江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末数学试题(解析版)
江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)
【分析】
分别求出每个选项中对应的 即可判断.
【详解】
对A， ， ，联立解得 ，不满足 ，故A不可能，符合题意；
对B， ， ，联立解得 ，满足 ， ，故B可能，不符合题意；
对C， ， ，联立解得 ，满足 ， ，故D可能，不符合题意；
对D， ， ，联立解得 ，满足 ， ，故D可能，不符合题意；
故选：A.
江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 对应的点 满足方程（）
（2）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
20．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，要求体育纳入高中学业水平考试范围.《国家学生体质健康标准》规定高三男生投掷实心球6.9米达标，高三女生6.2米达标.某地初步拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦通过无需再投，为研究该方案的合理性，到某校任选4名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，该方案需要调整；否则就定为考试方案.已知该校男生投掷实心球的距离 服从 ，女生投掷实心球的距离 服从 （ ， 的单位：米）.
10．ACD
【分析】
对A，由线面平行的判定定理即可判断；对B，可得四边形EFGH为边长为1的正方形，且为截面，即可判断；对C，可得EG即为 与 的公垂线段，求出即可；对D，可得 即为二面角 的平面角， 即为 与平面 所成角，求出即可比较.
【详解】
对A， 点 ， 为棱 ， 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，故A正确；
江苏省南通市如东市2021-2022学年高三第一学期期末学期检测数学试卷(解析版)
2021－2022学年度第一学期期末学期检测高三数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含[单选题(1~8)多选题9~12，填空题(第13题~第16题，共80分)、解答题(第17~22题，共70分)]．本次考试时间120分钟，满分150分，考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置．3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答．在试卷或草稿纸上作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|log2(x－1)＜0}，B＝{x|x2－3x－4＜0}，则A．A∩B＝A B．A∩B＝BC．(∁R A)∩B＝B D．A∩(C R B)＝A2．已知复数z满足z i2021＝4i2022－3i2023，则z＝A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i3．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”．古人构建了金生水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是A．12B．13C．14D．154．已知A，B是圆x2＋y2－8x－4y＋19＝0的一条直径，则→OB＝OA·→A．0B．19C．19D．15．某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为m A．20m B．10m C．103m D．10336．已知函数f (x )＝e x－e －x＋ln(x 2＋1＋x )，则不等式f (x )＋f (2x －1)＞0的解集是A ．(1，＋∞)B ．(13，＋∞)C ．(－∞，13)D ．(－∞，1)7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，且∠FPF 2＝π3，若F 1关于∠F 1PF 2平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为A ．22B ．33C ．12D ．138．已知三棱锥P －ABC 的外接球半径为4，底面ABC 中，AC ＝6，∠ABC ＝60°，则三棱锥P －ABC 体积的最大值是A ．183B ．543C ．24πD ．163＋243二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年南通一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.函数f(x)=8x 的值域是( )A. (−∞,+∞)B. (−∞,0)C. (0,+∞)D. (−∞,0)∪(0,+∞)2.已知sin(π+α)=−12，那么cosα的值为( )A. ±12B. 12C. √32D. ±√323.对于正弦函数y =sinx 的图象，下列说法错误的是( )A. 向左右无限伸展B. 与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同C. 与x 轴有无数个交点D. 关于y 轴对称4.设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线，则k 的值为( )A. −94B. −49C. −38D. 不存在5.如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°，则sin(α−β)=( )A. 4+3√310B. 4√3+310C. 4−3√310D. 4√3−3106.将最小正周期为3π的函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为( )A. 7π12B. −5π12C. −π4D. π47.的最大值为( )A.B.C. D.8.已知扇形的面积为4，弧长为4，求这个扇形的圆心角是( )A. 4B. 2°C. 2D. 4°9.设A,B,C ∈(0,π2)，且cosA +cosB =cosC ，sinA −sinB =sinC ，则C −A =( )．A. −π6B. −π3C. π3D. π3或−π310. 如图，在△ABC 中，∠A =π2，AB =3，AC =5，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 34 B. 12 C. −2 D. −1211. 定义域为R 的函数y =f(x)，若对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①y =−x 3+x +1②y =3x −2(sinx −cosx)③y =e x +1④f(x)={ln|x|,x ≠00,x =0其中为“H 函数”的有( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①②③12. 