函数中的数形结合思想

函数中的数形结合思想“数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想.一、函数中的由数到形由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想.例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（）解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a<x<b时，y<0，再看图形，排除D，于是选C.点评：本题将函数式的特征与图形特征对照分析，很快排除了干扰支，产生正确结论.例2．函数y=的图像大致为（）解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A.点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道.二、初等函数图形的应用初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础.例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（）A．可能是0个、1个或2个B．只可能是2个C．只可能是0个D．可以是3个解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）&#8226;（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么：（1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0；（2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为1；（3）若1于是，正确的答案为A.点评：本题凭主观易错选答案C，当我们对图形能够深入的分析以后会发现真正的正确答案却是A.例4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则有（）Ａ．f（）< f（）< f（）Ｂ．f（）< f（）< f（）Ｃ．f（）< f（）< f（）Ｄ．f（）< f（）< f（）解析：建立在x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x）的图像关于直线x=1对称的基础上可得f（x）的图像如右.欲比较f（），f（），f（）大小，主要看，，与对称轴的距离，易得f（）< f（）< f（），选B.点评：本题借助图像会很轻松地产生结论，倘若没有图像，可能要在“黑暗”中摸索更长一段时间.三、抽象函数图形的应用只有函数符号而没有具体函数式的函数，我们称为抽象函数.对于抽象函数，我们要根据所给出的条件对其图形进行分析、判断，可以发现图形的特征，并利用这些特征.例5．设f ′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f ′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）解析：由于y=f（x）的单调性决定了f ′（x）是否大小零，可以看出A有可能正确，其中直线是y=f ′（x）的图像；B、C都有可能正确，x轴上方的是y=f ′（x）的图像；D不可能正确，故选D.点评：本题要将函数与其对应的图像性质紧密结合在一起，通过函数与导函数图像之间的关系产生结论.例6．若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f （x-1）与f -1 （x-1）的图像可能是（）解析：由于f（x）与f -1（x）的图像关于y=x对称，而f （x-1）与f -1 （x-1）的图像是分别将f（x）与f -1（x）的图像向右平移一个单位而得到，显然，对称性不改变，观察选项知正确答案为C.点评：“数”与“形”的关系是十分微妙的，本题如果你追求先作出图形再产生结论的话，此题你将永远无法完成.通过“数”的关系，产生“形”的关系，再利用“形”的关系产生结论，“数”与“形”的转化非常完美.四、函数图形性质的应用函数的图像性质主要指单调性、奇偶性、对称性及图形的平移换等.这些性质是函数的重要性质也是各类考试经常命题考查的性质，因此，我们必须能够将这些性质灵活应用.例7．已知函数f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，xf（a），则实数a的取值范围是（）A．（-∞，-1）∪（2，+∞）B．（-1，2）C．（-2，1）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）解析：作出f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，x<0的图像，如下图：由图像可知f（x）在定义域内是增函数于是，由f（2-a2）>f（a），得2-a2>a?圯-2点评：本题通过图形，立即发现函数是增函数，从而将函数值的不等关系转化为二次不等式，方便、快捷地产生了结论.例8．把函数f（x）=x3-3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）A．2B．4C．6D．8解析：设曲线C2的解析式为y=（x-u）3-3（x-u）-v则方程（x-u）3-3（x-u）-v=x3-3x，即3ux2（u3-3u+v）≤0，即v≥-u3+3u对任意u>0恒成立，于是v≥-u3+3u的最大值，令g（u）=-u3+3u（u>0），则g（u）=-u2+3=-（u-2）（u+2）. 由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4.点评：本题通过函数的单调性，顺利产生函灵敏的最大值，结合最大值产生结论.函数性质的利用为求解辅平了道路.五、注重函数图形的变换函数图形的对称变换、平移变换等，是函数图形变换的常用技法.有些函数问题的求解，其重心就在于图形的这些变换，抓到了，可求.否则，望题兴叹.例9．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2＝（）A．B．3C．D． 4解析：由２x+2x=5?圯2x-1=-x，令y1=2x-1，y2=-x，则x1是两函数图像交点的横坐标.又由2x+2log2（x-1）=5?