常数项级数的审敛法 ppt课件
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高数课件-常数项级数的审敛法
證明 S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
21
由前一式知{S2n}單調增加，由後一式知S2n <u1。 由數列判斂的單調有界準則知:
lim
n
S 2n 存 在 ， 记 为S , 则S
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
1
lim
n
a
2n
, 6
3
lim
n
a
2n1
, 2
lim un1 n un
lim
n
an
不存在.
13
例4 判斷下列各級數的斂散性
n3
(1)
,
n1 2n
e n
(2)
,
n1 n!
n!
(3) n1 nn
ln n
(4)
,
n2
n2
解（1）
)~ 3 n2
而
1
3
收
敛,
所給級數收斂。
n n1 2
9
定理 10.2.4(比值審斂法,達朗貝爾D’Alember審斂法)
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un
(数或
)
则 1时级数收敛; 1时级数发散; 1 时失效.
證明 当为有限数时, 对 0,
N,
当n N时,
有 un1 ,
(1)n当P 0时收敛。
n2 n p
注意 un單調減少不是交錯級數 (1)n1un (un 0) n1 收斂的必要條件。
23
例8 判斷 sin n2 1的收敛性。
A无穷级数常数项级数的审敛法.ppt
lim(1
n
1 2
1 2n
)
3/26
二、概念
1. 级数的定义: un u1 u2 u3 un
n1
——(常数项)无穷级数，
部分和 sn u1 u2 un
一般项
2. 级数的收敛与发散:
若{sn }收敛（于 s）,称 un 收敛, s 为 un 的和.
n1
n1
写成s = un .如果{sn }发散,称 un 发散.
n1
n1
余项 rn un1 un2 s sn .
4/26
例 1 讨论等比级数(几何级数) (a 0) aqn a aq aq2 aqn 的收敛性.
n0
解 当q 1时
sn a aq aq2
若q 1 limqn
若q
1
n
lim
q
n
若q 1, 级n数 为
n 2n
1, 2
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0, 便 有
n
这是不可能的. 级数发散 .
0 1, 2
14/26
或由 2项
2项
4项
8项
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
加 括 号 后 一 般 项vn
1 2
，v
n
0
（加括号后）级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
2m项
15/26
例6 判别收敛性：1) 1 1 1 1 ；
解
2)
原式 1
11常数项级数审敛法-PPT课件
4.比较审敛法的极限形式:
un l, 设 un 与 v n 都是正项级数, 如果 lim n v n n 1 n 1
则(1) 当 0 时, 二级数有相同的敛散性; l
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 n1
n1
u n 收敛;
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
u l 证明 (1 )由 lim n l 对于 0 , n v 2 n
l u l n N, 当 n N 时 , l l 2 vn 2
l 3 l 即 v u v n N ) n n n ( 2 2
(3)
n ! 故级数 . n 发散 n 110 u ( 2 n 1 ) 2 n 1, n 1 lim lim n n u ( 2 n 1 ) ( 2 n 2 ) n
比值审敛法失效, 改用比较审敛法 1 1 1 2, 级数 收敛 , 2 (2 n 1 )2 n n n 1n
1 例 2 证 明 级 数 是 发 散 的 . ( n 1 ) n 1n
1 1 , 证明 n (n 1 ) n 1
1 级数 发散 . ( n 1 ) n 1 n
1 而级数 发散 , 1 n 1n
比较审敛法是一基本方法，虽然有 用，但应用起来却有许多不便，因为它 需要建立定理所要求的不等式，而这种 不等式常常不易建立，为此介绍在应用 上更为方便的极限形式的比较审敛法
由
n N 1
r n 收敛及比较审敛法得
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
应用举例
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
11-2常数项级数审敛法
部分和数列{ sn } 为单调增加数列.
定理 正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的
3
定理 1. 正项级数 u n 收敛
n 1
(n1,2, )有界 .
