函数中的数形结合思想

函数中的数形结合思想

“数少形时缺直观，形少数时难入微”，它准确地告诉我们：数形结合，相得益彰；利用数、式进行深入细致的分析；利用图形直观又可以看出数、式的内在关系；数形结合思想是重要的数学思想，它是分析问题的思路基础. 因此，每年高考一定会重点考查，本文主要谈一下函数中的数形结合思想.

一、函数中的由数到形

由数到形是函数中数形结合的第一步，面对一个函数可以思考到其图形的特征，并能抓住这个特征进行深入分析，只有如此，才可能在函数中应用到数形结合思想.

例1．设a＜b，函数y=（x-a）2（x-b）的图像可能是（）

解析：看看函数式，可以发现x→+∞时，y→+∞，再看图形特征，立即排除A、B；再看a

点评：本题将函数式的特征与图形特征对照分析，很快排除了干扰支，产生正确结论.

例2．函数y=的图像大致为（）

解析：首先由函数的定义域可得ex≠e-x?圯x≠-x?圯x ≠0，看看图形，立即排除C、D.再由y′==-<0，即函数递减，选A.

点评：本题若是想先作出图形，再对照选项选出结论的话，可能永远无法达到目的，由数到形，为我们求解此类问题开辟新的通道.

二、初等函数图形的应用

初等函数是我们接触到最为基础的函数，也是最为重要的函数，高考对其考查也相当频繁，因此，掌握初等函数的图形应用是在函数中应用数形结合思想的重要基础.

例3．当a>1时，函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数（）

A．可能是0个、1个或2个

B．只可能是2个

C．只可能是0个

D．可以是3个

解析：假定y=ax与y=x相切于（x0，y0），则切线方程为y-a=a（lna）•（x-x0），因为过原点，得x0=，而x0=y0=a，所以=a，从而a=e，那么：

（1）若a>e时，y=ax与y=x没有交点，故函数y=ax与函数y=logax的图像的交点个数为0；

（2）若a=e时，y=ax与y=x相切，故函数y=ax与函数

y=logax的图像的交点个数为1；

（3）若1于是，正确的答案为A.

点评：本题凭主观易错选答案C，当我们对图形能够深入的分析以后会发现真正的正确答案却是A.

例4．设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x-1，则有（）Ａ．f（）< f（）< f（）Ｂ．f（）< f（）< f（）

Ｃ．f（）< f（）< f（）Ｄ．f（）< f（）< f（）

解析：建立在x≥1时，f（x）=3x-1，且f（x）的图像关于直线x=1对称的基础上可得f（x）的图像如右.欲比较f（），f（），f（）大小，主要看，，与对称轴的距离，

易得f（）< f（）< f（），选B.

点评：本题借助图像会很轻松地产生结论，倘若没有图像，可能要在“黑暗”中摸索更长一段时间.

三、抽象函数图形的应用

只有函数符号而没有具体函数式的函数，我们称为抽象函数.对于抽象函数，我们要根据所给出的条件对其图形进行分析、判断，可以发现图形的特征，并利用这些特征.

例5．设f ′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f ′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

解析：由于y=f（x）的单调性决定了f ′（x）是否大小

零，可以看出A有可能正确，其中直线是y=f ′（x）的图像；B、C都有可能正确，x轴上方的是y=f ′（x）的图像；D不可能正确，故选D.

点评：本题要将函数与其对应的图像性质紧密结合在一起，通过函数与导函数图像之间的关系产生结论.

例6．若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f （x-1）与f -1 （x-1）的图像可能是（）

解析：由于f（x）与f -1（x）的图像关于y=x对称，而f （x-1）与f -1 （x-1）的图像是分别将f（x）与f -1（x）的图像向右平移一个单位而得到，显然，对称性不改变，观察选项知正确答案为C.

点评：“数”与“形”的关系是十分微妙的，本题如果你追求先作出图形再产生结论的话，此题你将永远无法完成.通过“数”的关系，产生“形”的关系，再利用“形”的关系产生结论，“数”与“形”的转化非常完美.

四、函数图形性质的应用

函数的图像性质主要指单调性、奇偶性、对称性及图形的平移换等.这些性质是函数的重要性质也是各类考试经常

命题考查的性质，因此，我们必须能够将这些性质灵活应用.

例7．已知函数f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，xf（a），则实数a的取值范围是（）

A．（-∞，-1）∪（2，+∞）B．（-1，2）

C．（-2，1）D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

解析：作出f（x）=x2+4x，x≥04x-x2，x<0的图像，如下图：

由图像可知f（x）在定义域内是增函数

于是，由f（2-a2）>f（a），得2-a2>a?圯-2点评：本题通过图形，立即发现函数是增函数，从而将函数值的不等关系转化为二次不等式，方便、快捷地产生了结论.

例8．把函数f（x）=x3-3x的图像C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像C2．若对任意的u>0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（）

A．2B．4C．6D．8

解析：设曲线C2的解析式为y=（x-u）3-3（x-u）-v则方程（x-u）3-3（x-u）-v=x3-3x，即3ux2（u3-3u+v）≤0，即v≥-u3+3u对任意u>0恒成立，于是v≥-u3+3u的最大值，令g（u）=-u3+3u（u>0），则g（u）=-u2+3=-（u-2）（u+2）. 由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4.

点评：本题通过函数的单调性，顺利产生函灵敏的最大值，结合最大值产生结论.函数性质的利用为求解辅平了道