高考数学数列与数学归纳法
新高考数学必考几个板块知识点
新高考数学必考几个板块知识点随着教育改革的不断推进，高中阶段学业水平考试（简称新高考）正在逐渐取代传统的高考制度。
新高考注重学科知识的综合性和实用性，数学作为其中一门科目，也有着自己的特点和考察重点。
本文将从不同的角度分析新高考数学必考的几个板块知识点。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础知识，也是新高考数学中不可或缺的板块。
在函数的学习中，重点关注函数的定义、性质以及函数图象的分析。
理解函数与自变量、因变量之间的关系，掌握常见函数的图象及其性质，能够灵活运用函数概念解决实际问题，是新高考数学中的重要考察点。
方程则是数学中另一项必修内容，在解方程的学习中需要掌握不同类型的方程解法，如一元一次方程、二元一次方程组等。
还需要学会运用方程解决实际问题，思维灵活，解题方法多样。
二、数列与数学归纳法数列是数学中常见的一类对象，特别是等差数列和等比数列在新高考数学中的出现频率较高。
掌握数列的概念、性质及其常见的求和公式，能够运用数列解决实际问题是新高考数学中的重要考察点。
数学归纳法作为一种重要的证明方法，在新高考数学中也有着一席之地。
掌握数学归纳法的基本原理及其应用，能够巧妙地解决一些看似复杂的问题。
三、几何与空间几何与空间是新高考数学中的重要板块之一，其中平面几何和空间几何是学生们必须掌握的知识点。
在平面几何中，重点关注的是平面图形的特征及其性质，如三角形、四边形等各种图形的性质和计算方法。
在空间几何中，包括点、线、面等基本概念的理解和描述，以及立体图形的特征和计算方法。
同时，还需要掌握几何运动的性质和计算。
四、概率与统计概率与统计是数学中的实用内容，在新高考数学中同样占有重要位置。
掌握基本概率的计算方法，能够运用概率解决实际问题，对于理解统计数据和进行数据分析也至关重要。
需要了解统计学中的基本概念和计算方法，能够对数据进行整理、归纳，并运用统计学的基本理论和方法进行分析。
总结起来，新高考数学中必考的几个板块知识点包括函数与方程、数列与数学归纳法、几何与空间以及概率与统计。
高考数学复习第七章数列与数学归纳法专题探究课三高考中数列不等式证明的热点题型理市赛课公开课一等奖省名
≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an| ≤13232n－2＋232n－3＋…＋23n－1 ＝23n－1－232n－1 ≤23－233＝1207. 综上，|a2n－an|≤1207.15 分(得分点 4)
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❶得步骤分：抓住得分点步骤，“步步为营”，求得满分.如(1)中，归纳猜测得2分； 用数学归纳法证实得3分，第(2)放缩法证实结论得5分等.
殊到普通结论成立问题.所以，能够在数列不等式证实中大显身手.
【例 1】 (满分 15 分)(2018·绍兴检测)已知数列{an}满足，a1＝1，an＝an1＋1－12. (1)求证：23≤an≤1； (2)求证：|an＋1－an|≤13； (3)求证：|a2n－an|≤1207.
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满分解答 证明 (1)由已知得 an＋1＝an＋1 12， 又 a1＝1，则 a2＝23，a3＝67，a4＝1149， 猜想23≤an≤1.2 分(得分点 1) 下面用数学归纳法证明. ①当 n＝1 时，命题显然成立； ②假设 n＝k 时，有23≤ak≤1 成立，
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(2)证明 因为 a1>2，可用数学归纳法证明：an>2 对任意 n∈N*恒成立. 于是 an＋1－an＝a2n－1<0，即{an}是递减数列. 在 Sn≥na1－13(n－1)中，令 n＝2， 得 2a1＋a21－1＝S2≥2a1－13，解得 a1≤3，故 2<a1≤3. 下证：①当 2<a1≤73时， Sn≥na1－13(n－1)恒成立. 事实上，当 2<a1≤73时，由于 an＝a1＋(an－a1)≥a1＋2－73＝a1－13，
(3)证明 由(2)可得 an＝32n1＋1≥32n＋132n－1＝2523n－1. 所以 Sn≥25＋25·231＋…＋25·23n－1 ＝651－23n， 故 Sn≥651－23n成立．
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要概念，也是一个经常出现的考点。
数列的性质和运算方法不仅能够帮助学生理解数学知识，还能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
有些学生在学习数列时会感到困惑，不知道如何解题或者如何运用数学方法进行推导和计算。
本文将针对高中数学数列试题的解题方法与技巧进行分析和讨论，帮助学生更好地掌握数列知识，提高解题能力。
一、了解数列的基本概念数列是按照一定的顺序排列的数的集合，通常用a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...表示。
其中a₁,a₂,a₃,...分别称为数列的项，n称为项数。
数列可以分为有限项数的数列和无限项数的数列两种，其中有限项数的数列又称为有穷数列，无限项数的数列称为无穷数列。
对于数列的项，有些数列存在着特定的规律，通过这种规律可以逐项推算出数列的每一项。
这种规律通常称为数列的通项公式或递推公式。
了解数列的基础概念和规律对于解题是至关重要的，因为只有掌握了数列的特点和规律，才能更好地应用相关的方法去解答题目。
二、数列的求和技巧数列的求和是数列中一个非常重要的知识点，也是高考中经常考察的内容。
对于求和问题，有两种常用的方法，一种是数学归纳法，一种是直接求和法。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的数学证明方法，用于论证某种数学结论对于一切自然数都成立。
对于数列的求和问题，数学归纳法的思路是假设对于n=k时结论成立，然后证明n=k+1时结论也成立，从而得出结论对所有自然数都成立的证明。
例如对于等差数列aₙ=2n+1(n∈N*)求前n项和的问题，我们可以使用数学归纳法来证明求和公式Sn=n(2a₁+(n-1)d)/2成立，从而对全体自然数n成立。
这样，就能得到等差数列前n项和的通式公式的证明。
2. 直接求和法对于一些简单的数列，也可以通过直接求和的方法来计算数列的和。
例如等差数列的和Sn=n(a₁+an)/2，等比数列的和Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)，对于这一类数列可以直接套用公式，快速求出数列前n项和的结果。
新教材高考数学第4章数列4数学归纳法含解析选修2
数学归纳法素养目标学科素养1.了解数学归纳法的原理．(重点、难点)2．掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤．(重点)3．能用数学归纳法证明一些数学命题．(难点)1.数学抽象；2．逻辑推理；3．数学运算情境导学往一匹健壮的骏马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉；又添加一根……一直往马身上添稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马儿身上后，骏马竟不堪重负瘫倒在地．这在社会学里，取名为“稻草原理”．这其中蕴含着一种怎样的数学思想呢？1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明．(×)(2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设．(×)(3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数一定增加了一项．(×)1．式子1＋k＋k2＋…＋k n(n∈N*)，当n＝1时，式子的值为(B)A．1 B．1＋kC．1＋k＋k2D．以上都不对2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)时，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2C．n＝3 D．n＝4C 解析：由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为___________________.1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2解析：把k更换为k＋1.4．式子1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2，当n＝1时，右边的式子为________．(1＋1)2解析：当n＝1时，式子变为“1＋3＝(1＋1)2”，故右边的式子为(1＋1)2.【例1】用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)× 2n －1＝2n (2n －3)＋3(n ∈N *).证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k －1)×2k －1＝2k(2k －3)＋3.则当n ＝k ＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k －1)×2k －1＋(2k ＋1)×2k ＝2k(2k －3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k －2)＋3＝2k ＋1[2(k ＋1)－3]＋3，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与所作假设建立联系，并向n ＝k ＋1时证明目标的表达式进行变形．用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2＝2n ＋2(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，等式成立， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2＝2k ＋2. 在上式两边同时乘⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＋3＝2k ＋2k ＋2k ＋3＝2k ＋3＝2k ＋1＋2， 即当n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知对任何n ∈N *，等式都成立．【例2】用数学归纳法证明：112＋132＋…＋12n －12>1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1－12＝12，左边>右边，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即112＋132＋…＋12k －12>1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k.则当n ＝k ＋1时， 112＋132＋…＋12k －12＋12k ＋12>1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋12>1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＋12k ＋12k ＋2＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，不等式对任何n ∈N *都成立．用数学归纳法证明不等式需要注意：1．在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．2．在推证“n ＝k ＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k 2.则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k >k 2＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k >k 2＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k 2＋(2k －2k －1)12k ＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，不等式对任何n ∈N *成立．【例3】求证：an ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．(其中n ∈N *，a ∈R )证明：(1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)1＝a 2＋a ＋1，显然能被a 2＋a ＋1整除，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除．则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.上式能被a 2＋a ＋1整除， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *，a ∈R ，命题都成立．证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n ＝k 时的情形，从而利用归纳递推使问题得以解决．用数学归纳法证明：若f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1，则f (n )能被17整除．(n ∈N *)证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝17×23， ∴f (1)能被17整除，命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝3×52k ＋1＋23k ＋1能被17整除．则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4＝52×3×52k ＋1＋23×23k ＋1＝25×3×52k ＋1＋8×23k ＋1＝17×3×52k ＋1＋8×(3×52k ＋1＋23k ＋1)＝17×3×52k ＋1＋8f (k )．因为f (k )能被17整除，17×3×52k ＋1也能被17整除，所以f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，f (n )都能被17整除．