圆的相关知识点汇总

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圆的相关知识最好配以简单的习题掌握蕾老师整合

板块一:圆的有关概念

一、圆的定义:

1. 描述性定义:在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的

图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径.

2. 集合性定义:平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径.

3. 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O

⊙”,读作“圆O”.4. 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;

能够重合的两个圆叫做等圆.

注意:同圆或等圆的半径相等.

二、弦和弧

1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.

2. 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍.

3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A B

、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB.

5. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.

6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.

8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

三、圆心角和圆周角

1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,我们也称

这样的弧为1︒的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径.

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相

等,所对的弦的弦心距相等.

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等.

板块二:圆的对称性与垂径定理

一、圆的对称性

1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线.

2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.

3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.

二、垂径定理

1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

2. 推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

⑵弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.

3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

板块三:点与圆的位置关系

一、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.

设O

⊙的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有:

点在圆外⇔d r

<.

>;点在圆上⇔d r

=;点在圆⇔d r

如下表所示:

二、确定圆的条件

1. 圆的确定

确定一个圆有两个基本条件:①圆心(定点),确定圆的位置;②半径(定长),确定圆的大小.只有当圆心和半径都确定时,远才能确定.

2. 过已知点作圆

⑴经过点A的圆:以点A以外的任意一点O为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A的圆,这样的

圆有无数个.

⑵经过两点A B

、的圆:以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点、的圆,这样的圆也有无数个.

A B

⑶过三点的圆:若这三点A B C

、、三点不共线时,圆心是线

、、共线时,过三点的圆不存在;若A B C

段AB与BC的中垂线的交点,而这个交点O是唯一存在的,这样的圆有唯一一个.

⑷过n()4

n≥个点的圆:只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.

3. 定理:不在同一直线上的三点确定一个圆.

注意:⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆;

⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”.

4. 三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫

做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的接三角形.

⑵三角形外心的性质:

①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相

等;

②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的接三角形却有

无数个,这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的部;直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半

径等于斜边的一半);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

板块四:直线和圆的位置关系

一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

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