设向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(λ,−1)，且|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b⃗ 2，则λ等于( ) A. 2 B. ±2 C. −2 D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设0<θ<π2，向量a ⃗ =(sin2θ,cosθ)，b ⃗ =(cosθ,1)，若a ⃗ //b ⃗ ，则cos2θ=______． 14. 已知(a +1)−23<(3−2a)−23，则a 的取值范围 ． 15. 抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是 ．16. 在下列四个命题中，正确的命题有______．①若实数x ，y 满足x 2+y 2−2x −2y +1=0，则y−4x−2的取值范围为[43,+∞)；②点M 是圆(x −3)2+(y −2)2=2上一动点，点N(0,−2)为定点，则|MN|的最大值是7；③若圆(x −3)2+(y +5)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y =2的距离为1，则4<r <6；④已知直线ax +by +c −1=0(bc >0)经过圆x 2+y 2−2y −5=0的圆心，则4b +1c 的最小值是10． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，记m ⃗⃗⃗ =3a ⃗ −2b ⃗ ，n ⃗ =2a ⃗ +k b ⃗(I) 若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，求实数k 的值；(II) 当k =−43时，求向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角θ．18. 已知函数f(x)=cosωx(sinωx +√3cosωx)(ω>0)． (1)求函数f(x)的值域；(2)若方程f(x)=√32在区间[0,π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围．19. 设函数f(x)=log 3(9x)⋅log 3(3x)，19≤x ≤9，若t =log 3x. (1)求t 的取值范围． (2)求f(x)的值域．20. 如图，在菱形ABCD 中，若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，∠BAD =60°，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ，x ，y 的值； (2)求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 已知函数f(x)=3xx+2,x ∈[0,4)． (1)判别f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最值．22. 设函数y =f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A.如果∃x 1，x 2∈I ，使得f(x 1)f(x 2)<0，那么称函数y =f(x)为区间I 上的“变号函数”．(1)判断下列函数是否为区间I上的“变号函数”，并说明理由．,+∞)；①p(x)=1−3x，I=[13)；②q(x)=sinx−cosx，I=(0,π2,1]上的“变号函数”.求实数a的取值范围．(2)若函数r(x)=ax2+(1−2a)x+1−a为区间[−12参考答案及解析1.答案：D解析：解：令y =8x ，则解析式中y 的取值范围即为函数的值域 则原函数的解析式可变形为x =8y ， 要使该表达式有意义，分母y ≠0． ∴y ∈(−∞,0)∪(0,+∞) 故选：D ．根据已知中函数的解析式，我们可使用“反表示法”求函数的值域，即根据已知函数的解析式，写出用y 表示x 的形式，令表达式有意义，即可求出满足条件的y 的取值范围，即原函数的值域． 本题考查的知识点是函数的值域，函数的值域的求法是函数中的难点之一，其中根据函数的解析式形式，选择适当的方法是求值域的问题．2.答案：D解析：利用诱导公式求出sinα，再利用同角三角函数关系式求出cosα即可． 本题考查诱导公式，同角三角函数关系式的应用．属于基础题．解：sin(π+α)=−12，则sinα=12，cosα=±√32．故选D ．3.答案：D解析：解：y =sinx 是周期函数，图象可以向左右无限伸展，故A 正确，y =sin(x +π2)=cosx ，则与y =cosx 的图象形状相同，只是位置不同，故B 正确， 与x 轴有无数个交点，故C 正确，y =sinx 是奇函数，图象关于原点对称，故D 错误， 故选：D ．根据y =sinx 的图象和性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数图象和性质，结合三角函数的图象是解决本题的关键．比较基础．4.答案：D解析：解：e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1⃗⃗⃗ −2k e 2⃗⃗⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ ，若A ，B ，D 共线， 则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(3−k)e 1⃗⃗⃗ −(2k +1)e 2⃗⃗⃗ =λe 1⃗⃗⃗ +2λe 2⃗⃗⃗ ，∴{3−k =λ−(2k +1)=2λ, 解得k 的值不存在． 故选：D ．根据平面向量的线性运算法则，利用共线定理和向量相等列出方程组，即可求出k 的值不存在． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理和向量相等的应用问题，是基础题目．5.答案：B解析：解：以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为(−35,45)，β=30°， 可得sinα=45，cosα=−35，sin(α−β)=sinαcos30°−cosαsin30°=45×√32+35×12=3+4√310． 故选：B ．利用任意角的三角函数的定义，求出α、β的三角函数值，然后利用两角差的正弦函数求解． 本题考查三角函数的定义的应用，两角差的正弦函数，考查计算能力．6.答案：B解析：本题主要考查由函数y =Acos(ωx +φ)的部分图象求解析式，函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的奇偶性，属于基础题．由周期求得ω，可得函数f(x)的解析式，再根据函数y =Acos(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 解：由于函数f(x)=cos(ωx +φ)−sin(ωx +φ)=√2cos(ωx +φ+π4)的最小正周期为3π=2πω，求得ω=23，∴函数f(x)=√2cos(23x +φ+π4).再把f(x)的图象向左平移π4个单位，得到偶函数y =√2cos[23(x +π4)+φ+π4] =√2cos(23x +5π12+φ)，则满足题意的φ的一个可能值为−5π12， 故选B ．7.答案：C解析：试题分析：因为函数，所以因此结合不等式的性质，得到，可知函数的最大值为4.选C．考点：本题主要考查三角函数的性质中值域的求解运用。
