《离散数学》第6章 图的基本概念

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离散数学 图论-图的基本概念20页PPT

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离散数学 图论-图的基本概念
51、山Байду номын сангаас日夕佳,飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣,泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿,帝乡不可期。 54、雄发指危冠,猛气冲长缨。 55、土地平旷,屋舍俨然,有良田美 池桑竹 之属, 阡陌交 通,鸡 犬相闻 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大,也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。——韩愈
23、一切节省,归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰,决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动,是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢!

离散数学--6.1图的基本概念

离散数学--6.1图的基本概念

与vi 的关联次数为2; 若vi不是边e的端点, 则称e与vi 的关联
次数为0. 设vi,vjV, ek,elE, 若(vi,vj)E, 则称vi,vj相邻; 若ek,el有一个 公共端点, 则称ek,el相邻. 对有向图有类似定义. 设ek=vi,vj是有向图的一条边, 又称 vi是ek的始点, vj是ek的终点, vi邻接到vj, vj邻接于vi
第6章 图
• 6.1 图的基本概念 • 6.2 图的连通性
• 6.3 图的矩阵表示
• 6.4 几种特殊的图
1
6.1 图的基本概念
• 6.1.1 无向图与有向图 • 6.1.2 顶点的度数与握手定理 • 6.1.3 简单图、完全图、正则图、圈图、 轮图、方体图 • 6.1.4 子图、补图 • 6.1.5 图的同构
d e7 c
8
e1 a e4 e6 e2 b e5
e3
握手定理
定理6.1 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍. 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度. 推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点 定理6.2 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1G=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为 无向边,简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E 例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}

应用离散数学有向图

应用离散数学有向图
1 0 0 0 A 2 0 1 0
1 0 0 1 1 0 1 0
6.1有向图概述
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令 ={
称(pij)n n为D地可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上地元素全为1. D强连通当且仅当P(D)地元素全为1.
性质:
(1)
a n (1)
j1 ij
d (vi ),
i 1,2,..., n
(2)
a n (1)
i1 ij
d (v j ),
j 1,2,..., n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为
1 的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为
1 的回路数
6.1有向图概述
有向图地邻接矩阵 例:
6.2 最短路径
Dijkstra算法步骤: 1,初始化阶段,设置辅助数组Dist,其中每个分量Dist[k] 表 示当前所求得地从源点到其余各顶点 k 地最短路径。 除了起点A外,所有节点地距离Dist设置为无穷大。 一般情况下,Dist[k] = <源点到顶点 k 地边上地权值>
或者 = <源点到其它顶点地路径长度> + <其它顶点到顶点 k 地边上地权值>。 2,更新邻居地距离。
(3) 1地总个数等于-1地总个数, 且都等于m
(4) 平行边对应地列相同
6.1有向图概述
有向图地邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …,
em},

《离散数学》图基本概念

《离散数学》图基本概念

17
无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中,环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中,环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中,若从顶点vi到vj(vivj)存在通路,则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0,1,2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明: Kn无点割集(完全图) n阶零图既无点割集,也无边割集. 若G连通,E为边割集,则p(GE)=2 若G连通,V为点割集,则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV,u可达v 或v可达u D强连通: u,vV,u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)(对称性) d(u,v)+d(v,w)d(u,w) (三角不等式)

离散数学平面图

离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即:6-9+r=2,解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点,至少有两个点不邻接, 所以不能组成一个面,即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成,即:所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知:deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画,K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,若v3, 则:e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6,则G不是连通平面图。
例题:证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件,但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1:设G=<V,E>是一个无向图,如果能把G的所有结点和
边画在平面上,且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点, 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边,再添加一条边,只有下述两种情况:
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1:证明K3,3不是平面图
证:假设K3,3是平面图,

离散数学图论-图的基本概念

离散数学图论-图的基本概念
构的,记作Gl ≅ G2。
对有向图有相同的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间,如果存在着一一对应关系 f
这种对应关系又保持了结点间的邻接关系,
那么这两个图就是同构的
在有向图的情况下, f 不但应该保持结点间的邻接关系,还应
该保持边的方向。
结点数相同边数相同
结点的度相同
但是两个图
不同构
(1) V ≠ ø 称为顶点集,其元素称为顶点或结点.
(2)E为边集,它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集,其元
素称为有向边,简称边(弧).
有向图D=<V,E> 其中 V={v1,v2,v3 }
边集合E={<v1,v2>,<v2,v1>,
<v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>}
(与前面的关系的图表示相当)

