新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第一讲 走进追问求根公式【教案】
新课标九年级数学竞赛培训第01讲：求根公式
新课标九年级数学竞赛培训第01讲：求根公式© 2011 菁优网一、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）1、满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有_________个．2、已知a，b为实数，且+|b﹣|=0，则关于x的方程（a+2）x2+b2=a﹣1的解为_________．3、（2001•四川）若x2﹣3x﹣2=0，则=_________．4、已知x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，则x+y的值为_________．5、若x2﹣5x+1=0，则=_________．6、已知m、n是有理数，方程x2+mx+n=0有一个根是，则m+n的值为_________．7、已知a是方程x2﹣x﹣2000=0的一个正根．则代数式的值为_________．二、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）8、设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A、﹣4B、8C、6D、09、若两个方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0只有一个公共根，则（）A、a=bB、a+b=0C、a+b=1D、a+b=﹣110、当分式有意义时，x的取值范围是（）A、x＜﹣1B、x＞4C、﹣1＜x＜4D、x≠﹣1且x≠411、方程（x+1）|x+1|﹣x|x|+1=0的实根的个数是（）A、0B、1C、2D、312、对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于（）A、1B、2C、D、2.513、自然数n满足，这样的n的个数是（）A、2B、1C、3D、414、设a，b都是正实数且，那么的值为（）A、B、C、D、三、解答题（共11小题，满分73分）15、是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．16、解关于x的方程（p+1）x2﹣2px+p﹣2=0．17、设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和．18、已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．19、解下列关于x的方程：（1）（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣3=0；（2）x2﹣|x|﹣1=0；（3）|x2+4x﹣5|=6﹣2x．20、（2003•上海）已知x2﹣2x=2，求代数式（x﹣1）2+（x+3）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣1）的值．21、已知，求的值．22、已知m、n是方程x2+2003x+7=0的两根，求（m2+2002m+6）（n2+2004n+8）的值．23、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连接起来，如图所示，若小正方形面积为，求n的值．24、已知方程x2﹣3x+1=0的两根α、β也是方程x4﹣px2+q=0的根，求p、q的值．25、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：需为无理数．答案与评分标准一、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）1、满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有4个．考点：负整数指数幂。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第1讲走进追问求根公式
第一讲走进追问求根公式形如 ax2bx c0 （ a0 ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最广泛、最拥有一般性的方法。
求根公式 x1,2bb 24ac内涵丰富：它包括了初中阶段已学过的所有代数运算；它回答了一元2a二次方程的诸如如何务实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展现了数学的简短美。
降次转变是解方程的基本思想，有些条件中含有 (或可转变为 )一元二次方程有关的问题，直接求解可能给解题带来很多不便，常常不是去解这个二次方程，而是对方程进行适合的变形来代换，进而使问题易于解决。
解题经常用到变形降次、整体代入、结构零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例 1】知足(n2n 1)n2 1 的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、± 1 的特点人手，将问题转变为解方程。
【例 2】设 x1、 x2是二次方程 x2x 30 的两个根，那么x13 4 x2219的值等于（）A、一 4 B 、8C、 6D、 0思路点拨：求出 x1、 x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的重点是利用根的定义及变形，使多项式降次，如 x123x1， x223x2。
【例 3】解对于x的方程(a1) x 22ax a 0 。
思路点拨：因不了解原方程的种类，故需分 a 10及 a10 两种状况议论。
【例 4】设方程 x22x140 ，求知足该方程的所有根之和。
思路点拨：经过议论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转变为一般的一元二次方程求解。
【例 5 】已知实数 a 、b、 c 、d互不相等，且a 1b11d1试求 x 的值。
b cc x ，d a思路点拨：运用连等式，经过迭代把 b 、c、 d 用a的代数式表示，由解方程求得x 的值。
注：一元二次方程常有的变形形式有：(1)把方程 ax2bx c0 （ a0 ）直接作零值多项式代换；(2)把方程 ax2bx c0 （ a0 ）变形为 ax 2bx c ，代换后降次；(3)把方程 ax2bx c0（ a0 ）变形为 ax 2bx c 或 ax2c bx ，代换后使之转变关系或整体地消去 x 。
21.2.2公式法《用求根公式解一元二次方程》教案
-通过实际例题，使学生体会求根公式在解决一元二次方程中的应用价值。
举例解释：求根公式是一元二次方程解决的核心工具，教学中应重点关注公式本身的记忆、理解和应用。例如，对于公式中的判别式Δ=b²-4ac，应强调其与根的关系，即Δ>0时有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时无实数根。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了求根公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式本身及其推导过程这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和根的情况判断，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的问题，如土地分割、物体抛物线运动等。
2.实验操作：为了加深对求根公式的理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器绘制一元二次方程的图像，观察不同判别式下根的情况。
3.能够运用求根公式解决实际问题；
4.通过求根公式的推导，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.理解并掌握一元二次方程求根公式，提高学生的数学运算能力；
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用素养；
3.通过对求根公式的推导和应用，培养学生的逻辑思维、抽象思维和推理能力；
人教版数学九年级上册21.2.2.1求根公式的推导教案
课堂预设
课后反思
1、求根公式的推导过程，
2、根的判别式的应用。
本课任务
学：一元二次方程求根公式的推导过程，
记：记下一元二次方程的求根公式，
会：会熟练应用公式法解一元二次方程，并能应用根的判别式解决问题。
共性教案
1、预习检测
请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0.
