《离散数学》第6章 图的基本概念

一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。 有向图 D V , E E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
无向图G V , E 图 有向图D V , E
(注意方向)
2、短程线，距离。
短程线——连通或可达的两点间长度最短的
通路。
距离——短程线的长度， 记
d (Vi ,V j )
d Vi , V j
无向图 有向图
若 vi , v j 之间无通路(或不可达)，规定
d (vi , v j ) d vi , v j
距离 d vi , v j 满足：
图，称 E ' 的导出子图。
例3、
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
上图中，(1)－(6)都是(1)的子图， 其中(2)－(6)为真子图，(1)－(5)为生成子图。
2、补图定义。 设 G V , E 为无向完全图， 1 V , E1 ， G
G2 V , E2 为无向简单图，其中 E1 E2 ，
简单回路，则从vi 到自身存在长度小于等于 n
的初级回路。
由以上定理可知，在 n 阶图中，
任何一条初级通路的长度 n 1 任何一条初级回路的长度 n
二、图的连通性。 1、连通，可达。 无向图中，从 vi 到 v j 存在通路，称 vi 到 v j 是 连通的(双向)。 有向图中，从 vi 到 v j 存在通路，称 vi 可达 v j 。
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
…………
长度3 初级回路(圈)
长度4 初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7 复杂回路
5、图中最短的回路。 如图：
6、性质。 在一个 n 阶图中，若从顶点 vi 到 v j存在 定理3：
通路 (vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
G （2）已知图 中有11条边，有1个4度顶点，4个 3度顶点，其余顶点的度数均小于等于2，问中 G 至少有几个顶点？
三、子图，补图。 1、子图定义： 设 G V , E ， ' V ', E ' G 是两个图，若 V ' V ，且 E ' E ，则称 G ' 是 G 的子图，G 是 G ' 的母图，记作 G ' G 。 真子图—— G ' G且 G ' G (即V ' V 或
(7)
f
(5)
b
(6)
d
v3
例5、(1) 画出4个顶点，3条边的所有非同构 的无向简单图。 解：只有如下3个图：
(1.1)
(1.2)
(1.3)
例5、(2) 画出3个顶点，2条边的所有非同构 的有向简单图。 解：只有如下4个图：
第二节 通路，回路，图的连通性 内容：图的通路，回路，连通性，点割集，边割集。 重点：1、通路，回路，简单通路，回路， 初级通路，回路的定义， 2、图的连通性的概念， 3、短程线，距离的概念。
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
长度3 初级通路
长度6 简单通路 长度6 复杂通路
(2)
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
n 1的通路。
推论：在一个 n 阶图中，若从顶点 vi 到 v j存在 通路 (vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
在一个 n 阶图中，若 vi 到自身存在回路， 定理4：
则从 vi 到自身存在长度小于等于 n 的回路。
推论： 在一个 n 阶图中，若 vi 到自身存在一个
v1 e1 v2
e3 e6
v5
e1与 v1 , v2 关联的次数均为1，
e2 与 v2 关联的次数为2， e2
边 e1 , e4 , e5 , e6 都是相邻的，
e4
e5 v3
v4
v5 为孤立点， 4 为悬挂点， v
e e6 为悬挂边，e2 为环， 4 , e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
4、完全图
E1 E2 E，则称 G1 ， 2 相对于 G 互为补图， G
记 G1 G2 ， 2 G1 。 G
如例3中，
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
四、图的同构。
定义： 设两个无向图 G1 V1 , E1 ， 2 V2 , E2 ， G
若存在双射函数 :V1 V2 ，使得对于任意的
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
都是连通的。
G为非连通图—— G 中至少有两点不连通。
设 G 是一个无向图，R 是 G 中顶点之间的连通 关系，则 R 是等价关系。 设 R 将 V (G )划分成 k (k 1) 个等价类：
V1 ,V2 ,,Vk ，由它们导出的子图 G V1 , G V2 ,
, G Vk 称为 G的连通分支，其个数记为p(G )
i 1 i
n
推论： 任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设 D V , E 为有向图，
V v1, v1,, vn ，E m ，则
d (vi ) d (vi ) m 。
i 1 i 1 n n
例2（1）（2，3，4，5，6，7），（1，2， 2，3，4）能否构成无向图的度数序列？为 什么？如能则画出图解
设 V v1, v1,, vn 为图 G 的顶点集，称
d (v1 ), d (v2 ),, d (vn ) 为G 的度数序列。
2、握手定理。 定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1, v1,, vn ，E m ( m为边数)，
则
d (v ) 2 m
4、有向图的连通。
强连通—— D 中任一对顶点都互相可达
(双向) 连通 单向连通 —— D 中任一对顶点至少一 向可达
弱连通 ——略去D 中有向边的方向后
得到的无向图连通 强连通 单向连通 弱连通
例2、
强连通
单向连通
单向连通
弱连通
非连通图
三、点割集，边割集。
G 1、设无向图 G V , E 是连通图，若有顶点集 V ' V ，使 删除 V V V ' （将 中顶点及其关联的边都删除）后，所得子图 G 是不连 V 通的或是平凡图；而删除 中的任何真子集 后，所得子图是 V '' G G V 连通的，则称 是 的点割集．若点割集中只有一个顶点，则 V 称该点为割点．
E (v1, v2 ),(v2 , v2 ),(v2 , v3 ),(v1, v3 ),(v1, v3 ),(v1, v4 )
图形表示如右：
v1 e1
e6
v5
e2
v2
e3
e4
e5 v3
v4
例1、(2) 有向图 D V , E ， v1, v2 , v3 , v4 , v5 V
E v1 , v2 , v3 , v2 , v3 , v2 , v3 , v4 , v2 , v4 , v4 , v5 , v5 , v4 , v5 , v5
时， 为回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。
4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。
Baidu Nhomakorabea
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义， 2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念，
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
4、简单图，完全图，子图， 补图的概念， 5、图的同构的定义。
图形表示如右：

