么雪是黑 （D ）严禁吸烟2、 下面哪个命题公式是重言式（B ） （A ）()()P Q Q P →∧→ （B ）()P Q P ∧→（C ）()()P Q P Q ⌝∨∧⌝⌝∧⌝ （D ）()P Q ⌝∨3、 下列推理不正确的是（A ） （A ）()P Q P Q →∧→ （B ）()P Q P P →∧→ （C ）()P Q P Q ∨∧⌝→ （D ）()P Q Q P →∧→4、 设论述域为整数集，下列公式中哪个的值为真（ B ） （A ）()0x y x y ∀∃+= （B ）()0x y x y ∃∀+= （C ）()0x y x y ∀∀+=（D ）()0x y x y ⌝∃∃+=5、 设个体域为A={a,b},公式()()xP x xS x ∀∧∃在A 上消去量词后应为（ B ） （A ）()()P x S x ∧（B ）()()()()()P a P b S a S b ∧∧∨ （C ）()()P a P b ∧（D ）()()()()P a P b S a S b ∧∧∨6、 设P ：我去镇上，Q ：我有时间。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学 练习-第1部分 数理逻辑(解答)
5、下列命题公式为重言式的是（ D ），为矛盾式的是（ C ）
A、(P→Q)⋀Q⋀R
B、(P→P)→Q
C、(Q⋁R)⋀R
D、((P→Q)⋀(Q→R))→(P→R)
6、命题公式 (P→Q) 的主合取范式中含有（ D ）个极大项， 主析取范式中含有（ B ）个极小项 A、0 B、1 C、2 D、3
7、下列式子不正确的是（ D ） A、∃xA(x) ⇔ ∀xA(x) B、∃x(A→B(x)) ⇔ A→∃xB(x) C、∀xA(x) ⇔ ∃xA(x) D、∀x(A(x)→B) ⇔ ∀xA(x)→B
以下方案任选一：①A不去,B不去,C去；②A不去,B去,C不去； ③A去,B不去,C去
9、证明下列谓词公式为永真式
(xF( x) yG( y)) (yG( y) xF( x))
证明：题中的谓词公式为 (P Q) (Q P) 的代换实例
(P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (P Q) 1 (A A 1)
(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) m001 m000 m011 m111 m0 m1 m3 m（7 主析取范式） M2 M4 M5 M（6 主合取范式） (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)
命题“并不是所有汽车都比火车跑得慢”可符号化为（ C ）
命题“说汽车都比火车快是不对的”可符号化为（ C ） A、∃x(F(x)∧∀y(G(y)→H(x,y))) B、∃x∃y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) C、∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) D、∀x(F(x)∧∃y(G(y)→H(x,y)))
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
数理逻辑习题离散数学
第1章 命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( ) BB A A Q P Q Q P Q B A A B A A QP Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式(B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →⌝的主析取范式是( )． (A) Q P ⌝∧ (B) Q P ∧⌝ (C) Q P ∨⌝ (D) Q P ⌝∨ 5. 前提条件P Q P ,⌝→的有效结论是( )． (A) P(B)P(C) Q(D)Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P PQ ⌝∨⌝↔→→)D ()C ()B ()A (二、填空题1. 设命题公式G ：P⌝(Q P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨⌝↔→∧的真值是5. 命题公式P⌝P Q 的类型是 ．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么B A ↔是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(PQ )(P Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →⌝∨→⌝∧↔的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧⌝∧→→的主合取范式.6. 求命题公式)()(Q P Q P ⌝→∧→⌝的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∧的真值表. 四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ⌝⇒⌝∨∧⌝∧∨⌝∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →⇒∧→∧→→)())((3. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧⌝或Q P ⌝∨⌝ 3. (P Q R )(P QR )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言 三、1. (1) 是命题，真值为1.