1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋3n ＋42(n ∈N *)时，第一步验证n ＝1时，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D 解析：由数学归纳法的证明步骤可知：当n ＝1时，等式的左边是1＋2＋3＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4.故选D ．2．用数学归纳法证明f (n )＝2n－n 2>0(n ≥5，n ∈N *)时，应先证明( ) A ．f (1)>0 B ．f (2)>0 C ．f (4)>0D ．f (5)>0D 解析：利用数学归纳法证明f (n )＝2n－n 2>0(n ≥5，n ∈N *)时，第一步应该先证明n ＝5时命题成立，即f (5)＝25－52>0.故选D ．3．证明命题“凸n 边形内角和等于(n －2)·180°”时，n 可取的第一个值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析：n ＝3时，凸n 边形就是三角形，而三角形的三个内角和等于180°，所以命题成立．故选C ．4．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是____________；从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左边需增加的等式是____________________．1－12＝12 12k ＋1－1－12k ＋1 解析：当n ＝1时，应当验证的第一个式子是1－12＝12，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”左边需增加的等式是12k ＋1－1－12k ＋1. 5．在数列{a n }中，a 1＝1且a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1. (1)求出a 2，a 3，a 4；(2)归纳出数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论． 解：(1)由a 1＝1且a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1知： a 2＝a 1＋11×2＝32，a 3＝a 2＋12×3＝53，a 4＝a 3＋13×4＝74. (2)猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1n，证明如下：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝2×1－11＝1.∴左边＝右边，即猜想成立；②假设当n ＝k 时，猜想成立，即有a k ＝2k －1k，那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a k ＋1kk ＋1＝2k －1k ＋1k k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1－1k ＋1，从而猜想对n ＝k ＋1也成立．由①②可知，猜想对任意的n ∈N *都成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1n.1．数学归纳法只能用来证明与正整数有关的命题，其原理类似于不等式的传递性． 2．要认识到用数学归纳法证题时，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可．3．应用数学归纳法证题时，关键是证明n ＝k ＋1时的命题，要想证好这一步，需明确以下两点：一是要证什么，二是n ＝k ＋1时命题与所作假设的区别是什么．明确了这两点，也就明确了这一步的证明方向和基本方法．4．有关“和式”或“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以准确确定n ＝1及由n ＝k 变化到n ＝k ＋1时“和”或“积”的情况．课时分层作业(十一)数学归纳法 (60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋3n ＋42(n ∈N *)时，第一步验证n ＝1，左边应取的项是( ) A ．1 B ．1＋2 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D 解析：当n ＝1时，n ＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4. 2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1(n ∈N *)时，等式左边应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C ．k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2D 解析：当n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2；当n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2.故选D ．3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2， 那么，当n ＝k ＋1时，1＋3＋…＋(2k －1)＋[2(k ＋1)－1] ＝k 2＋[2(k ＋1)－1]＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立． 知识点2 用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1n ＋12>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是___________________________． 122＋132＋…＋1k ＋12＋1k ＋22>12－1k ＋3解析：当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1k＋12＋1k＋22>12－1k＋3.5.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<k2＋k＋12＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．知识点3 用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除，即n ＝k ＋1时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切n ∈N *都成立．能力提升练能力考点 适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n＝1－a n ＋11－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子是(B) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 39．(5分)利用数学归纳法证明1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1(n ∈N *，且n ≥2)，第二步由k 到 k＋1时不等式左端的变化是( ) A ．增加了12k ＋1这一项B ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项C ．增加了12k ＋1和12k ＋2两项，减少了1k 这一项D ．以上都不对C 解析：当n ＝k 时，左端为1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ；当n ＝k ＋1时，左端为1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， 对比可知，C 正确．10．(5分)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，第二步归纳递推中的假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋3时正确 B ．假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1时正确 C ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋1时正确 D ．假设n ＝k (k ∈N *)时正确，再推n ＝k ＋2时正确B 解析：∵n 为正奇数，∴在证明时，应假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推出n ＝2k ＋1时正确．故选B ．11．(5分)对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确D 解析：n ＝1的验证及假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D ．12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________． (k ＋1)2＋k 2解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以等式左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________． 2(2k ＋1) 解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f k ＋1f k ＝2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1).14.(5分)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________．36 解析：f (1)＝36，f (2)＝36×3，f (3)＝36×10，…，猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n 2n －1且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明． 解：(1)a 2＝S 22×2×2－1＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝12n －12n ＋1.证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立． ②假设当n ＝k 时猜想成立， 即a k ＝12k －12k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn 2n －1，得a k ＝S k k 2k －1，a k ＋1＝S k ＋1k ＋12k ＋1，所以S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)12k －12k ＋1＝k2k ＋1， S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1. 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1.所以a k ＋1＝12k ＋12k ＋3＝1[2k ＋1－1][2k ＋1＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立． 由①②可知命题对任意n ∈N *都成立．第四章质量评估(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6B 解析：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4＝12(a 2＋a 6)＝12(4＋a 6)＝2，解得a 6＝0.故选B ．2．已知等比数列{a n }的公比为－2，且a 2＋a 5＝1，则a 4＋a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－4D ．4D 解析：由题意可知a 4＋a 7＝(a 2＋a 5)×(－2)2＝4.3．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10－S 3＝14，则S 13的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．26D 解析：根据题意得S 10－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝7a 7＝14，所以a 7＝2，S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝26.故选D ．4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且9S 3＝S 6，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12 B ．22C ． 2D ．2A 解析：∵9S 3＝S 6，∴9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，∴9(1－q 3)＝1－q 6，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2.∴a 1＝a 2q ＝12.5．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n，则a n 等于( ) A ．2n－1 B ．2n ＋1－3 C ．2n －1D ．2n －1－1A 解析：∵a n ＋1＝a n ＋2n，∴a n ＋1－a n ＝2n.∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1＝21－2n －11－2＝2n－2.∴a n ＝2n－1.6．已知数列212，414，618，8116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋n ＋1－12nB ．n 2＋n －12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋n ＋2－12n －1A 解析：∵a n ＝2n ＋12n ，∴S n ＝n2n ＋22＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋n ＋1－12n . 