指数以及指数函数的整理讲义经典

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2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲指数与指数函数

第11讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域值域性质过定点当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅.[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++.4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.➢考点2 指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．➢考点3 指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c <处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3)B ．[1,3)C ．[1,2)D ．(1,3)4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x x f x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ （2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围第12讲指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a m n＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②a r a s ＝a r －s(a >0，r ，s ∈Q )； ③(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ④(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 y ＝a x (a >0且 a ≠1)a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0，1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在R 上是增函数在R 上是减函数➢考点1 指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算120.75013110.027()81()369-----++-；（2）若11226x x -+22x x -+的值．【解】（1）120.75013110.027()81()369-----++-=0.3﹣1﹣36+33+111033-=-36+27+113-=-5．（2）若11226x x -+∴x 1x ++2＝6，x 1x+=4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）()211302270.00210528π---⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭；（2323211113342a b ab a b a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）22.53105330.06438π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）12112133265a b a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅. 【解】（1）原式()()21210523500125252-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-+416710*********=++=-；（2）原式11223233311111122633311233a b a b a a b b ab a b +-++---⎛⎫ ⎪⎝⎭===；（3）原式253112536427110008-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭1521335233435311010222⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（4）原式111111111533223262361566a b a baba b-----+-⋅==⋅1a=. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）计算：100.256361.5()87-⨯-+【解】100.256361.5()87-⨯-+1111323334432()1(2)223()23-=⨯+⨯+⨯-， 113322()2427()33=++⨯-， 110=.2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1111200.253473(0.0081)3()81(3)88------⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎣+⎥⎢⎥⎣⎦⎦；（2211113322a b ---【解】（1）原式111123()4()4(0.25)34231310112101()[3()]31032333333-⨯-⨯--⨯-⎛⎫=-⨯+=-⨯+=-= ⎪⎝⎭；（2）原式11111111153322132623615661a b aba ba aa b-----+--⋅⋅==⋅==⋅. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值．（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++. 【解】（1）将11223a a -+=两边平方得1129a a -++=，所以117a a -+=．（2）将117a a -+=两边平方得22249a a -++=，所以2247a a -+=．（3）由（1）（2）可得22114716.171a a a a --+++==+++ 4．（2022·全国·高三专题练习）已知11223x x -+=，求22332223x x x x--+-+-的值．【解】设12x t =，则121x t-=，所以13t t +=，于是，333222321111x xt t t t t t -⎛⎫⎛⎫+=+=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，而2224242112x x t t t t -⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭，将13t t+=平方得22129t t ++=，于是2217t t +=，所以原式()2222221272471137131513t t t t t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）()110340.06416π----+ （2）已知16x x -+=，()01x <<，求221122x x x x---+.【解】（1）原式()()()11034340.423ππ--=--++-，()110.4123π--=-++-， 1π=-，（2）∵()()()221116x x x xx x x x -----=+-=-， ∴()()2211432,x x x x ---=+-=∵01x <<， ∴1x x --=-∴()2216x x x x ---=-=-又∵21112228x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，∵01x <<，∴1122x x -+= ∴221122x x x x---+=12-.6．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-.➢考点2 指数函数的图象及应用1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数()x x kf x a-=（0a >且1a ≠）的图象如图所示，则（）A ．1,1k a >>B ．1,1k a ><C ．01,1k a <<<D ．01,1k a <<>【答案】D 【解析】因为(0)f k =-，由图得10k -<-<，所以01k <<，所以排除AB ，因为由图象可知当x →+∞时，()0f x →，所以1a >，所以排除C ，故选：D2．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（） A ．(1,1)- B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(0,1)-【答案】B 【解析】因为01a =，所以当10x -=，即1x =时，函数值为定值0，所以点P 坐标为(1,0).另解：因为()11x f x a -=-可以由x y a =向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由x y a =过定点(0,1)，所以()11x f x a -=-过定点(1,0).故选：B[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()f x x a x b =--的图象如图所示，则()x g x a b =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】解：令()()()0f x x a x b =--=，解得1x a =、2x b =，根据二次函数图形可知，a 、b 两个数一个大于1，一个大于0且小于1，①当1a >，01b <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递增，且()001g a b b =-=-，即()001g <<，所以满足条件的函数图形为C ；②当1b >，01a <<时，则()x g x a b =-在定义域上单调递减，且()0010g a b b =-=-<，所以满足条件的函数图形为A ；故选：AC➢考点3 指数函数的性质及其应用1．（2022·天津河西·一模）设0.3log 0.2a =，0.30.2b =，log b c a =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．a b c <=，所以1a >，由01b <<，1a >，所以log log 10b b c a =<=，即0c <，所以c b a <<. 故选：D2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A ．12B ．13C ．3D ．2【答案】BC【解析】当1a >时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递增函数，当1x =时，max y a =，当1x =-时，1min y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；当01a <<时，函数x y a =在区间[1,1]-上为单调递减函数，当1x =时，min y a =，当1x =-时，1max y a -=，所以1103a a -+=，即231030a a -+=，解得3a =或13a =，因为01a <<，所以13a =.综上可得，实数a 的值为3或13.故选：BC3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.【答案】9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】①当2x ≤时，11x -≤，()221010x x f x --=-在(],2-∞上单调递增，()()20f x f ∴≤=，又()()()1120f x f f -≤<=， ()()10f x f x ∴+-<恒成立；②当23x <≤时，112x <-≤，()3120f x x x =--=-<，又()()120f x f -≤=，()()10f x f x ∴+-<恒成立；③当34x <≤时，213x <-≤，()314f x x x =--=-，()1413f x x x -=--=-；()()110f x f x ∴+-=-<恒成立；④当4x >时，13x ->，()314f x x x =--=-，()1415f x x x -=--=-，()()1290f x f x x ∴+-=-<，解得：92x <，942x ∴<<；综上所述：不等式()()10f x f x +-<的解集为9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.4．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，则当0x ≥时，0x -≤，()()2xf x f x =-=，故对任意的R x ∈，()2x f x =，对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，即222x x m -≥，即2x x m ≥-对任意的[],1x m m ∈+恒成立，且m 为正数，则()2x x m ≥-，可得2x m ≤，所以，12m m +≤，可得m 1≥. 故选：A.5．（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数4()2x x ag x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【解】解：（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg102m +<==∴1010m +<所以1m <，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以9110m -<<.[举一反三]1．（2022·天津·一模）设3ln 2a =，0.80.5b =，0.50.8-=c ，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <=，c a ∴>，c b >；31ln22==，0.8110.50.52>=，b a ∴>；a b c ∴<<.故选：C.2．（2022·山西吕梁·二模）已知343344333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b c ，则（）A ．a b c < ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以c b <.又34331443331444⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a c <.综上a c b <<，故选B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数212,022()3,02x a a a x x f x a x +⎧-+-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩在()000x x >处取得最小值，且()03-<f x a ，则实数a 的取值范围（） A ．[2,3) B ．[1,3) C ．[1,2) D ．(1,3)【答案】C【解析】由函数()f x 在0(0,)x ∈+∞处取得最小值得()()0f x f x ≥，则0a >且002x a=> 当0x <时1233()2x a a f x +=>，又()20222a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以203222a a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩，得1a ≥．又()03-<f x a ，所以32af a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即12332a a a -+<，整理得1221a -+>，102a -+>，解得2a <．综上，12a ≤<. 故选：C ．4．（2022·上海市进才中学高三期中）设函数()2xf x =，若存在[]0,4x ∈使不等式()()22f a x f x +-≥成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由()()22f a x f x +-≥，得2222a x x +-≥，两边同除2x ，即2222a x x -≥+⨯，又222x x -+⨯≥222x x -=⨯，即12x =[]0,4∈时取等号,所以3222a ≥=，所以32a ≥.故答案为：3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是________ 【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，并由解析式可知函数()f x 是增函数，原不等式可化为()()213f x f -<-，所以213x -<-，解得1x <-，故x 的取值范围是(),1-∞-．故答案为：(),1-∞-6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()936=-⋅++x x f x m m ，若方程()()0f x f x 有解，则实数m 的取值范围是_________．【答案】4,)+∞【解析】由题意得：99(33)2120x x x x m m --+-+++=有解令233(2),992x x x x t t t --+=≥+=-则22100t mt m ∴-++=有解，即2(2)10m t t -=+有解，显然2t =无意义2,2(0)t t y y ∴>-=>令2(2)101444y m y y y ++∴==++≥,当且仅当14y y =，即y4,)m ∴∈+∞故答案为：)4,∞⎡+⎣.7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()x xf x a ka -=+（0a >且1a ≠）是定义在R 上的偶函数，且17(1)4f =. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()22xxmg x f x m =-⋅+在[0,)+∞上的最小值是1，求m 的值. 【解】（1）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()x x x x f x a ka f x a ka ---=+==+，整理得()()10x xk a a ---=，所以1k =，又因为17(1)4f =，可得117(1)4f a a =+=，所以4a =或14a =，所以()44x xf x -=+.（2）由（1）可知()4422x x xm g x m x-=+-⋅+211(2)(2)222x x x xm =---+ 令122xx u =-，则2()2h u u mu =-+. 因为函数122xxu =-在[0,)+∞上是增函数，所以0u ≥，因为函数()()2[0,)2xxmg x f x m =-⋅++∞上的最小值是1，所以函数()h u 在[0,)+∞上的最小值是1. 当0m ≥时，2min()()2124m m h u h ==-+=，解得2m =或2m =-（舍去）；当0m <时，min ()(0)21h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2m =.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+且(0)0f =．（1）求a 的值；（2）若函数()(21)()x g x f x k =++有零点，求实数k 的取值范围．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，求实数m 的取值范围．【解】解：（1）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+，由4(0)102f a =-=+，解得2a =，故42()1122221xxf x =-=-++．（2）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =++=+-+=-+ 有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，解得1k <．（3）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >-恒成立，即212221x xm ->-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++ 在(1,2)上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴．即7,6m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ 9．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x xf x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【解】（1）当2a =-时，()24222(213)x x x f x =-⨯-=--，令2,x t =由(0,)x ∈+∞，可得(1,)t ∈+∞，令()2)1(3g t t =--，有()3g t >-，可得函数()f x 的值域为(3,)-+∞ 故函数()f x 在(),0-∞上不是有界函数;（2）由题意有，当(),0x ∈-∞时，24222,x x a -≤+⋅-≤ 可化为0424x x a ≤+⋅≤ 必有20x a +≥且422x x a ≤-，令2x k =，由(),0x ∈-∞，可得()0,1k ∈，由20x a +≥恒成立，可得0a ≥，令()()401h t t t t=-<<，可知函数()h t 为减函数，有()413h t >-=，由422x x a ≤-恒成立，可得3,a ≤故若函数()f x 在(,0)-∞上是以2为上界的有界函数，则实数a 的取值范围为[]0,3。