圯log2（x-1）=-x，再令y3=log2（x-1），则x2两函数y1，y3图像交点的横坐标.由于y1=2x-1与y3=log2（x-1）的图像关于y=x-1对称，结合图像，易知x1+x2=2x0，联立y=x-1与y=-x得2x0=，选C.点评：本题不仅要会画图，更重要的是善于分析图形的关系，若你能得到两个图像关于对称，结论也就基本产生了.例10．设函数f0（x）=x，f1（x）=f0（x）-1，f2（x）=f1（x）-2，则函数y=f2（x）的图像与x轴所围成的图形中的封闭部分的面积为.解析：若想一下子作出y=f2（x）的图像很不容易，当我们了解了y=f（x）及y=f（x）的图像之间的关系以后按照顺序f0（x）=x→y= f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→f0（x）=x →y=f0（x）-1→f1（x）=f0（x）-1→y=f1（x）-2→f2（x）=f1（x）-2作图形变换，就容易作出y= f2（x）的图像.易得答案为7.点评：本题又是如何利用图形的呢？只须按要求一步一步地进行变换，很快就可以得到了图形，有了图形再产生结论，真是易如反掌.六、合理构造，巧妙应用图形不是说每一题的图形都是十分清楚的，很多时候是要根据题中的条件进行构造，当构造成功时，结论自然也就产生了.例11．若f（x）是奇函数，且在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，则满足（x+1）f（x-1）>0的x范围为.解析：注意到奇函数，同时注意到在（-∞，０）上是增函数，又f（－２）＝０，于是，构造一个草图，结合草图转化不等式.由（x+1）f（x-1）>0?圯x+1>0，f（x-1）>0或x+1-1，-22或x2，即x的范围为{x|x2}.点评：本题的求解草图提供了很大帮助，草图是如何构造的呢？奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，这是我们必须知道的.例12．函数f（x）=-的最大值为.解析：对已知函数进行变形，得f（x）=-可以构造为动点（x，x2）到两定点（3，2），（0，1）的距离之差，由于动点（x，x2）的轨迹为抛物线y=x2，如图易得连结（3，2），（0，1）并延长交抛物线于点A，此时，两点（3，2），（0，1）之间的距离，即为所求的最大值，其值为.点评：本题的构造构造难度较大、灵活性也较大，当完成这种构造之后，结论也就差不多产生了，当然，没有这种构造想产生结论真的相当难.七、数形结合的隐性应用数形结合的高级阶段是数形结合的隐性应用，整个求解过程并未看见图形在哪里？但结论的产生还真的离不开图形.例13．若x∈[0，1]时，22x-7解析：由22x-7设f（x）=x&#8226;lg+lg，由x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立得：f（1）<0，f（0）<0?圯lg+lg<0，lg<0?圯lg<0，01，0点评：建立在f（x）<0恒成立的基础上，如何能产生f（1）<0，f（0）<0呢？是抓住了线段的特点，利用了线段的这一特点促使结论产生.例14．设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈（0，1），使f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意[0，1]的上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．（Ⅰ）证明：对任意的x1，x2∈（0，1），x1<x2，若f （x1）≥f（x2），则（0，x2）为含峰区间；若f（x1）≤f（x2），则（x1，1）为含峰区间；(Ⅱ)对给定的r（0<r<0.5），证明：存在x1，x2∈（0，1），满足x2-x1≥2r，使得由(Ⅰ)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；(Ⅲ)选取x1，x2∈（0，1），x1<x2，由(Ⅰ)可确定含峰区间为（0，x2）或（x1，1），在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).解析：（I）当f（x1）≥f（x2）时，假设x*?埸（0，x2），则x1f（x1），这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间.同理可证：当f（x1）≤f（x2）时，（x1，1）是含峰区间.（II）当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1=x2；当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1-x1；由题意得x2≤0.5+r，1-x1≤0.5+r，于是1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r.又x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r，那么x1=0.5-r，x2=0.5+r.显然，存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.（III）对先选择的x1，x2，x1<x2，由（II）可知x1+x2=1.在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足x3+x1=x2，x2=1-x1，x3=1-2x1，当x1>x3时，含峰区间的长度为x1；由条件x1-x3≥0.02，得x1≥0.34. 因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1=0.34，x2=0.66，x3=0.32.点评：本题设计的是一道研究性实验题，求解过程中始终将函数的图形联系在一起，为了缩短含峰区间的长度，始终要注意到“峰”的位置，必须注意函数图形的隐形应用.没有数形结合，就不可能产生本题中的三个结果.数形结合思想作为数学中的重要思想方法在函数中的体现远非就这么一点，这里只是起到“点睛”作用，更丰富、更精彩的应用还待同学们留心观察和总结.（作者单位：中山市第一中学）责任编校徐国坚“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”。