(2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表 P Q P Q Q P ∧P Q P ∨∧)())(()(P Q P Q P ∨∧→→0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1111 1 1 1 1 1 原式为可满足式.3. (1) (P Q )(P Q )(P Q )(P Q )(P P )Q Q可见(PQ )(P Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →⌝∨⌝→⌝∧↔0))10()01(()10(⇔→∨→∧↔⇔4.))()((P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧⇔)()()()(P P Q P Q P ∧⌝∧⌝∨∧∧⇔0)(∨∧⇔Q PQ P ∧⇔5. ))()((Q P P Q P ∧⌝∧→→ ))()((Q P P Q P ∧⌝∧∨⌝∨⌝⇔)())(Q P P Q P Q P ∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝⇔ )00(∧∨⌝⇔P )(Q Q P ⌝∧∨⌝⇔)()(Q P Q P ⌝∨⌝∧∨⌝⇔6. )()()()(Q P Q P Q P Q P ⌝∨⌝∧⌝∧⇔⌝→∧→⌝ Q P ⌝∧⇔因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）7. 作真值表PQ P QPQPQ (P Q )(PQ ) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 111四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ⌝⇒⌝∨∧⌝∧∨⌝∧→)()()( ①Q R P②R P③Q T ①，②析取三段论 ④P Q P ⑤P ⌝ T ③，④拒取式 ⑥PS P⑦S ⑤，⑥析取三段论 2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →⇒∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→ 结论：S R → 证明：① R附加前提② RP前提引入 ③ P①，②假言推理④P (Q S ) 前提引入 ⑤ Q S ③,④假言推理 ⑥ Q 前提引入⑦ S⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式． 证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→)()(Q R Q P ∨⌝∨∨⌝⇔∨∧⌝⇔Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同． 3 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→)()(Q R Q P ∨⌝∨∨⌝R Q P Q R P ⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔ R Q P Q R P Q R P ⌝∨∨⌝⇔∨⌝∨⌝⇔→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、 单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词x 的辖域是( ) (A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q2. 谓词公式∃xA (x )∧∃xA (x )的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型 3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →∀ (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀5. 设个体域是整数集合，P 代表x y ((x y )(x y 0))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题 (C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀中x ∀的辖域是( )(A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )R (x ,y ) (D) P (x ,y )Q (z )二、 填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)A (2)(B (1)B (2)) 2. (G (a )(H (a ,a )H (a ,b ))) (G (b )(H (b ,a )H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ⌝∧∃∧→∀。
离散数学自测题
离散数学第一部分 数理逻辑自测题一、单选题1．下列句子中，（ ）是命题。
A ．2是常数。
B ．这朵花多好看呀！C ．请把门关上！D ．下午有会吗？2．令p : 今天下雪了，q :路滑，r :他迟到了。
则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（ ）。
A. p q r ∧→ B. p q r ∨→ C. p q r ∧∧ D. p q r ∨↔3．令:p 今天下雪了，:q 路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ ）。
A. p q ∧⌝ B. p q ∧ C. p q ∨⌝D. p q →⌝4．设()P x :x 是鸟，()Q x :x 会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（ ）。
