题型最全的递推数列求通项公式的习题.

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专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)

.专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题,掌握由递推关系求数列通项的常用方法:二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,也是一个难点,高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力,求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形,推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列,把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法 :利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 , s nn 2+2 ,求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ,对 n=1 要验证。

2、累加法: 利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法(其中数列 f n 的前 n 项和可求)。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ,求数列 { a n } 的通项公式 , a n 12 +3n2 n 2评注 此类问题关键累加可消中间项,而f ( n )可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法 :利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法 数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n,求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ,且式子右边累乘时可求积,而左边中间项可消。

a n14、转化法:通过变换递推关系,将非等差(等比)数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

题型最全的递推数列求通项公式的习题

题型最全的递推数列求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ,nn a a n n ++=+211,求n a 。

变式: 已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….(I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n a 11+=+,求n a 。

例2:已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ,求n a 。

变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pq t -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:(2006,重庆,文,14)在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________ 变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明:数列{b n }是等差数列;(Ⅲ)证明:*122311...().232n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1,则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列,可用递推公式或特征方程求解。

例如已知a1=1,an+1=an+1/n,则有:an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。

+1/n-1an=1+1/2+。

+1/n当k≠1时,设an+1+m=k(an+m),则有:an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b,解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。

例2]an+1=kan+f(n)型。

当k=1时,an+1-an=f(n),若f(n)可求和,则可用累加消项的方法求得通项公式。

例如已知a1=1,an+1-an=1/(n(n+1)),则有:an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。

+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时,可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B),解得A=a/(k-1),B=(2k-1)/(k-1)b-a,即可得通项公式。

例3]an+1=f(n)an型。

若f(n)=q(n+1)/n,则有:Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。

1.已知数列 $\{a_n\}$ 中,$a_1=1$,$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$,求 $a_n$。

解:根据递推式,可以列出 $a_2=3$,$a_3=7$,$a_4=15$,$a_5=31$,$a_6=63$,$a_7=127$,$\cdots$,可以猜测 $a_n=2^n-1$。

可以用数学归纳法证明:当 $n=1$ 时,$a_1=1=2^1-1$,假设 $a_k=2^k-1$,则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$,所以 $a_n=2^n-1$。

数列求通项公式典型例题及答案

数列求通项公式典型例题及答案

数列求通项公式1、累加法 :适用于:1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列,累加法是最基本的二个方法之一。

例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。

【答案:2n a n =】例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。

【答案:3 1.nn a n =+-】练1.1 已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.【答案:12+-=n n a n 】练1.2 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+==-n n n a a a n n ,求此数列的通项公式. 【答案:n a n 12-=】2、累乘法适用于: 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列,累乘法是最基本的二个方法之二。

例2.1 已知数列{n a }中,n n a a a n n 2,111+==+,求数列的通项公式。

【答案:)(2)1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中,n n a n na a )1(2,111+==+,求数列的通项公式。

【答案:12-=n n na 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。

【答案:(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n (n =1,2, 3,…),则它的通项公式是n a =________.【答案:na n 1=】3、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。

数列递推通项式的大题题型(答案版)

数列递推通项式的大题题型(答案版)

数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式。

解:1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +,得113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项,以23为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=,,求数列{}n a 的通项公式。

解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注:本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ,即得数列{}n a 的通项公式。

由递推关系求数列通项公式的几种方法

由递推关系求数列通项公式的几种方法
∴ an +1 = 3an + 2 x与已知an +1 = 3an + 1 比较得
1 1 解:Qan+1 = 3an +1 ∴an+1 + =(an + ) 3 2 21 an+1 + 1 2 =3 Qan + ≠ 0 ∴ 1 2 1 an + ∴{an + }是等比数列 , 2 2 1 1 n−1 3n −1 ∴an + = (a1 + ) ⋅ 3 ∴an = (n ∈N*) 2 2 2
然后用数学归纳法证明
小结: 小结
到了什么? 1.这节课我学 2.我还有哪些疑问? 3.我有什么新 想法 新发现? ,
作业:1.复习 作业 复习 2.进行等差数列 等比数列的知识梳理 进行等差数列,等比数列的知识梳理 3.做卷子 其中例 做卷子.其中例 其中例1(3)(8)选做 选做
1.形如an+1 − an = d(d为常数) 等差型
a2 2 解: = a1 1 a3 3 = a2 2 a4 4 = a3 3
5 .形 an+1 = f( ) n 如 n ⋅a
迭乘法
an 2 3 4 n −1 n ∴ = ⋅ ⋅ L ⋅ a1 1 2 3 n − 2 n −1
Mn an × a = n − 1 (n ≥ 2) ∴an = n (n ∈N*) n −1
2.形如an+1 = q ⋅ an (q为常数)
等比型
5 2 课课练P 44 / 12同学们做到 an = an −1 (n ≥ 2) 3 3
an 2 Q an −1 ≠ 0 ∴ = ( n ≥ 2) an −1 5
3 2 ∴{an }是等比数列, 首项a1 = , 公比q = 5 5

用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案)

用递推公式求数列通项公式的方法及数列求和的方法精讲与练习(含答案)

数列的通项公式的求法 一、观察法(即猜想法,不完全归纳法)观察各项的特点,关键是找出各项与项数n 的关系例1:根据数列的前4,写出它的一个通项公式:9,99,999,9999,......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系,求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2:}{n a 的前n 项和n S ,求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。

变式:已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法 已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4:已知数列}{n a 中,n n a nn a a 1,211+==+,求}{n a 的通项公式。

变式:已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=,,求数列{}n a 的通项公式。

变式: 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=,,求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++,,求数列{}n a 的通项公式。