第9讲、指数与指数函数(教师版)2025高考数学一轮复习讲义

第9讲指数与指数函数知识梳理1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn a a a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0m m m ab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2、指数函数xy a =01a <<1a >图象性质①定义域R ，值域(0)+∞，②01a =，即时0x =，1y =，图象都经过(01)，点③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤0x <时，1x a >；0x >时，01x a <<0x <时，01x a <<；0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1(xy a=的图象关于y 轴对称．必考题型全归纳题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例1】（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）3327⎛=⎪ ⎪⎝⎭（）A ．9B ．19C ．3D ．39【答案】B【解析】()33333323132739-⎛⎛=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（）A ．设0,a >则4334a a a⋅=B ．若82m =，则m =C ．若13a a -+=，则1122a a -+=D 2π=-【答案】B【解析】对于A ，根据分式指数幂的运算法则，可得443325334412a a a a a +⋅==≠，选项A 错误；对于B ，82m =，故m =B 正确；对于C ，13aa+=，112122()2325a a a a --+=++=+=，因为0a >，所以1122a a -+=C 错误；对于D 22ππ=-=-，选项D 错误.故选：B ．【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）()130.52443392221633-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．πB ．2π+C ．4π-D ．6π-【答案】B【解析】()130.524433922422π242π163333-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=+-+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．=1x -或2x =【答案】D【解析】令2x t =，则方程220x x b c -+⋅+=可化为20t ct b ++=，甲写错了常数b ，所以14和174是方程20t ct m ++=的两根，所以1179442c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，乙写错了常数c ，所以1和2是方程20t nt b ++=的两根，所以1b =⨯22=，则可得方程29202t t -+=，解得12142,t t ==，所以原方程的根是=1x -或2x =故选：D【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于x 的方程19310x x m ++-+=有解，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],3-∞D ．(]1,3【答案】A【解析】方程19310x x m ++-+=有解，2(3)3310x x m ∴+⨯-+=有解，令30x t =>，则可化为2310t t m +-+=有正根，则231t t m +=-在()0,∞+有解，又当()0,t ∈+∞时，230t t +>所以101m m ->⇒>，故选：A ．【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式23(1)23122x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】(3,2)-【解析】函数2x y =在R 上单调递增，则22233(1)233(1)212(22233(1)2xx x x x x x x x -------<<--⇔--⇔<，即260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集为(3,2)-.故答案为：(3,2)-【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式10631x x x --≥的解集为___________.【答案】[)1,+∞【解析】由10631xxx--≥，可得1631101010xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()163101010x x xf x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为163101010,,xxxy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭=均为R 上单调递减函数则()f x 在R 上单调逆减，且()11f =，()()1f x f ∴≤，1x ∴≥故不等式10631x x x --≥的解集为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20x x a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数()()22x xa f x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.当0a =时，()2x f x =，图象A 满足；当1a =时，()122x x f x =+，()02f =，且()()f x f x -=，此时函数是偶函数，关于y 轴对称，图象B 满足；当1a =-时，()122xxf x =-，()00f =，且()()f x f x -=-，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D 满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,0﹣【解析】∵()f x =R ，∴22131x ax +--≥0对任意x ∈R 恒成立，即220313xax a+-≥=恒成立，即220x ax a +-≥对任意x ∈R 恒成立，2440a a ∴∆=+≤，则10a ≤≤﹣．故答案为[]1,0﹣．【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数()2421x x f x +=--，[]0,3x ∈，则其值域为_______．【答案】[]5,31-【解析】令2x t =，∵[]0,3x ∈，∴18t ≤≤，∴()2241(2)5g t t t t =--=--，[]1,8t ∈又()y g t =关于2t =对称，开口向上，所以()g t 在[)1,2上单调递减，在(]2,8上单调递增，且8221->-，2t ∴=时，函数取得最小值，即()min 5g t =-，8t =时，函数取得最大值，即()max 31g t =，()[]5,31f x ∴∈-.故答案为：[]5,31-.【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()0,1xf x a a a =>≠在[]1,2内的最大值是最小值的两倍，且()()31,1log 1,01f x xg x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，则()123g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______【答案】3或34-【解析】当1a >时，函数()f x 在[]1,2内单调递增，此时函数()f x 的最大值为()22f a =，最小值为()1f a =，由题意得22a a =，解得2a =，则()321,1log 1,01x x g x x x ⎧+≥=⎨-<<⎩，此时()23112log 121333g g ⎛⎫+=-++= ⎪⎝⎭；当01a <<时，函数()f x 在[]1,2内单调递减，此时函数()f x 的最大值为()1f a =，最小值为()22f a =，由题意得22a a =，解得12a =，则()311,12log 1,01xx g x x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<<⎩，此时()2311132log 113324g g ⎛⎫⎛⎫+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：3或34-.【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（）A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =.故选：C【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数()()2e axf x b =-的大致图像如图，则实数a ，b 的取值只可能是（）A ．0,1a b >>B ．0,01a b ><<C ．0,1a b <>D ．0,01a b <<<【答案】C【解析】若0a >，e ax y b =-为增函数，且,,()x y f x →+∞→+∞→+∞，与图象不符，若0a <，e ax y b =-为减函数，且2,,()x y b f x b →+∞→-→，与图象相符，所以0a <，当()0f x =时，e ax b =，结合图象可知，此时0x <，所0ax >，则0e e 1ax >=，所以1b >，故选:C.【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()41x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，则12m n+的最小值为（）A ．8B ．24C ．4D ．6【答案】C【解析】因为函数()()410,1x f x a a a -=+>≠图象恒过定点()4,2又点A 的坐标满足关于x ，y 的方程()40,0mx ny m n +=>>，所以424m n +=，即22m n +=所以()121121412444222m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4m nn m =即21n m ==时取等号；所以12m n+的最小值为4．故选：C ．【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)n n P P k k =+>-，其中n P为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，则（）A ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈下降趋势B ．当()1,0k ∈-，则这期间人口数呈摆动变化C ．当01,23n k P P =≥时，n 的最小值为3D ．当011,32n k P P =-≤时，n 的最小值为3【答案】AC【解析】00,011P k ><+<，由指数函数的性质可知：0(1)(1)nn P P k k =+>-是关于n 的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A 正确，B 不正确；0014,233nn k P P P ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，所以423n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以()43log 2N n n ≥∈，()43log 22,3∈，所以n 的最小值为3，故C 正确；00121,332n n k P P P ⎛⎫=-=≤ ⎪⎝⎭，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭，所以()231log N 2n n ≥∈，()23321log log 21,22=∈，所以n 的最小值为2，故D 不正确；故选：AC.