A. ()(()())x P x Q x ⌝∀→B. ()(()x P x ⌝∀∧())Q xC. ()(()())x P x Q x ⌝∃→D. ()(()x P x ⌝∃∧())Q x 5.设()P x :x 是整数，()f x :x 的绝对值，(,)L x y ：x 大于等于y ；命题“所有整数的绝对值大于等于0”可符号化为（ ）。
A. (()((),0))x P x L f x ∀∧ B. (()((),0))x P x L f x ∀→ C. ()((),0)xP x L f x ∀∧ D. ()((),0)xP x L f x ∀→ 6.设()F x :x 是人，()G x :x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）。
A ．(()())x F x G x ∀∧ B ． (()())x F x G x ⌝∃→⌝ C ．(()())x F x G x ⌝∃∧ D ． (()())x F x G x ⌝∃∧⌝ 7.下列命题公式不是永真式的是（ ）。
A. ()p q p →→B. ()p q p →→C. ()p q p ⌝∨→D. ()p q p →∨8．设()R x :x 为有理数；()Q x :x 为实数。
[试题]离散数学复习题（请参考课件）
![[试题]离散数学复习题（请参考课件）](https://img.taocdn.com/s3/m/f28571b7294ac850ad02de80d4d8d15abe230009.png)
离散数学Part1_数理逻辑部分1．将下列命题符号化。
P48（1）豆沙包是由面粉和红小豆做成的.（2）苹果树和梨树都是落叶乔木.（3）王小红或李大明是物理组成员.（4）王小红或李大明中的一人是物理组成员.（5）由于交通阻塞，他迟到了.（6）如果交通不阻塞，他就不会迟到.（7）他没迟到，所以交通没阻塞.（8）除非交通阻塞，否则他不会迟到.（9）他迟到当且仅当交通阻塞.分清复合命题与简单命题分清相容或与排斥或分清必要与充分条件及必要充分条件答案：（1）是简单命题（2）是合取式（3）是析取式（相容或）（4）是析取式（排斥或）请分别写出（1）—（4）的符号化形式设p: 交通阻塞，q: 他迟到（5）p→q, （6）⌝p→⌝q或q→p（7）⌝q→⌝p或p→q, （8）q→p或⌝p→⌝q（9）p↔q或⌝p↔⌝q可见（5）与（7），（6）与（8）相同（等值）3．用真值表判断下面公式的类型P51（1）p r (q p)（2）((p q) ( q p)) r（3）(p q) (p r)按层次写真值表，由最后一列判类型答案：（1）为矛盾式，（2）为重言式，（3）为可满足式例用等值演算法判断下列公式的类型P59（1）q (p q)（2）(p q) ( q p)（3）((p q) (p q)) r)解（1）q (p q)q ( p q) （蕴涵等值式）q (p q) （德摩根律）p (q q) （交换律，结合律）p 0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，（1）为矛盾式.（2）(p q) ( q p)( p q) (q p) （蕴涵等值式）( p q) ( p q) （交换律）1由最后一步可知，（2）为重言式.问：最后一步为什么等值于1？说明：（2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.（3）((p q) (p q)) r)(p (q q)) r（分配律）p 1 r（排中律）p r（同一律）由最后一步可知，（3）不是矛盾式，也不是重言式，它是可满足式，其实101, 111是成真赋值，000, 010等是成假赋值.总结：从此例可看出A为矛盾式当且仅当A 0A为重言式当且仅当A 1例求公式A=(p q) r的主析取范式与主合取范式. P71（1）求主析取范式(p q) r(p q) r（析取范式）①(p q)(p q) ( r r)(p q r) (p q r)m6 m7②r( p p) ( q q) r( p q r) ( p q r) (p q r) (p q r)m1 m3 m5 m7 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r m1 m3 m5 m6 m7 （主析取范式）（2）求A的主合取范式(p q) r(p r) (q r) （合取范式）①p rp (q q) r(p q r) (p q r)M0 M2 ②q r(p p) q r(p q r) ( p q r)M0 M4 ③②, ③代入①并排序，得(p q) r M0 M2 M4 （主合取范式1．设A与B均为含n个命题变项的公式，判断下列命题是否为真？P85（1）A B当且仅当A与B有相同的主析取范式（2）若A为重言式，则A的主合取范式为0（3）若A为矛盾式，则A的主析取范式为1（4）任何公式都能等值地化成{ , }中的公式（5）任何公式都能等值地化成{ , , }中的公式（1）为真，这是显然的（2）为假. 注意, 任何公式与它的主范式是等值的，显然重言式不能与0等值。
离散数学第二版 屈婉玲 1-5章(答案)
《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。
离散数学作业7答案(数理逻辑部分)Word版
离散数学作业7离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ．2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 P ∨Q →R ．3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是(P Q ┐R) ∨(P Q R) ．4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为∃ x ( P ( x ) ∧ Q ( x )) ．5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨ (B(a) ∧B(b)) ．6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(x )A (x ) 的真值为 0 ．