7．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，则a 5－a 3＝( ) A ．6 B ．8 C ．10D ．12D 解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 5－a 3>0.∵a 4a 6＝a 25，a 24＝a 3a 5，a 2a 4＝a 23，∴a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144可化为a 25－2a 3a 5＋a 23＝144，即(a 5－a 3)2＝144，∴a 5－a 3＝12.故选D ．8．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立B 解析：根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2.故选B ．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，下列数列中一定是等比数列的有( ) A ．{a 2n } B ．{a n a n ＋1}C ．{lg a n }D ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2nAB 解析：由数列{a n }为等比数列可知，a n a n －1＝q (q ≠0)，对于A ，a 2n a 2n －1＝q 2，故A 项中的数列是等比数列；对于B ，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2≠0，故B 项中的数列是等比数列；对于C ，lg a nlg a n －1不一定为常数，即{lg a n }不一定为等比数列；对于D ，若a n ＝(－1)n，为等比数列，公比为－1，则S n 有可能为0，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定成等比数列．故选AB ．10．在等差数列{a n }中，a 66<0，a 67>0，且a 67>|a 66|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．公差d <0 B ．a 66＋a 67<0 C ．S 131<0D ．使S n >0的n 的最小值为132CD 解析：∵a 66<0，a 67>0，且a 67>|a 66|， ∴d >0，a 67>－a 66，即a 67＋a 66>0， ∴S 132＝66(a 1＋a 132)＝66(a 66＋a 67)>0，S 131＝131a 1＋a 1312＝131a 66<0，∴使S n >0的n 的最小值为132.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n ＋39n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．14ACD 解析：由题意可得S 2n －1T 2n －1＝2n －1a 1＋a 2n －122n －1b 1＋b 2n －12＝2n －1a n 2n －1b n ＝a n b n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝32n －1＋392n －1＋3＝3n ＋18n ＋1＝3＋15n ＋1.由于a n b n为整数，则n ＋1为15的正约数，则n ＋1的可能取值有3,5,15，因此，正整数n 的可能取值有2,4,14.故选ACD ．12．对于数列{a n }，若存在正整数k (k ≥2)，使得a k <a k －1，a k <a k ＋1，则称a k 是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”．在数列{a n }中，若a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋9n－8，下面不能作为数列{a n}的“谷值点”的是( ) A ．3 B ．2C ．7D ．5AD 解析：a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ＋9n －8，故a 1＝2，a 2＝32，a 3＝2，a 4＝74，a 5＝65，a 6＝12，a 7＝27，a 8＝98.故a 2<a 3,3不是“谷值点”；a 1>a 2，a 3>a 2，故2是“谷值点”；a 6>a 7，a 8>a 7，故7是“谷值点”；a 4<a 5,5不是“谷值点”．故选AD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________. 4 解析：∵S 2＝3，S 4＝15， ∴a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝S 4－S 2＝12. ∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝4＝q 2.∵a n >0，∴q ＝2. ∴a 1＋a 1q ＝3a 1＝3.∴a 1＝1.∴a 3＝a 1q 2＝4.14.已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是________．4 解析：∵S 偶－S 奇＝5d ＝20，∴d ＝4.15.已知数列{a n }满足a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 5＝________，b 4b 6＝________. 10 91 解析：由题意可得1a n ＋1－1a n＝3，即数列{b n }是公差为3的等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，得b 5＝10，所以b 4＝7，b 6＝13，b 4b 6＝91.16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝－2，公积为5，那么这个数列的前41项的和为________．－92 解析：由题意可得，a 1＝－2，a 2＝－52，a 3＝－2，a 4＝－52，…，a 39＝－2，a 40＝－52，a 41＝－2，∴S 41＝21×(－2)＋20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－92.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，得a 1＝34.当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3， 得a n －1＝5S n －1－3.两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ， ∴a n ＝－14a n －1，∴数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1. 18.(12分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝8，S 10＝－10.(1)求a n ，S n ；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解：(1)∵S 10＝10a 1＋45d ＝80＋45d ＝－10， ∴d ＝－2.∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n ，S n ＝n 8＋10－2n 2＝9n －n 2.(2)令a n ＝0，得n ＝5. 当n ≤5时，T n ＝S n ＝9n －n 2；当n ≥6时，T n ＝－S n ＋2S 5＝n 2－9n ＋40，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.19.(12分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，且a 3＝15，a 2＝3a 5. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)解：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．由已知得1a 3＝5，1a 2＝13×1a 5. 设其公差为d ，则1a 1＋2d ＝5，1a 1＋d ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋4d ，解得1a 1＝1，d ＝2，于是1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，整理得a n ＝12n －1.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝32n －12n ＋1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝3n 2n ＋1. 20.(12分)某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%.因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量． (1)求{a n }的表达式．(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于79a .如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(lg 2≈0.30) 解：(1)设第一年后的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ， ∴a 1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫54a －b －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542a －⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋1b ，a 3＝54a 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫543a －⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋54＋1b .由上面的a 1，a 2，a 3推测a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2＋…＋54＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1b (其中n ∈N *)．证明如下：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，结论成立．②假设当n ＝k 时，a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54k a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k －1b 成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫54ka －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k －1b －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54k ＋1a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54k ＋1－1b . 也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1b 对一切n ∈N *成立．(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须小于79a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54n a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1×1972a <79a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n>5.两边取对数得nlg 54>lg 5，即n >lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈7.∴经过8年后该地区就会发生水土流失.21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n.(1)求a 1，a 2；(2)设c n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋12c n 的前n 项和T n . (1)解：∵a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，∴a 1＝S 1＝2. 由2a n ＝S n ＋2n ，知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①∴a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6.(2)证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n ，即c n ＝2n，∴c n ＋1c n＝2(常数)．∵c 1＝21＝2，∴{c n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)解：∵c n ＝2n，∴n ＋12c n ＝n ＋12n ＋1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋12c n 的前n 项和T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2.∴T n ＝32－n ＋32n ＋1. 22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋12n 2＋32n －2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1a n－1a n＋1，n 为奇数，4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，n 为偶数，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)由于S n ＝a n ＋12n 2＋32n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n －1＋12(n －1)2＋32(n －1)－2，两式相减得a n ＝a n －a n －1＋n ＋1，于是a n －1＝n ＋1，所以a n ＝n ＋2. (2)由(1)得b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋1n ＋3，n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n 为偶数，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )． 因为b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n ×2n ＋2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n ×n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n4n ＋1， b 2＋b 4＋…＋b 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，于是T 2n ＝n 4n ＋1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .。