江苏省如东高级中学2020-2021学年第一学期高一年级阶段测试数学试题(一) 含答案
()
(
)
()
16．设0,4+
xb
2+0在a,b上恒成立，则b−a的最大值为______________．
a
x
2
a
2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知集合A={2，3，a+4a+2}，B={0，7，2−a，a+4a−2}，
=3,7.求的值及集合
a
7
0
a
16
当a0时，
，解得0a.………………11分
16
2
0
7
=a−a
7
16
综上，的取值范围为0,
.………………12分
a
7
20．【详解】
()
()
x
（1）对于p：2−3
2−4成立，而0,1，有
2x−3
=−3
，
x
m
m
min
min
所以−3m2−4m，…………………………………分
2
∴13.……………………………………………4分
x
axaxm
R
a
20．（本题满分12分）
，使得不等式
x
设命题：对任意0,1，不等式2x−3m2−4m恒成立，命题：存在−1,1
p
x
q
22
x−x+m−成立.
10
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
p
m
（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
q
p
m
3
21.（本题满分12分）
江苏省如东高级中学2020-2021学年第一学期高一年级阶段测试数学试题(一) 含答案
A．m − 3 m 1
B． m −1 m 3
C．m m −3,或m 1
D．m m −1,或m 3
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．(多选题)下列四个条件，能推出 1 1 成立的有（ ） ab
1．已知集合 A = {−1, 2}， B = x Z | 0 x 2 ，则 A B 等于（ ）
A． {0}
B． 2
2．16 的 4 次方根可以表示为（ ）
C．{0,1, 2}
D．
A．2
B． −2
C． 2
D． 4
3．已知全集U = x R | x 0, M = x | x −1, N = x | −3 x 0, 则下图中阴影部分表示的集合是（ ）
5.“ x 0 ”是“ 1 0 ”的（ ）
y0
xy
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
6. 已知命题 p : x R, ax2 2x 3 0 .若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
a
|
a
1 3
C．
a
|
a
1
3
B．
a
|
0
a
1 3
11.已知集合 A = x Z x2 + 3x −10 0 ，B = x x2 + 2ax + a2 − 4 = 0 ．若 A B 中恰有 2 个元素，则实数 a
值可以为（ ）
A． 2
B．1
C． −1
D． −2
江苏省南通市如东县2020-2021学年高三上学期期末数学试题(解析版)
2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,0,1A a =-，{},,0B a b =，若A B =，则()2021ab 的值为（ ）A.0B.-1C.1D.1±【答案】B【解析】根据元素互异性可知a ≠0，b ≠0， 因为A=B ，所以-1=a 或-1=b 。
当a=-1时，-11-ab ,1202120212====）（）此时（a b ； 此时所以因为时，则当,1a ,0a ,-12=≠==a a b 1)1()(20212021-=-=ab 。
2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i 2a -+=，则a =（ ）A.1C.3【答案】A【解析】.1,01,21,2)1()1(,2)1)(1(==-=+∴=-++=+-a a a i a a ai i 得得由3.某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（ ）A.6种B.24种C.36种D.72种【答案】C【解析】先从4名大学生中选2名构成1组，有42C 种方法，再与剩下得两名大学生分配到3个乡村有33A 种方法。
故有42C 33A =36（种）。
4.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例1 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若2has =，则由勾股定理，22as s a =-，即210s sa a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因此可求得S a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形()2856a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ） A.611.6B.692.5C.481.4D.512.4【答案】B 【解析】=≈=≈+=1.618a ,618.1251S PH as所以692.5. 5.电影《我和我的家乡》于2020年10月11日在中国内地上映，到2020年10月14日已累计票房22.33亿，创造了多个票房记录，某新闻机构想了解全国人民对《我和我的家乡》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于（ ） A.100B.160C.200D.240【答案】C【解析】由题意得3个区人口数之比为2：3：5，所以第三个区所抽取的人数最多，即所占比例为21。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。
江苏南通徐州宿迁淮安泰州镇江六市联考2020-2021学年下高三第一次调研考试数学试题(全解析)