条件:奇度数的结点个数应该是偶数个
(2)序列的可图化:对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶
点的n阶无向图G,有d(vi)=di ,称该序列是可图化的。
特别的,如果得到的是简单图,称该序列是可简单图化的。
(3)定理 设非负整数列d=(d1,d2,…,dn),则d是可图化的当且
仅当
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图,若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相
邻,则称G为n阶无向完全图,简称n阶完全图,记作Kn(n≥1).
设D为n阶有向简单图,若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶
点,又邻接于其余的 n—1个顶点,则称D是 n 阶有向完全图.
可画图表示(无向图5阶、有向图3阶和4阶)
子图、生成子

离散数学中的图论基础知识讲解

离散数学中的图论基础知识讲解

离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支,研究的是图的性质和图中的关系。

图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。

本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。

一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。

顶点表示图中的元素,边表示元素之间的关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

1. 无向图:无向图中的边没有方向,表示的是两个顶点之间的无序关系。

如果两个顶点之间存在一条边,那么它们之间是相邻的。

无向图可以用一个集合V表示顶点的集合,用一个集合E表示边的集合。

2. 有向图:有向图中的边有方向,表示的是两个顶点之间的有序关系。

如果从顶点A到顶点B存在一条有向边,那么A指向B。

有向图可以用一个集合V表示顶点的集合,用一个集合E表示有向边的集合。

二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示,常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。

1. 邻接矩阵:邻接矩阵是一个二维数组,其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

如果顶点i和顶点j之间存在边,那么矩阵的第i行第j列的元素为1;否则为0。

邻接矩阵适用于表示稠密图,但对于稀疏图来说,会造成空间浪费。

2. 邻接表:邻接表是一种链表的数据结构,用来表示图中的顶点和边。

每个顶点对应一个链表,链表中存储与该顶点相邻的顶点。

邻接表适用于表示稀疏图,节省了存储空间。

三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。

常见的图的遍历算法有深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)。

1. 深度优先搜索:深度优先搜索是一种递归的搜索算法。

从某个顶点出发,首先访问该顶点,然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点,直到所有的顶点都被访问过。

2. 广度优先搜索:广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。

从某个顶点出发,首先访问该顶点,然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点,再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点,直到所有的顶点都被访问过。

离散数学微课版第六章课后答案

离散数学微课版第六章课后答案

离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程,它涉及数学中的许多基本概念,如逻辑、集合、函数和图论。

离散数学微课版第六章的主要内容是图论,图论是离散数学的重要组成部分。

本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。

图的基本概念是指图的元素,它由顶点和边组成。

顶点是图中的一个点,它可以是一个实体或一个抽象的概念,而边是两个顶点之间的关系。

图的结构是指图中顶点和边之间的关系,它可以是连通的、无向的或有向的。

连通的图中,任意两个顶点都有一条路径可以相连;无向图中,边的两个顶点之间没有方向性;有向图中,边的两个顶点之间有方向性。

图的表示方法有多种,其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维矩阵,它用来表示图中顶点之间的关系,如果顶点u和v之间有边,那么矩阵中的对应元素为1,否则为0;而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系,它将每个顶点与其相邻顶点列出来,以此来表示图中的边。

离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案,其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。

答案可以帮助学生更好地理解图论的概念,并能够熟练地使用图的表示方法。

本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论,并能够熟练地使用图的表示方法。

首先,学生需要了解图的基本概念,包括顶点和边,并能够识别连通图、无向图和有向图;其次,学生需要了解图的表示方法,包括邻接矩阵和邻接表,并能够熟练地使用它们。

离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于,它可以帮助学生更好地理解图论,并能够熟练地使用图的表示方法。

此外,它还可以帮助学生更好地学习离散数学,掌握离散数学中的重要概念和方法,从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。

离散数学中的图论代表知识点介绍

离散数学中的图论代表知识点介绍

离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支,它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。

图论作为离散数学的重要组成部分,以图为研究对象,研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。

本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。

1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构,用V表示顶点集合,E表示边集合。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边是有方向的,而无向图中的边是无方向的。

图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...},边可以表示为E={(vi, vj)}。

在图中,两个顶点之间有边相连时,称这两个顶点是相邻的。

2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。

常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵是一个二维数组,其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。

邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构,每个顶点都对应一个链表,链表中存储着与该顶点相邻的顶点。

