成都石室中学高2019届三诊模拟考试-数学理科试题答案解析

l : y 2 2(x 1)(k 0) ，原点 O 到 l 的距离为 d 2 2 2 2 . 1 (2 2)2 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17－21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 将函数 f (x) sin(2x ) 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x) ，则 g(0) ______.
6
6
解析：将函数 f ( x) sin( 2x )的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g( x) sin( 2x ，) 故
可行域后可知，其最小值为可行域内点 P(x, y) 到直线 3x 4y 12 0 的距离的平方，故最小值为 144 . 25
15. 设 OA 是球 O 的半径，OM 2MA，过 M 且与 OA 成 30 角的平面截球 O 的表面得到圆 C ,若圆 C 的面
积等于16 ，则球心 O 与圆 C 形成的圆锥的体积等于
D． (2, )
【答案】D
【解析】已知双曲线的两条渐近线为
y


b a
x
，设
PB
:
y

b a
(
x

a)
，与另一条渐近线联立

y y

b a

(x bx a
a)
可
得 P( a , b) . 由 P 在以线段 AB 为直径的圆外，可得 PA PB 0 ，即 3 a 1 a 1 b 1 b 3 a2 1 b2 0 ，
7. 已知函数 y sin x 的图象与直线 x 0, x 以及 x 轴所围成的图形的面积为 a ，则 ( a x)4 的展开式中 x
x2 的系数是（ ）
A. 8
B. 4
C. 4
D. 8
解： a |
0
sin
xdx
||

cos
x
|0
2 ，故 ( a x)4 ( 2 x)4 ，其展开式的通项为
上方，P,Q 分别为圆 (x 1)2 y2 1 上的两个动点，当 4 AP BQ 最小时，原点 O 到 l 的距离为 _________．
4
【答案】 2 2 3
【解析】设直线 l : y k( x 1)(k 0)，先假设直线不动，要 4 AP BQ 最小，即 AP , BQ 分别取最小，
5. 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f (x) log2 (1 x) ，若 f (a2 1) 1，则实数 a
的取值范围是（ ）
A. ( 2,0) (0, 2)
B. ( 2, 2)
C. (1,0) (0,1)
D. (1,1)
解析：由已知得， f (x) 在 (, 0) 上单调递减，且 f (x) 是定义在 R 上的偶函数， f (1) f (1) 1，由
一名高三学生，其成绩不低于 115 分的概率是（ ）
A. 0.23
B. 0.27
C. 0.46
D. 0.54
解 析 ： 由 于 X N(105, 2 ) ， P(95 X 115) 0.54 ， 则 P(105 X 115) 0.27 ， 所 以
P(x 1 1 5 ) 0 . 5 0 . 2，7故选0A. 2 3
解 析 ： 令 F( x) x2 ax 0， 得 x2 ax ， 两 边 同 时 取 对 数 ， 得 ln x2 ln a ， 令 G(x) ln x2 ， 则
x
x
G(x)

2 ln x2 x2
，由 G(x)
0 ，得 x
e ，所以 G(x) 在 (, e) 和 (e, ) 上单调递减，在 (e, 0) 和
5
12. 若两个函数 f (x) x2 与 g(x) ax (a 0, a 1) 的图象只有一个交点，则实数 a 的取值范围是（ ）
2 2
A. (e e , ee )
2
B. (0, e e )
2
2
C. (0, e e ) (ee , )
2
2
D. (e e ,1) (1, ee )
x
x
Tr 1

C4r
(
2 x
)4r
(
x)r
(1)r 24r C4r x2r4 ，令 2r 4 2 ，得 r
3，所以 x2 的系数为 (1)3 243C43
8 ，
所以选项 A 正确，故选 A .
8. 在直棱柱 ABC A1B1C1 中，底面 ABC 为等边三角形，侧棱长 AA1 2AB ，M 、N 分别为棱 AB 、AC 的中点，则 A1M 与 C1N 所成角的余弦值为（ ）
石室中学高 2019 届 2018~2019 学年三诊模拟考试 数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.
设 i 是虚数单位，若 z
i 2018 i2019
1
，则复数
z
的虚部是（
）
A. 1
B. 1
1
C.
2
D. 1 2
A．[ 5,5)
B．[2,5 5 3) C． (5,5 5)
D． ( 3, 2)
【解析】圆 C 的方程可化为 (x 1)2 ( y 1)2 25 ，圆心 C(1,1) ，半径为 r 5 ，设圆心 C 到直线 l 的距
离为 d ，则| MN | 2 25 d 2 ，| CM CN | 4d ，由 2 25 d 2 4d 可得 d 5 ；因直线 l 与圆 C 相 交于不同两点 M , N ，则 d r 5 ， 5 | 3 m | 5 ， m 0 ，m[2,5 5 3) ，故选择 B.
22
22 22 4 4
b2
3 ，e
a2
1