江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市联考2021届高三第一次调研测试数 学2021．02注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ＝{}26x N x ∈<<，B ＝{}2log (1)2x x -<，则A B ＝A ．{}35x x ≤<B ．{}25x x <<C ．{3，4}D ．{3，4，5} 2．已知2＋i 是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a ＝A ．2－iB ．－4C ．2D ．4 3．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为A ．11B ．13C ．15D ．174．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述，在该模型中，人体内药物含量x （单位：mg ）与给药时间t （单位：h ）近似满足函数关系式0(1e )kt k x k-=-，其中0k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg /h ）．经测试发现，当t ＝23时，02k x k=，则该药物的消除速率k 的值约为（ln2≈0.69） A ．3100 B ．310 C ．103 D ．10035．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为 A ．2nB ．12n - C ．(1)32n n -+ D ．(1)32n n--6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D 7．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PA PB PC ++=0； 乙：()()PA PA PB PC PA PB ⋅-=⋅-； 丙：PA PB PC ==； 丁：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅． 如果只有一个等式不成立，则该等式为A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知曲线ln y x =在A (1x ，1y )，B (2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C (3x ，3y )，D (4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52D ．174二、 选择题：本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2020-2021学年新教材高一数学上学期期末复习练习(四)
2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．集合{|14}A x N x =∈≤<的真子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．42．已知：p ：A ={x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}，若p 是￢q 成立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ）A ．(﹣∞，﹣3)∪(5，+∞)B ．(﹣3，5)C ．[﹣3，5]D ．(﹣∞，﹣3]∪[5，+∞)3．已知a b >，0ab ≠，则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b >B ．22a b >C ．|a |>|b|D ．11a b < 4．已知lg 20.3010=，由此可以推断20142是（ ）位整数.A ．605B ．606C ．607D ．6085．设f （x ）＝12(1),1x x x <<-≥⎪⎩，若f （a ）＝12，则a ＝（ ） A ．14 B ．54 C ．14或54 D ．26．正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，则xy 的取值范围是（ ）A ．1[,100]100B ．1(0,][100,)100⋃+∞ 117．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm 8．复利是一种计算利息的方法．即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%．如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（ ）元（参考数据：1.02254＝1.093，1，02255＝1.170，1.04015＝1.217）A ．176B ．104.5C ．77D ．88二、多选题9．已知集合{}2A x ax =≤，{B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 10．设正实数a ，b 满足a +b ＝1，则（ ）A ．11a b +有最小值4B 12C D ．a 2+b 2有最小值12 11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）A ．()4()f x f x +=B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的奇函数D ．函数()y f x =为R 上的偶函数12．将函数()sin2f x x =向右平移4π个单位后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ） A ．在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 B ．最大值为1，图象关于直线32x π=对称 C ．在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知p ：2106x x >--，则“非p ”对应的x 值的集合是___. 14．若对数ln （x 2﹣5x +6）存在，则x 的取值范围为___.15．若()log 3a y ax =+(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．四、双空题16．已知函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩. 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是________;若()f x m =有2个零点，则m =________．17．已知集合{}12A x x =-≤≤，{}2B x a x a =≤≤+．（1）若1a =，求A B ；（2）在①R R A B ⊆，②A B A ⋃=，③A B B =中任选一个作为已知，求实数a 的取值范围．18．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈ （1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值.19．