二、新知探究
探究：请用配方法解
【解析】移项，得ax2+bx=-c，
当Δ＞0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根.
当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
∴
=
即： ，
四、能力提升
解方程：
归纳：用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出c≥0代入求根公式: (a≠0, b2-4ac≥0)
否则原方程无解.
4.写出方程的解： x1=?, x2=?
五、课堂检测
1.一元二次方程5x2-7x+5=0的根的情况是（ ）
方程两边都除以a,得 ，
配方，得 ，
即 ，
∵a≠0,∴4a2＞0,
（1）当 >0时，
方程有两个不相等的实数根
，
（2）当 =0时，方程有两个相等的实数根
人教版数学九年级上册21.2.2.1求根公式的推导教案
5.对求根公式中各参数的理解和讨论，特别是判别式Δ=b^2-4ac的应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理、数学抽象和问题解决能力。通过求根公式的推导与应用，使学生能够：
1.理解并运用逻辑推理，从一元二次方程的一般形式推导出求根公式，增强推理与证明能力；
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过不同的教学活动和方式来帮助学生理解和掌握求根公式的推导与应用。我发现，虽然大部分学生能够跟随我的讲解思路，但在某些环节还是遇到了一些挑战。
首先，求根公式的推导过程对学生来说是一个难点。我意识到，单纯地讲解推导过程并不足以让学生真正理解其背后的数学原理。在未来的教学中，我可能会考虑引入更多的直观图形或者物理模型，让学生能够更直观地感受配方法和求根公式之间的联系。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的推导过程和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与求根公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用图形计算器或软件来验证求根公式的准确性。
1.教学重点
-配方法解一元二次方程的步骤：重点在于使学生掌握将一元二次方程转化为完全平方公式的步骤，包括移项、配方、开方等。
-例如，对于方程ax^2 + bx + c = 0，要引导学生学会将方程左侧配成(x + m)^2的形式，并理解这一过程中各项系数的变化。
-求根公式的推导：重点在于理解求根公式的来源，包括从配方法到求根公式的过渡。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
九年级一元二次方程求根公式的推导 人教版教学设计导学案
2、一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：
（1）Δ〉0⟺方程_______________________________
（2）Δ=0⟺方程_______________________________
（3）Δ<0⟺方程_______________________________
年级
九年级
科目
数学
备课人
课题
21.2.2.1一元二次方程的根的判别式
学习
目标
（1分钟）
1、能记住一元二次方程的根的判别式，掌握求根公式的推导过程（重点）
2、能运用根的判别式进行相关的计算和推理（难点）
学法
指导
分析法、转化法、类比法的学习方法
自
学
与
指
导
（9分钟）
自主复习
请每位同学编写一道一元二次方程，由同桌用配方法求方程的解，并填写步骤和每步的依据
题组2：（组内共同完成后交流展示，做好记录，总结归纳，做好笔记）
1、若方程x2+mx+2=0的根的判别式的值为4，则m=_____
2、关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是___________
方法归纳：在已知含字母系数的一元二次方程根的情况下，用逆向思维来解决问题:
1.根据判别式建立2. 一元二次方程的二次项系数0
训
练
与
总
结
题组3：（课堂检测：针对性检测，独立完成后展示）
1、一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为（ ）
A 4 B 2 C 0 D -4
人教版九年级数学上册21.2.2.1求根公式法推导教案
《公式法解一元二次方程》一、教学目标:知识目标：理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程。
能力目标：（1）通过求根公式的推导，加强推理技能的训练，培养学生数学推理的严密性及严谨性。
（2）培养学生准确快速的计算能力。
情感目标：（1）通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识。
（2）通过求根公式的推导，渗透分类讨论的数学思想。
二、教学重难点重点：求根公式的推导及公式法的应用难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解。
三、教学过程温故知新1」用配方法解一元二次方程方程（1)x2－4x－3＝0探索新知1、学生自主探究根据幻灯上展示的用配方法的步骤解一元二次方程2、合作交流：将自己的问题在小组内交流寻求帮助，并给出以下几个问题在小组内讨论交流问题：（1）哪些一元二次方程适合用直接开平方法解？(mx＋n)2＝p(p≥0)（2）在开方时，方程右边的数含有字母系数，你能确定它的正负吗？包含几种情况？在这呢我引导学生发现他有可能大于0、小于0、也有可能等于0（3）b 2 -4ac 的正负由谁来决定？为什么？这些问题解决了一元二次方程方程的根也就求出来了再返回去，引导学生发现b平方减4ac的正负与一元二次方程跟之间的关系：当它大于0时，方程有两个不相等的实数根，当它等于0时，方程有两个相等的实数根，当它小于0时，方程无实数根，（再幻灯上展示）既然知道了它们之间存在这样的关系，那么通过计算b平方减4ac的值，并与0作比较，就能判断出一元二次方程根的情况，所以我们把式子b平方减4ac来表示，引导学生通过上面的解答过程，发现当b平方减4ac大于或等于时，方程有实数根大于或等于0时，方程有实数根为：aacbbx242-±-=也就是说当（042≥-acb）可以利用这个公式可以求出方程的两根，把它就叫做一元二次方程的求根公式，用求根公式解方程的方法叫公式法。