高考数学难点突破：数列通项公式推导技巧
高考数学难点突破：数列通项公式推导技巧在高考数学中，数列一直是重点和难点内容，而数列通项公式的推导更是重中之重。
掌握了数列通项公式的推导技巧，就相当于握住了解决数列问题的关键钥匙。
接下来，让我们一起深入探讨数列通项公式的推导技巧。
一、等差数列通项公式的推导等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列。
这个常数称为等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
假设等差数列的首项为\（a_1\），公差为 d，那么第二项就是\（a_2 ＝ a_1 ＋ d\），第三项\（a_3 ＝ a_2 ＋ d ＝ a_1 ＋ 2d\），第四项\（a_4 ＝ a_3 ＋ d ＝ a_1 ＋ 3d\）……以此类推，我们可以发现第 n 项\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）。
通过这种逐步推导的方式，我们很容易理解等差数列通项公式的由来。
二、等比数列通项公式的推导等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 表示。
设等比数列的首项为\（a_1\），公比为 q，那么第二项\（a_2 ＝a_1q\），第三项\（a_3 ＝ a_2q ＝ a_1q^2\），第四项\（a_4 ＝ a_3q ＝a_1q^3\）……依此类推，第 n 项\（a_n ＝ a_1q^｛n 1}＼）。
理解这个推导过程，对于掌握等比数列的通项公式至关重要。
三、累加法推导通项公式对于形如\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ f(n)＼）的递推关系式，我们可以使用累加法来推导通项公式。
例如，已知\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ 2n\），且\（a_1 ＝ 1\）。
那么\（a_2 a_1 ＝ 2×1\），＼（a_3 a_2 ＝ 2×2\），＼（a_4 a_3 ＝ 2×3\），……，＼（a_n a_{n 1} ＝ 2(n 1)＼）。
将上述式子相加：＼＼begin{align}a_n a_1&＝ 2×1 ＋ 2×2 ＋ 2×3 ＋＼cdots ＋ 2(n 1)＼＼＆＝ 2×（1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝ 2×＼frac{（n 1)n}｛2}＼＼＆＝ n(n 1)＼end{align}＼因为\（a_1 ＝ 1\），所以\（a_n ＝ n(n 1) ＋ 1\）。
数列、数列的极限与数学归纳法
一、复习策略本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：理解概念，熟练运算巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=__________．解析：，．显然当时有因数41，此时．答案：1681点评：本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点．例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)解析：(1)由，得，．(2)．(3)法一：，，由ln2=0.6931，计算>0，<0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，．法二：数列的通项，令，．点评：求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置．例3、已知数列的首项，前项和为，且．(1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．解析：(1)由已知时，．两式相减，得，即，从而．当时，．又．从而．故总有．又．从而．即是以为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，．当n=1时，(*)式=0，；当n=2时，(*)式=－12<0，；当n≥3时，n－1>0．又，，即(*)式>0，从而．考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋a33＋…＋a nn的值.分析：解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．解：(1)∵每一行的数列成等差数列，∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43= a42＋a44，a44=;又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=，且a n>0，∴q=.(2)a4k= a42＋(k－2)d=＋(k－2)( a43－a42)=.(3)∵第k列的数成等比数列，∴a kk= a4k·q k－4=·()k－4= k·()k (k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋a nn=S n，则S n=＋2·()2＋3·()2＋…＋n·()n，S n=()2＋2·()3＋…＋(n－1) ()n＋n()n＋1，两式相减，得S n=＋()2＋…＋()n－n()n＋1=1－，∴S n=2－，即a11＋a22＋a33＋…＋a nn=2－．例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，…)，在射线上从下到上依次有点，且=(n=2，3，4，…)．(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值．解析：(1)由已知，得，(2)由(1)知，．且均在射线上，．．(3)四边形的面积为．又的底边上的高为．又到直线的距离为．，而，．点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．考点三：数列的极限例6、给定抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，其次过作斜率为的直线与抛物线交于．过作斜率为的直线与抛物线交于，由此方法确定：一般地说，过作斜率为的直线与抛物线交于点．设的坐标为，试求，再试问：点，…向哪一点无限接近？解析：∵、都位于抛物线上，从而它们的坐标分别为，∴直线的斜率为，于是，即，．因此，数列是首项为，公比的等比数列．又，，因此点列向点无限接近．点评：本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律，从而便于求出极限值来．例7、已知点满足：对任意的，．又已知．(1)求过点的直线的方程；(2)证明点在直线上；(3)求点的极限位置．解析：(1)，，则．化简得，即直线的方程为．(2)已知在直线上，假设在直线上，则有，此时，也在直线上．∴点在直线上．(3)，即构成等差数列，公差，首项，，故．．．故的极限位置为(0，1)．考点四：数学归纳法例8、设是满足不等式的自然数的个数．(1)求的解析式；(2)设，求的解析式；(3)，试比较与的大小．解析：先由条件解关于的不等式，从而求出．(1)即得．(2)．(3)．n=1时，21－12>0；=2时，22－22=0；n=3时，23－32<0；n=4时，24－42=0；n=5时，25－52>0；n=6时，26－62>0．猜想：n≥5时，，下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明：(i)当n=5时，已证25>52．(ii)假设时，，那么．．，即当时不等式也成立．根据(i)和(ii)时，对，n≥5，2n>n2，即．综上，n=1或n≥5时，n=2或n=4时时．点评：这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识．对培养学生综合分析问题的能力有一定作用．例9、已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若数列中，，，证明：，．解：(1)由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．(2)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以．也就是说，当时，结论成立．根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．考点五：数列的应用例10、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？解：(1)设第次服药后，药在他体内残留量为毫克，依题意，故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.(2)由，，．故长期服用此药不会产生副作用．例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额。
高考数列的知识点总结
高考数列的知识点总结数列作为高中数学中的重要内容，在高考中被广泛考察。
掌握数列的基本概念、性质和解题方法，对于考生来说是非常重要的。
本文将从数列的定义、常见数列类别和解题方法三个方面进行总结。
一、数列的定义与基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
通常表示为{an}或者(an)，其中n表示项数，an表示第n项。
数列可分为有限数列和无限数列两种。
数列的通项公式是指根据数列的规律，将第n项的值用n的函数表示出来。
通项公式在解题中起到了至关重要的作用。
在求解通项公式时，可以通过观察数列的差值、比值等关系，运用数学归纳法、代数方法或递推关系式等进行推导。
二、常见数列类别1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值恒定的数列。
通常用a1表示首项，d表示公差，an表示第n项，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
在解题中，需要掌握等差数列的性质和求和公式。
2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值恒定的数列。
通常用a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，则等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
在解题时，需要注意公比的绝对值必须小于1，以避免出现无穷大或无穷小的情况。
3.等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项既是等差数列又是等比数列的情况。
通过观察数列的特点，可以分别求得等差数列和等比数列的通项公式，然后结合起来求解。
解题时需要注意两个公式的条件以及合理运用。
4.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项分别为1和1，之后的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=F(n)，其中F(n)表示第n项。
在解题时，可以通过递推关系式或矩阵的形式求解。
三、数列的解题方法1.求和求和是数列考察的重点之一。
对于等差数列，可以根据首项、末项和项数利用求和公式来求解；对于等比数列，则需要利用首项、公比和项数来求解。
同时，需要掌握求和时的一些常用技巧，如化简等。
高考数学中数列与数学归纳法的应用有哪些
高考数学中数列与数学归纳法的应用有哪些在高考数学中，数列与数学归纳法是重要的知识点，它们在解决各类问题中有着广泛而深入的应用。
首先，数列在高考中经常以等差数列和等比数列的形式出现。
等差数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差；等比数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（q\）为公比。
通过这些公式，我们可以计算数列中的任意一项，或者根据已知条件求出首项、公差或公比等关键参数。
在实际应用中，数列可以用来解决与经济、生物增长等相关的问题。
例如，某公司的利润每年以固定的增长率增长，就可以构建一个等比数列模型来预测未来几年的利润情况。
数列的求和问题也是高考的重点。
等差数列的前\（n\）项和公式为\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼），等比数列的前\（n\）项和公式为当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）。
这些求和公式在解决诸如计算一堆物品的总和、计算一定时间段内的总量等问题时非常有用。
数列还常常与函数相结合。
通过将数列的项看作函数的自变量对应的函数值，我们可以利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题。
比如，判断一个数列是递增还是递减，可以通过其对应的函数的导数来进行分析。