解:由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,往下用数学归纳法证明这个结论。

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法

由递推公式求数列通项公式常见题型及解法对于由递推公式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推公式变形,转化成等差数列或等比数列加以解决,也可以通过构造法把问题转化后予以解决.下面分类举例说明.一,%+l=%+-厂(n)型累加法:%=(一%~1)+(n一l一%一2)+…+(oa一.I)+nl=-厂(n一1)+_厂(n一2)+…+f(1)+01.例1在数列{}中,已知+=,=2,求通项公式.解:已知递推式化为…_l__一:+%+12+I’又tan(a+c)=号,tanAtanC=2+厂,tanA+tanC=3+,/一.由IanA+tanc=+,[tanAtanC=2+,v/3.解得tanA=1,tanC=2+,/丁或tanA=2+,/,tanC=1.所以A=45.,B=60.,C=75.或A=75o.B=60..C=45..当=45咐,.=8c==8,6=Ac=每=4,c=4+4_当=75.时,.=8,b=4,厂一(x/一1),c=8(,/一1).【解题反思】此题将三角形,正弦定理,三角形内角和,方程思想等知识巧妙24基础教育论坛[2011年第2期j即一--1=1,%+1’所以一1=1,l:1,啦Z啦Z111111啦劬一2’’一l一2n’将以上(n一1)个式子相加,得1一1=_2211l+..’1,—_22”‘即an=争++寺++…+一(一一.21一所以=一=.2练习:已知数列{%}满足n.=1,+.=n+2n(孔∈N).求血,结合,对学生的综合能力的运用是一个很大的考验,只有熟练掌握了三角的基本公式和基本方法技巧,才能运用自如,完整解答问题.三,有益的启示《考试说明》明确提出:要在”突出数学基础知识,基本技能,基本思想方法的考查”的同时,”重视数学基本能力和综合能力的考查”,”注重数学应用意识和创新意识的考查”,由此可见,坚持和加强在知识的交汇点处命题势在必行.在知识的交汇处命题,一方面数学学科知识之间的纵横交融,渗透综合的鲜明特点,将正,余弦定理与向量,解析几何,立体几何,数列,不等式,数列,方程等重要知识有效交汇于一体;另一方面,可有效考查学生的各类方法技能和重要数学思想的合理运用,把对学生的数学思维能力和综合应用能力的考查融合在对学生双基考二,+l=_厂(n)?型累积法:=—旦L?上…??塑?c—l(一2nl.,所以=-厂(n一1(n一2(n一3)一1)01.例2求数列.t=_『1,%=_}.%一(n≥2)的通项公式.解:当n≥2时,=堕?盟?a4…??L.al0l啦%一1【即%=面可×}:一4,l2—1’当n=l,=}=所以r(n∈N+)?查之中,因此我们必须高度重视,积极应对.数学知识交汇题,一般具有背景清晰且内涵丰富,新颖脱俗且思路灵活的特点,这就需要我们在熟练掌握数学基础知识和基本技能的基础上,深刻理解题意, 洞察内在联系,准确选择方法,要依据题设条件,合理进行变换,灵活进行转化,严谨完善解题.正弦定理,余弦定理在高考中,一般不单设试题,而是融于其他知识当中去考查,学生学习中应重视四大数学思想方法的培养.在运用定理时,要注重与其他知识的交汇,多角度联想,观察和分析问题,教师要教给学生学习的方法, 让学生学会学习,真正做到与其他知识融会贯通,切实提高学生分析问题,解决问题的能力,,促进其思维能力的发展和提高.练习:已知数列{吼}满足土上_=n (11,∈N+),ot=l,求n,1.三,%+I--,pa~+叮型方法:1)+小t?),.’,再根据等比数列的相关知识求(2)+.~%=p(%一an一)再用累加法求.(争一,先用累加法求争,再求?例3在数列{}中,a.=1,当n≥2时,有%=3一1+2,求.解法1:设+A=3(%l+A),即有=3~1+2A,对比=3l+2,得A=1.于是%+I=3(1+1),数列{+}是以a.+l=2为首项,以3为公比的等比数列,所以有=2?3一1.解法2:由已知递推式,得%+l=3%+2,%=3a.一l+2(n≥2).上述两式相减,得%+l~:3(%一%一1),因此,数列{%+.一nJl}是以o.2一a=4. 为首项,以3为公比的等比数列.所以+l一=4?3’,即3一%=4?3,所以%=2?3’1.练习:已知{}的首项n.=n(a为常数),;2a.一1(n∈N+,n≥2),求‰四,%+l=p%+/(n)型例4设数列{}满足,a=1,=一一J+2n一1(n≥2),求通项公式%.解:设6=+An,+曰,则%=b一An—B,%一l=6一l—A(一1)一B,所以b一An—B=an=1[6-I--A(n一1)一B]+2n一1,即b=1b—j+(A+2)n+(}A+一-).设所以b=16且b=%一4n+6.厶由于il6}是以3为首项,以为公比的等比数列,所以有b=3丁._由此得:一;:十4n.6.【说明】通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列). 五,+f:p%+q型例5已知b≠O,b≠士1,伪=,=了’+-+(n≥2),写出用/1,和b表示%的通项公式,解:将已知递推式两边乘以(1+6)”,得(1+6)=6(1+6)’an+l+,又设‰=(1+6),于是,原递推式化为n=bxT,仿类型三,可解得%=b—b=‘故%:.【说明】对于递推式+.=p+g,可两边除以q’,得争+上争’争,引入辅助数列6争,得n+争6n+,然后可归结为类型三.g六,+2p%+j+口型方法:待定系数法,设%+.一衄(一一%),构造等比数列.例6已知数列{}中,=1啦=2,+=++,求%.解:在%+2=%+l+两边减去+l,得%+2一+I:一一(+l一).所以{%+一%{是以02一n.=l为首项,以一为公比的等比数列.所以%+一=(一})..令E式=1,2,3,:一.(一1),再把这(n一1)个等式累加,得%一o=1 (一})+(_丁1)+?+(一})一=囊[1(一】.以;1哼((一}-11..t:,线性分式型..例7.(倒数法)已知数列{}中,a.: },+J=打,求{}的通项公式-解:j一::+2,所以{}是以为-NN,公差为2的等差数列,即l_:丁5+2(一1):,jj所以丁?练习:已知数列{}中,a.=1,=精,求{%}的通项公式?解.=}:击,所以f专}是以1为首项,公差为2的等差数列.所以=l+2(一1)_2,卜l,即Sn?所以=一一丁一1一=一fl(,n=1),删{2n1一2n3(.1一一…等差,等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试学生灵活运用知识的能力,这个”灵活”往往集中在”转化”的水平上.转化的目的是化陌生为熟悉,当然首先是等差,等比数列,根据不同的递推公式,采用相应的变[2011年第2期]基础教育论坛●_’r4:=A得解Il,l0一扛一2++A一2A一2。