7．谓词命题公式(x )((A (x )B (x )) C (y ))中的自由变元为 y ．8．谓词命题公式(x )(P (x ) Q (x ) R (x ，y ))中的约束变元为x ．姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴则该语句符号化为 P2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李也去旅游则该语句符号化为P ∧ Q3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．解：设P：明天天下雪 Q：我就去滑雪则该语句符号化为 P→Q4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游 Q：他有时间则该语句符号化为 P→Q5．请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人 Q(x)：x不去工作则谓词公式为 (∃x)(P(x)∧Q(x))6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人 Q(x)：x努力工作则谓词公式为 (∀x) (P(x) → Q(x))四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P的真值是1．不正确，┐P∧P的真值是0，它是一个永假式，命题公式中的否定律就是┐P∧P=F2．命题公式P(P Q)P为永真式．正确可以化简┐P∧（P→┐Q）∨P=┐P∧（┐P∨┐Q）∨P=┐P∨P=1，所以它是永真式当然方法二是用真值表3．谓词公式))xxP∀yGx∀是永真式．y→→∃,xP(()(x)(正确∀x P(x) →(∃yG(x,y) →∀xP(x))=∀x P(x) →(┐∃yG(x,y) ∨∀xP(x))=∀x P(x) →(∀y(┐G(x,y)) ∨∀xP(x))=┐∀x P(x) ∨(∀y(┐G(x,y)) ∨∀xP(x))=┐∀x P(x) ∨∀y(┐G(x,y)) ∨∀xP(x)=┐∀x P(x) ∨∀xP(x) ∨∀y(┐G(x,y))=1∨∀y(┐G(x,y))=1所以该式是永真式4．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (x)A(x) B(x) 前提引入(2) A(y) B(y) US (1)不正确，(1)中()x的辖域仅是A(x)，而不是A(x) B(x)四．计算题1．求P Q R的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解：┐P(Q∨R）= ┐P Q∨R所以合取范式和析取范式都是┐P Q∨R所以主合取范式就是┐P Q∨R所以主析取范式就是(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)2．求命题公式(P Q)(R Q) 的主析取范式、主合取范式．解：(P Q)(R Q)= (P Q) (R Q)= (P Q) (R Q)其中(P Q)= (P Q) (R R)= (P Q R) (P Q R)其中(R Q)= (R Q) (P P)= (P Q R) (P Q R)所以原式=(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P QR)=(P Q R) (P Q R) (P Q R)= (P Q R) (P Q R) (P Q R)=m2m3m7这就是主析取范式所以主合取范式为M0 M1M4M5M6可写为(P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R) (P Q R)3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解：(1)量词x的辖域为 P(x,y) (z)Q(y,x,z)量词z的辖域为Q(y,x,z)量词y的辖域为R(y,x)(2)P(x,y)中的x是约束变元，y是自由变元Q(y,x,z)中的x和z是约束变元，y是自由变元R(y,x)中的x是自由变元，y是约束变元4．设个体域为D={a1, a2}，求谓词公式y xP(x,y)消去量词后的等值式；解：y xP(x,y)= xP(x, a1)xP(x, a2)=( P(a1, a1) P(a2, a1))( P(a1, a2) P(a1, a2))五、证明题1．试证明 (P(Q R))P Q与 (P Q)等价．证：(P(Q R))P Q(P(Q R))P Q(P Q R)P Q(P P Q)(Q P Q)(R P Q)(P Q)(P Q)(P Q R)P Q（吸收律）(P Q) （摩根律）2．试证明(x)(P(x) R(x))(x)P(x) (x)R(x)．证明：(1) (x)(P(x) R(x)) P(2) P(a) R(a) ES(1)(3) P(a) T(2)(4) (x)P(x) EG(3)(5) R(a) T(2)(6) (x) R(x) EG(5)(7) (x)(P(x) R(x)) T(4)(6)。
(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。
C．2是偶数。
D．铅球是方的。
2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。
数理逻辑考试题及答案
③(1) ~ (5)构成的合取式为：
A= (pq)(su)((qr)(qr))((rs)(rs))(u(pq))
(pqrsu)(pqrsu)
由此可知，A的成真赋值为00110与11001，
因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。
（2）求公式(p→(p∨q))∨r的主析取范式。
解：(p→(pq))rp(pq)r(ppqr)1
m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.