3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。

其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。

连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。

如果图中任意两个顶点都存在路径相连,则图被称为连通图。

反之,如果存在无法通过路径相连的顶点对,则图为非连通图。

连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。

路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。

路径的长度是指路径上边的数量。

最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。

回路是指路径起点和终点相同的路径。

如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现,则称为简单回路。

度数是指图中顶点的边的数量。

对于有向图来说,度数分为入度和出度,分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。

树是一种无回路的连通图,它具有n个顶点和n-1条边。

树是图论中一个重要的概念,它有广泛的应用。

连通分量是指图中的极大连通子图,即在该子图中的任意两个顶点都是连通的,且该子图不能再加入其他顶点使其连通。

离散数学图论基本概念解释

离散数学图论基本概念解释

离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支,而图论则是离散数学的一个重要分支,用于研究图结构以及图中各种相关问题。

本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。

一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

图可以用G=(V, E)来表示,其中V表示顶点集合,E表示边的集合。

顶点之间的连接关系用边来表示,边有可能是有向的或无向的。

二、图的分类1. 无向图:图中的边没有方向,表示顶点之间的无序关系。

无向图可以是简单图(没有自环和重复边)或多重图(包含自环和多条重复边)。

2. 有向图:图中的边有方向,表示顶点之间的有序关系。

有向图也可以是简单图或多重图。

3. 加权图:顶点之间的边带有权重,用于表示边的强度或成本。

加权图可以是无向图或有向图。

三、图的常用术语1. 顶点的度:无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。

在有向图中,顶点的度分为出度和入度,分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。

2. 路径:在图中,路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。

路径的长度是指路径中经过的边的数目。

3. 连通图:如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连,则称该图为连通图。

如果图非连通,则称为非连通图。

4. 完全图:如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连,则称该图为完全图。

完全图有边n(n-1)/2条,其中n表示顶点的数量。

四、图的表示方法1. 邻接矩阵:邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。

矩阵的行和列分别表示顶点,矩阵中的元素表示相应的边。

如果两个顶点之间存在边,就用1表示;否则,用0表示。

2. 邻接表:邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。

每个顶点都对应一个链表,链表中存储与该顶点相连的其他顶点。

五、图的遍历算法1. 深度优先搜索(DFS):DFS是一种用于遍历图的算法,它从一个初始顶点开始,沿着一条路径一直走到底,然后回溯到上一个顶点,再继续沿另一条路径走到底。

图论—基本概念离散数学

图论—基本概念离散数学

离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
定理5.1.1
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图, 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn},则
离 散 数 学
de g (v ) de g (v ) m
i 1 i i 1 i
n
n
• 证明:因为每一条有向边提供一个出度 和入度, • 而所有各顶点出度之和及入度之和均由 m条有向边所提供, • 所以定理得证。
40
35
80
70
37
10
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
图的邻接矩阵
• 设图G=(V,E),V={v1,v2,· · · ,vn}, 令
离 散 数 学
1 (vi , v j ) E (G ) aij { 0 (vi , v j ) E (G )
• 则称矩阵A=(aij)n×n为图G的邻接 矩阵。
e4
e2
v4
e5 e3
e4
v3
v3
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
图的操作-删点
v1 e1 v2 v2
离 散 数 学
e2
v4
e5 e3
e4 v4
e5 e3
e4
离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
图-基本概念6
• 如果把一个有向图D的每条有向边的方 向去掉,由此而得到无向图G,称为D的 底图 • 把一个有向图D的每一条有向边反向, 由此而得到的图称为D的逆图,记为~D。 • ~(~D)=D
离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
离 散 数 学

图论的基本概念及其应用

图论的基本概念及其应用

图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支,研究的是图的性质和图之间的关系。

图由节点和连接节点的边组成,以解决现实生活中的许多问题。

本文将介绍图论的基本概念,并探讨它在不同领域中的应用。

一、图的基本概念1. 节点和边图由节点(顶点)和边组成,节点代表某个实体或概念,边表示节点之间的关系。

节点和边可以有不同的属性,如权重、方向等。

2. 有向图和无向图有向图中,边有固定的方向,表示节点之间的单向关系;无向图中,边没有方向,节点之间的关系是相互的。

3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径;非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。