接下来，我们再看看数学归纳法在高考中的应用。
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
它的基本步骤通常分为两步。
第一步是基础步骤，需要证明当\（n\）取第一个值\（n_0\）（通常是\（1\））时，命题成立。
第二步是归纳步骤，假设当\（n ＝ k\）（＼（k ≥ n_0\））时命题成立，然后证明当\（n ＝ k ＋ 1\）时命题也成立。
数学归纳法在证明一些数列的通项公式、不等式等方面发挥着重要作用。
例如，要证明一个关于自然数\（n\）的不等式成立，我们可以先验证当\（n ＝ 1\）时不等式成立，然后假设当\（n ＝ k\）时不等式成立，在此基础上推导出当\（n ＝ k ＋ 1\）时不等式也成立，从而完成证明。
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。
求通项公式也是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。
③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。
非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六。
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明数学归纳法是现代数学中一个重要的证明方法，也是高中数学中常见的方法之一。
在高考中，数学归纳法常常出现在数列、不等式等知识点中。
本文将重点探讨在高考数学中，如何应用数学归纳法及其证明方法。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种证明命题的通用的方法，它是建立在自然数基础上的。
数学归纳法的基本思想是：先证明命题对于自然数 1的真实性，然后证明对于任意正整数 n，若命题对于正整数 n 成立，则命题对于正整数 n+1 成立。
根据这一思想，只要证明命题对于自然数 1 成立，且对于任意正整数 n 的情况也成立，即可得出命题在自然数范围内成立的结论。
二、应用数学归纳法的例题1、数列问题数列是高考中比较常见的数学知识点，其中数学归纳法的应用很多。
例如：证明：对于正整数 n，恒有1+2+3+……+n=n(n+1)/2。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，1=1(1+1)/2。
假设命题对于正整数 k 成立，即1+2+3+……+k=k(k+1)/2。
那么当 n=k+1 时，有：1+2+3+……+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
2、不等式问题在不等式问题中，数学归纳法的应用也相当广泛。
例如：证明：对于正整数 n，有 2^n>n。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，2^1>1。
假设命题对于正整数 k 成立，即 2^k>k。
那么当 n=k+1 时，有：2^(k+1)=2*2^k>2k>k+1。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
三、数学归纳法证明的基本步骤数学归纳法的证明分为以下三步：1、证明基本情形。
即证明当 n=1 时，命题成立。
2、归纳假设。
假设命题对于某个正整数 k 成立，即证明在假设成立的前提下，命题对于正整数 k+1 成立。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题数列与数学归纳法是高考数学中的重要难点之一。
很多学生在这部分内容上遇到困难，对于数列的特征与公式推导、数学归纳法的运用不太熟悉。
然而，只要我们掌握一些解题技巧和方法，就能轻松应对高考中的数列与数学归纳法难题。
本文将介绍几个解题的思路和策略，帮助考生更好地应对高考中的数学难题。
第一部分：数列的特征与公式推导数列是指按照一定规律排列的一组数。
在考试中，我们常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解决数列问题的关键是要发现数列之间的规律，并根据规律进行推导。
首先，我们来看等差数列。
等差数列的特点是首项与公差确定，任意一项与项数之间的关系可以通过公式推导得出。
当我们遇到一个等差数列时，可以先求出公差，然后根据公式求出所需项数，这样就能轻松解决问题。
接下来是等比数列。
等比数列的特点是首项与公比确定，任意一项与项数之间的关系同样可以通过公式推导得出。
与等差数列类似，我们可以先求出公比，再根据公式求出所需项数，进而解决问题。
第二部分：数学归纳法的运用数学归纳法是解决一类问题的一种常用的证明方法。
在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数学命题和不等式。
在解决数列问题时，数学归纳法也是一种重要的推理和证明工具。
数学归纳法的基本思想是：先证明当n=k时某个命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
通过不断地递推，最终我们就能证明当n为任意自然数时命题都成立。
在解决数列问题中，数学归纳法通常用于证明某个数列的通项公式。
我们可以先通过观察和猜测，找出数列的规律，然后利用数学归纳法证明这个规律对所有项都成立。
这样，我们就能快速确定数列的通项公式，从而方便地求解题目。
综上所述，要解决高考数学中的数列与数学归纳法难题，关键是要发现数列之间的规律，并通过公式推导或数学归纳法证明这个规律的正确性。
在备考过程中，我们可以通过大量的练习和题目分析来提高解题的能力和水平。
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤高考数学一轮总复习：数列与数列极限的数学归纳法证明步骤数列与数列极限是高中数学中的重要概念，在高考数学考试中也是常见的考点。
本文将介绍数学归纳法证明数列与数列极限的步骤及其应用。
在解题过程中，我们将以具体的例子进行说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学方法。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于数学归纳思想的证明方法，常用于证明一般性陈述在自然数集上成立。
使用数学归纳法证明一个命题通常分为三个步骤：1. 证明基本情况：首先证明当 n 取一个特定的值时，命题成立。
这一步又称为“递归起点”。
2. 归纳假设：假设当 n=k 时，命题成立，即假设命题对于某个特定的自然数 k 成立。
3. 归纳步骤：通过归纳假设证明当 n=k+1 时，命题也成立。
这一步又称为“递归关系”。
二、数列定义与数列极限的概念在进行数学归纳法证明数列与数列极限之前，我们先来回顾一下数列的定义及数列极限的概念。
数列是将自然数与实数联系起来的一种函数关系。
通常用 {an} 或者 (an) 表示一个数列，其中 an 表示数列的第 n 个元素。
数列极限是指数列随着 n 趋向无穷大时的极限值。
当数列随着 n 的增大无限逼近某个实数 L 时，就称数列 {an} 的极限为 L，记作 lim an = L。
三、数学归纳法证明数列与数列极限的步骤下面我们将以一个具体的例子来说明如何使用数学归纳法证明数列与数列极限。
【例】证明数列 {an} = 2^n + 1 是递增数列。
解：首先，我们先验证 n=1 时数列成立。
当 n=1 时，a1 = 2^1 + 1 = 3。
根据数列的定义，可以得出 a1 = 3，所以当 n=1 时，数列成立。
这就是我们要证明的基本情况。
接下来，我们假设当 n=k 时数列成立，即 ak < ak+1。
这个假设就是我们的归纳假设。
现在我们来证明当 n=k+1 时数列也成立，即证明 ak+1 < ak+2。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
高考数列求和知识点总结
高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。
掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。
下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。
一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。
例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。
解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。
然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。
二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。
解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。
然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。
三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。
例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。
解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。
高考数学8大模块考试答题思路与模版
高考数学8大模块考试答题思路与模版1500字高考数学考试通常涉及的8大模块包括：函数、数列与数学归纳法、平面向量与空间向量、三角函数、立体几何、解析几何、数与代数、概率与统计。
对于每个模块，以下是相应的答题思路与模板。
1. 函数：答题思路：(1) 确定函数的定义域和值域；(2) 判断函数的奇偶性、周期性等特性；(3) 分析函数的图像特点，包括单调性、极值、拐点、渐近线等；(4) 运用函数的性质解题，如函数的合成、反函数、复合函数等；(5) 注意解题中需要使用函数的定理和公式。
模版：(1) 函数的定义域为：[ ], 值域为：[ ]；(2) 函数为 [ ] 函数，具有 [ ] 特性；(3) 函数的图像 [ ] ，单调递增/递减，存在极值点 [ ];(4) [ ] 是 [ ] 的反函数， [ ] 是 [ ] 的一个零点；(5) 根据函数的性质，得出 [ ] 结果。
2. 数列与数学归纳法：答题思路：(1) 确定数列的通项公式或递推关系；(2) 运用数列的性质解题，如和的计算、前n项和的公式、等差/等比数列的性质等；(3) 运用数学归纳法进行证明。
模版：(1) 数列的通项公式为：[ ]，递推关系为：[ ]；(2) 数列的和为：[ ]，前n项和的公式为：[ ]；(3) 数列满足数学归纳法的条件，使用数学归纳法可证明 [ ]。
3. 平面向量与空间向量：答题思路：(1) 运用向量的基本运算，如向量的加减、数量积、向量积等；(2) 运用向量的坐标表示和向量的模、方向等性质；(3) 解决几何问题时，注意运用向量的共线性、垂直性等条件；(4) 注意解题中需要使用向量的定理和公式。
模版：(1) 向量的坐标分别为：[ ]，向量的模为 [ ]；(2) 向量的数量积为：[ ]，向量的夹角为：[ ]；(3) 由向量的共线性可得 [ ] 结论；(4) 由向量的垂直性可得 [ ] 结论；(5) 根据向量的性质，得出 [ ] 结果。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。
本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。
一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。
然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。
常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。
2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。
首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。
3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。
需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。
二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。
解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。
通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。
2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。
通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。
3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。
4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。
通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。
5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。
2024高考数学数学归纳法知识点整理
2024高考数学数学归纳法知识点整理数学归纳法是高中数学中的重要概念和解题方法之一。
它是一种推理方法，用于证明一些关于整数或正整数的性质。
在高考数学中，对于数学归纳法的理解和运用都是必备的知识点。
本文将整理归纳了2024年高考数学数学归纳法的知识点，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明方法，基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
这样，就可以通过递推的方式证明命题对于所有正整数都成立。
2. 数学归纳法的三个步骤数学归纳法主要包含三个步骤：2.1 基础步骤（或称初始步骤）首先，我们需要证明当n=1时命题成立。
这是数学归纳法的基础，也是推理的起点。
2.2 归纳步骤（或称归纳假设）假设当n=k时命题成立，我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
这是数学归纳法的关键，通过这一步骤我们可以建立起命题成立的递推关系。
