高中数学 选修2-1双曲线导学案

双曲线及其标准方程导学案

【学习要求】

1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.

3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

【学法指导】

本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.

【知识要点】

1．双曲线的定义

把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程

焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准 方程 焦点

焦距

|F 1F 2|＝ ，c 2＝

【问题探究】

探究点一 双曲线的定义

问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？

问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？

问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?

问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）

6)5()5(2222=+--++y x y x ；

（2）6)4()4(2

2

2

2

=+--++y x y x

（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．双曲线的一部分

D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程

问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？

问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？

问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？

例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫

94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2

4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.

跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b

a

＝2的双曲线的标准方程是 ( )

A ．12

122

=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2

－y 2

12＝1

D ．x 212－y 2＝1或y 2

12

－x 2＝1

（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2

9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______

探究点三 与双曲线定义有关的应用问题

例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2

8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的

中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).

跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2

5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切

点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )

A ． 3

B ． 5

C ．5－ 3

D ．5＋ 3

例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.

跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.

【当堂检测】

1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线

2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2

9

＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )

A ．7

B ．23

C ．5或25

D ．7或23

4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.

【课堂小结】

1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.

2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.

3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.

【拓展提高】

1．已知方程12

52

2=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）

A ．k >5

B ．k >5，或22<<-k

C ．k >2,，或2-

D ．22<<-k

2．===-212

2211216

25,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线

是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或22

3．已知双曲线14

92

2=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为

4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 212

2

,13

=- __________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠

5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,

3(，Q )5,3

16

(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． （3））的双曲线。，有公共焦点，且过点（求与双曲线

12214

52

2

=-y

x 6．已知双曲线:C )0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两个焦点)0,2()0,2(21F F 、-,点)7,3(P 在双曲线C 上

（1）求双曲线C 的方程

（2）记O 为坐标原点，过点)2,0(Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点F E 、， 若△OEF 的面积为,22求直线l 的方程

【课后作业】

一、基础过关

1．若方程y 24－x 2

m ＋1

＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是

( )

A ．－1

B ．m >－1

C ．m >3

D ．m <－1

2．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为

( )

A ．－25

B ．25

C ．－1

D ．1

3．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 2

16＝1有相同的焦点，则实数n 的值是

( )

A ．±5

B ．±3

C ．5

D ．9

4．若点M 在双曲线x 216－y

24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．12

5．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为 ( )

A ．x 25－y 2＝1

B ．y 25－x 2＝1

C ．x 225－y 2

＝1 D ．x 24－y 2

2

＝1

6．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ( ) A ．x 24－y 212＝1 (x >0) B ．x 24－y 212＝1 (x <0)

C ．x 24－y 212＝1

D ．y 24－x 2

12＝1

7．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________. 二、能力提升

8．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2

k －3

＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________.

9．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→

＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________.

10．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2

－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.

11．在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝1

2|sin A |时，求顶

点A 的轨迹方程.

12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点. （1）求双曲线的标准方程；

（2）若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状.