4. 网络流每条边上有一个容量限制,网络流通过边传输,满足容量限制的条件下尽可能多地进行。

二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法,可以计算出两个节点之间的最短路径。

最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。

2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。

在通信网络、电力输送等领域中,最小生成树被广泛应用。

3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。

例如,在医疗资源调度中,网络流算法可以帮助医院优化资源分配。

三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示,节点代表个体,边表示个体之间的联系。

利用图论分析社交网络,可以发现用户群体、影响力传播等信息。

2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性,衡量指标包括度中心性、接近中心性等。

中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。

3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体,进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。

四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示,通过图论算法优化物流路径,提高物流效率。

2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法,可以找到最佳的仓库位置,使物流成本最小化。

(离散数学)图的基本概念

(离散数学)图的基本概念
2014-5-3 离散数学 4
一、基本图类与相关概念(续)
无向图:无向图G是一个二元组<V, E>,其中 (1) V是一个非空集合,称为顶点集V(G), V中元素称为顶点或结点; (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现),称为边集E(G),
E中元素称为无向边,简称边。
2014-5-3 离散数学 5
2014-5-3
离散数学
7
一、基本图类与相关概念(续)
有向图画法:用小圆圈表示V中顶点,若<a, b>E,
则在顶点a与b之间画一条有向边,其箭头从a指向b。
如:D = <V, E>,V = { v1, v2, v3, v4 },E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
6
3
v1
2014-5-3
e1
v2
5
e
4
v3
6
离散数学
一、基本图类与相关概念(续)
2、有向图
有向图:有向图D是一个二元组<V, E>,其中 (1) V是一个非空集合,称为顶点集V(D); (2) E是笛卡尔积V V的多重子集,称为边集 E(D),E中元素称为有向边,也简称边。
一、基本图类与相关概念(续)
实际上,图是画出来的。画法:用小圆圈表示V中
顶点,若(a, b)E,则在顶点a与b之间连线段。
如:G = <V, E>,V = { v1, v2, v3, v4 }, E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }

离散数学中的图论与组合数学

离散数学中的图论与组合数学

离散数学中的图论与组合数学离散数学是数学的一个分支领域,研究离散化的结构和对象,而图论和组合数学则是离散数学中的两个重要分支。

本文将探讨图论和组合数学的基本概念和应用。

一、图论图论是研究图及其性质和应用的数学分支。

图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。

具体来说,图由顶点的集合和边的集合构成,顶点间的边表示了它们之间的关系。

1.1 图的基本概念在图论中,我们经常会遇到以下几个基本概念:顶点:图中的一个节点或一个元素,用于表示一个实体或一个抽象的对象。

边:连接顶点的线段,表示顶点之间的关系。

路径:由边连续连接的顶点序列。

回路:起点和终点相同的路径。

距离:两个顶点间的路径长度。

连通性:图中任意两个顶点之间存在路径。

1.2 图的应用图论在现实生活和计算机科学中都有广泛的应用,其中一些重要的应用包括:网络分析:图论可用于分析社交网络、互联网和公共交通网络等复杂的网络结构。

电路设计:图论可以帮助设计电路和优化电路的布局。

路线规划:图论可应用于解决最短路径和旅行商问题等。

二、组合数学组合数学是一门研究离散结构的数学分支,主要研究离散对象的计数、排列、组合和选择等问题。

它涉及到排列组合、图论、图表以及递归等数学技术。

2.1 排列与组合排列是从给定对象中选取若干个并按照特定顺序排列的方式,而组合则是从给定对象中选取若干个但不考虑顺序的方式。

排列与组合的计数问题在实际应用中经常出现,比如:从n个数中选取m个不同的数,有多少种选择方式?从n个人中选取m个人组成一个团队,有多少种不同的团队组合方式?2.2 图论与组合数学的联系图论和组合数学有着紧密的联系,它们互相补充和借鉴。