2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共3分）
（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：
甲预言：赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。
前提：x(F(x)→G(x))，x(G(x)H(x)→I(x))，F(a)，H(a)。
结论：I(a)
证明：①F(a)【前提引入】
②x(F(x)→G(x))【前提引入】
③F(a)→G(a)【②-】
④G(a)【①③假言推理】
证毕。
（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才大于6。现有n大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。
解：形式化：
p：n是偶数；q：n大于5；r：m是奇数；s：m大于6。
前提：(pq)r，sp，q
结论：sr
证明：①q【前提引入】
②sq【①附加规则】（这是证明的关键）
③sq【②置换】
④sp【前提引入】
⑤(sq）q（sp）【③④合取】
⑥s(pq)【⑤置换】
⑦(pq)r【前提引入】
⑧sr【⑥⑦假言三段论】
证毕。
四、一阶逻辑的基本概念（5分）
离散数学 数理逻辑练习题
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6、下列陈述句中不属于排斥或的是_______。 A、李小川生于1990年或1991年 B、4是奇数或是偶数 C、章海燕去过美国或去过加拿大 D、赵远远只能选学英语或只能选学法语
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7、证明下列公式的等价关系： ( p r ) ( q r ) ( p q) r
8、在自然推理系统中，构造下面推理的证明。 前提： ， x( F ( x) (G(a) R( x))) xF (x) 结论：
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4. 如果王小红努力学习，她一定取得好成绩。 若王小红贪玩或不按时完成作业，她就不能 取得好成绩。所以，如果王小红努力学习， 她就能按时完成作业。 (1) 将命题中的4个简单命题依次符号化为 p,q,r,s； (2) 将命题符号化，即将命题的前提和结论符 号化； (3) 在自然推理系统P中构造命题的推理证明。
9
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8、下列集合不是连接词极小全功能集的为_____。 A、{¬,∧,∨} B、{¬,→}
C、{↓}
D、{↑}
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9、下列谓词公式不是命题公式P→Q的代换 实例的是______ A、F ( x) G( y) B、xF ( x, y) yG( x, y)
C、 x( F ( x) G( x)) D、xF ( x) G( x)
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5、公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： ① 甲或乙盗窃了录音机； ② 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前； ③ 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭； ④ 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜之前； ⑤ 午夜时屋里灯光灭了。 试问谁盗窃了录音机？将命题符号化，即将命题的前 提符号化；然后在自然推理系统中构造命题的推理 证明过程。
离散数学综合练习及答案
北京科技大学远程教育学院《离散数学》综合练习(一)参考答案数理逻辑一、判断下列句子是否是命题，若是命题判断真值，并将其符号化。
1、今天天气真好！解：不是命题。
2、王华和张民是同学。
解：是命题。
真值视实际情况而定。
p：王华和张民是同学。
3、我一边吃饭，一边看电视。
解：是命题。
真值视实际情况而定。
p：我吃饭。
q：我看电视。
p∧q 4、没有不呼吸的人。
解：是命题。
真值为1。
M(x)：x是人。
F(x)：x呼吸。
∀x(M(x)→F(x))二、求命题公式的真值表和成真赋值、成假赋值。
p→∧qr∧→(p])[(r)解：成真赋值：000，001，010，011，101，111；成假赋值100，110三、用真值表、等值演算两种方法判别公式类型。