部分和序列 S n
证:
若 u n 收敛 ,则 Sn收,敛 故有界.
n 1
un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 nZ , 都有 unkvn,
令Sn和 n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
7
S n kn
(1) 若强级数 v n 收敛, 则有 limn
n 1
n
因此对一切 nZ, 有 S n k
对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来 讨论。
2
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.这种级数非常重要， 以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的收敛性问题
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
n1
n1
15
证: 据极限定义, 对0,存在 NZ,当nN时,
un
vn
l
(l )
( l ) v n u n ( l ) v n(nN)
(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1
n 3n
sin2
n
6
解 而
由于 lim u n 1 n un
定理 正项级 数 部收 分敛 和所 sn有 成 .界 的
3
定理 1. 正项级数 u n 收敛
n 1
(n1,2, )有界 .
部分和序列 S n
证:
若 u n 收敛 ,则 Sn收,敛 故有界.
n 1
un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 nZ , 都有 unkvn,
令Sn和 n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
7
S n kn
(1) 若强级数 v n 收敛, 则有 limn
n 1
n
因此对一切 nZ, 有 S n k
对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来 讨论。
2
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级un中 数各项 un 均 0， 有
n1
这种级数称为正项级数.这种级数非常重要， 以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题 都可归结为正项级数的收敛性问题
2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn
n1
n1
15
证: 据极限定义, 对0,存在 NZ,当nN时,
un
vn
l
(l )
( l ) v n u n ( l ) v n(nN)
(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1
n 3n
sin2
n
6
解 而
由于 lim u n 1 n un
11-2常数项级数审敛法(上)
n
un
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
31
证明 (1) 1 取 0 0 1
则 r 0 1
由
lim n
n
un
知
N，使当n N时
n un 0 r
un r n (n N )
由 rn 收敛及比较审敛法得
n N 1
un 收敛
n N 1
1；
n2
n1
n1 n
n1 n (n 1)
（4）
1
；（5）
n2 ；
n1 n(n 1)
n1 n(n 1)
解答： （1）收敛；（2）发散（3）收敛 （4）发散（5）发散
12
例2 利用比较法判定下列级数的敛散性:
(1)
1 sin2
n;
(2) n sin
1;
2n
n1
n1
4n
解：(1)
1 2n
sin2
部分和数列{sn } 为单调增加数列.
定理 正项级数收敛 部分和所成的数列sn有界.
3
定理 1. 正项级数
收敛
有界 .
部分和序列
证:
若
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列 单调递增,
又已知
有界, 故 收敛 ,从而
也收敛.
注：正项级数收敛的本质 —— un 0足够快。
4
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
14
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性 ;
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(2) 当l = 0时, 利 u n ( l用 ) v n ( n N ) 由定,理2 知
若 v n 收敛 , 则un也收敛;
n 1
n1
(3) 当l = ∞时, 存在 NZ,当nN时, un 1 , 即
un vn
vn
由定理2可知, 若 v n 发散 , 则un 也发散.
n 1
n1
un,vn
是两个正项级数,
lim
n
un vn
l,
(1) 当0l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当l 0且 vn收敛时, un 也收敛 ;
(3) 当l 且 vn 发散时, un也发散 .
特别取 vn
1 np
,
对正项级数 un, 可得如下结论
:
p1, 0l
limn p nnl
n
p1, 0l
un发散 un收敛
n 1
“
” un0,∴部分和数列 Sn单调递增,
又已知 Sn有界, 故Sn收敛 , 从而 u n 也收敛.
n 1
定理2 (比较审敛法) 设 u n , v n 是两个正项级数,
n1 n1
且存在 NZ , 对一切 nN,有unkvn(常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 v n 收敛 , 则弱级数 u n 也收敛 ;
n
1
un
un
u n 1 ()u n ()2un1
( )nNuN 1
()k收敛 , 由比较审敛法可知 un收敛 .