计算下列各式的值：（1）lg2+lg50；（2）39log 4log 8； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭.20．已知函数f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0．（1）求a ，b 的值；（2）()()f x g x x =，求函数1(|21|),,22x y g x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的x 值．21．设函数()cos(),0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.22．销售甲种商品所得利润为P 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为1at P t =+；销售乙种商品所得利润为Q 万元，它与投入资金t 万元的函数关系为Q bt =，其中a ，b 为常数．现将5万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为52万元；若全部投入乙种商品，所得利润为53万元．若将5万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的最大值．2020-2021高一数学期末复习练习（四）考查知识：苏教版必修第一册参考答案1．C【分析】先用列举法写出集合A ，再写出其真子集即可.【详解】解：∵141,2,3{|}{}A x N x =∈≤<=，{|1}4A x N x ∴=∈≤<的真子集为：{}{}{},,,,{}1231,21,{},,3{}2,3∅共7个． 故选：C ．2．A【分析】求出集合A ，B ，由题可得[1,3]- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，即可求出.【详解】解：由2230x x --≤，解得：13x -≤≤.{}2:230[1,3]p A x x x ∴=--≤=-∣.由22240x mx m -+-≤，解得：22m x m -≤≤+.∴q ：B ={x |x 2﹣2mx +m 2﹣4≤0}=[m ﹣2，m +2]， {}22:240[2,2]q B x x mx m m m ∴=-+-≤=-+∣.∵p 是￢q 成立的充分不必要条件，[1,3]∴- ()(),22,m m -∞-⋃+∞，32m ∴<-或21m +<-，解得5m >或3m <-.∴m 的取值范围是(,3)(5,)-∞-+∞. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 3．B【分析】利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但22a b <，所以不正确； 对于B 中，由函数2x y =为R 上的单调递增函数，因为a b >，所以22a b >，所以正确； 对于C 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但|a ||b |<，所以不正确； 对于D 中，令1,2a b ==-，此时满足a b >，0ab ≠，但11a b>，所以不正确. 故选：B.4．C【分析】令20142t =，两边取对数后求得lg t ，由此可得20142的整数位.【详解】解：∵lg 20.3010=，令20142t =，∴2014lg 2lg t ⨯=，则lg 20140.3010606.214t =⨯=，∴20142是607位整数.故选：C.5．C【分析】根据解析式分段讨论可求出.【详解】解：∵()12(1),1x f x x x <<=-≥⎪⎩，1()2f a =，∴由题意知，0112a <<⎧=或()11212a a ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得14a =或54a =. 故选：C ．6．B【分析】两边取对数可得lg lg 1x y =，利用基本不等式即可求出xy 的取值范围.【详解】正实数x ，y 满足lg lg 100y x x y =，两边取对数可得2lg lg 2x y =，所以lg lg 1x y =， 所以22lg lg lg()1lg lg 22x y xy x y +⎛⎫⎡⎤=≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2lg ()4xy ≥， 所以lg()2xy ≥或lg()2xy ≤-，解得100xy ≥或10100xy <≤， 所以xy 的取值范围是1(0,][100,)100⋃+∞． 故选：B【点睛】 关键点点睛：本题的求解关键是两边取对数得到lg lg x y 积为定值. 7．C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =，故选：C8．B【分析】由题意，某同学有压岁钱1000元，分别计算存入银行和放入微信零钱通或者支付宝的余额宝所得利息，即可得到答案．【详解】将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为51000 1.04011217⨯＝，故而共得利息1217–1000＝217元．将1000元存入银行，不选择复利的计算方法，则存满5年后的利息为1000×0.0225×5＝112.5，故可以多获利息217–112.5＝104.5．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用问题，其中解答中认真审题，准确理解题意，合理利用等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．9．ABC【分析】由B A ⊆可得出关于实数a 的不等式组，解出实数a 的取值范围，进而可得出实数a 的可能取值.【详解】{}2A x ax =≤，{B =且B A ⊆，所以，222a ≤≤⎪⎩，解得1a ≤. 因此，ABC 选项合乎题意.故选：ABC.10．ABCD由正实数a ，b 满足1a b +=，可得2a b ab +，则104ab <，根据1114a b ab +=判断A ；104ab <开平方判断B =判断C ；利用222222()a b a a b b +++判断D ．【详解】正实数a ，b 满足1a b +=，即有2a b ab +，可得104ab <， 即有1114a b a b ab ab ++==，即有12a b ==时，11a b+取得最小值4，无最大值，A 正确；由104ab <可得102<，可得12a b ==有最大值12，B 正确；1122=+⨯，可得12a b ==，C 正确； 由222a b ab +可得2222222()()1a a b a b a b b ++=++=，则2212a b +，当12a b ==时，22a b +取得最小值12，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.