1、r q q p →∧→])[( 解：rq q p r q q q p r q q p rq q p r q q p r q q p ∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⌝∨⇔∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔∨∧∨⌝⌝⇔→∧→])[()]()[()()(])[(])[(可满足式2、))((p q p q ∧∨⌝⌝∨ 解：))((p q p q A ∧∨⌝⌝∨=1)()()())((⇔∨⌝∨∨⌝⌝⇔⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧∨⌝⌝∨q p q p p q p q p q p q永真式四、求命题公式的主析取范式和成真赋值、成假赋值。
)(r q p →→ 解：∑=→→），，，，，，7543210()(r q p 成真赋值：000，001，010，011，100，101，111；成假赋值110 五、解释I 如下：D 是实数集，特定元素a =0；特定函数f (x ，y )=x -y ；特定谓词F (x ，y )：x<y 。
在解释I 下判别公式真、假。
1、)])(([x y x f F y x ，，⌝∀∀ 解：)])[()])(([)]([)])(([x y x y x x y x y x x y x F y x x y x f F y x ≥-∀∀⇔<-⌝∀∀⇔-⌝∀∀⇔⌝∀∀，，，真值为假2、)]()([)({z y f z x f F y x F z y x ，，，，→∀∀∀ 解：)]()()[()]}()([)({z y z x y x z y x z y f z x f F y x F z y x -<-→<∀∀∀⇔→∀∀∀，，，，真值为真 六、1、求前束范式)()(y x yG x xF ，∀→⌝∃ 解：)]()([)()()()()()(y t G x F y x y t yG x xF y x yG x xF y x yG x xF ，，，，∨∀∃⇔∀∨∃⇔∀∨∃⇔∀→⌝∃2、证明：B x xA B x A x →∀⇔→∃)())(( 证明：Bx xA Bx xA B x A x B x A x B x A x →∀⇔∨⌝∀⇔∨⌝∃⇔∨⌝∃⇔→∃)()()())(())((七、写出下面推理的证明，要求写出前提、结论，并注明推理规则。
《离散数学》试卷及答案精选全文完整版
H(x)：x是身体健康的；
S(x)：x是科学家
C(x)：x是事业获得成功的人
置换规则。
3、设集合|A|=101，S ,且|S|为奇数，则这样的S有2101/2或2100个。
4、设mi是公式G的的主析取范式中的一个极小项，则mi的对偶式不一定是（填“是”/“不是”/“不一定是” ） G的主合取范式中的一个极大项。
5、由3个元素组成的有限集上所有的等价关系有5个
6、给定解释I如下: (1) Di:={2,3}； (2) a=3； (3) 函数f(x)为f(2)=2，f(3)=3； (4) 谓词：F(x)为F(2):=1,F(3):=0;G(x,y)为当i=j时，G(i,j):=1；当i≠j时，G(i,j):=0；其中i,j=2,3;
ac>0并且cu>0
若u>0,则c>0,a>0,因此有ac>0;
若u<0,则c<0,a<0, 也有ac>0;
因此有（a+bi）R（u+vi）
所以R在C*是传递的。所以R是C*上的等价关系。
2、在一阶逻辑自然推理系统F中，构造下面推理的证明。个体域是人的集合。
“每位科学家都是勤奋的，每个勤奋又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人。”（15分）
2.设A={1,2,3…10}，定义A上的二元关系R={<x,y>|x,y∈A∩x+y=10}，试讨论R关于关系的五个方面的性质并说明理由（5分）
解答：R={<1,9>,<9,1>,<2,8>,<8, 2 >,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6, 4 >,<5, 5 >}
离散数学--数理逻辑测验答案
数理逻辑测验一、 符号化下列命题1. 如果张三和李四都不去，他就去。
（命题符号）解： 设P ：张三去；Q ：李四去；R ：他去。
R Q P →⌝∧⌝)(。
2. 我将去上街，仅当我有时间。
（命题符号）解：设P ：我将去上街；Q ：我有时间。
)Q P (→。
3. 有些人喜欢所有的花。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人； Q(y)：y 是花； R(x ，y)：x 喜欢y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x →∀∧∃。
4. 所有运动员都敬佩某些教练。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是运动员；Q(y)：y 是教练；R(x ，y)：x 敬佩y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x ∧∃→∀。
