初中数学专题复习抛物线内的三角形问题

抛物线内的三角形问题

近年来中考数学试题中，经常出现以函数、几何知识为背景的探究性问题，特别是有关抛物线内的三角形问题，此类问题综合性强，往往涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、三角形、相似三角形等多方面的知识，既考查学生基本运算的能力，又考查学生对函数、方程、数形结合、分类和待定系数法等思想方法的掌握情况，具有很好的选拔功能．本文举例分析如下：

例1 （2005·孝感市）如图1，开口向下的抛物线C：y=a（x-2）（x+3），与x•轴

交于A、B两点，y有最大值25

8

．

（1）求实数a的值；

（2）在抛物线C上是否存在点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出P点坐标；•若不存在，说明理由．

分析本题是一道中考压轴题，综合性较强．第（1）•问由抛物线顶点坐标直接求得a的值．第（2）问由△APB为直角三角形及相似知识可得△APB内的线段关系，再由方程思想求解．

解（1）∵当x=-1

2

时取最大值，

∴25

8

=a（-

5

2

）·（

5

2

）．

∴a=-1

2

．

（2）由图1可知：A、B处不可能为直角，只可能∠APB=90°，且点P不能在x轴及x轴下方．

设存在满足条件的点P（x0，y0），（y0>0）．

作PM⊥AB于M，而A（-3，0），B（2，0），

则AM=3+x0，BM=2-x0，PM=y0，

由∠APB=90°，PM⊥AB，

∴PM 2=AM ·BM ．

则有y 02=（3+x 0）（2-x 0），

即y 02=-x 02-x 0+6． ①

∵P （x 0，y 0）在抛物线上，

∴y 0=-12x 02-12

x 0+3， 即2y 0=-x 02-x 0+6． ②

由①、②得y 02=2y 0．

∵y 0>0，∴y 0=2，

代入②得：x 0=-2或x 0=1．

故存在这样的点P 满足题意，P 点坐标为P （-2，2）或P （1，2）．

注 有关抛物线内直角三角形的问题往往要考虑运用勾股定理或直角三角形相似等知识，并由此得到与所求点的坐标相关的方程．

例2 （2005·耒阳市）如图2，二次函数y=13x 2-73

x+a 经过点A （3，0）与y 轴交于点B ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x 轴的负半轴上是否存在一点C ，使△ABC 成为以AB 为腰的等腰三角形，若存在，请求出C 点的坐标，若不存在，请说明理由．

分析 以AB 为腰的等腰三角形△ABC 要分两种情况：一是以∠BAC 为底角，另是以∠BAC 为顶角．

解 （1）由二次函数y 过（3，0）得a=4．

∴y=13x 2-73

x+4． （2）∵B （0，4）、A （3，0）．

∴OB=4，OA=3．

当∠BAC 为△ABC 的底角时，则OA=OC ，此时C 的坐标为（-3，0）．

当∠BAC 为△ABC 的顶角时，则AB=AC ．

∵，

∴OC=5-3=2，

∴C 的坐标为（-2，0）．

故C 点的坐标为（-3，0）或（-2，0）．

注 抛物线内等腰三角形问题通常要分情况讨论，•通过讨论弄清等腰三角形的底和腰，再由两腰相等来解答．

例3 （2005·成都市）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴交于不同的两点A （x 1，0）和B （x 2，0），与y 轴的正半轴交于点C ，如果x 1，x 2是方程x 2-x-6=0的两个根（x 1

． （1）求此抛物线的解析式；

（2）求直线AC 和BC 的方程；

（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作直线y=m （m 为常数），与直线BC 交于点Q ，则在x 轴上是否存在点R ，使得以PQ 为一腰的△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标，若不存在，请说明理由．

分析 第（1）问由面积先求C 点坐标，再由待定系数法求得抛物线解析式．第（3）•问要分P 、Q 分别为直角顶点两种情况讨论，再由两直角边相等来处理．

解 （1）由题意知A （-2，0）、B （3，0），抛物线与y 轴的正半轴交于点C ． ∴C （0，c ）且c>0．

∵S △ABC =12·│AB │·│c │=152

， 而│AB │=5，∴│c │=3，∴C （0，3）． 再由待定系数法求得抛物线解析式为：y=-

12x 2+12x+3． （2）由（1）可知：A （-2，0），B （3，0），C （0，3）．

∴直线AC 的方程为y=32

x+3， 直线BC 的方程为y=-x+3．

（3）假设存在满足条件的点R ，并设直线y=m 与y 轴的交点为E （0，m ）． 由（1）知│AB │=5，│OC │=3．

∵点P 不与A 、C 重合，

∴点E （0，m ）不与点Q 、C 重合．

∴0

由于PQ 为等腰直角三角形PQR 的一腰，过点P 作PR 1⊥x 轴于点R 1（如图3），

则∠R1PQ=90°．

∵│PQ│=│PR1│=│OE│=m，PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，

∴||||

||||

PQ EC

AB QC

=，即

3

53

m m

-

=．

∴m=15

8

．

∴P（x p，15

8

），Q（x Q，

15

8

）．

∵点P在直线AC上，

∴3

2

x p+3=

15

8

,

∴x p=-3

4

,∴P（-

3

4

-,

15

8

）.

∴R1(-3

4

,0).

过Q作QR2⊥x轴于R，则∠R2QP=90°。

同理可求得x Q=9

8

，Q（

9

8

，

15

8

），

∴点R2（9

8

，0）。

经过验证：点R1，R2满足条件。

所以存在满足条件的R，它们的坐标分别是R1（3

4

，0），R2（

9

8

，0）。

注抛物线内的等腰直角三角形，既要考虑等腰直角三角形的性质，还要考虑有关相似三角形的性质，以便构造方程，求出点的坐标。

由上可见，抛物线内三角形问题覆盖面广，涉及知识点多，既要求我们掌握有关抛物线问题的基本处理方法，如用待定系数法求函数的解析式，抛物线的对称轴、顶点等相关知识，还要求我们掌握等腰三角形、直角三角形、相似三角形的性质，结合坐标与线段长的关系，得到相关的方程，这样才能顺利解决问题。