高二下学期文科数学期末复习试题含答案

高二文科数学期末复习
一、填空题：
1.若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则=z . 答案：i 21+.
2.设全集=U Z ，集合2{|20=--≥A x x x ，}∈x Z ，则U
=A （用列举法表示）.
答案：{0，1}.
3.若复数z 满足i iz 31+-=（i 是虚数单位），则=z .
i +
4.已知A ，B 均为集合{=U 2，4，6，8，10}的子集，且}4{=⋂B A ，}10{)(=⋂A B C U ，则=A .
答案：{4，10}
5.已知全集R U =，集合=A {32|≤≤-x x }，=B {1|-<x x 或4>x }，那么集合⋂A （U
B ）等
于 .
答案：{x|－1≤x≤3}
解析：主要考查集合运算.由题意可得，U
B ＝{x|－1≤x≤4}，A ＝{x|－2≤x≤3}，所以(
⋂A U
)B ＝
{x|－1≤x≤3}．
6.已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，且}4,3,2,1{=B A ，则实数m = . 答案：2
7.命题“若b a >，则b a 22>”的否命题为 . 答案：若b a ≤，则b
a
22≤
8.设函数()⎩⎨⎧=x x
x f 2
log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f .
答案：2 9.函数)23(log 5.0-=
x y 的定义域是 .
答案：]1,3
2(
10.已知9
.01.17.01.1,7.0log ,9.0log ===c b a ，则c b a ,,按从小到大依次为 .
答案：c a b <<
11.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 .
答案：),1()0,1(∞+-
12.曲线C ：x x y ln =在点M （e ，e ）处的切线方程为 . 答案：e x y -=2
13.已知函数2
11)(x
x f -=
的定义域为M ，)1(log )(2x x g -=（1-≤x ）的值域为N ，则（
R
M ）
N ⋂等于 .
答案：{x|x≥1}
解析：考查定义域求解.可求得集合M ＝{x|－1<x<1}，集合N ＝{g （x ）|g （x ）≥1}，则R
M ＝{x|x≤－
1或x≥1}，∴（
R
M ）N ⋂＝{x|x≥1}.
14.设⎪⎩
⎪
⎨⎧+--=,11,2|1|)(2x x x f 1||1
||>≤x x ，则)]21([f f 等于 .
答案：
13
4
解析：本题主要考查分段函数运算. ∵2
32|12
1|
)2
1(-
=--=f ，∴13
4)2
3
(11)2
3()]2
1([2
=
-+=
-=f f f .
15.已知函数)1ln()(2++=x x x f ，若实数a ，b 满足0)1()(=-+b f a f ，则b a +等于 .
答案：1
解析：考查函数奇偶性.观察得)(x f 在定义域内是增函数， 而)1ln()(2++
-=-x x x f )(1
1
ln
2
x f x x -=++=，
∴)(x f 是奇函数，则)1()1()(b f b f a f -=--=，∴b a -=1，即1=+b a .
16.若函数)(log )(3
ax x x f a -=（0>a ，1≠a ）在区间（2
1-，0）上单调递增，则a 的范围是 .
答案：14
3
<≤a
解析：本题考查复合函数单调性，要注意分类讨论.设ax x x u -=3
)(，由复合函数的单调性，可分1
0<<a 和1>a 两种情况讨论：①当10<<a 时，ax x x u -=3)(在（2
1-，0）上单调递减，即0
3)('2
≤-=a x x u 在（21-，0）上恒成立，∴43≥a ，∴143<≤a ；②当1>a 时，ax x x u -=3
)(在（2
1-，0）上单调
递增，即03)('2
≥-=a x x u 在（2
1-，0）上恒成立，∴0≤a ，∴a 无解.综上，可知143<≤a .
17.已知()f x 为偶函数，且)3()1(x f x f -=+，当02≤≤-x 时，x
x f 3)(=，则=)2011(f . 答案：
3
1
18.函数221
x x
y =
+的值域为 .
答案：)1,0(
19.已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间.若
()ln g x x m x =++的保值区间是[,)e +∞ ，则实数m 的值为 .
答案：1-
20.若不等式0122
<-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立，则实数x 的取值范围是 .
答案：)2
13,
2
17(
+-
21.直线1=y 与曲线a x x y +-=2
有四个交点，则实数a 的取值范围是 . 答案：)4
5
,1(
22.已知函数0)(3(log 2≠-=a ax y a 且)1±≠a 在]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 答案：)2
3,1()0,1( -
二、解答题： 1.已知函数1
3
2)(++-
=
x x x f 的定义域为A ，函数)1()]2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B . （1）求A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 解：（1）由01
32≥++-
x x ，得
01
1≥+-x x ，∴1-<x 或1≥x ， ……4分
即),1[)1,(+∞--∞= A ； ……6分 （2）由0)2)(1(>---x a a x ，得0)2)(1(<---a x a x .
∵1<a ，∴a a 21>+.∴)1,2(+=a a B . ……8分 ∵A B ⊆，∴12≥a 或11-≤+a ，即2
1≥a 或2-≤a . ……12分
而1<a ，∴
12
1<≤a 或2-≤a .
故当A B ⊆时，实数a 的取值范围是)1,2
1
[]2,( --∞. ……14分
2.已知命题p ：函数)2(log 2
5.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--= 是减函数.若p 或
q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.