2.3 归纳结论在经过归纳步骤后，我们可以得出结论：对于所有大于等于1的正整数n，命题都成立。
这是数学归纳法的最终目标，通过这一步骤我们将命题的正确性扩展到了所有正整数上。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 证明数列的性质我们可以使用数学归纳法证明某个数列的性质。
以等差数列为例，假设我们已知当n=k时等差数列的某个性质成立，通过归纳步骤可以推导出当n=k+1时该性质也成立。
3.2 证明数学等式数学归纳法也可以用来证明某些数学等式的成立。
例如，我们可以使用数学归纳法证明等式1+2+...+n=n(n+1)/2。
3.3 证明不等式的性质对于一些数学不等式，我们也常常使用数学归纳法进行证明。
例如，证明2^n > n^2对于所有大于等于5的正整数n成立。
4. 数学归纳法的注意事项在使用数学归纳法时，需要注意以下几个方面：4.1 对于基础步骤的证明要充分，不能遗漏。
高考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法
⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。
数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。
⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。
递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。
②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。
例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。
由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。
由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。
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第三章 数列与数学归纳法知识结构高考能力要求1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．3．1 数列的概念知识要点 1．数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式． 例题讲练高考复习指导丛书 · 数学44【例1】 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，…．【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1【例3】 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n ≥2)【例4】 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．小结归纳1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f (n )，n n a a1+＝f (n )，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．基础训练题 一、选择题1．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：① a n ＝22[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③2． 函数f (x )满足f (n ＋1)＝2)(2nn f +（n ∈N *）且f (1)＝2，则f (20)＝ （ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．1923． （2005年山东高考）{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668C ．669D ．6704． 已知数列{a n }满足a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2)，且a 1＝1，则35a a＝ （ ）A ．1315 B ．34 C ．158D ．385． 已知数列3，3，15，…)12(3-n ，那么9是它的第几项 （ ） A ．12 B ．13C ．14D ．156． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝90n（21n －n 2－5）（n ＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A ．5月，6月 B ．6月，7月C ．7月，8月D ．8月，9月二、填空题7． 已知a n ＝156+n n（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为第 项．8． 已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．9． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2)13(1-n a (n ≥1)，且a 4＝54，则a 1的数值是 ． 10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3)2)(1(++n n n ，则数列{na 1}的前n 项和T n ＝ ．三、解答题 11．（2002·天律）已知{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n +1·a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3，4，5…，求a 3．12．(2005年山东高考)已知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处导数f 1 (1)．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n na a (n ∈N *)，求该数列的通项公式．提高训练题14．已知a n ＝nn n 10)1(9+(n ∈N)，试问：数列{a n }有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1．(1)写出数列{a n }的前3项a 1，a 2，a 3； (2)求数列{a n }的通项公式．3．2 等差数列知识要点1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）． 2．等差数列的通项公式： ⑴ a n ＝a 1＋ ×d ⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q (p , q ∈R) ⑵ 数列{a n }的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn高考复习指导丛书 · 数学46(a , b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m , n , p , q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列． 例题讲练【例1】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【例2】 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝aa n -1． ⑴ 求证：数列{b n }是等差数列． ⑵ 求数列{a n }的通项公式．【例3】 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{nSn }前n 项和。
求T n ．【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问： ⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a 美元．问a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？小结归纳1．欲证{a n }为等差数列，最常见的做法是证明：a n ＋1－a n ＝d (d 是一个与n 无关的常数)．2．a 1，d 是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a 1，d ，再求其他的量，但有时运算较繁．3．对等差数列{a n }的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d 的等差数列进行求和．4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题． 基础训练题 一、选择题1． 已知数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝a n －32（n ∈N *），则使a n ·a n ＋2<0成立的n 的值是 （ ）A ．19B ．20C ．21D ．22 2． 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有（ ） A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝513． 已知数列{a n }，a n ＝－2n ＋25，当S n 达到最大值时，n为 （ ） A ．10 B ．11C ．12D ．134． (2005年全国)如果a 1、a 2，…a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则 （ ） A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 55． 等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ） A ．a 8 B ．a 9 C ．a 10 D ．a 116． 在等差数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为 （ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10二、填空题7． 等差数列{a n }中，a 1＝1，公差为d ，当a 1a 2＋a 2a 3取得最小值时，d ＝ ．8． (2003年·上海)在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．9． 已知{n a 1}为等差数列且a 2＝2－1，a 4＝2＋1，那么a 10＝ ． 10．等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，且S 6<S 7，S 7>S 8，结合下列命题： ⑴ 当n ≤7时，S n 是递增的，当n >7时，S n 是递减的．⑵ S 9一定小于S 6． ⑶ a 7>0，a 8<0． ⑷ S 13<0．其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上）．三、解答题11．有两个等差数列{a n }，{b n }，3272121++=++++n n b b b a a a n n ，求55b a 的值．12．已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n ． (1) 求证：{a n }为等差数列； (2) 求S n 的最小值及相应的n ；(3) 记数列{n a }的前n 项和为T n ，求T n 表达式．13．下表给出一个“等差数阵”．ij 列的数．⑴ 写出a 45的值．⑵ 写出a ij 的计算公式．⑶ 证明正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以写成两个不是1的正整数之积． 提高训练题14．已知函数f (x )＝ab x 的图象过点A （4，41）和B(5，1)．(1) 求函数f (x )的解析式； (2) 记a n ＝log 2 f (n )，n 是正整数，S n 是数列{a n }的前n项和，解关于n 的不等式a n S n ≤0；(3) 对于(2)中的a n 与S n ，整数96是否为数列{a n S n }中的项？若是则求出相应的项数；若不是，则说明理由．15．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ．⑴ 若首项a 1＝23，公差d ＝1，求满足2)(2k k S S =的正整数k ．⑵ 求所有的无穷等差数列{a n }，使得对一切正整数k都有2)(2k k S S =成立．高考复习指导丛书 · 数学483．3 等比数列知识要点 1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）．2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m 3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ． ⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ． 例题讲练【例1】 已知等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求项数n 和公比q 的值．【例2】 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【例4】 已知函数f (x )＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f (d －1)，a 3＝f (d ＋1)，b 1＝f (q －1)，b 3＝f (q ＋1)，(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：12211)1(++=+++n nn a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ．小结归纳1．在等比数列的求和公式中，当公比q ≠1时，适用公式S n ＝qq a n --1)1(1，且要注意n 表示项数；当q ＝1时，适用公式S n ＝na 1；若q 的范围未确定时，应对q ＝1和q ≠1讨论求和．2．