图的着色问题是图论和组合数学中的一个重要问题。

着色问题可以简单地理解为如何用有限数量的颜色为图中的每个顶点染色,使得相邻的顶点颜色不同。

另一个联系是组合数学中的波利亚定理,它可以用于计算图的数量。

波利亚定理告诉我们,一个n个顶点的图中存在多少个不同的子图。

工科离散数学第二版牛连强第六章

工科离散数学第二版牛连强第六章

工科离散数学第二版牛连强第六章《工科离散数学第二版》是牛连强教授所著的一本离散数学教材,第六章的内容是图论的应用。

首先,让我们简单介绍一下图论的应用这一章的主要内容。

在这一章中,牛连强教授将带领读者深入了解图论在实际问题中的应用,如最短路算法、网络流问题、图的着色理论等。

这些内容不仅可以帮助读者更好地理解图论的基本概念,还能培养读者运用图论解决实际问题的能力。

接下来,让我们分析一下这一章的重点和难点。

图论的应用涉及许多实际问题的解决,如网络优化、交通规划等,这些问题的解决需要深入理解图论的基本概念和算法,同时也需要一定的数学和计算机知识。

因此,本章的重点是掌握图论的基本概念和算法,难点则是如何将图论应用于实际问题,如何设计有效的算法来解决这些问题。

为了帮助读者更好地掌握这一章的内容,我们可以提供一些学习建议和技巧。

首先,建议读者仔细阅读牛连强教授的讲解视频和相关资料,了解图论的基本概念和算法。

其次,可以通过习题练习加深对图论的理解,特别是对于一些实际问题,需要尝试运用图论的方法来解决。

最后,可以通过实际应用案例来加深对图论应用的理解。

针对第六章图论的应用这一章,我们可以给出一些学习建议。

首先,需要掌握图论的基本概念和算法,如节点、边、路径、图、欧拉图等。

其次,需要理解如何运用图论的方法解决实际问题,如最短路算法、网络流问题等。

此外,还需要尝试将所学知识应用于实际问题的解决中,不断探索和总结经验。

总之,《工科离散数学第二版》中的第六章图论的应用是非常重要的一部分内容。

通过认真学习这一章的内容,读者不仅可以加深对图论的理解,还可以培养运用图论解决实际问题的能力。

在学习的过程中,建议读者注重理解基本概念和算法,并通过习题练习和实际应用案例来加深对图论应用的理解。

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E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
导出子图 ——非空 V ' V ,以 V ' 为顶点集, 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图,称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ,以 E ' 为边集,以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
点的相邻——两点间有边,称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点,称此两边相邻
孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合,称此边 为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点,所
对应的边叫悬挂边。
(3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边 称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。
简单图——不含平行边和环的图。
如例1的(1)中,
第六章 图的基本概念 第一节 无向图及有向图
内容:有向图,无向图的基本概念。
重点:1、有向图,无向图的定义, 2、图中顶点,边,关联与相邻,顶点 度数等基本概念,
3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论,
i 1 i
n
4、简单图,完全图,子图, 补图的概念, 5、图的同构的定义。
一、图的概念。 1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E E V & V , E 中元素为无向边,简称边。 有向图 D V , E E V V , E 中元素为有向边,简称边。
无向图G V , E 图 有向图D V , E
(注意方向)
2、短程线,距离。
短程线——连通或可达的两点间长度最短的
通路。
距离——短程线的长度, 记
d (Vi ,V j )
d Vi , V j
无向图 有向图
若 vi , v j 之间无通路(或不可达),规定
d (vi , v j ) d vi , v j
距离 d vi , v j 满足:
图论简介 图论是一个古老的数学分支,它起源于游戏 难题的研究。图论的内容十分丰富,应用得相当 广泛,许多学科,诸如运筹学、信息论、控制论、 网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社 会科学、语言学、计算机科学等,都以图作为工 具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学 的发展,图论在以上各学科中的作用越来越大, 同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第 六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的 基础内容。
E1 E2 E,则称 G1 , 2 相对于 G 互为补图, G
记 G1 G2 , 2 G1 。 G
如例3中,(5)
(6)
四、图的同构。
定义: 设两个无向图 G1 V1 , E1 , 2 V2 , E2 , G
若存在双射函数 :V1 V2 ,使得对于任意的
E (v1, v2 ),(v2 , v2 ),(v2 , v3 ),(v1, v3 ),(v1, v3 ),(v1, v4 )
图形表示如右:
v1 e1
e6
v5
e2
v2
e3
e4
e5 v3
v4
例1、(2) 有向图 D V , E , v1, v2 , v3 , v4 , v5 V
E v1 , v2 , v3 , v2 , v3 , v2 , v3 , v4 , v2 , v4 , v4 , v5 , v5 , v4 , v5 , v5
G (2)已知图 中有11条边,有1个4度顶点,4个 3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问中 G 至少有几个顶点?
三、子图,补图。 1、子图定义: 设 G V , E , ' V ', E ' G 是两个图,若 V ' V ,且 E ' E ,则称 G ' 是 G 的子图,G 是 G ' 的母图,记作 G ' G 。 真子图—— G ' G且 G ' G (即V ' V 或


