(一) 二次根式化简求值的五个技巧

专题训练二次根式化简求值的五个技巧

►技巧一巧用二次根式的非负性

1．若实数m，n满足(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)5＝________．2．若y＝x－3＋3－x＋2，求xy的值．

►技巧二逆用二次根式的乘除法法则

3．当ab＜0时，化简a2b的结果是________．

4．化简：(1)（－5）2×（－3）2；

(2)（－16）×（－49）；(3) 2.25a2b(a>0)；

(4)－25

－9

；(5)

9a3

4.

► 技巧三 巧用乘法公式和幂的运算法则

5．化简：(2＋5)11×(2－5)10＝________．

6．计算：(1)18－(2＋1)2＋(3＋1)(3－1)；

(2)(6＋5)2017×(6－5)2018.

► 技巧四 巧用整体思想

7．若a －b ＝2－1，ab ＝2，则代数式(a －1)(b ＋1)的值等于(

)

A ．2 2＋2

B ．2 2－2

C ．2 2

D ．2

8．已知x ＋y ＝－3，xy ＝2，则y x ＋x

y 的值是________．

9．已知x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，求下列各式的值：

(1)x 2－xy ＋y 2； (2)x y ＋y x

.

► 技巧五 巧用因式分解

10．计算：(3＋2)2－(3－2)2＝[(3＋2)＋(3－2)]×[(________)－(________)]＝________．

11．计算：a －2 ba ＋b a －b ＋a －b a ＋b

.

12．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求

b a ＋a b ＋2－b a ＋a b

－2的值．

详解详析

1．[答案] －1

[解析] ∵(m －1)2＋n ＋2＝0，∴m －1＝0，n ＋2＝0，解得m ＝1，n ＝－2，∴(m ＋n )5＝(1－2)5＝－1.

2．解：由题意有x －3≥0，3－x ≥0，∴x ＝3，∴y ＝2，∴xy ＝6.

3．[答案] －a b

[解析] 由ab ＜0，可知a ，b 异号且a ≠0，b ≠0.又因为a 2≥0，且a 2b ≥0，所以a ＜0，b >0，所以原式＝－a b .

4．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.

(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.

(3)原式＝ 2.25·a 2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2

b . (4)原式＝

259＝259＝53. (5)原式＝9a 34＝3a 2 a . 5．[答案] 2＋5

[解析] (2＋5)11×(2－5)10＝(2＋5)[(2＋5)×(2－5)]10＝(2＋5)(4－5)10＝2＋ 5. 6．解：(1)原式＝3 2－(3＋2 2)＋3－1＝3 2－3－2 2＋2＝2－1.

(2)原式＝(6＋5)2017×(6－5)2017×(6－5)＝[(6＋5)×(6－5)]2017×(6－5)＝6－ 5.

7．[解析] B ∵a －b ＝2－1，ab ＝2，

∴(a －1)(b ＋1)＝ab ＋(a －b )－1＝2＋2－1－1＝2 2－2.

8．[答案]

3 22

[解析] ∵x ＋y ＝－3，xy ＝2，∴x ＜0，y ＜0，∴

y x ＋x y ＝－y －x ＋－x －y ＝xy －x ＋xy －y

＝xy （x ＋y ）－xy ＝2×（－3）－2＝3 22. 9．解：因为x ＝12(7＋5)，y ＝12(7－5)，所以x ＋y ＝7，xy ＝12

. (1)x 2－xy ＋y 2＝(x ＋y )2－3xy ＝(7)2－3×12＝112

. (2)x y ＋y x ＝x 2＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－2xy xy ＝（7）2－2×121

2

＝12. 10．[答案] 3＋2 3－2 4 6

[解析] 原式＝(3＋2＋3－2)(3＋2－3＋2)＝4 6.

11．解：原式＝（a －b ）2a －b ＋（a ＋b ）（a －b ）a ＋b

＝(a －b )＋(a －b )＝2 a －2 b .

12．解：由二次根式的定义，得⎩⎨⎧3－5a ≥0，5a －3≥0，

∴3－5a ＝0，

∴a ＝35

， ∴b ＝15，

∴a ＋b ＞0，a －b ＜0，

∴

b a ＋a b ＋2－b a ＋a b －2＝（a ＋b ）2ab －（a －b ）2ab ＝a ＋b ab ab －b －a ab ab ＝(a ＋b ab －b －a ab )ab ＝2b

ab . 当a ＝35，b ＝15时，原式＝215

×35×15＝25.