(2) 当1或 时 ,必N 存 Z ,u 在 N 0 ,当nN
时 u n 1 1, 从而
un
un1unun1 uN
因此 n l i m unuN0,所以级数发散.
说明: 当 lim un1 1 时,级数可能收敛也可能发散.
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,级数n发散.
n1
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 u n 为正项级
数, 且 nl i mnun,则
n 1
(1)当 1时 ,级数收 ; 敛
(2)当 1时 ,级数发 . 散
证明提示: nl i m nun,对任意给定的正数 (1),存在 NZ,当nN时 ,有
n
1 n2
1
根据比较审敛法的极限形式知n1ln1n12 收敛.
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设(1) 当un为正1项时级, 级数数, 且收敛nl im; uunn1 , 则
(2) 当1或 时, 级数发散 .
证: (1) 当1时, 取 使 1 ,由limun1
知存 N 在 Z,当nN时, un1
nu n 1 1
即
( )n u n ( )n 1 1
n
kn1k1p1(k11)p1
1
1 (n1)p1
n 1
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在NZ, 对一切 nN,
(1)
un
1 n
,
则un 发散;
n1
(2)
unn1p
(p1),
则un
n1
收敛.
例2. 证明级数
n1
证: 因为
1 n(n 1) 发散 .
1 n(n1)
1 (n1)2
1 (n1,2,) n1
而级数
n1 n
1
1
k2
1 k
发散
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un,
vn
满足 lim
un l, 则有
n1 n1
n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 lΒιβλιοθήκη = 0 且vn收敛时 , un 也收敛;
n 1
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散 , 则强级数 v n 也发散 .
n 1
n 1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 nZ , 都有 unkvn, 令Sn和 n 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
S n kn
(1) 若强级数 v n 收敛, 则有 limn
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0, 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 u n 收敛
部分和序列 S n
n 1
(n 1 ,2, )有界 .
证: “ ” 若 u n 收敛 , 则 Sn收,敛 故有界.
解: 1) 若 p1, 因为对一切 nZ ,
1 np
1 n
而调和级数
n
1
1 n
1
发散
,
由比较审敛法可知
p
级数
n
1
n
p
发散 .
2) 若 p1,因为当n 1 x n 时,
1 np
1 xp
,
故
1
np
nn1n1pdx
n1 n1xp
dx
p1 1(n1 1)p1np 11
考 1 虑 强2 p 1 级 1 数 n 22 p 1 ( n1 113 )pp 1 11 n p11 n 的p 1 部 1 分 ( 和n 1 1 )p 1
n1
n1
(3)
当
l
=∞
且vn 发散时, un
也发散.
n1
n1
证: 据极限定义, 对0,存在 NZ,当nN时,
un vn
l
(l )
( l ) v n u n ( l ) v n (nN)
(1) 当0 < l <∞时, 取l,由定理 2 可知 u n 与 v n
同时收敛或同时发散 ;
n 1 n 1
n 1
n
因此对一切 nZ, 有 S n k
由定理 1 可知, 弱级数 u n 也收敛 .
n 1
(2) 若弱级数 u n 发散, 则有 limSn,
n 1
n
因此 nl i mn,这说明强级数 n 1 v n 也发散 .
例1. 讨论 p 级数121p31pn1p(常数 p > 0)
的敛散性.
例3. 判别级数 sin
n 1
1 n
的敛散性 .
解: lim nsin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
n1sin1n 发散.
例4.
判别级数 ln
n1
1
1 n2
的敛散性.
ln(1
1 n2
)
～
1 n2
解:
lim n 2
n
ln
1
1 n2
limn2
n un
例如, p – 级数
1 n1 n p
:
lim u n 1 n un
1
lim ( n 1) p
n
1 np
1
p1, 级数收敛 ;
但 p1, 级数发散 .
例5. 讨论级数 nxn1 (x0) 的敛散性 .
n1
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知: