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高一数学不等式知识点总结
一、要点精析
1.比法比法是明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两
个数大小序和运算性的直接用，比法可分差比法 ( 称求差法 )
和商比法 ( 称求商法 ) 。

(1)差比法的理依据是不等式的基本性：“a -
b≥0a≥b;a - b≤0a≤b”。

其一般步：①作差：考察不等式左右两构成的差式，将其看作一个整体 ; ② 形：把不等式两的差行形，或形一个常数，或形若干个因式的，或形一个或几个平方的和等等，其中形是求差
法的关，配方和因式
分解是常使用的形手段 ; ③判断：根据已知条件与上述形果，判断不等式两差的正号，最后肯定所求不等式成立的。

用范：当被的不等式两端是多式、分式或数式一般使用差比法。

(2)商比法的理依据是：“若 a，b∈R+，
a/b ≥1a≥b;a/b ≤1a≤b”。

其一般步：①作商：将左右两端作商; ② 形：化商式到最形式 ; ③判断商与 1 的大小关系，就是判定商大于 1 或小于1。

用范：当被的不等式两端含有、指数式，一般使用商比法。

2.合法利用已知事 ( 已知条件、重要不等式或已明的不等
式)作基，借助不等式的性和有关定理，逐步的推理，最后推出所
要明的不等式，其特点和思路是“由因果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“ ”。

其关系： AB1
B2B3⋯BnB，即从已知 A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得
出 B。

3.分析法分析法是指从需的不等式出，分析个不等式成立的充
分条件，而化判定那个条件是否具，其特点和思路是“ 果索因”，即
从“未知”看“需知”，逐步靠“已知”。

用分析法明 AB的关系：
BB1B1B3⋯
BnA，写的模式是：了明命 B 成立，只需明命 B1 真，从而有⋯，只需明 B2 真，从而又有⋯，⋯⋯只需明A真，而已知 A真，故 B必真。

种
模式告我，分析法是步步求上一步成立的充分条件。

4.反法有些不等式的明，从正面不好清楚，可以从正反的角度
考，即要明不等式 A>B，先假 A≤B，由及其它性，推出矛盾，从而肯
定 A>B。

凡涉及到的明不等式否定命、惟一性命或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等，可以考用反法。

5.元法元法是一些构比复，量多，量之的关系不甚明了
的不等式可引入一个或多个量行代，以便化
原有的构或某种化与通，明来新的启迪和方法。

主要有两种元形
式。

(1) 三角代法：多用于条件不等式的明，当所条件复，一个量不
易用另一个量表示，可考三角代，将两个量都有同一个参数表示。

此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的系，将复的代数化三角
根据
具体，施的三角代方法有：①若 x2+y2=1，可 x=cosθ，
y=sin θ; ②若 x2+y2≤1，可 x=rcos θ， y=rsin θ(0 ≤r ≤1); ③ 于含有的不等式，由于 |x| ≤1，可 x=cosθ; ④若 x+y+z=xyz ，由
tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC 知，可 x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。

(2) 增量元法：在称式 ( 任意交两个字母，代
数式不 ) 和定字母序 ( 如 a>b>c 等) 的不等式，考用增量法行元，
其目的是通元达到减元，使化易，化繁。

如a+b=1，可以用 a=1-t ，b=t 或 a=1/2+t ，b=1/2-t 行元。

6.放法放法是要明不等式 A
二、点突破
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。

3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。

如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析
法只能使用于证明等价命题了。

用分析法证明问题时，一定要恰当地
用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。

4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。

5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。

这是
换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。

6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。

另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。

1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：
(1)对称性： a>bb
(2)传递性：若 a>b，b>c，则 a>c;
(3)可加性： a>ba+c>b+c;
(4)可乘性： a>b，当 c>0 时， ac>bc; 当 c<0 时， ac
不等式运算性质：
(1)同向相加：若 a>b，c>d，则 a+c>b+d;
(2)异向相减：， .
(3)正数同向相乘：若 a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。

(4)乘方法：若 a>b>0，n∈N+， ;
(5)开方法：若 a>b>0，n∈N+， ;
(6)倒数法：若 ab>0，a>b，。

2、基本不等式
定理：如果，那么 ( 当且当 a=b 取“ =”号 )
推：如果，那么 ( 当且当 a=b 取“ =”号 )
算平均数 ; 几何平均数 ;
推广：若，
当且当 a=b 取“ =”号 ;
3、不等式
|x|0)的解集：{x|-a
|x|>a(a>0)的解集：{x|x>a或x<-a}。

棱柱：
(1)概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相两个面的交互相平行。

的多面体叫做棱柱。

棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的面，两个棱的公共叫做棱柱的棱，棱柱中两个底面的距离叫棱柱的高。

(2)分：①按棱是否与底面垂直分：分斜棱柱和直棱柱。

棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，棱垂直于底面的棱柱叫直棱
柱;
②按底面数的多少分：底面分三角形，四形，五形⋯、分称
三棱柱，四棱柱，五棱柱，⋯
棱：
(1)概念：如果一个多面体的一个面是多形，其余各个面是有一个公共点的三角形，那么个多面体叫棱。

在棱中有公共
点的各三角形叫做棱的面，棱中个多形叫做棱的底面，棱中相
两个面的交叫做棱的棱，棱中各棱的公共点叫棱的点。

棱点
到底面的距离叫棱的高，棱不相的两条棱的截面叫棱的角面。

(2)分：按照棱底面多形的数可将棱分：三棱、四棱、五棱⋯
(3)正棱的概念：如果一个棱的底面是正多形，且点在底面的
射影是底面的中心，的棱叫正棱。

棱台：
用一个平行于棱底面的平面去截棱，底面与截面之的部分叫做
棱台，原棱的底面和截面分叫做棱台的下底面和上底面。

柱的概念：
以矩形的一所在的直旋，其余三旋所成的曲面所成的几何
体。

旋叫做柱的，垂直于的旋而成的面叫做柱的
底面，平行于的旋而成的曲面叫做柱的面; 无旋到什
么位置，不垂直于的叫做柱面的母。

的概念：
以直角三角形的一条直角旋，旋一周所成的曲面所成的几何
体 ;
台的概念：
用一个平行于底面的平面去截，截面和底面之的部分;
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