由递推公式求通项公式练习

由递推公式求通项公式练习

高三数学——由数列的递推公式求通项公式课堂例题:例题1. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1-a n =1n +2+n +1,求a n .例题2. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1a n= nn +1,求a n .反馈练习:1.已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n -1+3n (n ∈N 且n ≥2),则通项a n = .2. 已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则通项a n = ________.3. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1a n=2n ,则通项a n = ________.4.已知数列{a n }满足a 1=254,a n +1-a n =2n ,当n =________时,a nn 取得最小值.课堂例题:例题3. (1)已知a 1=1,a n =3a n -1+2,则a n = ;(2)已知a 1=1,a n =a n -13a n -1+1(n ∈N 且n ≥2),求a n 。

例题4.已知数列{a n }中,a 1=2,前n 项和S n ,若S n =n 2a n ,求a n .反馈练习:1. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n =23a n -1+1 (n ∈N 且n ≥2),则a n =________.2. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n =2a n -1+2n (n ∈N 且n ≥2),则a n =________.3. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n =2a n -1a n -1+2(n ∈N 且n ≥2),则a n =________.高考演练:1.(2018,全国卷Ⅰ,17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设nn a b n=. ⑴求123b b b ,,;⑵判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; ⑶求{}n a 的通项公式.2.(2017,全国卷Ⅲ,17)(12分)设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.(1)求{}n a 的通项公式;3.(2016,全国卷Ⅲ,17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列满足,.(I )求;(II )求的通项公式.4. (2014,大纲卷,17)(本小题满分10分) 数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. (1)设1n n n b a a +=-,证明{}n b 是等差数列; (2)求{}n a 的通项公式.{}n a 11a =211(21)20n n n n a a a a ++---=23,a a {}n a。

数列专题1递推公式求通项公式(练习)

数列专题1递推公式求通项公式(练习)

递推公式求通项公式作业1.数列3,7,13,21,31,…,的一个通项公式为( )A .14-=n a nB .223++-=n n n a nC .12++=n n a nD .不存在 2.在数列}{n a 中,21-=a , n a a n n +=+21,则=3a ( ) A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3.数列}{n a 中,a 1=1,对于所有的2n ≥,*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅= ,则35a a +=( )A.1661B.925C.1625D.1531 4.在数列}{n a 中,2,121==a a ,n n n a a a -=++122,则=4a ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 ( )A .289B .1024C .1225D .1378 6.数列}{n a 中,)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ,则数列{a n }的通项公式是:( ) A .231-n B .231+n C .321-n D .321+n 7.数列}{n a 中,若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ,且544=a ,则1a 的值是________. 8.已知数列}{n a 满足21=a ,+∈∀N n ,0>n a ,且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ,则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

9.已知数列}{n a 的首项11=a(1)若11n n a a n +=++,则n a =_________;(2)若112n n n a a ++=⋅,则n a =_______ (3)若1)1(++=n n a n na ,则n a =______;(4)若)2(231≥+=-n a a n n ,则n a =________; (5)若11nn n a a a +=+,则n a =_______;(6)122(2),_______.nn n n a a n a -=+≥=若则10.设正数数列{}n a 满足21=a,n a =n ≥2),求数列{}n a 的通项公式。

递推法(迭代法)求数列通项

递推法(迭代法)求数列通项

1 高二数学递推法(迭代法)求数列通项例1、设数列{}n a 是首项为1的正项数列,且()()22*11n+10n n n n a na a a n N ++-+=∈,求数列的通项公式.解:由题意知11,0n a a =>,将条件变形,得()()1110n n n n a a n a na ++++-=⎡⎤⎣⎦,又0n a >,得10n n a a ++≠,所以11n n n a a n +=+,即11n n a n a n +=+,到此可采用: 法一(递推法):121112121112n n n n n n n n a a a a n n n n n -------==⋅==⋅⋅⋅--,从而1n a n =. 法二(叠成法):12121121,12n n n n a a a n n a a a n n -----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-所以1n a n= . 法三(构造法):由11n n a n a n +=+,得()1n+11n na na +=,故{}n na 是常数列,1111,n n na a a n =⨯=∴=. 点拨:解法一是迭代法,这是通法;解法二是叠乘法,适合由条件()1n n a f n a -=求通项的题型;解法三是构造法(简单+经典),根据条件特点构造特殊数列求通项,技巧性较强,体现了转化思想.例2、已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+,,求数列}a {n 的通项公式.解:由已知,得(两边除以1n 3+),得1n n n 1n 1n 31323a 3a +++++=,即1n n n 1n 1n 31323a 3a ++++=-, 故11221122111()()()333333n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ------=-+-++-+122121213()()()3333333n n -=+++++++ 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- , ∴n 1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-,即213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅= 练习:已知数列{}n a 中,111,n n a a a n +=-=,求通项公式n a .(尝试叠加法)解:由已知,得()()()12112n n n a a n a n n --=+-=+-+-()()()21n n-1n n+2121122a n n -==+-+-++=+=.。

