线性类动态规划

分析
为前i个数中的最大不下降序列长度 （1）设f(i)为前 个数中的最大不下降序列长度 , 则 为前 f(i)=max{f(j)+1 <=j<i<=m <=m, f(i)=max{f(j)+1} (1<=j<i<=m, bj<bi) 边界为F( )=1 F(1 边界为F(1)=1 (2)设t(i)为前i个数中最长不下降序列的个数,则 为前i 设 (i)为前 个数中最长不下降序列的个数, <=j<i<=m f(i)=f(j)+1 t(i)=∑t(j) (1<=j<i<=m , bj<bi, f(i)=f(j)+1) 初始为t(i)=1 初始为t(i)=1 f(i)=n时 t(i)累加 当f(i)=n时，将t(i)累加 举例： 举例： 1 2 3 4 6 5 8 10 9 f: 1 2 3 4 5 5 6 7 7 t: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 答案： 时 边界为∑ 答案：f=7时，边界为∑t=4
10 235 23567
【样例输出】 样例输出】
2
【数据规模】 数据规模】
对于30%的数据，L <= 10000； 的数据， 对于 的数据 ； 对于全部的数据， 对于全部的数据，L <= 易想到用动态规划解决这个题目。 由于不能往回跳，很容易想到用动态规划解决这个题目。 表示跳到第i个点需要踩到的最少石子数 设f(i)表示跳到第 个点需要踩到的最少石子数，则很容易 表示跳到第 个点需要踩到的最少石子数， 写出动态规划的状态转移方程: 写出动态规划的状态转移方程
过河
在河上有一座独木桥， 在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一 侧跳到另一侧。在桥上有一些石子， 侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这 些石子上。 些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正 整数， 整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴 上的一串整点： ， ， 是桥的长度）。 上的一串整点：0，1，……，L（其中 是桥的长度）。 ， （其中L是桥的长度 坐标为0的点表示桥的起点 坐标为L的点表示桥的终点 的点表示桥的起点， 的点表示桥的终点。 坐标为 的点表示桥的起点，坐标为 的点表示桥的终点。 青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。 青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳 跃的距离是S到 之间的任意正整数 包括S,T）。 之间的任意正整数（ ）。当青 跃的距离是 到T之间的任意正整数（包括 ）。当青 蛙跳到或跳过坐标为L的点时 的点时， 蛙跳到或跳过坐标为 的点时，就算青蛙已经跳出了独 木桥。 木桥。 题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T， 题目给出独木桥的长度 ，青蛙跳跃的距离范围 ，桥 上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河， 上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需 要踩到的石子数。 要踩到的石子数。
进一步
(3)求本质不同的最长不下降序列个数有多少个？ 如：1 2 3 4 6 5 8 10 9 有， 1 2 3 4 6 8 10 , 1 2 3 4 5 8 10, 1 2 3 4 6 8 9 ,1 2 3 4 5 8 9 都是本质不同的。 但对于 1 2 2 3 3 5 4 f 1 2 2 3 3 5 4 t 1 1 1 2 2 4 4 答案有8个，其中4个1 2 3 5 ，4个1 2 3 4
所以原来的最优解必然在处理之后的最优解 解集中。 解集中。 经过这样的压缩处理，独木桥的长度L’最多 经过这样的压缩处理，独木桥的长度 最多 左右。 为(M+1)*(MaxK+2*T)+M，大约 ，大约12000左右。 左右 压缩之后再用先前的动态规划求解， 压缩之后再用先前的动态规划求解，复杂度 就简化成了O(L’*(T-S))，已经可以在时限内 就简化成了 ， 出解了。 出解了。 这样本题就得到了解决。 这样本题就得到了解决。
解法
枚举中间最高的一个人， 枚举中间最高的一个人，接着对它的左边求最长上升序 注意序列中最高的同学不应高过基准）， ），对右边求 列（注意序列中最高的同学不应高过基准），对右边求 最长下降序列（同样的， 最长下降序列（同样的，序列中最高的同学不应高过基 准）。时间复杂度为 ）。时间复杂度为O(n^2)，算法实现起来也很简单。 ，算法实现起来也很简单。 时间复杂度为 接着对这个算法进行分析，我们不难发现， 接着对这个算法进行分析，我们不难发现，假如还是基 于枚举一个同学的话， 表示了1 的最长上升 于枚举一个同学的话，设Incsq[i]表示了 - i的最长上升 表示了 序列， 表示了i 的最长下降序列 那么， 的最长下降序列， 序列，Decsq[i]表示了 - n的最长下降序列，那么， 表示了 Current[i] = Incsq[i] + Decsq[i] - 1（两个数组中 被重复 （两个数组中i被重复 计算了） 计算了） 那么，我们只需要先求好最长上升和下降序列， 那么，我们只需要先求好最长上升和下降序列，然后枚 举中间最高的同学就可以了。 举中间最高的同学就可以了。
