《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
一元二次方程全章复习讲义
一元二次方程 内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠.2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题. 知识点一：一元二次方程的定义及一般形式【知识要点】一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解【知识要点】1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。
2、 在20(0)ax bx c a ++=≠中，x 取特殊值时，a 、b 、c 之间满足的关系式。
例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m x x 的两个根，则m 的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
九年级上册数学一元二次方程 复习讲义
（2）该市这 3 年大闸蟹的总销售额是多少亿元？
【例 3】2020 年 3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延， 这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒， 未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 256 人患新冠肺炎，求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 多少人患病？
【例 3】关于 x 的方程 x2 2x 2m 1 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此
时方程的根．
3
越努力，越幸运！
考点 4：一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系（韦达定理）：①、x1+ x2 = b a
；②、 x1
x2
c a
变式：①、 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
②、 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
③、 x1 x2 (x1 x2 )2 4x1x2
x2 x1 x12 x2 2
④、 x1 x2
x1 x2
注：使用韦达定理的前提是△≥0
①当两根互为相反数时：x1+ x2 = b =0 即 b=0 a
②当两根互为倒数时： x1
x2
c a
A.-10 B.10
C.-6 D.-1
4
越努力，越幸运！
题型 3：根与系数公式的变形
【例 1】已知 , 是一元二次方程 x2-5x-2=0 的两个实数根，则 2 2 的值为（ ）
A．-1
B．9
C．23
D．27
【例 2】已 知 实 数 a， b 分 别 满 足 a2-6a+4=0， b2-6b+4=0， 且 a≠ b， 则 b a 的 值 ab
一元二次方程复习课(绝对经典)
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
(完整word版)一元二次方程讲义
第23章 一元二次方程1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。
其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数,常数项。
（1)下列方程中,是关于x 的一元二次方程的是( ）A x 1＋x 2＝1B 212+x －21-x ＝1C x 2－x ＋1＝0D 2x 3－5xy －4y 2＝0(2）将方程x 2+3=x +3x 化成一般形式是____________，二次项系数是____________，一次项系数是____________，常数项是____________。
(3）关于x 的方程m 2x －3x=2x －mx+2是一元二次方程，m 应满足什么条件？（4）已知关于x 的一元一次方程(m －2)2x +3x+2m －4=0，有一个解是0，求m 的值.（1）下列方程 ①－x 2+2=0 ②2x 2－3x =0 ③ －3x 2=0 ④ －3x 2=0 ⑤ x 2+x1=0 ⑥232+x ＝5x ⑦ 2x 2－3=（x －3）(x 2+1）中是一元二次方程的有（ ） A 2个 B 3个 C 4个 D 5个(2）方程（m+1）2x －（2m+2）x+3m －1=0有一个根为0,则m 的值为（ ） A 32 B 31 C －32 D －31（1）若()5112=-+m x m 是一元二次方程,则m= 。
（2）一元二次方程()()0112=-+++c x b x a 化成一般形式为01342=++x x ，试求（2a+b ）·3c 的值.2．一元二次方程的解法（1）直接开平方法（1)方程2x =1 的实数根的个数是 。
（2)用直接开平方法解下列方程① 92x －25=0 ② ()422=+x若方程()0212=--n m x ，试说明方程根的情况. （2）因式分解法(1)方程2x －1=0的根是 。
一元二次方程复习讲义
一元二次方程复习讲义【知识回顾】1、一元二次方程的概念：形如：ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）概念中的三个要点：①____________，②____________，③____________．不是整式的式子可能是____________，____________．2、一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：(2)配方法：(3)因式分解法：(4)公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3、一元二次方程的根的判别式：(1)当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； (2)当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； (3)当 时，方程没有实数根．．．．．． 4、韦达定理：如果ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）有两个根x 1，x 2，那么x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ； 推论：①222121212()2x x x x x x +=+-，②12121211x x x x x x ++=，③22121212()()4x x x x x x -=+-，④22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==，⑤12||x x -= 5、用方程解决实际问题：握手模型 增长率模型 降价模型等【基础训练】1、解下列方程(1)(2x ＋3)2－25＝0.(直接开平方法) (2) 02722=--x x (配方法)(3)()()2322+=+x x (因式分解法) (4)2260x x +-=(公式法)2、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解以下方程．①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3、一元二次方程2210x x -+=的解是 ．4、方程24x x =的解是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．4x =或0x =D ．0x = 5、方程(1)x x x -=的解是 ．6、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=程是 ．7、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 8、下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-= 9、一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．有一个实数根；D ．没有实数根；10、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 ．12、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 13、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．