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)6-3 利用递推公式求通项(精练)(含详解)

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)6-3 利用递推公式求通项(精练)(含详解)

6.3 利用递推公式求通项(精练)(提升版)1.(2022·湖北)在数列{}n a 中,111,72n n a a a n +=-=-,则数列{}n a 中最大项的数值为___.2.(2022·全国·高三专题练习)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅,则n a =_______.3.(2022·黑龙江双鸭山)已知数列{}n a 满足:11a =,121n n a a n +-=-,n *∈N ,则n a =______. 4.(2022·江苏江苏·一模)已知数列{}n a ,11a =,且()111n n a a n n +=-+,*n ∈N .求数列{}n a 的通项公式 ;5.(2022·全国·高三专题练习)数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+,求数列{}n a 的通项公式 .6.(2022·全国·江西科技学院附属中学)已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+,则98S =______.1.(2022·浙江)已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈,则数列{}n a 的通项公式是______2.(2022·上海)若数列{}n a 的首项11a =,且112(2)n n n a a n --=⋅≥,则数列{}n a 的通项公式为_______.3.(2022·江苏)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,12n n n a S n++=(*n ∈N ),则n S = 4.(2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足4(n +1)(S n +1)=(n +2)2a n ,则数列{a n }的通项公式a n 等于 5.(2022·安徽)已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=,则{}n a 的通项公式为___________. 1.(2022·四川·什邡中学)数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+,则它的通项公式是_______.2.(2022·湖北)数列{}n a 中,已知11S =,22S =且1123n n n S S S +-+=(2n ≥且n ∈+N ),则此数列{}n a 的通项公式为__________.3.(2022·上海市七宝中学)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*1103n n S a n N +-=∈,则{}n a 的通项公式为__________.题组一 累加法题组二 累乘法题组三 公式法4.(2022·湖南·长郡中学一模)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且141n n n S a a +=+,11a =.求数列{}n a 的通项公式5.(2022·天津·静海一中)已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =,,且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+,,求2a 的值,并证明:数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列;6.(2022·全国·单元测试)数列{}n a 满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N .求{}n a 的通项公式; 7.(2022·四川)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=,*n N ∈. (1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式.8.(2022·广东佛山·二模)已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a :9.(2021·江苏省灌云高级中学)设Sn 是正项数列{an }的前n 项和,且2113424n n n S a a =+-.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式.10.(2022·海南·模拟预测)设数列{}n a 的前n 项和为n S,14a =,1224n n S a n +=+-.求数列{}n a 的通项公式;1.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 的首项11a =,且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+,则数列{}n a 的通项公式为( ) A .n a n =B .21n a n =+ C .2n a n = D .1n a n=2.(2022·江西)已知数列{}n a 满足:11a =,1122n n n a a --=+(2n ≥,n N ∈),则n a =___________.3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 满足11a =,且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,则数列{}n a 的通项公式n a =______.题组四 构造等差数列4.(2022·全国·高二课时练习)已知数列{}n a 中,1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈,求数列{}n a 的通项公式 ;5(2022·四川宜宾·二模(理))在数列{}n a 中,11a =,213a =,且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥,则n a =___________.1.(2022·全国·高三专题练习)已知在数列{}n a 中,156a =,111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则n a =( )A .3223n n - B .2332n n- C .1223n n- D .2132n n- 2.(2021·山西师范大学实验中学)已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+,11a =,则n a =___________. 3.(2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习)已知数列{}n a 满足11a =,()*1N 23n n na a n a +=∈+,则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________.4.(2021·陕西·西北工业大学附属中学)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =且121n n a a +=+,若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立,则实数λ的取值范围为___________.题组五 构造等比数列6.3 利用递推公式求通项(精练)(提升版)1.(2022·湖北)在数列{}n a 中,111,72n n a a a n +=-=-,则数列{}n a 中最大项的数值为___. 【答案】10【解析】当2n ≥时()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()9211251n n =-+-+++()()1925 12n n --+=+()2286410n n n =-+-=--+,所以当4n =时,数列{n a }中最大项的数值为10.故答案为:10.2.(2022·全国·高三专题练习)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=⋅,则n a =_______.【答案】212n -【解析】因为数列{}n a 满足12a =,21132n n n a a -+-=⋅,所以当1n ≥时,111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+⋅⋅⋅+-+()()2123212143222232214n n n n --+-=++⋅⋅⋅++=⨯+=-.所以212n n a -=,*2,N n n ≥∈,因为12a =,也满足上式,所以数列{}n a 的通项公式为212n n a -=,*N n ∈故答案为:212n -3.(2022·黑龙江双鸭山)已知数列{}n a 满足:11a =,121n n a a n +-=-,n *∈N ,则n a =______. 【答案】222,n n n N *-+∈.【解析】因为121n n a a n +-=-,n *∈N , 所以当1,n n N *>∈时,有123n n a a n --=-, 因此有:11222211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+,即2(231)(1)(23)(25)(27)111222n n n a n n n n n -+-=-+-+-+++=+=-+,当1n =时,适合上式,所以222,n a n n n N *=-+∈,故答案为:222,n n n N *-+∈.题组一 累加法4.(2022·江苏江苏·一模)已知数列{}n a ,11a =,且()111n n a a n n +=-+,*n ∈N.求数列{}n a 的通项公式 ; 【答案】1n a n=【解析】(1)因为()111n n a a n n +=-+,所有1111(1)1n n a a n n n n+-=-=-++,当2n ≥时,211121a a -=-,321132a a -=-,……,1111n n a a n n --=--,相加得1111n a a n -=-,所以1n a n =,当1n =时,11a =也符合上式,所以数列{}n a 的通项公式1n a n=5.(2022·全国·高三专题练习)数列{}n a 满足1111,23n n n a a a -+==-+,求数列{}n a 的通项公式 .【答案】1312n n a n -=--【解析】根据题意,可得到1132n n n a a -+-=-,2132n n n a a --∴-=-,31232n n n a a ----=-,……2131 2.a a -=-=将以上()-1n 个式子累加可得,2313(1)(2221)n n n a a n ---=--++⋯++, 2n ≥11a =,11123231212n n n a n n --∴-=--=---,又 11a =满足,所以1312n n a n -=--6.(2022·全国·江西科技学院附属中学)已知首项为13的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11(23)n n n n n S n a a a S ++++=+,则98S =______.