胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】

第3章线性系统的时域分析法
3.1复习笔记
本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。

一、系统时间响应的性能指标
1．典型输入信号
控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。

表3-1-1控制系统典型输入信号
2．动态性能与稳态性能
（1）动态性能指标
t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；
t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；
t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；
σ%——超调量，()()%100%
()
p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能
稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。

二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：
()1
()1
C s R s Ts +＝
2．一阶系统的时间响应
一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。

表3-1-2
一阶系统对典型输入信号的时间响应
由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。

三、二阶系统的时域分析
1．二阶系统的数学模型
二阶系统的传递函数的标准形式为：
2
2
2
()
()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。

2．欠阻尼二阶系统（重点）
（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：
2
1,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应
()()
d 2
11e sin 0
1n t c t t t ζωωβζ
-=-
+≥-式中，2
1arctan
ζβ
ζ
-=，或者β＝arccosζ，2
1d
n ω
ωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd
2
ππ1p d n t ωωζ==
-2
π1%e
100%
ζζσ-
-=⨯3.5(0.05)
s n
t ζω=∆=
4.4
(0.02)
s n
t ζω=
∆=3．临界阻尼二阶系统
（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。

（2）单位阶跃响应
()()
()
1e 10n t n c t t t ωω-=-+≥4．过阻尼二阶系统
（1）当ζ＞1时，为过阻尼二阶系统。

（2）单位阶跃响应
()()
1
2
21
12
e e
1011t
t T T c t t T T T T --=++
≥--【注意】隐藏考点是非零初始条件下二阶系统的响应过程，内容较为简单，但解题时考生容易忽略初始条件不为零的二阶系统响应过程，请注意甄别。

四、高阶系统的时域分析
闭环主导极点：距虚轴最近的极点，远小于其他极点距虚轴的距离（一般取十倍以上），周围无闭环零点，相应的响应分量在系统的时间响应中起主导作用，则此闭环极点为闭环主导极点。

【扩展】在高阶系统时域分析时，一般使用主导极点和偶极子的概念使其降阶为二阶系
统再处理。

偶极子：一对零极点相距足够近，远远小于其他极点到虚轴的距离（一般取十倍以上），则可近似认为该对零极点对系统响应过程不产生影响，且称该对零极点构成一对偶极子。

五、线性系统的稳定性分析1．线性系统稳定的充要条件
闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环系统传递函数的所有极点均位于s 左半平面。

【注意】特征方程系数均大于零，可不必列劳斯表。

2．劳斯——赫尔维茨稳定判据（1）赫尔维茨判据设系统特征方程为：
D（s）＝a 0s n ＋a 1s n－1＋…＋a n－1s＋a n ＝0，a 0＞0
()
1(0),0,1,2,...
!
i i e C i i Φ==使线性系统稳定的必要条件是：D（s）中各项系数为正数。

其系数构成的主行列式为：
1350241302101200000000000000000000000000000
n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a a a --∆=
则系统稳定的充要条件是：主行列式及其顺序主子式均大于零。

当系统方程的次数较高时，赫尔维茨判据计算将会很复杂，不太适用。

（2）劳斯判据（重点）
系统稳定的充要条件是劳斯表中的第一列为正。

劳斯表中第一列正负号改变的次数是特征方程正实部根的数目。

劳斯表如表3-1-3所示。

表
3-1-3
劳斯表
注意劳斯判据的特殊情况：
①某行第一列项为零，而其余各项不为零，或不全为零。

此时可以用（s＋a）乘以原特。