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简单多面体外接球球心的确定

一、知识点总结

1.由球的定义确定球心

⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点 . ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点

.

⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点

.

⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到 .

⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心

.

2．构造长方体或正方体确定球心

⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥 .

⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥 .

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体 .

⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体

. 3.由性质确定球心

利用球心 O 与截面圆圆心 O 1 的连线垂直于截面圆及球心

O 与弦中点的连线垂直于弦的性

质，确定球心 .

二、典型例题

1、已知点 P 、 A 、B 、C 、D 是球 O 表面上的点，

PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边

长为 2 3 的正方形 .若 PA

2 6 ，则 OAB 的面积为多少

2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在同一个球面上，则该球的表面

积为多少

3 、已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为

3 的球面上 .若 PA, PB , PC 两两互

相垂直，则球心到截面

ABC 的距离为多少

4、三棱锥 S ABC 中， SA 平面 ABC ， SA 2 ， ABC 是边长为 1 的正三角形，则其

外接球的表面积为多少

5、点 A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上， AB BC

2，AC 2 ，若四面体 ABCD 体

积的最大值为 2

，则这个球的表面积为多少

3

6 、四面体的三组对棱分别相等，棱长为 5, 34, 41 ，求该四面体外接球的体积 .

7 、正四面体 ABCD 外接球的体积为 4 3

，求该四面体的体积 .

8、若底面边长为 2 的正四棱锥

P ABCD 的斜高为 5 ，求此正四棱锥外接球的体积

.

9、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上，且该六棱柱的体积为

9

，底面周长为３，则这个球的体积为 .

8

10、在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 ，DAB=600 ，为的中点，将ADE与BEC 分布沿、向上折起，使A、B重合于点，则三棱锥P-DCE的外接球的体积

为.

11、已知球的面上四点A、B、C、D，DA平面 ABC， AB BC ，DA=AB=BC= 3 ，则球的体积等于.

12、已知点A、B、 C、 D 在同一个球面上，AB平面 BCD， BC DC，若

AB6,AC=213,AD=8，则B、 C 两点间的球面距离是.

三、几点补充

1、设正方体的棱长为 a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。

（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，得R a

；2

（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面

图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得R

2

a 。2

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，

圆 O 为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A1O

3

a 。2

图 1图 2

图 3 2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 a ，O也是球心）

内切球半径为：r

6

a 12

外接球半径为：R 6 a

4