利用导数解参数范围的八种策略hai

巧用导数解参数问题的八种策略

现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。

策略一：分离变量法

所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.

解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：

结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小

值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.

结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大

值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.

案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x x

ax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x x

a 案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）

A. [1,)-+∞

B. (1,)-+∞

C. (,1]-∞-

D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02

)(≤++-='x b x x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-， 案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）

A ．3a >-

B ．3a <-

C ．13a >-

D ．13

a <- 分析：'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=

有正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13ln()x a a

=

-， 由0x >得3a <-. 案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为

解：当0x =，则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立；

当10≤

≥

- 令()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减， 因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭

，从而4a ≥； 当01<≤-x 时，3()310f x ax x =-+≥可化为2331a x x ≤-，()()'4

312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，

综上4a =

分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。

案例5、（2005湖北卷）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.

解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2

x +tx +t

≨)(x f '=23x -+x 2+t .

若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0 ⇔t ≥2

3x -x 2在 (-1,1)上恒成立.

若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-3

1 在区间[-1,1]上，max

)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，

只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5.

即t 的取值范围是[5，≦）.

利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。

案例6、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x

+->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立，

设()23f x x x =-+，则()23924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝

⎭ 当2x =时，()max 2f x = 所以2a >

案例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范

围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：221t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()21t f t t +=

在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124

t f t t t t t +⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322

a ∴-<<

策略二：主次元变换法

案例1、.（2009北京卷）设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.

分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，

考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）（Ⅱ）题略，对于题（Ⅲ），若借助（Ⅱ）的结论入手，须分1111≥--≤-k

k 或两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。

（Ⅲ）解：由题意上恒成立在)1,1(0)1()(-∈≥+='x e kx x f kx

即上恒成立在)1,1(01-∈≥+x kx

≨⎩

⎨⎧-≥≤⇒⎩⎨⎧≥⋅+≥-⋅+110110)1(1k k k k 又0≠k