(1) d vi , v j 0 ,i v j 时,等号成立。 v (2) d vi , v j d v j , vk d vi , vk
d 若是无向图,还具有对称性, (vi , v j ) d (v j , vi ) 。
3、无向图的连通。
G 为连通图—— G 是平凡图,或 G 中任两点
简单回路,则从vi 到自身存在长度小于等于 n
的初级回路。
由以上定理可知,在 n 阶图中,
任何一条初级通路的长度 n 1 任何一条初级回路的长度 n
二、图的连通性。 1、连通,可达。 无向图中,从 vi 到 v j 存在通路,称 vi 到 v j 是 连通的(双向)。 有向图中,从 vi 到 v j 存在通路,称 vi 可达 v j 。
4、有向图的连通。
强连通—— D 中任一对顶点都互相可达
(双向) 连通 单向连通 —— D 中任一对顶点至少一 向可达
弱连通 ——略去D 中有向边的方向后
得到的无向图连通 强连通 单向连通 弱连通
例2、
强连通
单向连通
单向连通
弱连通
非连通图
三、点割集,边割集。
G 1、设无向图 G V , E 是连通图,若有顶点集 V ' V ,使 删除 V V V ' (将 中顶点及其关联的边都删除)后,所得子图 G 是不连 V 通的或是平凡图;而删除 中的任何真子集 后,所得子图是 V '' G G V 连通的,则称 是 的点割集.若点割集中只有一个顶点,则 V 称该点为割点.
v1 e1 v2
e3 e6
v5
e1与 v1 , v2 关联的次数均为1,
e2 与 v2 关联的次数为2, e2
边 e1 , e4 , e5 , e6 都是相邻的,
e4
e5 v3
v4
v5 为孤立点, 4 为悬挂点, v
e e6 为悬挂边,e2 为环, 4 , e5 为平行边,重数2,
G 为多重图。
4、完全图
设 V v1, v1,, vn 为图 G 的顶点集,称
d (v1 ), d (v2 ),, d (vn ) 为G 的度数序列。
2、握手定理。 定理1: 设图 G V , E 为无向图或有向图,
V v1, v1,, vn ,E m ( m为边数),

d (v ) 2 m
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
长度3 初级通路
长度6 简单通路 长度6 复杂通路
(2)
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有:
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
图,称 E ' 的导出子图。
例3、
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
上图中,(1)-(6)都是(1)的子图, 其中(2)-(6)为真子图,(1)-(5)为生成子图。
2、补图定义。 设 G V , E 为无向完全图, 1 V , E1 , G
G2 V , E2 为无向简单图,其中 E1 E2 ,
V 记为V (G ), E记为E (G ) V 记为V ( D), E记为E ( D)
2、图的表示法。
有向图,无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a, b)
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a, b ——以 a 为始点,以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V , E , v1, v2 , v3 , v4 , v5 V
设 G V , E 为 n 阶无向简单图,若G 中每个
顶点都与其余 n 1 个顶点相邻,则称G为n 阶
无向完全图,记作 K n 。
若有向图 D 的任一对顶点 u, v(u v),既有有向
边 u, v 又有有向边 v, u ,则称D 为有向完全图。
例如:
K4
K5
二、顶点的度数,握手定理。 1、顶点的度数 (简称度)。 无向图 G V , E , i 的度数记 d (vi ) ,指与 vi v 相关联的边的条数。 有向图 G V , E , i 的度数 v
n 1的通路。
推论:在一个 n 阶图中,若从顶点 vi 到 v j存在 通路 (vi v j ) ,则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
在一个 n 阶图中,若 vi 到自身存在回路, 定理4:
则从 vi 到自身存在长度小于等于 n 的回路。
推论: 在一个 n 阶图中,若 vi 到自身存在一个
(7)
f
(5)
b
(6)
d
v3
例5、(1) 画出4个顶点,3条边的所有非同构 的无向简单图。 解:只有如下3个图:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
例5、(2) 画出3个顶点,2条边的所有非同构 的有向简单图。 解:只有如下4个图:
第二节 通路,回路,图的连通性 内容:图的通路,回路,连通性,点割集,边割集。 重点:1、通路,回路,简单通路,回路, 初级通路,回路的定义, 2、图的连通性的概念, 3、短程线,距离的概念。
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