关系习题课

整数4可分别划分为 4,1+3,1+1+2,2+2,1+1+1+1， 1 2 2 1+C4 +C4 +1/2C4 +1=15
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关系习题课 5.R={<1,4>,<2,3>,<3,1>,<4,3>}，则（ B ）t(R) A.<1,1> B.<1,2> C.<1,3> D.<1,4> 6.R是二元关系且R=R4，则（ C ）一定是传递的。 A.R B.R2 C.R3 D.R4 7.下面说法（ A ）是错误的 A.不存在既自反又反自反的关系 B.存在既对称又反对称的关系 C.存在既不对称又不反对称的关系 D.由一个有序对构成的二元关系一定是一个传递关系。
7.设A＝{1,2},B={a,b},试问从A到B的二元关系有( 16 )个
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关系习题课
三、应用题
1.下图给出了集合{1,2,3,4}上的4个偏序关系图，画出它们 的哈斯图，并说明哪一个是全序，哪一个是良序？
2 4
1
2
1
4
1
3
1
3
4
3
2
3
2
4
（1）
（2）
（3）
（4）
7
关系习题课 解：其中（2）是全序，也是良序。
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关系习题课 4.考虑集合{1,2,3}上的关系R={<1,2>,<3,3>}， 求出下列关系的关系矩阵 （1）r(R) （2）s(R) （3）rs(R) （4）sr(R) （5）tsr(R)
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关系习题课 5.R是整数集Z上的关系，mRn定义为m2=n2， （1）证明R是等价关系； （2）确定R的等价类。
2.R是A上的二元关系，若R是等价关系，则tsr(R)=( R
3.集合A={a,b,c,d,e,f,g}，A上的一个划分
π={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，那么π所对应的等价关系R
应有（
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）个有序对。
4.设R是集合{1,2，…，10}上的模7同余关系， 则[2]R=( {2,9} )
5
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关系习题课 由R的等价类可确定对集合A的划分。划分中的元素分别为元 素的等价类，它们是： [<1,1>]R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} [<1,2>]R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>} [<1,3>]R={<1,3>,<3,1>,<2,4>} [<1,4>]R={<1,4>}
关系习题课 5.设A={a,b,c}是偏序集<P(A), >，则P(A)的子集 B={,{a},{b},{a,b},{b,c}}的极大元是（ {a,b},{b,c}）
，最大元是（ 无
（ ）。
），上界是（ {a,b,c} ），下确界是
6.A={1,2,3,4,5,6,8,10,24,36}，R是A上的整除关系。子集 B={1,2,3,4}，那么B的上界是（ 24,36 是（ 1 是（ 1 ）； B的上确界是（ ）。 无 ）； B的下界 ）； B的下确界
证：（1）自反：任意整数x，有x2=x2，故mRm； 对称：若xRy,即x2=y2，则y2=x2，即有yRx； 传递：若xRy,yRz，即x2=y2,y2=z2，则x2=z2，即xRz。 由此得R等价。 (2)[i]R={i,-i}，则R的等价类有：{[0]R,[1]R,[2}R,……}
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关系习题课 6.设R是实数集，R上的二元关系S为 S＝{<x,y>|x,y R ∧ x=y} 试问二元关系S具有哪些性质？简单说明理由． 7.设集合A＝{0，1，2，3，4，5，6}上的偏序关系R如下： R＝ {<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<0,6>,<4,6>,<2,5>,< 3,5>} ∪IA 做偏序集<A,R>的哈斯图，并求B={0,2,3}的极大元、极小元 、最大元和最小元． 8.设集合A={0,1,2,3,4}，定义A上的二元关系R为： R＝{<x,y>|x,y A ∧ (x=y x+yA)} 试写出二元关系R的集合表达式，并指出R具有的性质．
关系习题课
一、选择题
1. 集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,xA, yA}，则R的性质为（ B ） A.自反性 B.对称性 C.传递性、对称性 D.反自反性、传递性
2.设A={a,b,c}上的关系如下，具有传递性的有（ D A.R1={<a,c>,<c,a>,<a,b>,<b,a>} B.R2={<a,c>,<c,a>} C.R3={<a,b>,<c,c>,<b,a>,<b,c>} D.R4={<a,a>}
）
1
关系习题课 3.设S={1,2,3}，下图给出了S上的两个二元关系R1,R2， 则R1 ‫ ס‬R2是（ C ） A.自反的 B.传递的 C.对称的 D.等价的
1
2 R1
3
1
2 R2
3
4.设集合A有4个元素，则A上的不同的等价关系的个数为 （ C ） A.11个 B.14个 C.15个 D.17个
即划分π={[<1,1>]R, [<1,2>]R, [<1,3>]R, [<1,4>]R}
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关系习题课 3.偏序集（A，≤）的关系图如下所示。 （1）画出（A，≤）的哈斯图； （2）设B={b,c}，求B的上界集合C和上确界，下界集合D和 下确界。 a a b d b c d c
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B的上界集合C为空集，上确界不存在； 下界集合D={d}，下确界为d。
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关系习题课 8.Z代表整数集合，“≤”是Z上的小于等于二元关系，下面 说法（ C ）是错误的。 A.<Z, ≤>是偏序集 B.<Z, ≤>是全序集 C.<Z, ≤>是良序集 D.<Z, ≤>是一条链
4
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二、填空题
1.设A={1,2,3}上的关系R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>}，则 R具备（ 反对称性、传递性 ）性质。 )
3 4 1 2 2 4
3 2
1 4 1 3 1 3 4 2
（1）
（2）
（3）
（4）
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关系习题课 2.A={1,2,3}×{1,2,3,4}，A中关系R定义为： <x,y>R<u,v>，当且仅当|x-y|=|u-v|， 证明：R是等价关系，并确定由R诱导的A的划分。 证：首先证明R是等价的。 1.对任意的<x,y> A，因|x-y|=|x-y|，故<x,y>R<x,y>，R 具有自反性。 2.对任意的<x,y>、<u,v> A，若<x,y>R<u,v>，即|xy|=|u-v|，则|u-v|=|x-y|，从而<u,v>R<x,y>，故R满足 对称性。 3.若<x,y>R<u,v>，<u,v>R<p,q>，即|x-y|=|u-v|，|uv|=|p-q|，可得|x-y|=|p-q|从而<x,y>R<p,q> ，故R具有 传递性。