14、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%；B ．2100(1)120x +=%；C ．2100(12)120x +=%；D ．22100(1)120x +=%；15、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．16、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）A ．10%B ．19%C ．9.5%D ．20%17、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为（ ）A ．()75.821252=+x ；B ．75.825025=+x ； C ．75.827525=+x D ．()()[]75.82111252=++++x x ；【能力提高】18、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 (填上一个符合条件的方程即可)19、写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _．20、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 （ ）A ．１B ．－１C ．0D ．2 21、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定22、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解为： ；24、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abc d ，定义abc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 25、a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 26、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ． 乙或丙27、已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根．(2)对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-= 的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=． 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程29、现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．•已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？30、某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能 侦察周周围50海里(含50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB ＝90海里．若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．。
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一元二次方程基础知识1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
（2）配方法通过配方将原方程转化为()x n m m +=≥20（）的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
（3）公式法求根公式：方程ax bx c a 200++=≠（）的求根公式x b b ac ab ac =-±--≥224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：ax bx c a 200++=≠（），确定a 、b 、c 。
2）计算式子b ac 24-的值。
3）当b ac 240-≥时，把a 、b 和b ac 24-的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a ==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0∆>；有两个相等的实数根时，0∆=；没有实数根时，0∆<．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a =．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．7、韦达定理的逆定理2一般地，如果有两个数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12cx x a =，那么1x ，2x 必定是20(0)ax bx c a ++=≠的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0b a -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0b a -<，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m >③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．⑵若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ⑶若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ⑷若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑸若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑵ 2b ak -=或2b ak -=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
一元二次方程讲义——绝对经典实用
基础知识1、 一兀二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax 2 bx c 0( a 0)的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax 2， bx ， c 分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
2 2 2女口： 2x 4x 1 0满足一般形式ax bx c 0 ( a 0) ，2x ， 4x , 1分别是二次项、一 次项和常数项，2,— 4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2. 一元二次方程求根方法 (1) 直接开平方法形如x 2 m ( m 0)的方程都可以用开平方的方法写成 x .m ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2) 配方法2通过配方将原方程转化为 (X n) m ( m 0)的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
(3) 公式法一元二次方程配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数, 使之成为1。
求根公式：方程 ax 2bx(a0)的求根公式步骤:b -b 2 4ac2a(b 24ac 0)1)把方程整理为一般形式: 2axbx c 0 (a 0),确定 a 、b 、c 。
2 )计算式子b 24ac 的 值。
