2006年考研数学一试题与答案解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

(1)0ln(1)

lim 1cos x x x x

→+=

-. (2)微分方程(1)

y x y x

-'=の通解是 .

(3)

设

∑

是锥面

z =(

01

z ≤≤)の下侧,则

23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=⎰⎰ .

(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=の距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵

B 满足2=+BA B E ,则

B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上の均匀分布,则

{}max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出の四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前の字母填在题后の括号内)

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处の增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应の增量与微分,若0x ∆>,则

(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<

(D)0dy y <∆<

(8)设(,)f x y 为连续函数,则

1

40

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ⎰

⎰等于

(A)

(,)x

f x y dy ⎰⎰

(B)

(,)f x y dy ⎰

⎰

(C)

(,)y

f x y dx ⎰

⎰

(C)

(,)f x y dx ⎰

⎰

(9)若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛,则级数

(A)

1n

n a

∞

=∑收敛 (B)

1(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛

(C)

11

n n n a a

∞

+=∑收敛

(D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛 (10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1

(,)0y x y ϕ≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约

束条件(,)0x y ϕ=下の一个极值点,下列选项正确の是

(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=

(B)

若

00(,)0

x f x y '=,则

00(,)0y f x y '≠

(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=

(D)

若

00(,)0

x f x y '≠,则

00(,)0y f x y '≠

(11)设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确の是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关

(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,

,,s ααα线性无关,则12,,

,,s A αA αA α线性无关.

(12)设A 为3阶矩阵,将A の第2行加到第1行得B ,再将B の第1列の-1倍加到第2

列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

P ,则

(A)1-=C P AP (B)1-=C PAP

(C)T =C P AP

(D)T =C PAP

(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有

(A)()()P A

B P A > (B)()()P A B P B >

(C)()()P A B P A = (D)()()P A B P B =

(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222

(,)N μσ, 且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则

(A)12σσ< (B)12σσ>

(C)12μμ<

(D)12μμ>

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=

(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分22

11D

xy

I dxdy x y +=++⎰⎰

.

(16)(本题满分12分)

设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞

存在,并求之.

(2)计算2

1

1lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭

. (17)(本题满分12分) 将函数()2

2x

f x x x =

+-展开成x の幂级数.

(18)(本题满分12分) 设函数

()()0,,f u +∞在内具有二阶导数

且z f

=满足等式

2222

0z z

x y ∂∂+=∂∂. (1)验证()()

0f u f u u

'''+

=. (2)若()()10,11,f f '==求函数()f u の表达式. (19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =

>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意の0t >都有

()()2,,f tx ty t f x y =.

证明: 对L 内の任意分段光滑の有向简单闭曲线L ,都有