【答案】1465119800【解析】依题意,11(23)n n n n n a a a a +++=-,则1123n n n n a a n a a ++-+=,故11123n nn a a +-=+, 21115a a -= ,32117a a -= ,43119a a -= ,…,11121n n n a a --=+, 累加可得,111(215)(1)2n n n a a ++--=()()31n n =+- , ()()()13132nn n n n a =+-+=+ ()2n ≥ ,当n =1时,113a = 也成立,故1111(2)22n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,9811111111131114651123243598100229910019800S ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;故答案为:1465119800. 1.(2022·浙江)已知数列{}n a 满足*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈,则数列{}n a 的通项公式是______【答案】2(1)n a n n =+【解析】∵*11121,,N n n n na a a n n a ++-==∈∵()12n n na n a +=+,即12n n a na n +=+,∵()32121123123451n n a a a n nn a a a n n --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅≥+,∵2(1)n a n n =+.n=1也适合故答案为:2(1)n a n n =+. 2.(2022·上海)若数列{}n a 的首项11a =,且112(2)n n n a a n --=⋅≥,则数列{}n a 的通项公式为_______.【答案】(1)22n n n a -=【解析】 数列{}n a 中,11a =,()1122n n n a a n --=⋅≥,∴112n n n aa --=,∴321121n n n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⋯⨯211222n -=⨯⨯⨯⋯⨯12(1)2n ++⋯+-=(1)22n n -=.故答案为:(1)22n n n a -=. 3.(2022·江苏)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12a =,12n n n a S n++=(*n ∈N ),则n S = 【答案】2n n ⋅B【解析】由题得111(1)(1),,,2121n n n nn n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++(2n ≥)所以122,1n n a n a n ++=⨯+(2n ≥) 由题得22166,32a a a =∴==,所以122,1n n a n a n ++=⨯+(1n ≥). 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n -+=⨯=⨯=⨯=⨯,所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n nS n n n =⨯+⋅=⋅+.故选:B 4.(2020·江苏·泰州市第二中学高二阶段练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足4(n +1)(S n +1)=(n +2)2a n ,则数列{a n }的通项公式a n 等于 【答案】(n +1)3【解析】当n =1时,4(1+1)(a 1+1)=(1+2)2a 1,解得a 1=8,当n ≥2时,由4(Sn +1)=()221nn a n ++,得4(Sn-1+1)=()211n n a n-+,两式相减,得4an =()221nn a n ++-()211n n a n-+,题组二 累乘法即()3311nn n a a n -+=,所以an =123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----⋅⋅⋅⨯1a ,an =()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-=(n +1)3, 经验证n =1时也符合,所以an =(n +1)35.(2022·安徽)已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=,则{}n a 的通项公式为___________. 【答案】()12n n n a +=【解析】根据题意,数列{}n a 中,11a =,*2()3n n n S a n N +=∈,23n n n S a +=∵,1113n n n S a --+=∵, ∵-∵可得:1(2)(1)33n n n n a n a a -++=-,变形可得:111n n a n a n -+=-, 则12112113(1)()()()()()()11212n n n n n a a a n n n n a a a a a n n ---++=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=⨯⨯⋯⋯⨯⨯=--; 1n =时,11a =符合(1)2n n n a +=;故答案为:(1)2n n n a +=. 1.(2022·四川·什邡中学)数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+,则它的通项公式是_______.【答案】2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】当1n =时,211312112a S ==⨯-⨯+=,当2n ≥时,()()()22132********n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦经检验当1n =时不符合,所以2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,故答案为:2,165,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩,2.(2022·湖北)数列{}n a 中,已知11S =,22S =且1123n n n S S S +-+=(2n ≥且n ∈+N ),则此数列{}n a 的通项公式为__________.【答案】*21122n n n a n N n -=⎧=∈⎨≥⎩,,,【解析】由1121,2a S S ===得:2211a S a =-= 1123n n n S S S +-+=(2n ≥且n ∈+N )题组三 公式法()112n n n n S S S S -+=∴--(2n ≥且n ∈+N )即12n n a a +=(2n ≥且n ∈+N )∴数列{}n a 是第二项起公比为2的等比数列, 22n n a -∴=(2n ≥且n ∈+N )又211a a =不满足上式, *21122n n n a n N n -=⎧∴=∈⎨≥⎩,,,3.(2022·上海市七宝中学)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*1103n n S a n N +-=∈,则{}n a 的通项公式为__________.【答案】21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 【解析】由1103n n S a +-=得:()1103n n n S S S +--=,即14n n S S +=,又111S a ==,∴数列{}n S 是以1为首项,4为公比的等比数列,14n n S -∴=;当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⋅;经检验:11a =不满足234n n a -=⋅;故答案为:21,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 4.(2022·湖南·长郡中学一模)已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且141n n n S a a +=+,11a =.求数列{}n a 的通项公式 【答案】21n a n =-【解析】(1)∵1141,1n n n S a a a +=⋅+=,∵1122413S a a a =+⇒=.当2n ≥时,1141n n n S a a --=+,∵11144n n n n n n S S a a a a -+--=-,∵()114n n n n a a a a +-=-,∵0n a ≠,∵114n n a a +--=.∵数列{}n a 的奇数项是以1为首项,4为公差的等差数列,偶数项是以3为首项,4为公差的等差数列.∵212a a -=,∵{}n a 为等差数列,通项公式为21n a n =-.5.(2022·天津·静海一中)已知数列{}n a 的前n 项和为114n S a =,,且2*121n n nS a n N n +=⋅∈+,,求2a 的值,并证明:数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列;【答案】234a =,证明见解析 【解析】(1)证明:因为114a =,且2*121n n n S a n N n +=⋅∈+,.令1n =,有1121314S a a ===⋅,解得234a =, 由2121n n n S a n +=⋅+,有()()211221n n n S a n n --=⋅≥-, 两式相减有()()221122121n n n n n a a a n n n +-=⋅-⋅≥+-,化简整理得()122121n n a a n n n +=≥-+, 又1114a =,2134a =,所以1121214n n a a n n +==⋅⋅⋅=-+, 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是一个常数列.6.(2022·全国·单元测试)数列{}n a 满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=(,1)n n ∈≥N .求{}n a 的通项公式; 【答案】21n a n n=+(1,)n n ≥∈N 【解析】由212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋅⋅⋅+=-, 两式相减得()2211n n n a n a n a -=--, 则()()111n n n a n a -+=-, 因为112a =,所以0n a ≠, 所以()1121n n a n n a n --=≥+, 则2113a a = 3224a a=111n n a n a n --=+, 以上各式相乘得:()121n a a n n =+,所以()212n a n n n=≥+, 当1n =时,上式也成立, 所以21n a n n=+;7.(2022·四川)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=,*n N ∈. (1)求1a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式. 【答案】(1)12a =;(2)2n a n =.【解析】(1)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=,得22211(113)3(11)0a a -+--+=,即21160a a +-=,解得:13a =-(舍)或12a =.(2)由222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=,得2(3)()0n n S S n n +--=,即2n S n n =+或3n S =-(舍) 当1n =时,12a =.当2n ≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.