高考数学数列与数学归纳法

第三章 数列与数学归纳法

知识结构

高考能力要求

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．

4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

高考热点分析

纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的

“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．

高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．

数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．

3．1 数列的概念

知识要点 1．数列的概念

数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项．

2．数列的通项公式

一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

=n a

⎪⎩

⎪

⎨

⎧≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法

⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．

⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式． 例题讲练

高考复习指导丛书 · 数学

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【例1】 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴ －3

12⨯，534⨯，－758⨯，9716

⨯…；

⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，…．

【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项． ⑴ S n ＝3n －2 ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1

【例3】 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．

⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2)

⑶ a 1＝1，a n ＝

11

--n a n

n (n ≥2)

【例4】 已知函数)(x f ＝2x －2－

x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．

小结归纳

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．

2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1

要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f (n )，n n a a

1+＝f (n )，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、

迭代法（或换元法）．

基础训练题 一、选择题

1．某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式：

① a n ＝

2

2

[1＋(－1)n ] ② a n ＝n )(11-+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)

(2为奇数为偶数n n

其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

2． 函数f (x )满足f (n ＋1)＝2

)(2n

n f +（n ∈N *）且f (1)＝2，

则f (20)＝ （ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192

3． （2005年山东高考）{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的

等差数列，如果a n ＝2005，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668

C ．669

D ．670

4． 已知数列{a n }满足a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2)，且

a 1＝1，则35a a

＝ （ ）

A ．

1315 B ．

34 C ．15

8

D ．3

8

5． 已知数列3，3，15，…)12(3-n ，那么9是它的第几项 （ ） A ．12 B ．13

C ．14

D ．15

6． 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n

个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝

90

n

（21n －n 2

－5）（n ＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A ．5月，6月 B ．6月，7月

C ．7月，8月

D ．8月，9月

二、填空题

7． 已知a n ＝156

+n n

（n ∈N *），则数列{a n }的最大项为