5. 每个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人；Q(x)：x 喜欢乘汽车；R(x)：x 喜欢骑自行车；)))()(()()((x R x Q x P x ∨→∀；二、简答题1、写出R Q P →→)(的析取范式，合取范式。
合取范式））析取范式--(()()()(R Q R P R Q P RQ P RQ P ∨⌝∧∨=--∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→2、设P ：今天下雨。
Q ：我去上街。
R ：我有空。
用自然语言写出以下命题：)(P R Q ⌝∧↔，)(Q R ∨⌝。
解：)(P R Q ⌝∧↔：我去上街当且仅当我有空并且今天不下雨； )(Q R ∨⌝：我没空，并且我不去上街。
3、设Q P ,的真值为0，S R ,的真值为1，求以下命题的真值： )()(S R Q P ∨⌝∧↔，)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝。
解：)()(S R Q P ∨⌝∧↔的真值：1))()((.1)(,1)(,1)(,1)(.0,0,1,1,1,1,0,0=∨⌝∧↔∴=⌝∨=⌝∧=∨⌝=↔∴=⌝=⌝=⌝=⌝∴====S R Q P S R P R S R Q P S R Q P S R Q P)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值：.1))()))((((1))()((.1))()))((((;0))))((((,1))((真值为；真值为即：S R P R Q P S R Q P S R P R Q P P R Q P P R Q ⌝∨→⌝∧→∨⌝∨⌝∧↔=⌝∨→⌝∧→∨⌝∴=⌝∧→∨⌝=⌝∧→∴4、写出谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束范式。
离散数学(1-4章)自测题(答案)
《离散数学》题库答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（1）P↔（4）QP→⌝P⌝Q→⌝（2）QP⌝→（3）Q5.答：（1）6.答：2不是偶数且-3不是负数。
7.答：（2）8.答：⌝P ，Q→P9.答：P(x)∨∃yR(y)10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))11、a、(P→Q)∧R解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）⇔m1∨ m3∨m7⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）b、Q→(P∨⌝R)解：Q→(P∨⌝R)⇔⌝Q∨P∨⌝R⇔M5（主合取范式）⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)12、a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S证明：(1) ⌝R 前提(2) ⌝Q∨R 前提(3)⌝Q （1），（2）析取三段论(4) P→Q 前提(5)⌝P （3），（4）拒取式(6)⌝S∨P 前提(7) ⌝S （5），（6）析取三段论b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D证明：（1） A 前提（2） A→B 前提（3） B (1)，(2) 假言推理（4） A→C 前提（5） C (1)，(4) 假言推理（6） B→(D→⌝C) 前提（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理（8）⌝D (5)，(7) 拒取式d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。
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《离散数学》单元测试（数理逻辑部分）
一、填空题
1. 命题公式)(r q p G →⌝→=，则G 共有 个不同的解释，使公式G 为假的解释是 和 ，把G 在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G 的 ，并可以通过它判定该公式的类型是 。
2. 在谓词逻辑中将下面命题符号化：
a) 在北京工作的人未必都是北京人。
（设F （x ）：x 在北京工作，G （x ）：x 是北京人） 。
b) 没有不犯错的人。
（设F （x ）：x 是人，G （x ）：x 犯错误） 。