【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数()221xx f x =+，则（）A ．函数()f x 是增函数B ．曲线()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的值域为0,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =有且仅有两条斜率为15的切线【答案】AB【解析】根据题意可得()2112121x x xf x ==-++，易知121x y =+是减函数，所以()1121x f x =-+是增函数，即A 正确；由题意可得()211221x x x f x ---==++，所以()()2121121x x x f x f x -+=+=++，即对于任意x ∈R ，满足()()1f x f x -+=，所以()y f x =关于0,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，即B 正确；由指数函数值域可得()211,x+∈+∞，所以()10,121x∈+，即()()10,1112x f x =-∈+，所以函数()f x 的值域为()01,，所以C 错误；易知()()2ln 1222x xf x '=+，令()15f x '=，整理可得()()20215ln 222xx--+=⋅，令()20,x t =∈+∞，即()25ln 2210t t +-=-，易知()25ln 224∆=--，又因为524423236 6.25 2.5e ==<<<，即542e <，所以5ln 24<，即05ln 222-<<，因此()25ln 2240∆=--<；即关于t 的一元二次方程()25ln 2210t t +-=-无实数根；所以()()20215ln 222xx --+=⋅无解，即曲线()y f x =不存在斜率为15的切线，即D 错误；故选：AB【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2,R x f x x =∈，若不等式2()()0f x f x m +->在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】(,0]-∞．【解析】令2()(0),(),0,f x t t H t t t t =>=+>因为211()()24H t t =+-在区间(0,)+∞上是增函数，所以()(0)0.H t H >=因此要使2t t m +>在区间(0,)+∞上恒成立，应有0m ≤，即所求实数m 的取值范围为(,0]-∞．故答案为：(,0]-∞.【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设()222x xf x --=，当R x ∈时，()()210f x mx f ++>恒成立，则实数m 的取值范围是____________.【答案】(2,2)-【解析】由函数111(22)[2(]22222()2x x x x x x f x --=--=⋅-=，1212,2xxy y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭均为在R 上的增函数，故函数()f x 是在R 上的单调递增函数，且满足1111()22()22()x x x x f x f x --------=-=-=-，所以函数()f x 为奇函数，因为2()(1)0f x mx f ++>，即2()(1)(1)f x mx f f +>-=-，可得21x mx +>-恒成立，即210x mx ++>在R x ∈上恒成立，则满足240m -<，即24m <，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是(2,2)-.故答案为：(2,2)-.【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式4220x x a -⋅+>，对于(,3]a ∈-∞恒成立，则实数x 的取值范围是_________．【答案】(-∞，0)(1⋃，)∞+【解析】设2x t =，0t >，则220t at -+>，对于(a ∈-∞，3]恒成立，即2a t t<+，对于(a ∈-∞，3]恒成立，∴23t t+>，即2320t t -+>，解得2t >或1t <，即22x >或21x <，解得1x >或0x <，综上，x 的取值范围为(-∞，0)(1⋃，)∞+．故答案为：(-∞，0)(1⋃，)∞+﹒【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】(,2)-∞【解析】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t ⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值，∴2m <，故答案为(,2)-∞．【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数.(1)求实数b 的值，并证明()f x 在R 上单调递增；(2)已知0a >且1a ≠，若对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）因为函数()331x x bf x +=+是定义域为R 的奇函数，则()1002b f +==，解得1b =-，此时()31213131x x x f x -==-++，对任意的x ∈R ，310x +>，即函数()f x 的定义域为R ，()()()()33131133113331x xx xx xx x f x f x --------====-+++，即函数()f x 为奇函数，合乎题意，任取1t 、2t ∈R 且12t t <，则12033t t <<，所以，()()()()()121212122332211031313131t t t t t t f t f t -⎛⎫⎛⎫-=---=< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，则()()12<f t f t ，所以，函数()f x 在R 上单调递增.（2）由（1）可知，函数()f x 在[]1,3上为增函数，对于任意的1x 、[]21,3x ∈，都有()22132x f x a -+≥，则()2231122x a f --≤=，222x a -∴≤，因为[]21,3x ∈，则[]221,1x -∈-.当01a <<时，则有12a -≤，解得112a ≤<；当1a >时，则有2a ≤，此时12a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数()121122441x x f x x =++++--，则不等式()()223f x f x +>的解集为（）A ．()()2,11,-⋃+∞B ．()()1,13,-+∞ C ．()1,13,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()()3,13,-+∞ 【答案】B【解析】依题意，1x ≠，()2441x x xf x x =+--，故()()1111111121212211112244444444x x x x x x x x f x f x x x +-+++-++++-=++++-=++=----，故函数()f x 的图象关于()1,1中心对称，当1x >时，122x y =+，244x y =-，111y x =+-单调递减，故()f x 在()1,+∞上单调递减，且()1211122441xx f x x =+++>+--，函数()f x 的图象关于()1,1中心对称，()f x 在(),1-∞上单调递减，()1f x <，而()()223f x f x +>，故2231x x +<<或2123x x <<+或2123x x <+<，解得11x -<<或3x >，故所求不等式的解集为()()1,13,-+∞ ，故选：B.【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设()1122xx f x a ⎛⎫+ -⎝=⎪⎭.若函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞ ，则关于x 的不等式()xa f a ≥的解集为__________.【答案】[)1,+∞【解析】若0a ≤，对任意的x ∈R ，20x a ->，则函数()f x 的定义域为R ，不合乎题意，所以，0a >，由20x a -≠可得2log x a ≠，因为函数()y f x =的定义域为{}1x x ≠，所以，21log a =，解得2a =，所以，()11222xf x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则()()211222222f a f ⎛⎫==+= -⎝⎭，由()xa f a ≥可得22x ≥，解得1x ≥.因此，不等式()xa f a ≥的解集为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.【对点训练20】（2024·河南安阳·统考三模）已知函数()21(0)2xa f xb a a-=+>-的图象关于坐标原点对称，则a b +=__________.【答案】32/1.5【解析】依题意函数()f x 是一个奇函数，又20x a -≠，所以2log x a ≠，所以()f x 定义域为{}2|log x x a ≠，因为()f x 的图象关于坐标原点对称，所以2log 0a =，解得1a =.又()()f x f x -=-，所以112121-⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭xx b b ，所以212121⎛⎫-=-+ ⎪--⎝⎭x x x b b ，即212211121221=-==----x x x x x b ，所以12b =，所以32a b +=.故答案为：32.【对点训练21】（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()e x f x =，则满足()()21f x f x +≥的x 的取值范围是______________．【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由函数性质知()()22f x f x =，()()()212f x f x f x +≥= ，∴()()2,211f x f x x x +≥≥+，即()()2212x x +≥，解得113x -≤≤，∴1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故答案为：1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【对点训练22】（2024·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足423a a +=，22log 3b +=，则32a b +=__________．【答案】1【解析】因为22log 3b =，化简得()()2log 31313b b +++=．所以()()2log 3122log 313b b +++=，又242223a a a a +=+=，构造函数()2xf x x =+，因为函数2x y =，y x =在(),-∞+∞上都为增函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递增函数，由()13f =，∴()22log 311a b =+=，解得12a =，13b =，∴312a b +=．故答案为：1.【对点训练23】（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点()11,M x y 在函数e x y =的图象上，当[)10,1x ∈，则1111y x +-可能等于（）A ．-1B ．2-C ．3-D ．0【答案】BC 【解析】由1111y x +-表示()11,M x y 与点(1,1)A -所成直线的斜率k ，又()11,M x y 是e x y =在[)0,1x ∈部分图象上的动点，图象如下：如上图，(1,e)B ，则(,2]k ∞∈--，只有B 、C 满足.故选：BC。