在等比数列中，若公比q > 0且q ≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x －d ，x ，x ＋d ，xd x 2)(+再依题意列出方程求x 、d 即可．4．a 1与q 是等比数列{a n }中最活跃的两个基本量． 基础训练题 一、选择题1． 在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足 （ ） A ．q >1 B ．q <1 C ．0<q <1 D ．q <0 2． 若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋a ，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．0D ．－13． 已知数列1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则212b aa -的值为 （ ）A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．414． 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…a n ＝2n －1，则22221na a a +++ 等于 （ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n－1) C ．4n －1 D ．31(4n －1)5． 等比数列{a n }中，a n >0，a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于 （ ） A ．12 B ．16C ．18D ．20 6． 已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于 （ ）A ．2nB ．)1(21+n nC ．2n －1D ．2n －1二、填空题7． 设k ≠0，则等比数列a ＋k ，a ＋21k ，a ＋31k 的公比是 ．8． 已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．9． 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a aa a ++++＝ ．10．在等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝4，使S n ＞3000的最小自然数n ＝ ．三、解答题11．已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式．12．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，a 1＋2a 2＝0，S 4－S 2＝81．(1) 求a n 的表达式；(2) 解关于n 的不等式a n ≥161．13．已知：f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n （n ∈N *），且f (1)＝n 2． ⑴ 求a n ．⑵ 求证：0<f (31)<1．提高训练题14．等比数列{a n }的公比q ＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a 1＋a 2＋…＋a n ＞n a a a 11121+++ 成立的正整数n 的取值范围．15．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1，2，…)(1) 求q 的取值范围；(2) 设b n ＝a n ＋2－123+n a ，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 和T n 的大小．高考复习指导丛书 · 数学503．4 等差数列和等比数列的综合应用知识要点1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ． ⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是数列．⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n达到最 值时n 的值．⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列． 例题讲练【例1】 是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：① a ＋b ＋c ＝6② a 、b 、c 成等差数列．③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．【例2】 已知公差大于0的等差数列{n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．【例3】 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．【例4】 （2005年北京）数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3……求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.小结归纳 1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m 、n 、p 、r ∈N*，若m ＋n ＝p ＋r ，则a m ＋a n ＝a p ＋a r （或a m ·a n ＝a p ·a r ）进行解答．2．若a 、b 、c 成等差（或等比）数列，则有2b ＝a ＋c （或b 2＝ac ）．3．遇到与三角形相关的问题时，一般要注意运用正弦定理（或余弦定理）及三角形内角和等于180°这一性质．4．在涉及a n 与S n 相关式子中用S n －1和S n 的关系表示a n 时应该注意“n ≥2”这个特点． 基础训练题 一、选择题1． 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1、a 3、a 4成等比数列，则a 2等于 （ ） A ．－4 B ．－6C ．－8D ．－10 2． 若等差数列{a n }中，a 1>0，a 2005＋a 2006>0，a 2005·a 2006<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4008 B ．4009C ．4010D ．40113． 在等比数列中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q的值可能个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44． 已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1－a n ＝2n ，那么a 2007的值为 （ ） A ．2005×2006 B ．2006×2007C ．2007×2008D ．200725． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6 : S 3＝1:2，则S 9 : S 3＝ （ ） A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:36． 已知等比数列{a n }的公比为q <0，前n 项和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是 （ ） A ．S 4a 5＝S 5a 4 B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5<S 5a 4D ．以上都不正确二、填空题7． 数列{a n }按下列条件给出：a 1＝2， 当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 2008＝ ． 8． 已知等差数列{a n }中，102a a =公差d ＞0，则使前n 项和S n 取得最小值的自然数n 是 ．9． 若数列{a n }是等差数列， 令 b n ＝ na a a n+++ 21（n ∈N *）．则数列{b n }也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n >0，（n ∈N *），令d n ＝ ，则数列{d n }也是等比数列．10．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝5，前20项的和S 20＝400，则(a 22＋a 42＋…a 202)－(a 12＋a 32＋…a 192)＝ ．三、解答题11．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1，2…)，a 1＝1．⑴ 设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明{b n }是等比数列；⑵ 设C n ＝nn a2(n ＝1，2，…)，求证{C n }是等差数列．12．等差数列{a n }中，已知公差d ≠0，a n ≠0，设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0（r ∈N *）是关于x 的一组方程． ⑴ 证明这些方程必有公共根，并求出这个公共根．⑵ 设方程a r x 2＋2a r ＋1x ＋a r ＋2＝0的另一根记为m r ，且m 1＝2，证明{11+r m }也是等差数列．13．已知等比数列{a n }共有m 项(m ≥3)，且各项均为正数，a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b m ＝a m ，判断数列{a n }前m 项和S m 与数列{b n －21}的前m 项和T m 的大小，并加以证明．提高训练题 14．（2005年福建）已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1、a 2、a 3成等差数列． （1）求q 的值.（2）设{b n }是以2为首项，以q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n＋1)，(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝n nS 2，如果对一切正整数n 都有b n ≤t ，求t 的最小值．高考复习指导丛书 · 数学523．5 数列求和知识要点求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 1．等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． 2．等比数列的前n 项和公式： ①当q ＝1时，S n ＝ ． ② 当q ≠1时，S n ＝ ．3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列． 例题讲练【例1】 已知数列：1，⎪⎭⎫ ⎝⎛+211，⎪⎭⎫⎝⎛++41211，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++8141211，…，⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-12141211n ，求它的前n项的和S n ．【例2】 求S n ＝1＋211+＋3211++＋…＋n++++ (3211)．【例3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝)()21(*2N n a n ∈+，b n ＝a n ·2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【例4】 求S n ＝1!＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！． 小结归纳1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．2．对通项中含有(－1)n 的数列，求前n 项和时，应注意讨论n 的奇偶性．3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n 项和用到的方法，在复习中应给予重视． 基础训练题 一、选择题1． 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A ．S 6 B ．S 11C ．S 12D ．S 132． 在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为 （ ）A ．n n 1+B ．n n 21+C ．nn 12+ D ．13． 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3＝1:2，则S 9：S 3等于 A ．1:2 B ．2:3C ．3:4D ．1:34． 数列{a n }的通项公式是a n ＝11++n n ，若前n 项之和为10，则项数n 为 （ ） A ．11 B ．99C ．120D ．1215． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2，则前n 项和为（ ）A ．1－n21 B ．2－121-n －n n 2 C ．n (1－n21)D ．2－121-n ＋nn26． 将棱长相等的正方体按右下图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2005层正方体的个数是 （ ） A ．4011 B ．4009 C ．2011015 D ．2009010二、填空题7． －1＋3－5＋7－9＋…＋(－1)n(2n －1)＝ ． 8． 等差数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和为S n ， 且S 3＝S 12，则a 8＝ ．9．数列{a n }的通项为a n ＝2n －7，(n ∈N*)，则| a 1 |＋| a 2 |＋…＋| a 15 |＝ ． 10．关于数列有下面四个判断：①若a 、b 、c 、d 成等比数列，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋d 也成等比数列；②若数列{a n }既是等差数列也是等比数列，则{a n }为常数列；③数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －1(a ∈R)，则数列{a n }为等差数列或等比数列；④数列{a n }为等差数列时且公差不为零，则数列{a n }中不会有a m ＝a n （m ≠n ）．