b2 a2
2 ，故选择 D．
11．已知直线 l : y 2 x m( m 0)与圆 C : x2 y2 2x 2y 23 0, 直线 l 与圆 C 相交于不同两点
M , N ，若 MN 2 CM CN ，则 m 的取值范围是（ ）
17. （本小题满分 12 分）
如图， ABC 中， B ， D 是边 BC 上一点， AC 2 4
（Ⅰ）若 BAD 90 ， BD 2，求 sin BAC ；
（Ⅱ）若 BD 3CD ，求 ACD 面积的最大值.
解：（Ⅰ）由题意知， ADC 3 ， AD 2 ， 4
f (a2 1) 1，可得| a2 1| 1，即 a ( 2, 0) (0, 2) .
1
6. 若正实数 a,b 满足 a b ，且 ln a ln b 0 ，则（ ）
A. 1 1 ab
B. a b 1
C. ab 1 a b
D. lg a lg b 0
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A. 31 34
31
B.
34
195
C.
34
D. 195 34
解：如图，平移 C1N 到 A1D , MA1D 为所求角，设 AA1 2AB 4 ,则
AM AD 1 DM
3, DA1 MA1
17, cos 17 2 3 31 ； 2 17 17 34
1 1 64
2
10．已知 A, B 为双曲线
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b 0) 的左右顶点，过右顶点 B 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交双曲线另一条渐近线于点 P ，若点 P 在以线段 AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． (1, 2)
B． (1, 3)
C． ( 3, )
AP AF 1 ， min
BQ BF 1 min
，
(4 AP BQ )min 4 AF BF 5
,
由
1 1 1 ， 即 AF BF
4 AF BF 5 (4 AF BF )( 1 1 ) 5 2 当且仅当 BF 2 AF 时取最小，即斜率为 k 2 2 ，此时 AF BF
解析：由已知得， a b 1或 0 b a 1，因此必有 1 1 , a2 b2 ，所以选项 A, B 错误；又 ab 1 或 ab
0 ab 1，因此 lg a lgb lg(ab) 0 或 lg(ab) 0 ，所以选项 D 错误；而
ab 1 (a b) (a 1)(b 1) 0 ，所以选项 C 正确，故选 C .
解析：
z

i 2018 i2019 1

i50442 i50443 1

i2 i3 1

1 i 1


1 2

1 2
i
，所以复数
z
的虚部是

1 2
，故选
D
.
2.
已知集合 A {x | x 3}, B {x | log 4 x
1} ，则（ 2
）
A. A B
B. (CU A) B R
6
6
6
g(0) 1 . 2
x 0
14．已知
M
(8,
0),
N(0,
6)
，若点
P(x,
y)
满足约束条件

y

0
，则 MP NP 25 的最小值为
3x 4 y 12 0
__________.
解析： MP NP 25 (x 8, y) (x, y 6) 25 x2 8x y2 6y 25 (x 4)2 ( y 3)2 ，作出
9.
已知各项为正数的数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn
an
2, 1且

0,
若
a6
,
1 2
a5
,
2a4
成等差数
列，则{ 1 }的前 6 项和为（ ） an
A. 126
B. 254
63
C.
64
31
D.
32
解析：由题知 n
2, Sn1

an1
1, 相减得
an an1
由正弦定理得 AD AC ……………………………………………2 分 sin C sin ADC
．
解 ： 设 OC h, OMC 30 , OM 2h,OA 3h, 延 长 MC 交 圆 C 于 B , 在 RT OBC 中 ，
BC 2 2h 4 h 2 ， S 42 2 16 2 ;
3
3
16．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 且斜率大于 0 的动直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，B 在 x 轴
3
(0,
e)
上单调递增，又
G(e)

2
, G(e)


2
，此时
a
分别为
2
ee
和
2
ee
，当
x

e
时，
G(x)
单调递减且
e
e
2
2
G(x) 0；当 x e 时，G(x) 单调递减且 G(x) 0 ，作出函数图象如下，所以当 a ee 或 0 a e e 时，
函数 f (x) x2 a2 (a 0, a 1) 有唯一零点，故选 C .


1
,
所以
an
为等比数列，设公比为 q 因为 a6
2a4

a5 ，
2
所以 q2
q 2 0，q
2或q

1（舍），所以
2, 1

2 ，令 n
1 ，则 a1
2a1 2, a1
2
，所以
{ 1 }的前 6
项和为
1 2
(1
1 26
)

63
，选
C.
an
C. A B B
D. A B B
解析：由题可知 B {x | 0 x 2} ，所以 B A ，从而 A B B ，故选 C . 3. 已知两个非零单位向量 e1, e2 的夹角为 ，则下列结论不．正．确．的是（ ）
A. e1 在 e2 方向上的投影为 cos C. [0, ], (e1 e2 ) (e1 e2 ) 0
2
2
B. e1 e2
D. [0, ] ，使 e1 e2 2
解析： e1 e2 | e1 | | e2 | cos cos 1，故选 D .
4. 经统计，成都市高三二诊理科数学成绩 X N(105, 2 ) ，且 P(95 X 115) 0.54 ，则从成都市任选