指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）

指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。

2指数与指数函数 - 中档 - 讲义

指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）．注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：f x () =12( = 2x1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共6小题）1．（2016秋•沙河市校级期末）若指数函数的图象过点（﹣1，2），则此指数函数是（）A．B．y=2x C．y=3x D．y=10x【解答】解：设指数函数的解析式为y=a x，函数过点（﹣1，2），则a﹣1=2，解得：，即函数的解析式为．故选：A．2．（2017秋•城关区校级期中）已知a=0.32；b=0.31.5；c=20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【解答】解：∵y=0.3x为减函数，2＞1.5＞0，故a=0.32＜b=0.31.5＜0.30=1，∵y=2x为增函数，0.3＞0，故c=20.3＞20=1，故c＞b＞a，故选：C．3．（2016秋•嘉兴期中）函数y=a x在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a=（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：根据题意，由y=a x的单调性，可知其在[0，1]上是单调函数，即当x=0和1时，取得最值，即a0+a1=3，再根据其图象，可得a0=1，则a1=2，即a=2，故选：A．4．（2018•长沙一模）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A．不存在B．有且只有一条C．至少有两条D．有无数条【解答】解：根据题意，设直线l的方程为y=m，∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为，∴m﹣2x=，∴m﹣=，解得m=，故而符合条件的直线l只有1条．故选：B．5．y=2|1﹣x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=2|1﹣x|的解析式可化为：y=其函数图象关于直线x=1对称，在区间（1，+∞）上是单调递增故选：B．6．方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根，则b的取值范围是（）A．b＞1 B．b＜1 C．0＜b＜1 D．0＜b≤1【解答】解：由题意方程|2x﹣1|=b有两个不相等的实数根可转化为两函数y=|2x ﹣1|与y=b有两个交点∵y=|2x﹣1|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，且在（﹣∞，0）上值域是（0，1），在（0，+∞）上值域是（0，+∞）∴0＜b＜1故选：C．二．填空题（共4小题）7．（2017秋•大兴区期末）函数y=2x﹣1的值域为{y|y＞﹣1}．【解答】解：由于2x＞0，∴2x﹣1＞﹣1，故函数y=2x﹣1的值域为（﹣1，+∞），故答案为（﹣1，+∞）．8．（2017春•通州区期末）若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2；∴实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．9．（2017秋•榆阳区校级期中）函数y=（a2﹣3a+3）•a x是指数函数，则a的值为2．【解答】解：由题意得：a2﹣3a+3=1，即（a﹣2）（a﹣1）=0，解得：a=2或a=1（舍），故答案为：2．10．（2017秋•嘉兴期末）若a＞0且a≠1，则函数y=a x﹣1﹣1的图象经过定点（1，0）．【解答】解：∵函数y=a x的图象过点（0，1），而函数y=a x﹣1﹣1的图象是把函数y=a x的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，∴函数y=a x﹣1﹣1的图象必经过的点（1，0）．故答案为：（1，0）．三．解答题（共3小题）11．（2015秋•兰考县校级期末）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点，其中a＞0且a≠1．（1）求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【解答】解：（1）由题意得所以（2）由（1）得因为函数在[0，+∞）上是减函数所以当x=0时f（x）由最大值所以f（x）max=2所以f（x）∈（0，2]所以函数y=f（x）（x≥0）的值域为（0，2]．12．（2011秋•南岗区校级期中）已知函数f（x）=+4．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）要使函数有意义，只需﹣x2+4x+5≥0，即x2﹣4x﹣5≤0解得{x|﹣1≤x≤5}（4分）（2）令u=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9∴0≤u≤9，∴0≤≤3，（8分）∴y=2u+4，u∈[0，3]的值域为[5，12]（10分）13．（2017•深圳一模）已知函数f（x）=（）ax，a为常数，且函数的图象过点（﹣1，2）．（1）求a的值；（2）若g（x）=4﹣x﹣2，且g（x）=f（x），求满足条件的x的值．【解答】解：（1）由已知得（）﹣a=2，解得a=1．（2）由（1）知f（x）=（）x，又g（x）=f（x），则4﹣x﹣2=（）x，即（）x﹣（）x﹣2=0，即[（）x]2﹣（）x﹣2=0，令（）x=t，则t2﹣t﹣2=0，即（t﹣2）（t+1）=0，又t＞0，故t=2，即（）x=2，解得x=﹣1，满足条件的x的值为﹣1．林老师网络编辑整理林老师网络编辑整理。