其中正确判断的序号是 ． （注：把你认为正确的序号都填上．）三、解答题11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ．12．求和1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －1)a n －1． 13．（2005年湖北文科）设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1. ⑴ 求数列{a n }和{b n }通项公式．⑵ 设C n ＝nnb a ，求数列{C n }前n 项和T n ．提高训练题14．以数列{a n }的任意相邻两项为坐标的点P n (a n 、a n ＋1)均在一次函数y ＝2x ＋k 的图象上，数列{b n }满足条件：b n ＝a n ＋1－a n ，且b 1≠0．⑴ 求证：数列{b n }为等比数列．⑵ 设数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若S 6＝T 4，S 5＝－9，求k 的值．15．已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k＝2550．⑴ 求a 及k 的值．⑵ 求)111(lim 21n n S S S +++∞→ ．… …高考复习指导丛书 · 数学543．6 * 数学归纳法知识要点1．数学归纳法证明的步骤是：⑴ ． ⑵． 2．数学归纳法是证明有关自然数n 的命题的一种方法，应用广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤，第一步验证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推论命题正确性的可传递性，是递推的依据，两步缺一不可，证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．3．命题成立的起始值，不一定是自然数1． 4．由k ⇒k ＋1必须运用归纳假设．例题讲练【例1】 证明：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·…·(2n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)（n ∈N *）【例2】 用数学归纳法证明 x n －y n 能被x －y 整除（n ∈N *）．【例3】 设a 0为常数，且a n ＝3n －1－2a n －1（n ∈N *），证明：对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[51a a nn n n n n ⋅-+⋅-+=-．【例4】 平面内有n 条直线，其中任两条不平行，任三条不共点，求证：这n 条直线把平面分成12)1(++n n 个区域．小结归纳使用数学归纳法证明命题，第一步是验证，一般较简单，但不能省略；第二步推证，必须用到归纳假设，否则不是数学归纳法．第二步从k 到k ＋1时，注意项数的变化． 基础训练题 一、选择题 1． 设f (n )＝n n n n 21312111+++++++ （n ∈N *），则f (n ＋1)－f (n )等于 （ ） A ．121+n B ．221+n C ．121+n ＋221+n D ．121+n －221+n2． 用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝a a n --+112(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边计算所得结果为 （ ） A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 3． 用数学归纳法证明不等式2n ≥n 2时，n 应取的第一个值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4． 用数学归纳法证明“24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n 24111312111≥++++++++n n n n n ”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是 （ ）A ．)1(21+kB ．121+k ＋221+kC ．121+k ＋221+k －11+kD ．121+k ＋221+k －11+k －21+k5． 设)(n f ＝1＋1313121-+++n （n ∈N *），那么)1(+n f －)(n f ＝ （ ）A ．231+nB ．n 31＋131+nC ．131+n ·231+nD ．n 31＋131+n ＋231+n6． 设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数f (n ＋1)等于 （ ） A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n －1C ．f (n )＋nD ．f (n )＋n －2 二、填空题7． 求证x n ＋y n （n ∈N *）被x ＋y 整除，当第二步假设n＝2k －1命题成立时，进而需证明n ＝ 时命题成立．8． 用数学归纳法证明：1－121413121-+-+n －n n n n 21211121+++++= ，第一步应验证左式是 ，右式是 ．9． 若f (n )＝1＋1213121++++n （n ∈N *），则当n ＝1时，f (1)＝ ．10．若数列{a n }满足：a n ＋1＝1－na 1，且a 1＝2，则a 2006＝ ．三、解答题11．试证S n ＝n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除．12．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)213．设a n ＝1＋n13121+++ （n ∈N *），试证明：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n （a n －1），其中n ≥2．提高训练题14．已知n ≥2，n ∈N *，求证：1221)1211()711)(511)(311(+>-++++n n 15．（2005年·重庆）数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝(1＋nn +21)a n＋n 21(n ≥1)． (1) 用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2)；高考复习指导丛书 · 数学56(2) 已知不等式ln(1＋x )＜x 对x ＞0成立，证明：a n ＜e 2(n ≥1)其中无理数e ＝2.71828…．3．7 * 归纳、猜想、证明知识要点从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳——猜想——证明”．它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究，认识发现规律的有效途径，也是培养创新思维能力的有效办法．这类题型是高考命题的热点之一．例题讲练【例1】 设数列{a n }满足a n ＋1＝12+-n n na a ，n ＝1,2,3,……⑴ 当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．⑵ 当a 1≥3时，证明对所有的n ∈N *，有a n ≥n ＋2．【例2】 已知数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，（n ∈N *），求出前四项，猜想出a n 的表达式，并证明．【例3】 是否存在自然数m 使)(n f ＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意自然数都能被整数m 整除．若存在，求m 最大值；若不存在，则说明理由．【例4】 数列{a n }中，a 1＝－32，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋nS 1＋2，其中n ≥2．⑴ 求出S 1、S 2、S 3、S 4．⑵ 猜想S n 的表达式，并证明你的猜想．小结归纳1．“归纳、猜想、证明”的思想方法实质上是由特殊到一般的认识事物的重要方法，是不完全归纳法与完全归纳法的结合使用．一般是通过观察、分析等手段，利用不完全归纳法得出一个结论，再用数学归纳法（或其它方法）给出证明．2．归纳猜想能培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视．此类问题分为归纳型问题和存在型问题．解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想．基础训练题 一、选择题1． 利用数学归纳法证明不等式“1＋1213121-+++n＞2n（n ≥2，n ∈N *）”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边增加了 （ ）A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项2． 观察下列所给式子：1＋23212<，35312122<+，1＋47413121222<++，…，则可归纳出 （ ） A ．1＋n n n 113121222+<++ B ．1＋n n n1213121222+<++ C ．1＋12)1(13121222++<+++n n n D ．1＋11213121222++<++n n n3． 已知数列211⋅，321⋅，431⋅，…，)1(1+n n ，经过计算S 1、S 2、S 3，可由此推测S n 等于 （ ）A ．12+n nB ．1+n nC ．121+n D ．121+-n n4． 如果命题p (n )对n ＝k 成立，那么它对n ＝k ＋2成立，又若p (n )对n ＝2成立，则p (n )对所有 （ ） A ．正整数n 成立B ．正偶数n 成立C ．正奇数n 成立D ．大于1的自然数n 成立5． 数列{a n }满足a 1＝21，a n ＋1＝1－n a 1，则a 30等于（ ）A ．21B ．－1C ．2D ．36． 一机器狗每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗按前进2步，然后再后退1步的规律移动．若将此机器狗放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1单位长度，令P(n )表示第n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是（ ） A ．P(3)＝1 B ．P(5)＝3C ．P(2002)＝667D ．P(2004)<P(2005)二、填空题7． 已知f (x )＝22+x x，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，则x 2，x 3，x 4的值分别为 ，猜想x n ＝ ． 8． 若给出下列式子：1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n 个式子为 ．9． 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝1221+-n a (n ∈N *，n ≥2)，猜想{a n }的通项公式a n ＝ ．10．已知A n ＝2＋4＋6＋…＋2n ，B n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1(n ∈N *)，试猜想A n 与B n 的大小关系是 （不要求证明）．三、解答题11．已知数列 {a n } 前n 项和为S n ， 且a 1＝1， S n ＝n 2a n ，(n ∈N *)．⑴ 试求S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． ⑵ 证明你的猜想，并求a n 的表达式．12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2 a n ＋1．请求出a 2、a 3、a 4，猜想{a n }的通项公式并加以证明．13．是否存在常数a 、b ，使得等式：3211⨯⨯＋4321⨯⨯＋5431⨯⨯＋…＋)2)(1(1++n n n ＝)2)(1(42+++n n bn an 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论．提高训练题14．设数列{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，对于所有自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项.⑴ 写出数列{a n }的前3项.⑵ 求数列{a n }的通项公式并写出推理过程．高考复习指导丛书 · 数学5815．某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量． ⑴ 求a n 的表达式．⑵ 为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不小于a 97，若b ＝a 7219，则该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2＝0.30）单 元 测 试一、选择题1． 若数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝log 3(n ＋1)，则a 5等于（ ） A ．65logB ．563log C ．63logD ．53log2． 若f (1)＝3，f (n ＋1)＝31)(3+n f ，（n ∈N *），则f (100)等于 （ ） A ．30 B ．32C ．34D ．363． 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－1131a 的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．174． 等比数列前n 项和S n ＝2n －1，则前n 项的平方和为 （ ）A ．(2n －1)2B ．31(2n －1)2C ．4n －1D ．31(4n －1)5． 在等比数列{a n }中，a 3和a 5是二次方程x 2＋kx ＋5＝0的两个根，则a 2a 4a 6的值为 （ ）A ．55±B ．55C ．－55D ．256． 在一个数列中，若每一项与其后一项的积为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为“公积”。