(完整版)几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型

一.一线三等角概念

“一线三等角”是一个常见的相似模型, 上

构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼，

“K 形图”， 二•一线三等角的分类 全等篇

指的是有三个等角的顶点在同一条直线 也可

以是锐角或钝角。不同地区对此有 “弦图”

三、“一线三等角” 1. 一般情况下，如图

2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 易得△ AE3A BDE.

.如图 3-1，若 CE=ED 则厶 AE3A BDE.

锐角

同侧

异侧

相似篇 锐角

同侧

异侧

“三垂直”,

等，以下称为“一线三等角”。

的性质

3-1，由/

1 = / 2=7 3,

A

V

A

BOC

ff

构造模型解题

在图3-4

造“一线三等角

如图3- 4 如图3-3，当/仁/ 2且 BOC 90 4•“中点型一线三等角“的变式

（了

中点时，△ BD 0A CFS A DFE.

阳3-1

3.中点型“一线三等角”

如图3-2，当/仁/ 2=7 3,且 D 是BC

^3-3

图 3^

“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，

1 90

BAC 这是内心的性质，反之未必是内心 .

2

（右图）中，如果延长 BE 与CF ，交于点P ，则点D 是厶PEF 的旁心

-BAC 时，点0是厶ABC 的内心.可以考虑构 2

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明

图3-5

其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况.

a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等

c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题•

体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题•

2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x 轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段•

3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似

在DC的延长銭上截取CE= —, CD的延怅:規上藪取DF= —>

贝I」mZAEP= t3nZPFB= t3M J»JZAEP= ZPFH= a= ZAPR ,所1^APAlw ABPF .

在CP上蔵取CE= —, 1£ DP蒙取DF=—,

则tmZAEC= tanZBFD=taDGiWlZAEC= ZBFD= a= ZA?B^^iPAE«iBPF ・

坐标系中，要讲究“线”的特殊性

如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角

当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D

两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握•

解题示范

例1如图所示，一次函数y x 4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上

一个动点（不包括A、B两端点），C是线段0B上一点，/ OPC=45 °若△OPC是等腰三角形，求点P 的坐标•

例2 如图所示，四边形ABCD 中，/ C=90 ° / ABD= / DBC=22.5 ° AE 丄BC 于E,/

ADE=67.5 ° AB=6,贝U CE=.

例3 如图，四边形ABCD 中，/ABC= / BAD=90 ° ,Z ACD=45 ° , AB=3 , AD=5.求BC 的长.

x-3

例4 如图，△ ABC 中，/BAC=45 ° , AD 丄BC , BD=2 , CD=3,求AD 的长.

一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙•找出相似形,

比例不能少•巧设未知数，妙解方程好

还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造

例5 如图，在△ABC 中，/ BAC=135 , AC= . 2 AB, AD丄AC 交BC 于点D,若AD = 2 ,求Z\ABC的面积

当然有45°或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角

一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种

大练身手:

】.如團，A4占＜7 中，tan厶6 = —= 90°, AD = 2, 5C = 4 .求的比

E n

Z如图* △彳RQ中，zJ¥= 45* f AC 4,求2\£〔4的周比

C

4•在直角三角形ABC, ZC=90° .Z沪30° J04, D为XC的中点■若“DEF为止三角形，求CF的长.

5 •如图.在Rt^ABC中，ZACB-30Q■场平分ZCAB.若ZCDB-60。, CA二価求应）的长.

巧、

/ \

6•如图・在等腰宜角三角形中.ZBAO909• D为仙上一鼠连接Cd P为CD上一民 ZBFD二45°，若CP=6, MCD的面积为18,则线段D〃的长为•