《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用

《一元二次方程》复习经典讲义

基础知识

1、一元二次方程

方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这

样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。

如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。

注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。

2.—元二次方程求根方法

(1)直接开平方法

形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。

(2)配方法

通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。

配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。

(3)公式法

求根公式：方程小* X 「的求根公式

_b 丄v b2-

4ac2ti

步骤:

1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。

2）计算式子卜In的值。

3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法

把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一兀二次方程根的判别式的定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当

护仏“时，才能直接开平方得:

也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.

4、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.

设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则

hbph' ■4tjcr

①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■

b

r V ——丫——…_ _

②方程' f'有两个相等的实数根•一.

③.匸方程农用沁没有实数根.

若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；

若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.

说明:

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过

来使用，当方程有

两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定

方程的根的情况（有两个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.

①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；

②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.

5、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问

题，最值问题.

6韦达定理

b

如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的

条件：•「「）

特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'

的两个根，贝U '-

7、韦达定理的逆定理

以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是

F -（x t ^x2）x^x l x2 -0

一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是

加亠脉V.U =比爭為的两个根.

8、韦达定理与根的符号关系

在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:

-<0 丄邸

⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负

-*<0

根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.

->0 --> o

⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正

--<0

根；若「，则此方程的两根均为负根.

更一般的结论是：

若，'■是煜。沁宀汨怜的两根（其中—），且沢为实数，当时, 般地：

①必一闸区-熄｝<■ Q C斗A脚E <握

②I 且i（；T E .

③^ r- I 且I囱 E ■r •："「.，；■ ■■

特殊地：当时，上述就转化为“『「有两异根、两正根、两负根的条件.

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根■（「'，则必有一根一「（卫，‘」为有理数）.

⑵若沁"，贝昉程心必有实数根.

⑶若…方程肿Ym 如心不一定有实数根.

⑷若a-^b^c-0，贝贝曲+肚+ "哄"0）必有一根龙=1 .

⑸若u —H，贝y + 必有一根* = -1 .

9、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；

⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；

⑶已知方程的两根，求作方程；

⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；