分析
考虑到数据的规模超过了长整型,我们注意在解题过程中采用高精 度算法. 规划方程: F[I,J] = MIN { F[I-1,K] + NUM[K+1,J] } (I-1<=K<=J-1) 边界值:F[0,I] := NUM[1,I] ; F[I，J]表示前J个数字中添上I个加号后得到的最小值。 NUM[I，J]表示数字串第I位到第J位的数 上述问题的每一步，都只与上一步有关。因此可以采用滚动数组 程序的时间效率约为 20 * 200 * 200
线性类动态规划
朱全民
最长不下降序列
设 有 整 数 序 列 b1,b2,b3,…,bm ， 若 存 在 下 标 i1<i2<i3< …<in，且bi1<bi2<bi3< …<bin，则称 b1,b2,b3,…,bm中有长度为n的不下降序列bi1 , bi2 ,bi3 ,…,bin 。 求序列b1,b2,b3,…,bm中所有长度(n)最大不下 降子序列 输入：整数序列。 输出：最大长度n和所有长度为n的序列个数。
合唱队形(NOIP2005-3) 合唱队形
给出N个人， 个人的高度为 个人的高度为Ai,现在要求 给出 个人，第i个人的高度为 现在要求 个人 找出一个对形,使得从某个人开始 使得从某个人开始,前面的人 找出一个对形 使得从某个人开始 前面的人 都呈递增的顺序排列,后面的人呈递减顺序 都呈递增的顺序排列 后面的人呈递减顺序 排列 找出最长的该队列. 找出最长的该队列
【输入文件】 输入文件】 输入文件river.in的第一行有一个正整数 （1 <= L <= 的第一行有一个正整数L（ 输入文件 的第一行有一个正整数 109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数 ，T， ），表示独木桥的长度 第二行有三个正整数S， ， 表示独木桥的长度。 M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥 ，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离， 上石子的个数，其中1 上石子的个数，其中 <= S <= T <= 10，1 <= M <= 100。 ， 。 第三行有M个不同的正整数分别表示这 个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上 第三行有 个不同的正整数分别表示这 个石子在数轴上 的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。 ）。所有相 的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相 邻的整数之间用一个空格隔开。 邻的整数之间用一个空格隔开。 输出文件】 【输出文件】 输出文件river.out只包括一个整数，表示青蛙过河最少需 只包括一个整数， 输出文件 只包括一个整数 要踩到的石子数。 要踩到的石子数。 样例输入】 【样例输入】
进一步分析
我们先来考虑这样一个问题：长度为 的一段没有 我们先来考虑这样一个问题：长度为k的一段没有 石子的独木桥， 石子的独木桥，判断是否存在一种跳法从一端正 好跳到另一端。 好跳到另一端。 若S<T，事实上对于某个可跳步长区间 ，事实上对于某个可跳步长区间[S,T]，必然 ， 存在一个MaxK使得任何 使得任何k>=MaxK，都可以从一 存在一个 使得任何 ， 端正好跳到另一端。 端正好跳到另一端。 题设中1<=S<=T<=10，经过简单推导或者程序验 题设中 ， 证就可以发现， 就能满足所有区间。 证就可以发现，取MaxK=100就能满足所有区间。 就能满足所有区间
动态规划的优化
求最长上升序列的经典状态转移方程为： 求最长上升序列的经典状态转移方程为： opt[i] = max{opt[j]+1, 其中 其中i<j<=n, 且list[j]>list[i]} 我们对状态转移方程稍微做一些修改： 我们对状态转移方程稍微做一些修改： opt[i] = max{opt(i+1), min{j | rec[j]>=list[i] } rec[j] 记录当前不下降序列的最小值 很明显可以看出，在opt[i]的寻找 的过程当中， 很明显可以看出， 的寻找j的过程当中， 的寻找 的过程当中 查询序列是单调的，于是可以用二分法， 查询序列是单调的，于是可以用二分法，就十分 巧妙地在logn的时间内找到指定的 ，而问题的总 的时间内找到指定的j， 巧妙地在 的时间内找到指定的 体复杂度为O(nlogn)。这样，这个问题的算法效 体复杂度为 。这样， 率就得到了大幅度的提升，即便n是 率就得到了大幅度的提升，即便 是106，也可以 轻松应对。 轻松应对。
f (0) = 0 {f(i - k)} (S <= k <= T) 第 i 点没有石子 f ( i ) = min {f(i - k)} + 1 (S <= k <= T) 第 i 点有石子 Ans = min{f(L), f(L + 1),..., f(L + T - 1)}