角的概念

角的概念的推广
➢ 教学重点：
1．理解正角、负角、零角的定义，掌握终边相同角的表示法； 2．区别并理解角的大小与角的终边位置不同表示方法的含义；
3．理解概念“0○
到90○
的角”、“第一象限角”、“锐角”和“小于90○
的角”．
➢ 教学难点：终边相同的角的表示．
➢ 教学过程：
角的概念的推广 第一课时
一、三角函数背景介绍
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等．三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用．如本章章头图提到的问题，用三角学知识来解的话，会很简单，以后大家将会体会到．
三角学起源于对三角形边角关系的定量考察，这始于古希腊一批天文学家对天文的测量．比如希腊人阿利斯塔克（公元前310～前230）提出“日心说”：太阳处于宇宙的中心，而地球绕太阳旋转，同时自转．这一观点早于哥白尼1700多年，因而被恩格斯称为“古代的哥白尼”．他的现存著作只有一篇短文《论日月的大小及距离》，其中记载了他侧得月亮上弦时日月之间的角距离为870
．如图所示，设日地距离为a ，
月地距离为b ，因月亮上弦时∠EMS=900
，故∠S=30
．阿利斯
塔克用一种比较复杂的几何方法算得
18
1
3sin 201<=<οa b ，由此他断言日地距离介于月地距离的18倍与20倍之间．虽
然这一结果与现代测量的数值（约389倍）相差甚远，但测不准的原因是由于目测误差引起的，他的方法正确简明，为后人继续使用．（上弦时日、月间的角距离为89051，，而不是870）因此在相当长一个时期里，三角学隶属于天文学，而在它的形成过程中里同了当时已经积累得相当丰富得算术、几何和天文知识．鉴于此种原因，作为独立得数学分支的三角学诞生之前，它的贡献者主要是一些天文学家，如梅内劳斯、托勒密等．这两个人在数学上的成就也很大，如果大家有看课外书的话，可能会知道以这两人命名的定理，这在初等几何中是非常有名的．有机会再向大家介绍．三角学作为一门数学分支是什么时候传入中国的呢？1631年，三角学输入中国．明朝学者徐光启所编译的《大测》一书就是介绍三角学的．徐光启的工作使中国开始接受欧洲科学知识，对我国的天文学和数学的发展有重大影响．至于有关本章具体内容介绍，我建议大家去看一下《精编》第一页的“学习导引”，可能会对大家很有帮助．
二、复习0○～360○角的概念
初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的
射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的
顶点．
三、角概念的推广
在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720○”（即转体2周），“转体10800”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
答：逆时针旋转300；顺时针旋转300.
在日常生活中，我们经常要遇到大于360○的角以及按不同方向旋转而成的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性．同学们再思考一下，举出几个现实生活中“大于360○的角或按不同方向旋转而成的角”的例子．
答：自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时所成的角．
为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
答：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形
成了一个零角．
如图3，以OA 为始边的角α=-1500，β=-6600。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角．
角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角．这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
四、象限角
在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念．同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
答：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了．下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1． 定义中说：角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果改为与x 轴的正半轴重合行不行，为
什么？
2． 定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？ 3． 是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？ 答：1．不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这
个角不属于任一象限．
强调学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的．
师生讨论：按照象限角定义，图中的300
，3900
，-3300
角，都是第一象限角；3000
，-600
角，都是第四象限角；5850
角是第三象限角．
提问：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
（2）锐角就是小于900的角吗？ （3）锐角就是00
～900的角吗？
答：（1）锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
（2）小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
（3）锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.
学生练习（口答）：
已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
五、终边相同的角的表示法
让我们再来看图中的三个角，3900，-3300都不是0○～360○角，但它们都与300角的终边相同，请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
答：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等.
由此我们发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍．
例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300．那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300-3×3600+300
4×3600+300-4×3600+300
……，……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合．
对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
答：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
六、例题讲评
例1 在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角. （1）-1200；（2）6400；（3）-950012，.
解：（1）-1200=2400+（-1）×3600，∴与-1200角终边相同的角是2400角，它是第三象限角；
（2）6400=2800+3600，∴与6400角终边相同的角是2800角，它是第四象限角；
（3）-950012，=129048，+（-3）×3600，∴与-950012，角终边相同的角是129048，角，它是第二象限角.
注意以下几点：
（1）k∈Z；
（2）α是任意角；（正角、负角、零角）；
（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多
个，它们相差3600的整数倍．
七、本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法．。