验证1n =时上式成立,2n a n ∴=.8.(2022·广东佛山·二模)已知数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=求1a 、2a 的值及数列{n a }的通项公式n a : 【答案】121,3a a ==;21n a n =-;【解析】因()()*1311,N ,5n n nS n S n n n a +-+=+∈=,取1n =和2n =得:12112312()222()3()6a a a a a a a a +-=⎧⎨++-+=⎩, 即211224a a a a -=⎧⎨+=⎩,解得121,3a a ==,由()()111n n nS n S n n +-+=+得:111n n S S n n +-=+,数列{}n S n 是首项为1111S a ==,公差1d =的等差数列,则n S n n =,即2n S n =,当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-,而11a =满足上式,因此,21n a n =-,所以121,3a a ==,数列{n a }的通项公式21n a n =-.9.(2021·江苏省灌云高级中学)设Sn 是正项数列{an }的前n 项和,且2113424n n n S a a =+-.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式. 【答案】(1)3(2)a n =2n +1【解析】(1)由所给条件知,当n =1时21111113424S a a a ==+- ,整理得()()21111230,310a a a a --=-+= ,由于10a > ,得13a = ;(2)由条件得2423n nn S a a =+-① ,()21114232n n n S a a n ---=+-≥② ,∵- ∵得2211422n n n n n a a a a a --=-+- ,整理得:(an +an -1)(an -an -1-2)=0,因为:an +an -1>0,∵an -an -1=2(n ≥2),{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列,()12121n a a n n =+-=+ ,故21n a n =+ .10.(2022·海南·模拟预测)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,14a =,1224n n S a n +=+-.求数列{}n a 的通项公式;【答案】31nn a =+【解析】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ,14a =,1224n n S a n +=+-, 当2n ≥时,1226n n S a n -=+-,两式相减可得11122224(26)2n n n n n n n a S S a n a n a a -++=-=+--+-=-+, 即132n n a a +=-,可得113(1)n n a a +-=-,即1131n n a a +-=-, 当1n =时,12224a a =+-,所以210a =,所以2111013141a a --==--, 所以数列{}1n a -是以3为首项,3为公比的等比数列,所以13n n a -=,即31nn a =+,所以数列{}n a 的通项公式31nn a =+.1.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 的首项11a =,且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+,则数列{}n a 的通项公式为( ) A .n a n = B .21n a n =+ C .2n a n = D .1n a n=【答案】B题组四 构造等差数列【解析】因为数列{}n a 的首项11a =,且各项满足公式()122nn n a a n N a *+=∈+,则20a ≠,30a ≠,,以此类推,对任意的n *∈N ,0n a ≠, 由122n n n a a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+,所以,11112n n a a +-=, 所以,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,且首项为111a ,公差为12,111122n n n a -+∴=+=,因此,21n a n =+. 故选:B.2.(2022·江西)已知数列{}n a 满足:11a =,1122n n n a a --=+(2n ≥,n N ∈),则n a =___________.【答案】12n n -⋅ 【解析】由题设,()1112222n n n n a a n --=+≥,即()1112222n n n n a a n ---=≥,而1122a =, ∵{}2n n a 是首项、公差均为12的等差数列,即11(1)2222n n nn a =+-=, ∵n a =12n n -⋅.故答案为:12n n -⋅3.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 满足11a =,且()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,则数列{}n a 的通项公式n a =______.【答案】23n n +【解析】∵()111233nn n a a n -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,∵()113312n n n n a a n --=+≥,即()113312n n n n a a n ---=≥.又11a =,1133a ⋅=,∵数列{}3n n a 是以3为首项,1为公差的等差数列,∵()33112nn a n n =+-⨯=+,∵数列{}n a 的通项公式23n n n a +=.故答案为:23nn +. 4.(2022·全国·高二课时练习)已知数列{}n a 中,1*113,323,n n n a a a n N ++==+⨯∈,求数列{}n a 的通项公式 ;【答案】()213nn a n =-⋅.【解析】由11323n n n a a ++=+⨯,得:111123333n n n n n n a a ++++⋅=+,∵11233n n n na a ++-=, 即数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为2的等差数列,∵213n n a n =-,得()213n n a n =-⋅. 5(2022·四川宜宾·二模(理))在数列{}n a 中,11a =,213a =,且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥,则n a =___________. 【答案】121n - 【解析】因为11a =,213a =,()11123n n n n n a a a a a +-+=-,显然0n a ≠,所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-,同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-,所以1111112n n n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭,所以1111211n n n n a a a a +--=-,所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列,所以1111222n n n n a a -+-=⨯=,所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n na =- 故答案为:121n - 1.(2022·全国·高三专题练习)已知在数列{}n a 中,156a =,111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则n a =( )A .3223n n- B .2332n n- C .1223n n- D .2132n n- 【答案】A【解析】因为156a =,111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+,整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-,所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项,23为公比的等比数列.所以1422333n n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,解得3223n n na =-. 故选:A2.(2021·山西师范大学实验中学)已知数列{}n a 满足1267n n a a +=+,11a =,则n a =___________. 【答案】1117344n -⋅- 【解析】由已知可得1732n n a a +=+,设()13n n a x a x ++=+,则132n n a a x +=+,所以,722x =,可得74x =,所以,177344n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,且171144a +=,题组五 构造等比数列由题意可知,对任意的n *∈N ,704n a +≠,则174374n n a a ++=+, 所以,数列74n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,且该数列的首项为114,公比为3,所以,1711344n n a -+=⋅,因此,1117344n n a -=⋅-.故答案为:1117344n -⋅-. 3.(2022·福建省长汀县第一中学高三阶段练习)已知数列{}n a 满足11a =,()*1N 23n n na a n a +=∈+,则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为___________. 【答案】2234n n +--【解析】数列{}n a 满足*111,()23n n n a a a n N a +==∈+,整理得:1123n n n n a a a a +++=,所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 又1134a +=,故13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项,2为公比的等比数列, 所以1113422n n n a -++=⋅=,所以1231n n a +=-,所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和24(12)323412n n n T n n ++--==-- 故答案为:2234n n +--4.(2021·陕西·西北工业大学附属中学)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =且121n n a a +=+,若2n S n λ≤+对任意的N n *∈恒成立,则实数λ的取值范围为___________.【答案】3λ≤【解析】由题设112(1)n n a a ++=+,112a +=,则{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列,所以12n n a +=,则21nn a =-,12(12)2212n n n S n n +-=-=---,则1222n n S n n ++=+-在N n *∈上递增,所以2min (2)2123n S n +=+-=,要使2n S n λ≤+恒成立,则3λ≤.故答案为:3λ≤。