第五节指数与指数函数课件

RM＋1r2＋Mr22＝(R＋r)MR31.
设α＝
r R
.由于α的值很小，因此在近似计算中
3α3＋3α4＋α5 1＋α2
≈3α3，则r的近似值为
(D )
A． MM12R
B． 2MM21R
3 C．
3MM12R
3 D．
3MM21R
[解析] 将r＝α·R代入方程可得R＋Mα1R2＋αM2R22＝(1＋α)MR21，
3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二指数函数及其性质 1．指数函数的概念函数__y_＝__a_x_(a_>_0_，__且__a_≠__1_) _____叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数．
角度Ⅱ.“整体代换法”化简求值
试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
3．[2018上海卷]已知常数a>0，函数f(x)＝
2x 2x＋ax
的图象经过点P
p，65
，
Qq，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝____6____.
[解析] 由已知条件知， f(p)＝65，f(q)＝－15，所以22qp＋＋22qpaaqp＝＝－ 65，15① ，② ①＋②，得2p22q＋p＋aaqp＋22qq＋2ap＋qap＝1，整理得2p＋q＝a2pq，
[解析] 令x－2＝0，得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1

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1指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是(01)xy a a a =>≠且x R 知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图所示，则，01c d a b <<<<<在轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，y 在轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大y 即无论在轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大y 在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解2① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像等1223,,21xx y y x y y =⋅===-函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数()01x y a a a =>≠且⑤ 画指数函数的图像，应抓住三个关键点：x y a =()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且．（1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．解答：解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．3指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，4故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．5分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n 为奇数时，=×1=；n 为偶数时，=+f （）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．6题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．7点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；8解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a （﹣）+b （﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b （﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；9（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），10故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为11t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，12∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．13（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数14（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．15（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．16解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．1718。

2指数与指数函数 - 简单 - 讲义

指数与指数函数知识讲解一、指数运算1.根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ．②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn ．2.幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN*；N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）．注：上述性质对r s R ∈、均适用．二、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数．2.函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．f x () =12( = 2x3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log xa y a y x ==与的图象关于直线y x =对称．4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a ．5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=3函数值的变化特征：典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017春•东河区校级期末）函数y=2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【解答】解：∵y=2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20=1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．2．（2016秋•黄陵县校级期末）下列函数一定是指数函数的是（）A．y=2x+1B．y=x3C．y=3•2x D．y=3﹣x【解答】解：对于A，y=2x+1=2•5x，不是指数函数；对于B，y=x3是幂函数，不是指数函数；对于C，y=3•2x不是指数函数；对于D，y=3﹣x=(13)x是指数函数．故选：D．3．（2017秋•罗湖区校级期中）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）a x是指数函数，则a的值是（）A．﹣1B．3C．3或﹣1D．2【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，∴a2﹣2a﹣2=1，且a＞0，a≠1解得a=3．故选：B．4．（2017秋•定州市校级期末）如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=a x+b的图象在（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限【解答】解：∵a＞1，∴y=a x的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），f（x）=a x+b 的图象可看成把y=a x的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，故函数f（x）=a x+b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，故选：B．5．（2017秋•历下区校级期末）已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）A．t≤﹣1B．t＜﹣1C．t≤﹣3D．t≥﹣3【解答】解：由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤﹣1．故选：A．6．（2018•全国模拟）若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（）A．1m ＞1nB．m|m|＞n|n|C．ln（m﹣n）＞0D．πm﹣n＜1【解答】解：方法一：由2m＞2n得到m＞n．当m＞n＞0时，由不等式同向可乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；当m＞0＞n时，m|m|＞0＞n|n|；当n＜m＜0时，﹣n＞﹣m＞0，由不等式同向可乘性知n2＞m2，故﹣n2＞﹣m2，m|m|＞n|n|．方法二：由2m＞2n得到m＞n，当m=1.5，n=1时，A不成立，C不成立，D不成立，故选：B．7．（2018•凯里市校级二模）已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．b＞a＞c C．b＜a＜c D．c＞a＞b【解答】解：a=0.52.1∈（0，1），b=20.5＞1，c=0.22.1，∵y=x2.1为增函数，∴0.52.1＞0.22.1，∴a＞c，∴b＞a＞c．故选：B．8．（2017秋•天心区校级期末）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（）A．y=100x B．y=50x2﹣50x+100C．y=50×2x D．y=10x+100【解答】解：对于A中的函数，当x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当x=3或4时误差也较大．对于C中的函数，当x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选：C．二．填空题（共3小题）9．（2016•南昌县自主招生）函数y=√1−(12)x的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由函数y=√1−(12)x可得，1﹣(12)x≥0，即(12)x≤(12)0，解得x≥0，故函数y=√1−(12)x的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．10．（2016•长宁区一模）方程9x+3x﹣2=0的解是0．【解答】解：∵9x+3x﹣2=0即（3x）2+3x﹣2=0∴（3x+2）（3x﹣1）=0⇒3x=﹣2（舍），3x=1．解得x=0 故答案为011．（2014秋•嘉定区期末）若函数f （x ）=（a ﹣1）x 是指数函数，则实数a 的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．【解答】解：∵函数f （x ）=（a ﹣1）x 是指数函数， ∴{a −1＞0a −1≠1，解得a ＞1且a ≠2；∴实数a 的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．三．解答题（共3小题）12．已知指数函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）的图象过点（﹣2，94），求函数的解析式．【解答】解：设指数函数为y=a x （a ＞0且a ≠1）将（﹣2，94），代入得94=a ﹣2解得a=23，所以y=(23)x ，函数的解析式：f （x ）=(23)x．13．若指数函数的图象经过点（23，4），求该函数的解析式及f （﹣12）的值．【解答】解：设指数函数y=f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1），且函数的图象经过点（23，4），∴a 23=4，解得a=8；∴该函数的解析式为y=f （x ）=8x ，∴f （﹣12）=8−12=√8=√24．14．比较a=（13）0.2与b=213的大小．【解答】解：∵a=(13)0.2＜(13)0=1，b=213＞20=1，∴a ＜b ．。

指数与指数函数ppt课件

2．已知函数 f (x)＝ax－2＋2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为( B )
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(3,2)
D．(2,2)
【解析】 ∵a0＝1，∴当 x＝2 时，y＝3，∴图象过点(2,3)．故选 B．
3．化简4 16x4y8(x<0，y<0)＝__－__2_x_y_2 _. 【解析】 4 16x4y8＝|2xy2|，又 x<0，y<0，∴原式＝－2xy2.
第二章函数
第五节指数与指数函数
课前双基巩固
——整合知识夯实基础
『知识聚焦』 1．根式的概念及性质 (1)如果xn＝a，那么____x___叫做a的n次方根． (2)式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质 ①(n a)n＝a(a使n a有意义．负数没有偶次方根)． ②当n为奇数时，n an＝___a____；当n为偶数时，n an＝____|_a_| __＝a－，aa，≥a0<，0.
(2)令 g(x)＝ax2－4x＋3，则 f (x)＝13g(x)，由于 f (x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值 a>0，
－1，因此必有3a－ a 4＝－1，解得 a＝1，即当 f (x)有最大值 3 时，a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f (x)的值域为(0，＋∞)，应使 y＝ax2－4x＋3 的值域为 R，因此只能 a＝0(因为若 a≠0，则 y＝ax2－4x＋3 为二次函数，其值域不可能为 R)．
C．(1＋a)a>(1＋b)b
D．(1－a)a>(1－b)b
【解析】
(1)把
b
化简为

指数的运算与指数函数讲义

指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。

在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。

2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。

注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。

2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。

当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。

此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。

2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。

【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)，求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数函数 y a x (a 0,a 1)叫做指数函数 .2. 指数函数的性质（ 1 ）定义域 :实数集合 R ；（ 2）值域： y 0 ;（ 3 ）奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时，函数 y a x （a 0,a 1）在（, )上为增函数； 0 a 1时，函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时， y 1, 图象恒过点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。

高三年级指对幂函数精品讲义

幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（4）指数函数图像与性质二、对数与对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log aa aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且（5）对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．说明：反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（7）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．三、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．四、例题分析例1 已知函数223nn y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当1n =-时，2230n n --=为偶数；当2n =时，2233n n --=-不是偶数；当3n =时，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．例2已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．解：设()m f x x =，则由题意，得2m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．例3、已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．分析：函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数．又∵(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<．又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础．练习、若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．正解（分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．练习、若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4、关于x 的不等式232255|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是。

指数函数讲义经典整理[附答案解析]