3、相关概念。
(1) 有限图—— V , E都是有限集的图。
n 阶图—— V n 的图。
零图—— E 的图。特别，若又有 V 1 ，
称平凡图。
(2) 关联 (边与点关系)——设边 ek (vi , v j ) (或
vi , v j )，则称 ek 与 vi (或 v j )关联。
V 记为V (G ), E记为E (G ) V 记为V ( D), E记为E ( D)
2、图的表示法。
有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a, b)
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a, b ——以 a 为始点，以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V , E ， v1, v2 , v3 , v4 , v5 V
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中，
设 G V , E 为 n 阶无向简单图，若G 中每个
顶点都与其余 n 1 个顶点相邻，则称G为n 阶
无向完全图，记作 K n 。
若有向图 D 的任一对顶点 u, v(u v)，既有有向
边 u, v 又有有向边 v, u ，则称D 为有向完全图。
例如：
K4
K5
二、顶点的度数，握手定理。 1、顶点的度数 (简称度)。 无向图 G V , E ， i 的度数记 d (vi ) ，指与 vi v 相关联的边的条数。 有向图 G V , E ， i 的度数 v
d (vi ) d (vi ) d (vi )
如例1的(2)中，
d (v2 ) d (v2 ) d (v2 )
1 3 4
d (v1 ) d (v1 ) d (v1 )
1 0 1
d (v5 ) d (v5 ) d (v5 ) 2 2 4


(1) d vi , v j 0 ，i v j 时，等号成立。 v (2) d vi , v j d v j , vk d vi , vk
d 若是无向图，还具有对称性， (vi , v j ) d (v j , vi ) 。
3、无向图的连通。
G 为连通图—— G 是平凡图，或 G 中任两点
e (vi , v j ) E1 ，当且仅当e ' (vi ), (v j ) E2
并且 e 与 e ' 重数相同，则称 G1与 G2 同构， 记作 G1 ≌ G2 。
例4、
b
(1) (2)
a d c (3) e c
e
v1
v4 v5 v2
(4)
v3
a
v1 v2 v6 v5 v4
一、通路，回路。
—— G 中顶点和边的交替序列
1、通路 (回路)
v0e1v1e2 el vl ，其中 ei (vi 1 , vi )(无向图)，
或 ei vi 1 , vi (有向图)， 0 ——始点， v
vl ——终点，称 为 v0 到 vl 的通路。当 v0 vl
图论简介 图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏 难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当 广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、 网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社 会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工 具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学 的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大， 同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第 六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的 基础内容。