利用递推关系式求数列的通项公式(精品-绝对好)

利用递推关系式求数列的通项公式(精品-绝对好)

利用递推关系式求数列的通项公式数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要。

本文给出了求数列通项公式的常用方法。

◆一、直接法根据数列的特征,使用作差法等直接写出通项公式。

例1.根据下列数列的前几项,说出数列的通项公式:1、1,3,7,15,31,………2、2,6,12,20,30,………3、21212,1,,,,3253……… 4、1,-1,1,-1……… 5、1、0、1、0………◆二、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前n 项和n S 及n a 的关系,求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解.(注意:求完后一定要考虑合并通项)例2.①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-,求数列{}n a 的通项公式.②已知等比数列{}n a 的首项11=a ,公比10<<q ,设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ,求数列{}n b 的通项公式。

◆三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。

也可以猜想出规律,然后正面证明。

例 3.(2002年北京春季高考)已知点的序列*),0,(N n x A n n ∈,其中01=x ,)0(2>=a a x ,3A 是线段21A A 的中点,4A 是线段32A A 的中点,…,n A 是线段12--n n A A 的中点,…(1) 写出n x 及21,--n n x x 之间的关系式(3≥n )。

(2)设n n nx x a -=+1,计算321,,a a a ,由此推测{}n a 的通项公式,并加以证明。

递推数列求通项公式的求法及习题演练

递推数列求通项公式的求法及习题演练

高考递推数列题型分类归纳解析类型1 )(1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ,nn a a n n ++=+211,求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n na 11+=+,求n a 。

例2:已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ,求n a 。

变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:(2006,重庆,文,14)在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________ 变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式;类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。