指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1:指数函数函数y°且a 1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R 知识点2 :指数函数的图像和性质知识点3 :指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系图所示，则° C d 1 a b，在y轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，在y轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大即无论在y轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4 :指数式、指数函数的理解①分数指数幕与根式或以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幕的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值1 x2x^2x④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y 23,y x ，y 3 ,y 2 1等£馅)-f (x 2)=x t -^- (x 2-^函数均不符合形式，因此，它们都不是指数函数⑤画指数函数y的图像，应抓住三个关键点:1,a , 0,1 ,1丄a、同步题型分析题型1 ：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1 :已知函数 (1) (2) (3) 工，且求m 的值；判定f (x )的奇偶性；判断f ( x )在(0, + g)上的单调性，并给予证明. 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明. 专题：计算题. 分析：(1) (2) (3) 解答:欲求m 的值，只须根据f (4 ) 求出函数的定义域 x|x 利用单调性的定义证明即可•任取 2=二的值，当x=4时代入f (x )解一个指数方程即可；工0｝，利用奇偶性的定义判断f (x )与f (- x )的关系，即可得到答案; 0 v x1 v x2，只要证明 f (x1 )> f (x2 ),即可.解：(1)因为，所以m=1 .(2)因为f ( x )的定义域为{x|xf ( - K )--0},又所以f ( x ) (3是奇函数.) 任x1 x2因为x1 >x2 >0,所以j - a i+护，所以 f (x1 )> f (x2 ),所以f ( x )在(0, + 8)上为单调增函数. 点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法•在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题.(1) 讨论函数的奇偶性; (2) 证明：f (x )> 0 .考点:指数函数的定义、专题：解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质.计算题. 分析：x=f (x ),故该函数为偶函数.(2 )任取 x € {x|x 工 0}当 x > 0 时，2x > 20=1.当x v 0时，-x > 0 ,故f ( - x )> 0 ,由函数为偶函数，能证明f (x )> 0在定义域上恒成立.解答：解: (1 (该函数为偶函数.由2x - 1工0解得x 工0即义域为 {x|x 丰0}关于原点对称…(分)(1)由2x - 1工0解得义域为{x|x 丰关于原点对称.f ( - x)=(从而1 . 1f (-x )=「2)(-x )=-=(严- 1-12K -1+1 _ 1 2) x=(2K -1 2)故该函数为偶函数. ...(7 分) (2 (证明：任取x € {x|x 丰0}当x > 0时,2x > 20=1 且 x > 0 ,x=(…1 ) x=f (x ) (6 分)例2 :已知函数••• 2x - 1 > 0 ,当 x V 0 时，—x > 0 , f (-x ) > 0 ,••( 12 分) 又因为函数为偶函数，••• f X ) =f (— x ) > 0 ,•••( 13 分) ••• f x )> 0在定义域上恒成立.…(14分)点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f ( x )> 0 •解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用.例3 :已知函数y=ax (a > 0且a 丰1 )在［1 , 2］上的最大值与最小值之和为20 ,(1 )求a 的值；2 )求 f (x ) +f (1 — x )的值;考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题：综合题；函数的性质及应用. 分析：(1 )由y=ax 单调得a+a2=20，由此可求 a ; (2) 写出f (x )，代入运算可得；(3) 借助(2 )问结论分n 为奇数、偶数讨论可求；解答：解：(1 )•••函数y=ax ( a > 0且a 丰1 )在［1 , 2］上的最大值与最小值之和为 20 ,且y=ax 单调,• a+a2=20，得 a=4，或 a= — 5 (舍去)；(2 )由上—"八孚丁—1 ；由(2 )知 f ( x ) +f ( 1 — x ) =1，得从而(3 )求的值.F (Q 1-f (1- 二(3) n 为奇数时,n-1(11 分)点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题.题型2 :指数函数的图像变换.例1 :已知函数y=|2x - 2|(1)作出其图象；(2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值.考点：指数函数的图像变换.专题：综合题；函数的性质及应用.分析：(1)函数y=|2x - 2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到.(2)结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间.(3)数形结合可得，当x=1时，ymiin=0 .解答：解：(1 )函数y=|2x - 2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x 轴上方得到，如图所示：(2 )结合函数的图象，可得函数的减区间为(-a, 1］，增区间为(1, + a).(3)数形结合可得，当x=1时，ymiin=0 .本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.n为偶数时,题型3 :指数函数单调性例1 :已知函数f (x ) =a?2x+b?3x ，其中常数a , b 满足a?b 工0 (1 )若a?b >0,判断函数f (x )的单调性；(2 )若a= - 3b ，求f (x+1 )> f (x )时的x 的取值范围.考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质. 专题：函数的性质及应用. 分析：(1 )分a > 0 , b >0和a v 0, b v 0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；(2 )当 a= - 3b 时，f (x ) = - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x ),分 b > 0 , b v 0 两种情况进行讨论, 整理可得指数不等式解出即可；解答：解：(1 )当 a > 0 , b > 0 时，任意 x1 , x2 € R ,且 x1 v x2，贝V f (x1 ) - f (x2) =a (2- 2) +b (32 T v 2a (2 - 2 )v 0,b (3- 3 )v 0, ••• f (d )- f (x2 )v 0,即卩 f (x1 )v f (x2 ), 故函数f (x )在R 上是增函数；当a v 0 , b v 0时，同理，可判断函数 f (x )在R 上是减函数; (2 )当 a= - 3b 时，f (x ) = - 3b?2x+b?3x=b 3x - 3?2x ), 则 f (x+1 )> f (x )即化为 b (3x+1 - 3?2x+1 )>b (3x - 3?2x ), 故b >0时，x 的范围是x > 1 ;当b v 0时，x 的范围是x v 1 .点评: 本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题.例2 :已知定义在(-1 , 1)上的奇函数 f (x ).在x € (- 1 , 0)时，f (x ) =2x+2 - x . (1) 试求f ( x )的表达式；(2) 用定义证明f (x )在(-1 , 0)上是减函数；(3) 若对于x €( 0 , 1)上的每一个值，不等式 t?2x?f xO v 4x - 1恒成立，求实数t 的取值范围.考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合. 专题：计算题；函数的性质及应用. 分析：(1 )由f (x )是定义在(-1 , 1 )上的奇函数可得 f ( 0) =0 , x €(0, 1)时，f (x ) = - f (- x ) =-(2x+2 - x );从而写出f (x )的表达式；(2) 取值，作差，化简，判号，下结论五步；(3) 对于x €( 0 , 1 )上的每一个值，不等式 t?2x?f ()V 4x - 1恒成立转化为对于 x €( 0 , 1 )若b >0,则有3x+1若b v 0,则有3x+13?2x+1 3?2x+1 v 3x - 3?2x ，整理得>3x - 3?2x ，整理得解得x > 1解得x v 1上的每一个值，不等式 t >- 4 恒成立，从而可得. 解答：解：(1)••• f x )是定义在(-1 , 1)上的奇函数，••• f 0) =0 ,设€( 0, 1 ),则-x €(—1 , 0),贝Uf (x ) =-f (-x )=-(2x+2 - x ),分+z = xE ( -0)* 0,故f (x )」一⑴十叮"圧© D ；(2)任取 x1 , x2 € ( - 1 , 0)，且 x1 v x2 ,負】_Xi_ U*则 f (x1 )- f (x2 ) =2+2-(2+2)(2】-产)(2匹—I)= :•/ x1 v x2 v 0 ,•••2 <2 2v 0 , 0 v "2 Z v 1 ,故 f (x1 ) - f ( x2 ) > 0 , 故f (x )在(-1 , 0 )上是减函数； (3 )由题意，t?2x?f x ) (v 4x - 1可化为••• x €(0,1 ),2• g (x ) v- 1+4 十 1=0 ,故对于x €( 0 , 1 )上的每一个值，不等式t?2x?f x()v 4x - 1恒成立可化为t > 0.化简可得,t?2x?(-点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题.例 3 :已知函数 f (x )=|2x - 1 - 1| , ( x € R ).(1) 证明：函数f (x )在区间(1 , + R )上为增函数，并指出函数 f (x )在区间(-R, 1)上的单调性；(2) 若函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点 A (m , t ), B ( n , t ),其中m v n ,求m+n 的取值范围.考点：指数函数综合题. 专题：计算题；证明题. 分析：(1)函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；(2 )由(1)可知，函数的值域为(0,1 ),要使函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有t €(0,1)又函数f (x )的图象与直线 y=t 有两个不同的交点，所以 A ( m , t ), B (n , t ) 分别位于直线 x=1的两侧，由 m v n ,得m v 1 v n ,故可以求出m+n ，进而由t €(0 , 1 ),可求 m+n 的取值范围.解答：解：(1 )证明：任取 x1 € ( 1 , + a ), x2 € ( 1 , + a ),且 x1 v x2 , FL]) -f (巾)二丨产 ‘-1丨-12 叫「11 二(2® 1 - D 一(产1)=所以f ( x )在区间(1 , + a)上为增函数.(5分)函数f ( x )在区间(-a,1 )上为减函数.(6分)(2 )因为函数f ( x )在区间(1 , + a)上为增函数，相应的函数值为(0, + a),在区间(-a, 1 )上为减函数，相应的函数值为( 0, 1 ),由题意函数f (x )的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故有 t €(0, 1 ), (8 分)易知A (m , t ), B (n , t )分别位于直线 x=1的两侧，由 m v n ，得m v 1 v n ,故2m - 1 - 1 v 0 , 2n - 1 - 1 >0,又 A ,B 两点的坐标满足方程 t=|2x - 1 - 1| ,故得 t=1 - 2m - 1 , t=2n - 1 - 1 , 即 m=log2 (2 - 2t ), n=log2 (2+2t ), (12分)故 m+n=Iog2 ( 2 - 2t ) +log2 (2+2t ) =log2 (4 - 4t2 ), 当 0 v t v 1 时，0 v 4 - 4t2 v 4 , -av log2 (4 - 4t2 ) v 2 . 因此，m+n 的取值范围为(-a , 2 ). (17分)点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性.依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论2 1- 2 ? C 2 1 - 2x1 <x2 ,2H I - 2H2<0f (1 )v f (x2 ).三、课堂达标检测(1)求函数f (x )的定义域; (2 )判断奇偶性并证明之； 3 )判断单调性并证明之.考点:指数函数的定义、专题：解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断. 计算题；证明题. 分析：(1) 把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数. (2)根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从 f (- x )入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数.(3) 根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，解答：(1 )••• e2x+1恒大于零,• x €R(2)函数是奇函数e丄1-評 f (―X)= e十1 =1 +产• f x1 ) - f (x2 ) V 0 即 f (x1 )V f ( x2 ) • f x )在R 是单调增函数2 ］卜 22 (e 1 - e 0f (x1 )- f ( x2 ) =1 -已 +1&+1 =(e Hl) ( e 2+l)x1 V x2 ,e 1 - e YU则又由上一问知函数的定义域关于原点对称,••• f X )为奇函数(3)是一个单调递增函数设 x1 , x2 € R 且 x1 V x2是一个无理数)判断差和零的关系.检测题1:已知函数e=2.71828解：f (x )=2=1 - ' I2K+1点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明•考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目.检测题2 :已知函数f (x ) =2ax+2 (a 为常数)(1)求函数f (x )的定义域.(2 )若a=1 , x €(1 , 2］，求函数f (x )的值域. (3 )若f (x )为减函数，求实数 a 的取值范围. 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点. 专题：常规题型；转化思想. 分析：(1) 利用指数函数的定义域来考虑.(2) 利用函数f (乂)在(1 , 2］上的单调性求函数的值域. (3 )根据复合函数的单调性，函数 u=ax+2必须为减函数.解答：解：(1 )函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2) 因为a=1，所以f (x ) =2x+2 .易知此时f (x )为增函数. 又因为 1 v x < 2，所以 f (1 )v f (x )< f 2), 即卩 8 v f (x )< 16 . 所以函数f (x )的值域为(8 ,16］.(3) 因为f ( x )为减函数，而 y=2u 是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数.所以得 a v 0 点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想.0 )U( 0，+ a)，且f (x )对任意不为零的实数 x 都满足f(-x ) = - f (x ).已知当 x > 0 时(1)求当x v 0时，f ( x )的解析式 (2 )解不等式考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质. 专题：常规题型. 分析：(1)求当x v 0时，f (x )的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值知区间上求解析式，由 f (- x ) =- f (x )解出f (X )即可.(2 )解不等式f (x )v- ■，分x > 0和x v 0两种情况，根据求得的解析式求解即可.解答：检测题3 :设f (x )的定义域是(-^， x ，再转化到已解：(1 )当 x V 0 时，—x > 0 , 又 f (— x ) = — f (x ) -K 2S 严-1 x-2 所以，当x V 0时, (2) x > 0 时, 化简得••• ：- '■' ，解得 1 V 2x V 4 • 0 v x V 2 当x V 0时,4 (『*) -------------- —>0 3(2—1) 解得2x > 1 (舍去)或 • x V — 2解集为{x|x V — 2 或 0 V X V 2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出 f (x )来•解不等式也要分段求解，注意 x 的取值范围.。