说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有⑵在解一元二次方程时， 一般情况下，首先要运用根的判别式(4)因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二 次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的 方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义 运用配方法解一元二次方程过程中得到, b 2 b 2 4ac x 2a ) 4a 2，显然只有当b 2 4ac °时，才能直接开平方得:x A 2a 4ac 4a 2 也就是说，一元二次方程 2 ax bx c 0(a °)只有当系数a 、b 、c 满足条件2b 4ac 0时才有实数根•这里b 2 4ac 叫做一元二次方程根的判别式. 4、判别式与根的关系 2在实数范围内，一元二次方程axbx c 0(a 0)的根由其系数c确定，它的根的情况(是儿二次方程为ax 2bx c0(a 0)，其根的判别式为:4ac 则 2方程axbx0(a °)有两个不相等的实数根xi,2b2ab 2 4ac 2方程axbx 0(a 0)有两个相等的实数根" X 2b2a2方程axbx0(a0)没有实数根.c为有理数,为完全平方式，则方程的解为有理根;若为完全平方式，同时b4ac是2a 的整数倍，则方程的根为整数根.两个不相等的实数根时,;有两个相等的实数根时,;没有实数根时,2b 4ac 判定方程的根的情况(有两2不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根） •当 b 4ac 0时，方程有两个相等的实数根（重根），不能说方程只有一个根.① 当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ② 当a 0时 抛物线开口向下顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理x i x 2 p x i x 2 q7、韦达定理的逆定理两个根.8、韦达定理与根的符号关系2在 b 4ac > 0的条件下，我们有如下结论: C° 、 ^卄卫 > °、⑴当a 时，方程的两根必一正一负. 若 a ,则此方程的正根不小于负根的绝对值;则此方程的正根小于负根的绝对值.如果ax bx c 0（a0）的两根是x , x2，则1X 2b^X 2a,Ca .（隐含的条件:特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设2,x 2是方程Xpx q 0的两个根,以两个数N , X2为根的一元二次方程（二次项系数为1) X 2(为x 2)x x 1x 2 0x x X i X 2般地，如果有两个数Xi, X 2满足X 1X 2，那么X1,x2必定是ax2 bx0(a 0)的c ⑵当a0 时，方程的两根同正或同负•若 0，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根. 若 x i 2 x 2 是 ax bx c 0(a 0)的两根(其中 X i X 2)，且m 为实数，当0时，一般地① (x i m)(x 2 m) 0 x i m X 2 m② (X i m)(X 2 m) 0且 (X i m) (X 2 m) 0 x i m X 2 m③ (X i m)(X 2 m)且 (x im) (X 2 m) 0x i mX 2 m更一般的结论是: bx c0(a °)有两异根、两正根、两负根的条件.时，上述就转化为 特殊地：当m2ax其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根 a b ，则必有一根a b ( a , b 为有理数)2⑵若ac 0，则方程ax bx c 0(a 0)必有实数根.2⑶若ac 0，方程axbx c 0(a 0)不一定有实数根. 2⑷若 a b c 0，则 axbx c 0(a 0)必有一根 x 1 . 2⑸若 a b c 0，则 ax bx c 0(a 0)必有一根 x 1 .9、韦达定理的应用 ⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程； ⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征； ⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 • 一些考试中，往往利用这一点设置陷阱 10、整数根问题对于一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的实根情况，可以用判别式b2 4ac来判别，但是对于个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）有整数根，那么必然同时满足以下条件：2⑴ b 4ac为完全平方数；⑵ b 寸b 4ac 2ak或 b J b 4ac 2ak，其中k为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a、b、c均为有理数）11、一元二次方程的应用1. 求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。
初中数学一元二次方程复习专题上课讲义
一元二次方程专题复习【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题；②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）；③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）；④一元二次方程的解法；⑤一元二次方程根的近似值；⑥建立一元二次方程模型解决问题；⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值；⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；⑨与其他知识结合，综合解决问题。
一元二次方程的定义与解法【要点、考点聚焦】1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式20(0)ax bx c a ++=≠；2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要） 【典型例题解析】1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。
3、用配方法解方程:2210x x --= 【考点训练】1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1B.1-C.1或1-D.12 2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）A. 直接开平方法B. 配方法C. 因式分解法D. 公式法3、若0a b c -+=，则一元二次方程20ax bx c ++=有一根是（ ）A. 2B. 1C. 0D. －14、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.6、解下列方程：（1）2(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)22740t t --=（用配方法） 一元二次方程根的判别式【要点、考点聚焦】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况与∆的关系；62.确定系数的值或取值范围． 【典型考题】1.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.2.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.一、填空题1、关于x 的方程2(3)20m x ---=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ .2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .3、方程2310x x -+=的根的情况是_______________________________.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。
一元二次方程全章讲义
一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。
① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。
例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。
例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。
【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。