解：对命题p ：∵函数)2(log 2
5.0a x x y ++=的值域为R ，∴1)1(22
2-++=++a x a x x 可以取到),0(+∞上的每一个值，∴01≤-a ，即1≤a ； ……4分
命题q ：∵函数x
a y )25(--=是减函数，∴125>-a ，即2<a . ……8分 ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴命题p 与命题q 一真一假，
若p 真q 假，则1≤a 且2≥a ，无解， ……10分 若p 假q 真，则21<<a ， ……12分 ∴实数a 的取值范围是)2,1( ……14分
3.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为2.1万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，
则出厂价相应提高的比例为x 75.0，同时预计年销售量增加的比例为x 6.0.已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：（1）由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，…5分 整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ；……7分
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨
⎧<<>⨯--.
10,01000)12.1(x y …10分
即⎩⎨⎧<<>+-.
10,020602x x x 解不等式得 310<<x . ……13分
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x .…14分 4.已知命题p ：指数函数x
a x f )62()(-=在R 上单调递减，命题Q ：关于x 的方程
012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
解：若p 真，则f （x ）＝（2a －6）x
在R 上单调递减，∴0<2a －6<1，∴3<a<72
，
若q 真，令f （x ）＝x 2
－3ax ＋2a 2
＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝ －3a 2－4 2a 2
＋1 ≥0
－－3a
2>3f 3 ＝9－9a ＋2a 2
＋1>0
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≥2或a ≤－2a>2a<2或a>5
2
，
故a>5
2，又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧
3<a<7
2a ≤5
2，a 无解．②若p 假q 真，则
⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3或a ≥7
2a>52
，∴52<a ≤3或a ≥72.故a 的取值范围是{a|52<a ≤3或a ≥7
2
}．
5.已知函数)(x f 满足对任意实数y x ,都有1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，且2)2(-=-f .（1）求)1(f 的值；（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(；（3）试求满足t t f =)(的所有的整数t ，并说
明理由.
解：（1）令0==y x ，得1)0(-=f ；
令1-==y x ，得2)1()1()2(+-+-=-f f f ，又2)2(-=-f ，∴2)1(-=-f ； 令1,1-==y x ，得)1()1()0(-+=f f f ，∴1)1(=f . ……4分 （2）令1=x ，得2)()1(+=-+y y f y f ①
∴当N y ∈时，有0)()1(>-+y f y f ，由1)1(),()1(=>+f y f y f 知对*
N y ∈有0)(>y f ，∴当*
N y ∈时，111)(2)()1(+>+++=++=+y y y f y y f y f ，
于是对于一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(. ……9分 （3）由①及（1）可知1)4(,1)3(=--=-f f ； ……11分
下面证明当整数4-≤t 时，t t f >)(，∵4-≤t ，∴02)2(>≥+-t 由① 得0)2()1()(>+-=+-t t f t f ，即 0)4()5(>---f f ，
同理0)5()6(>---f f ， ……，0)2()1(>+-+t f t f ，0)1()(>+-t f t f ， 将以上不等式相加得41)4()(->=->f t f ，∴当4-≤t 时，t t f >)(， ……15分 综上，满足条件的整数只有2,1-=t . ……16分
6.如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数)(x f 的部分图象，图2是函数)(log )(b x x g a +=的部分图象．
（1）分别求出函数)(x f 和)(x g 的解析式；（2）如果函数)]([x f g y =在区间[1，m ）上单调递减，求实数m 的取值范围. 解：（1）由题图1得，二次函数)(x f 的顶点坐标为（1，2）， 故可设函数2)1()(2
+-=x a x f ，又函数)(x f 的图象过点（0，0），故2-=a ， 整理得x x x f 42)(2
+-=.
由题图2得，函数)(log )(b x x g a +=的图象过点（0，0）和（1，1），
故有⎩⎨⎧=+=1)1(log 0log b b a
a ，∴⎩⎨⎧==12
b a ，∴)1(log )(2+=x x g （1->x ）．
（2）由（1）得)142(l og )]([22++-==x x x f g y 是由t y 2log =和1422
++-=x x t 复合而成的函数，而t y 2log =在定义域上单调递增，要使函数)]([x f g y =在区间[1，m ）上单调递减，必须
1422++-=x x t 在区间[1，m ）上单调递减，且有0>t 恒成立．
由0=t 得2
62±=
x ，又因为t 的图象的对称轴为1=x .所以满足条件的m 的取值范围为
2
621±<
<m .
7.已知1212)3(4)(2
3
4
+-++-=x x m x x x f ，R m ∈.（1）若f 0)1('=，求m 的值，并求)(x f 的单调区间；（2）若对于任意实数x ，0)(≥x f 恒成立，求m 的取值范围.
解：（1）由f ′（x ）＝4x 3
－12x 2
＋2（3＋m ）x －12，得
f ′（1）＝4－12＋2（3＋m ）－12＝0，解得m ＝7.………2分
所以 f ′（x ）＝4 x 3－12x 2＋20x －12＝4（x －1）（x 2
－2x ＋3） .
方程x 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝22－3×4＝－8＜0，所以x 2
－2x ＋3＞0. 所以f ′（x ）＝0，解得x ＝1.……………………………4分
由此可得f （x ）的单调减区间是（－∞，1），f （x ）的单调增区间是（1，＋∞）.…8分
（2）f （x ）＝x 4－4x 3＋（3＋m ）x 2－12x ＋12＝（x 2＋3）（x －2）2＋（m －4）x 2
. 当m ＜4时，f （2）＝4（m －4）＜0，不合题意；……………12分
当m≥4时，f （x ）＝（x 2＋3）（x －2）2＋（m －4）x 2
≥0，对一切实数x 恒成立. 所以，m 的取值范围是［4，＋∞）.……………16分。