课件9：§2.5 指数与指数函数

y＝2x 在 R 上为增函数，且 1.35＜1.4＜1.5，所以 21.35＜21.4＜21.5，即
y2＜y1＜y3.故选 A.
[答案]
A
1 x2 2 x 1
( )
的单调减区间为________.
2．函数 f(x)＝ 2
1u
2
[解析] 设 u＝－x ＋2x＋1，∵y＝2 在 R 上为减函数，
又∵f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，∴2a＋2c＜2，故选 D.
[答案]
D
方法感悟
1．已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是
否过这些点，若不满足则排除．
2．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数的图象
入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到，特别地，当底数 a 与 1
[答案] A
－
2．函数 f(x)＝ax b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数．则下列结论
正确的是(
)
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
[解析]
由 f(x)＝ax－b 的图象可以观察出，函数 f(x)＝ax－b 在定义域上
单调递减，所以 0＜a＜1，数 f(x)＝ax－b 的图象是在 y＝ax 的基础上向
[解析]
当 a＜0 时，不等式 f(a)＜1
1a
1a 1－3

即 2 <8，即2 ＜2 ，因为

1a
可化为2 －7＜1，

1
0＜2＜1，所以 a＞－3，此时－3＜a＜0；
当 a≥0 时，不等式 f(a)＜1 可化为 a＜1，

第二章 §2.7 指数与指数函数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂：m n a＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )12.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a ·2b ＝2ab .(×)(3)指数函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(√)(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .(×)2．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x ＋b 都是指数函数，则a ＋b 等于()A ．不确定B ．0C ．1D ．2答案C解析由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.3．已知关于x 的不等式－4≥3－2x ，则该不等式的解集为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－4,1]答案A 解析不等式－4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ，由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)3(－4)3＋120.254＝________.答案5解析3(－4)3＋120.254＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：－2×2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×(2＋π)02；(2)23×331.5×612.解(1)原式＝128116⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×236427-⎛⎫⎪⎝⎭－2＝14232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2×23334⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2＋916＝94－2×916－2＋916＝94－98－2＋916＝－516.(2)原式＝11132623233(23)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133362623-+++=⨯⨯＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.12(－3)4＝3－3B ．2115113366221()(3)9(0,0)3a a b a b a a b ⎛⎫-÷=->> ⎪⎝⎭C.39＝33D ．已知x 2＋x －2＝2，则x ＋x －1＝2答案BC解析对于A ，12(－3)4＝1234＝143123=3＝33≠3－3，所以A 错误；对于B ，2115211115113366326236221()(3)93a b a b a b a b +-+⎛⎫-÷=-⋅ ⎪⎝⎭＝－9a (a >0，b >0)，所以B 正确；对于C ，391163=9=3＝33，所以C 正确；对于D ，因为(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝4，所以x ＋x －1＝±2，所以D 错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式3a ＝6b ，则下列可能成立的关系式为()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则01，则3a <3b <2b ·3b ＝6b ，故选项D 错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b 的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b0.4，c，则()A．c<b<a B．a<b<cC ．c <a <bD ．b <c <a 答案D解析a ＝1.30.6>1.30＝1，b 0.4，c ，因为指数函数y 是减函数，所以＝1，所以b <c <1，所以b <c <a .命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p ：a x <1(a >1)，q ：2x ＋1－x <2，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析∵a x <1，当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴p ：{x |x <0}．对于不等式2x ＋1<x ＋2，作出函数y ＝2x ＋1与y ＝x ＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x ＋1<x ＋2的解集为{x |－1<x <0}，∴q ：{x |－1<x <0}．又∵{x |－1<x <0}⊆{x |x <0}，∴p 是q 的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f (x )＝8x ＋a ·2xa ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2]，都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝1a ·2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即1a ·12x ＋2x xx 0，即1a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知a ＝－1，所以f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，设y ＝12x ＋2x ，则y ＝t ＋1t ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.所以实数m 的取值范围是174，＋思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )为减函数答案ABC解析因为e x >0，所以e x ＋1>0，所以函数f (x )的定义域为R ，故A 正确；f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由e x >0⇒e x ＋1>1⇒0<1e x ＋1<1⇒－2<－2e x ＋1<0⇒－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确；因为f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故C 正确；因为函数y ＝e x ＋1是增函数，所以y ＝e x ＋1>1，所以函数y ＝2e x ＋1是减函数，所以函数y ＝－2e x ＋1是增函数，故f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1是增函数，故D 不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案32或12解析当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f (2)－f (1)＝a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)；当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝12.课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A ．若a >0，则4334·a a ＝a B ．若m 8＝2，则m ＝±82C ．若a ＋a －1＝3，则1122a a-+＝±5D.4(2－π)4＝2－π答案B解析对于A ，根据分数指数幂的运算法则，可得443325334412a a aa +⋅==，当a ＝1时，2512a ＝a ；当a ≠1时，2512a≠a ，故A 错误；对于B ，m 8＝2，故m ＝±82，故B 正确；对于C ，a ＋a －1＝3，则21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝3＋2＝5，因为a >0，所以1122a a -+＝5，故C 错误；对于D ，4(2－π)4＝|2－π|＝π－2，故D 错误．2．已知函数f (x )＝a x －a (a >1)，则函数f (x )的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析y ＝a x (a >1)是增函数，经过点(0,1)，因为a >1，所以函数f (x )的图象需由函数y ＝a x (a >1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f (x )＝a x －a 的图象如图所示．故函数f (x )的图象不经过第二象限．3．已知a ＝31.2，b ＝1.20，c 0.9，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <c <bB ．c 0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a >c >b .4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上是增函数，而函数f (x )＝2x (x－a )在区间(0,1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·潍坊模拟)“关于x 的方程a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解”的一个必要不充分条件是()A ．a ≤12B ．a >1C ．a ≤12或a ≥1D ．a <12或a ≥1答案C解析a (2|x |＋1)＝2|x |，因为2|x |＋1>0，所以a ＝2|x |2|x |＋1＝1－12|x |＋1，因为2|x |≥20＝1，所以2|x |＋1≥2,0<12|x |＋1≤12，12≤1－12|x |＋1<1，要使a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解，则a <12或a ≥1，由于a <12或a ≥1不能推出a ≤12，故A 不成立；由于a <12或a ≥1不能推出a >1，故B 不成立；由于a <12或a ≥1⇒a ≤12或a ≥1，且a ≤12或a ≥1不能推出a <12或a ≥1，故C 正确；D 为充要条件，不符合要求．6．(2024·辽源模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ＋1，若f (a 2)＋f (a －2)>2，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案C解析令g (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，且g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，且是增函数，因为f (x )＝g (x )＋1，f (a 2)＋f (a －2)>2，则g (a 2)＋g (a －2)>0，即g (a 2)>－g (a －2)，又因为g (x )是奇函数，所以g (a 2)>g (2－a )，又因为g (x )是增函数，所以a 2>2－a ，解得a <－2或a >1，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a 2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0答案CD解析画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错误，C 正确；由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错误，D 正确．8．已知函数f (x )＝m －e x 1＋e x是定义域为R 的奇函数，则下列说法正确的是()A ．m ＝12B ．函数f (x )在R 上的最大值为12C ．函数f (x )是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根答案AC 解析因为函数f (x )＝m －e x 1＋e x 是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝m －e 01＋e 0＝0，解得m ＝12，此时f (x )＝12－e x 1＋e x，则f (－x )＝12－e －x 1＋e －x ＝12－11＋e x＝12－1＋e x －e x 1＋e x＝12－1＋e x 1＋e x ＝e x 1＋e x －12＝－f (x )，符合题意，故A 正确；又f (x )＝12－e x 1＋e x ＝12－e x ＋1－11＋ex ＝11＋e x －12，因为e x >0，所以e x ＋1>1，则0<11＋ex <1，所以－12<f (x )<12，即f (x )－12，B 错误；因为y ＝e x 是增函数，y ＝e x >0，且y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋e x －12是减函数，故C 正确；因为f (x )是减函数，所以y ＝f (x )与y ＝n 最多有1个交点，故f (x )－n ＝0最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根，故D 错误．三、填空题9．013623290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝________.答案81解析原式＝13131326322112(23)2⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f (x )＝________.①f (x ＋1)＝f (x )f (1)；②f ′(x )<0.答案e －x (答案不唯一)解析∵f (x ＋1)＝f (x )f (1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f ′(x )<0，∴f (x )是减函数，∴f (x )＝e －x 满足要求．11．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值3，则a 的值为________．答案1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )(x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，1，解得a ＝1.12．(2024·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案－23，解析∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时，函数取得最小值－43，∴y ∈－43，0，又∵m ≠0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.四、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max －2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.14．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －2x b ＋2x是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，求实数k 的取值范围．解(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －1b ＋1＝0，所以a ＝1，又因为f (－x )＝－f (x )，所以a －12x b ＋12x ＝－a －2x b ＋2x ，将a ＝1代入，整理得2x －1b ·2x ＋1＝2x －1b ＋2x，当x ≠0时，有b ·2x ＋1＝b ＋2x ，即(b －1)(2x －1)＝0，又因为当x ≠0时，有2x －1≠0，所以b －1＝0，所以b ＝1.经检验符合题意，所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，函数f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－(1＋2x )＋21＋2x ＝－1＋21＋2x ，因为y ＝1＋2x 为增函数，且1＋2x >0，则函数f (x )是减函数．(3)因为存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为f (k ＋t 2)<f (2t 2－4t )，又因为函数f (x )是减函数，所以k ＋t 2>2t 2－4t ，所以k >t 2－4t ，令g (t )＝t 2－4t ＝(t －2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k >g (t )min ，又因为g (t )min ＝g (2)＝－4，所以k >－4，即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．15．(2023·深圳模拟)已知αa ＝(cos α)sin α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)cos α，则()A ．b >c >aB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c 答案A 解析已知α0<cos α<sin α<1，因为y ＝(cos α)x 在(0,1)上单调递减，故c ＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a ；因为幂函数y ＝x cos α在(0,1)上单调递增，故c ＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b ，故b >c >a .16．(2023·徐州模拟)正实数m ，n 满足e 1－2m ＋2－2m ＝e n －1＋n ，则n m ＋1n的最小值为________．答案5 2解析由e1－2m＋2－2m＝e n－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝e n－1＋(n－1)，令f(x)＝e x＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此nm＋1n＝nm＋2m＋n2n＝nm＋mn＋12≥2nm·mn＋12＝52，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝23时取等号，所以当m＝n＝23时，nm＋1n取得最小值52.。

指数与指数函数讲义

指数与指数函数讲义一、知识梳理1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．于是，在条件a >0，m ，n ∈N *，且n >1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定-mna＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数注意：1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，)1,1(a-. 2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b >0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．二、基础检验题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( )(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．( )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0，且a ≠1)，则m ＜n .( ) (5)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( ) 题组二：教材改编2．[]化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)＝________.3．]若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P )21,2(，则f (－1)＝________.4．已知a ＝133()5-，b ＝143()5-，c ＝343()2-，则a ，b ，c 的大小关系是________．题组三：易错自纠5．计算：133()2-×0)67(-＋148×42－________. 6．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 7．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．三、典型例题题型一：指数幂的运算1．计算：2327()8--＋120.002-－10(5－2)－1＋π0＝________. 2．化简：41233322338(4a a b ab a--÷-+＝________.( a >0)思维升华：(1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二：指数函数的图象及应用典例 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0 C ．2－a ＜2cD ．2a ＋2c ＜2思维升华：(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练 (1)已知实数a ，b 满足等式2 018a ＝2 019b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．题型三：指数函数的性质及应用命题点1：指数函数单调性的应用典例 (1)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝147()9-，b ＝159()7，则f (a )，f (b )的大小关系是________．命题点2：与指数函数有关的复合函数的单调性典例 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________；(2)函数f (x )＝2211()2xx -++的单调减区间为____________．(3)函数f (x )＝4x －2x＋1的单调增区间是________．命题点3：指数函数性质的综合应用典例已知函数f (x )＝2431()3axx -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．思维升华：(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练(1)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )＞f (c x )D ．与x 有关，不确定四、反馈练习1．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 2．设2x ＝8y＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．273．(2017·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜b4．设a ＝log 213，b ＝12e -，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a 0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是7．若“m ＞a ”是“函数f (x )＝x )31(＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 8．不等式222x x－＋>4)21(+x 的解集为________．9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_____． 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 11．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式xa)1(＋xb)1(－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．14．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．15．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．。

