概率论：二维随机变量的函数的分布

( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
7
0.54
0.28
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立， 则 X + Y ~ P(1+ 2)
证明过程见73页例3.21
三、连续型随机变量函数的分布
问题 已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数， 求 Z= g( X ,Y ) 的密度函数. 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数 转化为( X ,Y )的事件
连续型随机变量函数的分布主要形式
(1) Z X Y 的分布
□
卷积计算思路
f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx


在xoz平面上确定被积函数及其非零区域D;
参照D就z在(-∞,+∞)上进行分段;
对上述各分段中取定的z值,就x从- ∞积分至 +∞,实际只需在非零区域D上一段积分. 注意：上述也是一般参量积分的计算方法。

x2 2
e
( z x)2 2
dx
1 e z 2 t x
2
z 2 z ( x ) 2 4 2
e
dx
1 e 2
z 2 t 2 4
e
dt
1 e 2 z 1 2( 2 ) e ( z ). 2 2
Fmin ( z ) 1 [1 FX1 ( z )][1 FX 2 ( z )][1 FX n ( z )]. 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且具有相同的 分布函数
F ( x) ,则
Fmax ( z ) [ F ( z )] , Fmin ( z ) 1 [1 F ( z )] .



f X ( x ) fY ( z x) d x f X f Y
记作
称之为函数 f X 与 f Y 的卷积
卷积公式
例3 设随机变量X,Y相互独立,且均服从标准正态 分布, 求Z=X+Y的概率分布. 〖解〗因为X,Y独立且其概率密度分别为
1 f X ( x) e ( x ), 3、x在(-∞,+∞)上积分; 2 1 fY ( y ) e 2


f ( z y, y ) d y.
fZ (z)
由于 X 与 Y 对称,

f ( x, z x ) d x.
记作

当X, Y独立时, f Z ( z )也可表示为
fZ ( z)
或

f X ( z y ) fY ( y ) d y f X fY
f Z ( z)
2 2
z2 4
所以Z~N(0,2).
说明
一般, 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1 , σ ),Y ~
2 N ( μ2 , σ 2 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布, 且有 2 2 Z ~ N ( μ1 μ2 , σ1 σ2 ).
2 1
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.


z y
f ( x, y) d x d y dy
z
•z z •
f (u y, y ) d u
z
z


fy (x ,u y.)dx f (u y, y )du y)d d f (u y,
z y
由此可得概率密度函数为
fZ (z)
故得
X+Y
-2
-1
0
1
2
P
X-Y
14 14
-1 0
1 6 1 4 1 12
1 2 3
P
14 14
18 14 18
XY
-2
-1
0
1
P
18
-1
1 6 11 24 1 4
-1/2 0 1
Y /X
P
16
1 8 11 24 1 4
结论
若二维离散型随机变量 的联合分布律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1, 2,,
f Z (z)
当 0 z 1时 ,


f X ( x ) fY ( z x )dx
暂时固定
故 当 z 0 或 z 2 时 , f Z z 0.
f Z z dx z 0
z
z x 1
当 1 z 2时 ,
z
2 z 1 z 11 O zz
为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布.
二、离散型随机变量函数的分布
设(X,Y)为二维离散型随机变量， 则函数
Z g( X , Y ) 是一维离散型随机变量．
若已知(X,Y)的分布律， 如何得到 Z g( X , Y ) 的分布律?
例1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
n
n
例
设系统 L 由两个相互独立的子系 统 L1 , L2
联接而成, 连接的方式分别为(i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 L1 损坏时, 系统 L2 开始工作), 如图所示.
600z 60z 2 z 3 15000
z z
10 z 20
10 x 10 z x f Z ( z) dx 50 50 z 10 1 2 ( 100 10 z zx x )dx 2500z 10
(20 z )3 15000
练习 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度
1, 0 x 1 f ( x) 0, 其它
求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式
fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx


1, 0 x 1, x z x 1 f X ( x ) fY ( z x ) 0, 其它
正态随机变量的结论（定理3.1）
2 2 X ~ N ( , ), Y ~ N ( , 若X ,Y 相互独立, 1 1 2 2)
则 X Y ~ N ( 1 2 , 12 22 ) 推广 若 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立 2 X i ~ N ( i , i ), i 1,2,, n 则
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j },
得
X 1 3
Y
2 0.18 0.42
4 0.12 0.28
X 1 3
Y
P
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
0.18 可得 0.12 0.42 0.28
计算卷积: 函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确 定后,x由-∞积分至+ ∞(只需在非零区域内一段上积 分).
0 z 10
10 x 10 z x f Z ( z) dx 50 50 0 1 2 ( 100 10 z zx x )dx 2500 0
10 10
z 0或z 20
因为
所以
f X ( x) fY ( z x) 0, f Z ( z) 0.
综上可得:
600z 60z 2 z 3 , 0 z 10, 15000 (20 z )3 f Z ( z) , 10 z 20, 15000 0 其它.
X i ~ N ( i ,
i 1 i 1 i 1
n
n
n
2 i
)
例4
设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：
求Z=X+Y概率密度。
10 t , 0 t 10, f (t ) 50 其它, 0,
〖 解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷
则随机变量函数 Z g( X ,Y ) 的分布律为
P{ Z z k } P{ g ( X ,Y ) z k }
pij , z g( x y )
k i j
k 1, 2,.
例 2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
10 ( z x) , 0 z x 10, fY ( z x) 50 0, 其它,
10 x , 0 x 10, f X ( x) 50 其它, 0,
故得:
10 x 10 ( z x) , 0 x 10, x z 10 x f X ( x) fY ( z x) 50 50 0, 其它,
Fmin ( z ) 1 [1 FX ( z )][1 FY ( z )].
推广
设 X 1 , X 2 ,, X n 是 n 个相互独立的随机变 量, 它们的分布函数分别为 FX i ( xi ) ( i 1, 2,, n)
则M max( X 1 , X 2 ,, X n )及N min( X 1 , X 2 ,, X n ) 的分布函数分别为 Fmax ( z ) FX1 ( z ) FX 2 ( z ) FX n ( z ),