3. 将公式化成与之等值的前束范式，
=→∃→⌝∃∃)))()((),((x R z zQ y x yP x 。
4. 设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式))()((y yS x R x ∃∧∀中的量词消除，写成与之等值的命题公式
是 。
二、单项选择题
1. 一个公式在等值的意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。
A ．析取范式
B ．合取范式
C ．主析取范式
D ．以上答案都不对
2. 设命题公式P Q P G →∧=)(，则G 是（ ）。
A. 永假式
B. 永真式
C. 可满足式
D. 析取范式
3. 设命题公式)(),(P Q P H Q P G ⌝→→=→⌝=，则G 与H 的关系是（ ）。
以上都不是。
.;.;.;.D H G C G H B H G A ⇔⇒⇒
4. 已知命题))((R Q P G ∧→⌝=，则所有使G 取真值1的解释是（ ）。
A. （0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）
B. （1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）
C. （0，1，0），（1，0，1），（0，0，1）
D. （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1）
5. 设I 是如下一个解释，0
101),(),(),()
,(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =， 则在解释I 下取真值为1的公式是（ ）。
),(.);,(.);,(.);,(.y x yP x D x x xP C y x yP x B y x yP x A ∃∀∀∀∀∀∃
6. 下面给出的一阶逻辑等值式中，（ ）是错的。
.(()())()();
.(()())()();
.()(());
.()(()).
A x A x
B x xA x xB x B x A x B x xA x xB x
C xA x x A x
D A xB x x A B x ∃∨⇔∃∨∃∀∨⇔∀∨∀⌝∀⇔∃⌝→∀⇔∀→ 三、判断题
1. 判断下列陈述是否是命题？
a) 3是无理数。
b) 什么时候开会呀？
c) 2310x +≤。
d) 苹果树和梨树都是落叶乔木。
e) 吃一堑，长一智。
f) 李辛与李末是兄弟。
2. 设A 与B 均为含n 个命题变项的公式，判断下列命题的真值。
a) A ⇔B 当且仅当 A B 是可满足式。
b) 若A 为重言式，则A 的主析取范式中含有2n 个不同的极小项。
c) A 为矛盾式，当且仅当A 的主合取范式中含有2n 个不同的极大项。
d) 任何公式A 都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式。
3. 任何一阶逻辑公式都存在唯一与之等值的前束范式。
三、计算题
1. 求命题公式s r q p ∧→∨))((的主析取范式与主合取范式，并判断公式的类型。
2. 用真值表判断公式（p →q ）∧（q →r ））→（p →r ）的类型。
3. 设解释I 为：
定义域D ={－2，3，6}；
F （x ）：x ≤3；
G （x ）：x >5。
在解释I 下求公式∃x （F （x ）∨G （x ））的真值。
4. 设I 是如下一个解释：
1
)3,3(1)2,3(1)3,2(1)2,2(1)3(0)2(2)3(3)2(2},3,2{G G G G F F f f a D =，试求下列公式在I 下的真值：
))).
(,())((()2));,()(()1x f x G x f F x a x G x F x ∧∃∧∀ 四、证明题
1. 利用等值演算法证明命题公式（（p →q ）∧（q →r ））→（q →r ）为永真式。
2. 构造下列推理的证明
a) 前提集合：{p →q ， r →s ，p ∨r } 结论：q ∨s 。
b) 前提集合：{},,,{r s t s r p q p →⌝→⌝→∨} 结论：q t →⌝.
3. 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：∀x ∀y （F （x ）→G （y ））⇔∃x F （x ）→∀yG
（y ）
4. 在命题逻辑中构造下列推理的证明：
如果今天是星期六，我们就到颐和园或圆明园去玩；
如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩；
今天是星期六，并且颐和园游人太多。
所以我们去圆明园玩
（提示：令 p ：今天是星期六， q ：我们到颐和园去玩， r ：我们到圆明园去玩，s ：颐和园游人太多。
）
5. 在一阶逻辑中构造下列推理的证明：
凡人都要呼吸。
张三是人。
所以张三要呼吸。