指数与指数函数讲义

指数与指数函数课前双击巩固1.根式n 次方根概念如果x n=a,那么x叫作a的,其中n>1,n∈N*性质当n是时,a的n次方根为x= √a n 当n是时,正数a的n次方根为x=±√a n,负数的偶次方根0的任何次方根都是0,记作√0n=0根式概念式子√an叫作,其中n叫作,a叫作性质当n为奇数时,√a nn=当n为偶数时,√a nn=|a|=2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:a mn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).②正数的负分数指数幂:a-mn=1amn=√a mn(a>0,m,n∈N*且n>1).③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的性质① a r a s=(a>0,r,s∈Q);②(a r)s=(a>0,r,s∈Q);③ (ab )r = (a>0,b>0,r ∈Q ). 3.指数函数的图像与性质y=a x(a>0且 a ≠1)a>10<a<1图像定义域 R 值域性质过定点当x>0时, ;当x<0时, 当x>0时, ;当x<0时, 在R 上是在R 上是常用结论1.指数函数y=a x+b(a>0且a ≠1)的图像恒过定点(0,1+b). 2. 指数函数y=a x (a>0且a ≠1)的图像以x 轴为渐近线. 题组一常识题1. 若x+x -1=3,则x 2-x -2= .2. 已知2x-1<23-x,则x 的取值范围是 .3. 函数y=a x-1+2(a>0且a ≠1)的图像恒过定点 . 4.下列所给函数中值域为(0,+∞)的是 .(填序号) ①y=-5x,②y=(13)1−x,③y=√(12)x-1,④y=√1−2x .题组二常错题◆索引:忽略n 的范围导致式子√a n n(a ∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题时刻注意底数的两种情况;复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况.5.计算√(1+√2)33+√(1-√2)44= .6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x为指数函数,则a= .7.若函数f (x )=a x在[-1,1]上的最大值为2,则a= .8.设函数f (x )=ax 2+bx+c (a>0)满足f (1-x )=f (1+x ),则f (2x)与f (3x)的大小关系是 .课堂考点探究探究点一指数幂的化简与求值例题1 (1) 已知a-1a =3(a>0),则a 2+a+a -2+a -1的值为 ( )A.13-√11B.11-√13C.13+√11D.11+√13(2)计算0.02713+2560.75-(41727)-13-72916= .[总结反思] 指数幂运算的一般原则:(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 变式题 (1)计算:(19)-3×27-23+3π0= .(2)已知a ,b 是方程x 2-6x+4=0的两根,且a>b>0,则√a -√b√a+√b= .探究点二指数函数的图像及应用例题2 (1)函数y=1-e |x|的图像大致是 ( )图2-8-1(2)已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2[总结反思](1)研究指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图像要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),-1,1a.(2)与指数函数有关的函数图像问题的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图像,利用数形结合求解. 变式题(1)在同一平面直角坐标系中,函数y=a x(a>0且a≠1)与y=(1-a)x的图像可能是( )图2-8-2(2)已知函数y=(12a-4)x的图像与指数函数y=a x的图像关于y轴对称,则实数a的值为( )A.1B.2C.4D.8探究点三指数函数的性质及应用考向1比较指数式的大小例题3 (1)已知a=243,b=425,c=2513,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若-1<a<0,则3a,a 13,a 3的大小关系是 (用“>”连接).[总结反思] 指数式的大小比较,靠的就是指数函数的单调性,当所比较的指数式的底数小于0时,要先根据指数式的运算法则把底数化为正数,再根据指数函数的性质比较其大小. 考向2 解简单的指数方程或不等式例题4 (1)已知函数f (x )={2x -1,x >1,1,x ≤1,则不等式f (x )<f (2x )的解集是 .(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .[总结反思] (1)a f (x)=a g (x)⇔f (x )=g (x ).(2)a f (x)>a g (x),当a>1时,等价于f (x )>g (x );当0<a<1时,等价于f (x )<g (x ).考向3 指数函数性质的综合问题例题5 (1)函数f (x )=a+be x +1(a ,b ∈R )是奇函数,且图像经过点ln 3,12,则函数f (x )的值域为( )A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是 .[总结反思] 指数函数性质的重点是其单调性,解题中注意利用单调性实现问题的转化. 强化演练1.【考向1】已知a=(35)25,b=(25)35,c=(25)25,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a2.【考向2】若存在正数x 使2x(x-a )<1成立,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D .(-1,+∞)3.【考向2】已知实数a ≠1,函数f (x )={4x ,x ≥0,2a -x ,x <0, 若f (1-a )=f (a-1),则a 的值为 .4.【考向2】若偶函数f (x )满足f (x )=2x-4(x ≥0),则不等式f (x-2)>0的解集为 .5.【考向3】已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常数且a>0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3,24).若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数m 的取值范围为 .参考答案1.n 次方根奇数偶数没有意义根式根指数被开方数 a {a(a ≥0),-a(a <0)2.(1)0 没有意义 (2)a r+sa rsa rb r3.(0,+∞) (0,1) y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数减函数1.±3√5 [解析] 把x+x -1=3两边平方,可得x 2+x -2=7,则(x-x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以x-x -1=±√5,所以x 2-x -2=(x+x -1)(x-x -1)=±3√5.2.(-∞,2) [解析] 根据指数函数性质,得x-1<3-x ,解得x<2,所以x 的取值范围是(-∞,2).3.(1,3) [解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a 0+2=3,所以函数图像恒过定点(1,3). 4.② [解析] 对于②,∵1-x ∈R ,∴y=(13)1−x的值域是(0,+∞);①的值域为(-∞,0);③的值域为[0,+∞);④的值域为[0,1).5.2√2 [解析] √(1+√2)33+√(1-√2)44=1+√2+|1-√2|=2√2. 6.2 [解析] 由指数函数的定义可得{a 2-3=1,a >0,a ≠1,解得a=2.7.2或12[解析] 若a>1,则f (x )max =f (1)=a=2;若0<a<1,则f (x )max =f (-1)=a -1=2,得a=12.8.f (3x)≥f (2x) [解析] ∵f (x )满足f (1-x )=f (1+x ),∴f (x )的图像关于直线x=1对称.由a>0知,f (x )图像的开口向上.当x<0时,2x <1,3x <1,2x >3x ,且f (x )为减函数,故f (2x )<f (3x);当x>0时,2x >1,3x >1,3x >2x ,且f (x )为增函数,故f (3x )>f (2x );当x=0时,f (3x )=f (2x ).故f (3x )≥f (2x).【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用完全平方公式找到a-1a,a 2+1a2,a+1a之间的关系即可求解;(2)根据分数指数幂的运算法则进行计算.(1)D (2)60.7 [解析] (1)由a-1a =3,得a-1a 2=9,即a 2+1a 2-2=9,故a 2+a -2=11.又(a+a -1)2=a 2+a -2+2=11+2=13,且a>0,所以a+a -1=√13.于是a 2+a+a -2+a -1=11+√13,故选D.(2)原式=0.3+(44)34-(12527)-13-(36)16=0.3+43-35-3=60.7.变式题 (1)84 (2)√55 [解析] (1) 原式=(3-2)-3×(33)-23+3=3-2×(-3)×33×(−23)+3=36×3-2+3=36-2+3=34+3=84.(2)由已知得,a+b=6,ab=4,所以(√a -√b√a+√b)2=2√ab a+b+2√ab =√46+24=15. 因为a>b>0,所以√a >√b ,所以√a -√b a+√b =√55. 例2 [思路点拨] (1)结合解析式和图像,分析奇偶性和值域可得结论;(2)作出函数f (x )的图像,再重点分析a 与c 的情况.(1)A (2)D [解析] (1)将函数解析式与图像对比分析,函数y=1-e |x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A 选项满足上述两个性质,故选A.(2)作出函数f (x )=|2x-1|的图像,如图所示,因为a<b<c ,且有f (a )>f (c )>f (b ),所以必有a<0,0<c<1,且|2a -1|>|2c -1|,所以1-2a >2c -1,则2a +2c <2,且2a +2c>1.故选D.变式题 (1)C (2)C [解析] (1)若a>1,则1-a<0,函数y=a x单调递增,y=(1-a )x 单调递减;若0<a<1,则1-a>0,函数y=a x 单调递减,y=(1-a )x 单调递增.所以y=a x与y=(1-a )x 单调性相反,排除A ,D ;又y=a x的图像过定点(0,1),所以排除B.故选C.(2)由两函数的图像关于y 轴对称,可知12a -4与a 互为倒数,即a2a -4=1,解得a=4.例3 [思路点拨] (1)化为同底指数式,结合指数函数的单调性比较;(2)先将底数在a>0且a ≠1范围内进行转化,再结合指数函数的单调性比较.(1)A (2)3a>a 3>a 13 [解析] (1)由a 15=(243)15=220,b 15=(245)15=212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b<a<c.(2)易知3a>0,a 13<0,a 3<0,又由-1<a<0得0<-a<1,所以(-a )3<(-a )13,即-a 3<-a 13,所以a 3>a 13,因此3a >a 3>a 13.例4 [思路点拨] (1)结合函数的单调性,分x ≥2,1<x<2,0<x ≤1,x<0四种情况求解;(2)分情况讨论去掉绝对值,解相应的指数方程.(1)(0,√2) (2) x=log 23 [解析] (1)当x ≥2时,2x ≤1,不等式无解;当1<x<2时,1<2x <2,结合函数的单调性,由不等式f (x )<f (2x )得x<2x ,得1<x<√2;当0<x ≤1时,2x ≥2,不等式恒成立;当x<0时,2x <0,不等式无解.综上可得,不等式f (x )<f (2x )的解集是(0,√2).(2)当x ≤0时,1-2x≥0,原方程即为4x-2x-10=0,可得2x=12+√412,此时x>0,故舍去.当x>0时,1-2x<0,原方程即为4x+2x-12=0,可得2x=3,则x=log 23.故原方程的解为x=log 23.例5 [思路点拨] (1)根据条件先确定a ,b 的值,再依据指数函数的值域确定函数f (x )的值域;(2)分离参数,根据指数函数单调性和不等式恒成立得出关于a 的不等式,解之即可. (1)A (2)(-34,+∞) [解析] (1)函数f (x )为奇函数,则f (0)=a+b2=0,①函数图像过点ln 3,12,则f (ln 3)=a+b 4=12.②结合①②可得a=1,b=-2,则f (x )=1-2e x +1.因为e x>0,所以e x+1>1,所以0<2e x +1<2,所以-1<1-2e x +1<1,即函数f (x )的值域为(-1,1).(2)从已知不等式中分离出实数a ,得a>-[(14)x+(12)x].∵函数y=(14)x 和y=(12)x在R 上都是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,(14)x≥14,(12)x≥12,∴(14)x +(12)x≥14+12=34,从而得-(14)x +(12)x≤-34.故实数a 的取值范围为a>-34. 强化演练1.D [解析] ∵y=(25)x在R 上为减函数,35>25,∴b<c.又∵y=x 25在(0,+∞)上为增函数,35>25,∴a>c ,∴b<c<a.2.D [解析] 因为2x>0,所以由2x(x-a )<1得a>x-(12)x .令f (x )=x-(12)x,则函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,所以f (x )>f (0)=0-(12)0=-1,所以a>-1.3.12 [解析] 当a<1时,41-a=21,所以a=12;当a>1时,代入可知不成立.所以a 的值为12.4.{x|x>4或x<0} [解析] f (x )为偶函数,当x<0时,-x>0,f (x )=f (-x )=2-x-4,所以f (x )={2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0. 当f (x-2)>0时,有{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x+2-4>0, 解得x>4或x<0.所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}.5.(-∞,56] [解析] 把(1,6),(3,24)代入f (x )=b ·a x,得{6=ab,24=b·a 3, 结合a>0且a ≠1,解得{a =2,b =3,所以f (x )=3·2x.要使(12)x +(13)x ≥m 在x ∈(-∞,1]时恒成立,只需函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y=(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,所以当x=1时,y=(12)x+(13)x取得最小值56,所以只需m ≤56即可,即m 的取值范围为-∞,56.。

指数以及指数函数的整理讲义经典

2023届高考数学一轮复习讲义：第11讲 指数与指数函数

第9讲、指数与指数函数(教师版)2025高考数学一轮复习讲义

指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）

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第五节 指数与指数函数课件

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