九年级数学上册《求根公式推导》教案、教学设计
（1）请学生列出菜地长和宽的方程，引导学生复习一元二次方程的解法。
（2）讨论为什么需要学习新的解法——求根公式，以及它在我们生活中的重要性。
（3）通过这个问题情境，自然过渡到本节课的主题——求根公式的推导与应用。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在讲授新知环节，我将引导学生从已学过的一元二次方程解法入手，逐步推导出求根公式，并解释其含义。
-注重作业的反馈，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计
在本节课的导入环节，我将设计一个与实际生活相关的问题情境，如“小明在计算一个长方形菜地的面积时，已知长比宽多3米，且长方形的周长为28米，求这个菜地的长和宽。”这个问题可以引发学生对一元二次方程的思考。
-设计一道有关求根公式推导过程中的关键环节的问题，引导学生反思求根公式的发现过程。
-鼓励学生在思考过程中，尝试从不同的角度和方法解决问题，提高其创新思维能力。
5.作业要求：
-请学生在完成作业时，注意书写的规范性和解答的条理性，养成良好的学习习惯。
-作业完成后，及时检查，确保解答的正确性，对错误的地方进行修正，以加深对知识点的理解。
-教师在批改作业时，要关注学生的个体差异，给予针对性的指导和评价，激发学生的学习兴趣。
2.教学过程
（1）布置一些基础题目，让学生独立完成，检验学生对求根公式的掌握程度。
（2）设计一些拓展题目，让学生运用求根公式解决，提高学生的应用能力。
（3）对学生的解答进行点评，指出错误和不足，引导学生找到正确答案。
（五）总结归纳
1.教学活动设计
在总结归纳环节，我将帮助学生梳理本节课所学内容，巩固知识点，并对学生的表现进行评价。
人教数学九上21.2.2求根公式推导[高老师]【市一等奖】优质课
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教学目标1.会用根的判别式判断一个一元二次方程的根的情况。
2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围。
3.通过对问题的探究,进一步体会分类的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力。
2学情分析本节课是在学生学习完一元二次方程后学习探索判断方程根的情况。
学生对一元二次方程的解法已经学习完直接开平方法、配方法和公式法,基本熟知解一元二次方程的基本思想——降次。
一元二次方程的根的判别式在整个中学数学中占有重要的地位,既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况,又可以为今后研究不等式,二次三项式,二次函数,二次曲线等奠定基础,并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透分类的数学思想,渗透数学的简洁美。
3重点难点重点:根的判别式的正确理解和运用难点:根的判别式的运用4教学过程4.1 第二学时4.1.1教学活动活动1【导入】一、知识回顾：用公式法解下列方程(1) 2x2-x-3=0 (2) 2x2-4x+2=0 (3) 4x2+x+1=0【用公式法解一元二次方程,从特殊的三个方程根的情况猜想任意一元二次方程根的情况,体现从特殊到一般的思想。
】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定。
我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,用“△”来表示。
(1)△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0时,方程有两个相等的实数根;[△≥0时,方程有实数根](3)△<0时,方程没有实数根.活动2【讲授】二、新课讲授例1.不解方程,判断下列关于x的方程的根的情况(1) 2x2+3x-4=0(2) 4x2+9=12x(3) 5(x2+1)-7x=0(4) x2+(2k+1)x+k-1=0(5) x2+mx+2m-5=0【前三问直接用判别式进行判断即可,应用新知的能力。
九年级数学上册 21.2 一元二次方程求根公式推导讲学稿 新人教版-新人教版初中九年级上册数学教案
21.2 一元二次方程求根公式推导一元二次方程()200ax bx c a ++=>求根公式的推导第一组第7号一、选题：本题选自人教版初中数学教材九年级上册第二十一章《一元二次方程》第9页 二、题目：一元二次方程()200ax bx c a ++=>求根公式的推导 1、讲题目标：“一元二次方程求根公式的推导”是课本公式法求解一元二次方程中的核心内容，在学生掌握了直接开平方法、配方法基础上，完成求根公式的推导，并归纳使用求根公式解一元二次方程的方法和步骤，使学生在以后的解方程中有意识的运用公式法进行求解。
通过类比用配方法求解数字系数的一元二次方程，以小组合作探究的形式，求解一元二次方程的一般形式，继而推导出求根公式，进一步体会化归思想，渗透从特殊到一般以及分类讨论的数学思想方法，培养学生的计算能力和数学推理的严密性、逻辑性，感受数学公式的简洁美、对称美。
重点：理解一元二次方程求根公式的推导 难点：理解求根公式的推导过程和判别式 2、学情分析：有了前面用配方法解数字系数的一元二次方程的铺垫，学生熟悉配方法的基本步骤，具备用配方法推导一元二次方程的求根公式的相关知识与能力，推导的困难在于字母符号多、分式运算复杂，对学生的运算能力提出考验，易出现数学畏难情绪。
根据已有的调查，普通初三学生在用配方法解方程()200ax bx c a ++=≠，结果仅有约为4.17%推导过程完全正确。