4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。
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《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
沁宀汨怜的两根（其中—），且沢为实数，当时, 般地：①必一闸区-熄｝<■ Q C斗A脚E <握②I 且i（；T E .③^ r- I 且I囱 E ■r •："「.，；■ ■■特殊地：当时，上述就转化为“『「有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根■（「'，则必有一根一「（卫，‘」为有理数）.⑵若沁"，贝昉程心必有实数根.⑶若…方程肿Ym 如心不一定有实数根.⑷若a-^b^c-0，贝贝曲+肚+ "哄"0）必有一根龙=1 .⑸若u —H，贝y + 必有一根* = -1 .9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的△•一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程••的实根情况，可以用判别式'■ ,J来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程' •■「一“有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴占f （徑■为完全平方数；⑵: 「或一!■…， ,其中为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中卫、七已均为有理数）11、一元二次方程的应用1 •求代数式的值；2.可化为一元二次方程的分式方程。
步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。
2）解一元二次方程。
3）检验3•列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答经典讲评板块一一元二次方穆的定文•夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）' ' ■■（2）肯》-】—-'■< - 1；（3）:…垃加论.址（4）（5）；芒「< ，I「例2已知关于T的方程—―亠是一元二次方程，求二的取值范围.例3若一元二次方程片：财：匚” S曲—的常数项为零，则叭的值为 :•能力提升例4关于x的方程咕卩-⑵1是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程凑—y是关于”的一元二次方程，求「、“的值.例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m^ 1B m> OC m>0且m^ 1D m为任何实数•培优训练例7典为何值时，关于；的方程''' * '''是一元二次方程.例8已知方程：亦皿7八「区7是关于，的一元二次方程，求一:、的值.例9关于x的方程（m+3）xm2-7+ （m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：’••该方程为一元二次方程，••m2-7=2，解得m=±3 ；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3 .例10 （2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2 ）x2+mx+仁0是一元二次方程的条件是（）A. m^-1B. m^ 2C m^-1 或m^ 2D m^-1 且m^2•课后练习1、典为何值时，关于工的方程除:—汽兔S翁如尬:是一元二次方程.2、已知关于工的方程1' ' •是一元二次方程，求「的取值范围.3、已知关于的方程:是一元二次方程，求瞋的取值范围.4、若严gn是关于，的一元二次方程，求的值.5、若一元二次方程⑷2疋4如“5”"「1"的常数项为零，则抑的值为_________________板块二一元二次方程的解与解法•夯实基础例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，贝U 6a2-3a的值为（）A. 3B. -3C . 9D . -9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=3X 3=9 故选C .例2 (2011?哈尔滨)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解•则m的值是( )A. 6B. 5C. 2D. -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0 , 解得m=6 .故选A例3用直接开平方法解下列方程(1)匕―(2)〔厂卜济一耳川(3) 1 .：-(4)(5) i ' (6) x "例4先配方，再开平方解下列方程(1)I，一- (2)•：〕：：】一‘」(3)冷} 1 I .X4X--- —V » j ! * JZ〒(4) > (5)」* - - ' V (6) 1' 1例5用公式法解下列方程(1)J -」H (2)二［(3);'---八⑷：’、(5) ：'例6用因式分解法解下列方程(门密飞―色：工(2) 一上丨I' (3) “上 2 —1⑷：7 一.U；- 打丁一识•】’(5)、•「L-.- 1.’⑹ I；'：j佥-L冷亠ij =:--•能力提升例7 (2011?乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+|a|-仁0的一个根是0，则实数a的值为(A )A. -1B. 0C. 1D. -1 或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-仁0的一个根是0，则a值为C ）A. 1B. 0C. -1D. ± 1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0 （a^C有相同的根a,贝U需逐」16：丁方程孟“3«+1=0与盂珂口十（1=€ （a^c）有相同的很4同时籀足方程盟却曲料二时卡知e廿扛D （直丹八f □_a +aa+b=o ・CD・J^a^+ca+d=O，②由針②，得C a~?）（1+11-1=0T即（i-c）d二Va^cs/- sn c 去Oh,d-b-■ u—■3L=G播普秦気：穿.例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8B +6的值为(D）A. -1B. 2C. 22D. 30解普；方蚤5小刃解是J士捫，即心国隍方程的两个实数根，二①当圧1十岳！岸时9J杞附弘=（H<5）3+e（1-45）+乩=16+515+8-84^+6^=30 S②当Ml—岸1 +码时，庄呢嚴"-（i-<5）2+e （1*馮）+e=30.故迦.例11关于x的一元二次方程（m-2）xm A-2+2mx-仁0的根是工严旷-*網答二解：根振一元二衆方程的定咒，甬—[n^—1- 0 ln-2^0贝Ijfi 方程TU J 旷1丸， 即（2^+1） 51 説丄叫”㊁” 故答案対：XI =K2=-5 -例12解方程：'-隔讣心心例13解方程 孤了“珂忘虫© “:： •培优训练例14 （新思维）阅读下面的例题: 解方程:解：（1）当丄[时，原方程化为-1 , 解得（不合题意，舍去），（2）当：一"时，原方程化为•九-注曲 解得’；（不合题意，舍去），7 ••原方程的根是请参照疔十-"卜贝昉程的根是例16 （新思维）设x1、x2是方程1'的两个实数根，求代数式疔：込」的值.例17 （新思维）先请阅读材料：为解方程'"'，我们可以将•视为一个整体，然后设1，则：J L ,原方程化为』八卸忙⑩，解得’「，1.当. 时，，，得「二r 摂；当；I 时，「_〔-，，得• _"；2 = 0.例15解方程:x 242卜 + 2|-4=-0故原方程的解为I \ -\ < :7.在解方程的过程中，我们将厂用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做换元法”体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：(1)¥ _ ■- I ；(-X-=0(2)一二•例18已知关于x的方程汁卜沁一三二龙的一个解与方程…' 的解相同.(1)求k的值；(2)求方程「•曲1 -叮的另一个解.例19 (新思维)若x、y是实数，且—护-恥*吟-—5确定m的最小值.= 6例20 (新思维)已知x、y、z为实数，且满足•［则'的最小值为___________课后练习一、填空：1•一元二次方程的一般形式是__________________。