(或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。

常见的递推关系求通项

常见的递推关系求通项

研题型 能力养成 举题说法
视角 5 形如 an+1=b+aacnan(ac≠0)型 2-5 (2023·南通模拟)已知数列{an}中,a1=13,an+1=2-anan,求数列{an}的通项公式.
【解答】因为 a1=13,an+1=2-anan,故 an≠0,所以an1+1=a2n-1,整理得an1+1-1=2a1n-1. 又 a1=13,a11-1=2≠0,a1n-1≠0,所以aan11+n-1-11=2 为定值,故数列a1n-1是首项为 2, 公比为 2 的等比数列,所以a1n-1=2n,得 an=2n+1 1.
研题型 能力养成 举题说法
2-1 (2) 设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=3n-1,求数列{an}的通项公 式. 【解答】当 n=1 时,a1+S1=3-1⇒a1=1;当 n≥2 时,an+Sn=3n-1,an-1+Sn-1= 3(n-1)-1,an-an-1+Sn-Sn-1=3⇒2an-an-1=3⇒an=12an-1+32. 由 an=12an-1+32,得 an-3=12an-1-32,即 an-3=12(an-1-3),所以aan-n-1-33=12.又 a1- 3=-2,所以数列{an-3}是首项为-2,公比为12的等比数列,所以 an-3=-2·12n-1, 即 an=-2·12n-1+3=-22-n+3.
研题型 能力养成 举题说法
视角2 形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0)型 2-2 (2023·泉州模拟)在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4×3n-1,求数列{an}
的通项公式.
【解答】 方法一:原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1),比较系数得λ=-4,上 式即是an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),则数列{an-4×3n-1}是首项为a1-4×30=-5,公 比为2的等比数列,所以an-4×3n-1=-5×2n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1. 方法二:将 an+1=2an+4×3n-1 的两边同除以 3n+1,得3ann++11=23·a3nn+342,令 bn=a3nn,则 bn+1=23bn+49.
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高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

类型1 )(1n f a a n n +=+解法:把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+,利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足211=a ,nn a a n n ++=+211,求n a 。

变式: 已知数列1}{1=a a n 中,且a 2k =a 2k -1+(-1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….(I )求a 3, a 5;(II )求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法:把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+,利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n na 11+=+,求n a 。

例2:已知31=a ,n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ,求n a 。

变式:(2004,全国I,理15.)已知数列{a n },满足a 1=1,1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2),则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。

解法(待定系数法):把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中pqt -=1,再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a . 变式:(2006,重庆,文,14)在数列{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =_______________ 变式:(2006. 福建.理22.本小题满分14分) 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ (I )求数列{}n a 的通项公式; (II )若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明:数列{b n }是等差数列;(Ⅲ)证明:*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈ 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq )。

(或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 。

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以1+n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+∙=++引入辅助数列{}nb (其中nn n q a b =),得:q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

例:已知数列{}n a 中,651=a ,11)21(31+++=n n n a a ,求n a 。

变式:(2006,全国I,理22,本小题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+,1,2,3,n = (Ⅰ)求首项1a 与通项n a ;(Ⅱ)设2nn n T S =,1,2,3,n =,证明:132ni i T =<∑类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12(其中p ,q 均为常数)。

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ,t 满足⎩⎨⎧-==+qst pt s解法二(特征根法):对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程。

若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组);当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ,其中A ,B 由βα==21,a a 决定(即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组)。

解法一(待定系数——迭加法):数列{}n a :),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,,求数列{}n a 的通项公式。

例:已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a 。

变式:1.已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈(I )证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;(II )求数列{}n a 的通项公式; (III )若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列2.已知数列{}n a 中,11=a ,22=a ,n n n a a a 313212+=++,求n a3.已知数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+== ,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n,求证:数列{}n b 是等比数列;⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn,求证:数列{}n c 是等差数列;⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =) 解法:这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例:已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项公式n a .(2)应用类型4(n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ))的方法,上式两边同乘以12+n 得:22211+=++n n n n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}nna 2是以2为首项,2为公差的等差数列,所以n n a n n 2)1(222=-+=12-=⇒n n n a 变式:(2006,陕西,理,20本小题满分12分)已知正项数列{a n },其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列,求数列{a n }的通项a n 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分14分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n -S n -2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠,a 、p 解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++,与已知递推式比较,解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a :)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ,求n a . 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分14分) 已知数列{n a }中,11122n n a n a a +=-、点(、)在直线y=x 上,其中n=1,2,3… (Ⅰ)令{}是等比数列;求证数列n n n n b a a b ,31--=- (Ⅱ)求数列{}的通项;n a (Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ,使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列?若存在试求出λ 不存在,则说明理由. 类型8 r n n pa a =+1)0,0(>>n a p解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1,再利用待定系数法求解。

例:已知数列{n a }中,2111,1n n a aa a ⋅==+)0(>a ,求数列{}.的通项公式n a 变式:(2005,江西,理,21.本小题满分12分) 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(21,110N n a a a a n n n ∈-==+ (1)证明;,21N n a a n n ∈<<+ (2)求数列}{n a 的通项公式a n . 变式:(2006,山东,理,22,本小题满分14分)已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+a n )}是等比数列;(2) 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项; 记b n =211++n n a a ,求{b n }数列的前项和S n ,并证明S n +132-n T =1 类型9 )()()(1n h a n g a n f a n nn +=+解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例:已知数列{a n }满足:1,13111=+⋅=--a a a a n n n ,求数列{a n }的通项公式。

变式:(2006,江西,理,22,本大题满分14分) 1.已知数列{a n }满足:a 1=32,且a n =n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈--(,)+- (1) 求数列{a n }的通项公式;(2) 证明:对于一切正整数n ,不等式a 1∙a 2∙……a n <2∙n !2、若数列的递推公式为11113,2()n na n a a +==-∈ ,则求这个数列的通项公式。

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