其中的错误分析如下：3、讲题内容：②类比迁移，探究新知 ③归纳结论，感悟收获 ④延伸学习，拓展提升 ⑤自编小诗，与君共勉 4、实施步骤： ①复习旧知，突显方法活动1：数学竞赛，比一比看谁做的又快又准。
用配方法解下列方程：(1)22310xx ++= (2)2230x x ++=找男生代表和女生代表到前面板演，其余同学在练习本运算。
【设计意图】：与本节课有实质性联系的内容是前一节的配方法，以此为新知识的生长点呈现练习题：用配方法解两个上述方程，结果（1）式是有两个不同的实数根，（2）式是无实数根，既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验，又巩固了配方法的使用，使学生认识到每一个元二次方程都可以用配方法来求解，同时当二次项系数不是1时，体验到配方法求解的复杂性，为求根公式推导的必要性埋下伏笔，同时也为推导过程的核心环节分类讨论做好铺垫。
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第一讲 走进追问求根公式
形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式a
ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
【例题求解】
【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．
思路点拨 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）
A ． 一4
B ．8
C ．6
D ．0
思路点拨 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=．
【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．
思路点拨 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．
【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a
d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．
思路点拨 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值．
注： 一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；
(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．
解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222
x x x ==．
学历训练
1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．
2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．
3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．
4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )
A ．b a =
B ．0=+b a
C ．1=+b a
D ．1-=+b a
5．当分式4
312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x
6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．解下列关于x 的方程：
(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．
8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．
9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．
注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若0152=+-x x ，则15
39222+++-x x x ＝ ．
11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．
12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a
200012000120003+++的值为 ． 13．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )
A ．1 n ．2 C ．3 D ．2．5
14．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )
A ．2
B ．1
C ．3
D ．4
15．已知a 、b 都是负实数，且
0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．2
51+- D ．251-- 16．已知3819-=x ，求15
82318262234+-++--x x x x x x 的值． 17．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000
(22++++n m m m 的值．
18．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的
各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为3281
1，求n 的值． 19．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，
求p 、q 的值．
20．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3
的自然数．求证：
AB
BS 需为无理数．
参考答案。