【分析】由()()2f x f x +=-，可得推得()()4f x f x +=，得到A 是正确的；由奇函数的性质和图象的变换，可得判定B 是正确的；由(1)(1)f x f x --=--+，可得推得函数()f x 是偶函数，得到D 正确，C 不正确.【详解】对于A 中，函数()y f x =满足()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以A 是正确的；对于B 中，()1y f x =-是奇函数，则(1)f x -的图象关于原点对称，又由函数()f x 的图象是由()1y f x =-向左平移1个单位长度得到，故函数()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以B 是正确的；对于C 、D ，由B 可得：对于任意的x ∈R ，都有(1)(1)f x f x --=--+，即(1)(1)0f x f x --+-+=，可变形得(2)()0f x f x --+=，则由(2)()(2)f x f x f x --=-=+对于任意的x ∈R 都成立，令2t x =+，则()()f t f t -=，即函数()f x 是偶函数，所以D 正确，C 不正确.故选：ABD【点睛】函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.12．ABD【分析】化简得到()cos 2g x x =-，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()cos 2g x x =-单调递增，且为偶函数，A 正确，C 错误； 最大值为1，当32x π=时，23x π=，所以32x π=为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性 ，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.13．{}23x x -≤≤【分析】先求出命题p ，再按照非命题的定义求解即可.【详解】p ：2106x x >--， 则260x x -->，解得2x <-或3x >，所以“非p ”对应的x 值的集合是{}23x x -≤≤. 故答案为：{}23x x -≤≤.14．()(),23,-∞+∞ 【分析】若对数存在，则真数大于0，解不等式即可.【详解】解：∵对数ln （x 2﹣5x +6）存在，∴x 2﹣5x +6＞0，∴解得： x ＜2或 x ＞3，即x 的取值范围为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）.15．(]1,3【分析】先利用0a >判断30u ax =+>是增函数，进而得到log a y u =是增函数，列关系计算即得结果.【详解】因为()log 3a y ax =+，(0a >且1a ≠)在区间(－1，＋∞)上是增函数，知3u ax =+在区间(－1，＋∞)上是增函数，且0>u ，故log a y u =是增函数，所以30101a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪>⎨⎪>⎪≠⎪⎩，解得13a .故a 的取值范围是(]1,3．故答案为：(]1,3．16．(0,1) 0或1【分析】把函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为()0f x m -=的根有3个，转化为()y f x =和y m =的交点有3个，画出函数()22log (1),02,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩的图象，如图所示，则直线y m =与其有3个公共点， 又抛物线的顶点为(1,1)-，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．若()f x m =有2个零点，则0m =或(1)1m f =-=．故答案为：(0,1)；0或1．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 17．（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤；（2）选①/②/③，10a -≤≤．【分析】（1）应用集合并运算求A B 即可；（2）根据所选条件有B A ⊆，即可求a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，{}13B x x =≤≤，则{}13A B x x ⋃=-≤≤．（2）选条件①②③，都有B A ⊆， ∴1,22,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得10a -≤≤， ∴实数a 的取值范围为10a -≤≤．【点睛】本题考查了集合的基本运算，利用并运算求并集，由条件得到集合的包含关系求参数范围，属于简单题.18．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- 【分析】（1）先整理，再讨论0a =和0a ≠，列出恒成立的条件，求出a 的范围；（2）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集； （3）先令11t m m =++，由0m >，则可得3t ≥，再将()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，转化为2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出a 的取值范围.【详解】（1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立， 当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a .（2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a <，不等式的解集为 {2x x a≤∣或1}x ≥;综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a≥； 当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立，故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--故实数a的取值范围是(,4-∞--.【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；19．（1）2；（2）43；（3）2. 【分析】（1）根据对数的加法运算法则，即可求得答案；（2）利用换底公式，结合对数的运算性质，即可求得答案；（3）根据对数的运算性质及减法法则，即可求得答案.【详解】（1）2lg 2lg50lg100lg102+===； （2）39lg 4log 42lg 22lg 324lg 32lg8log 8lg 33lg 233lg 9==⨯=⨯=； （3）)211lg12log 432162lg 20lg 2log 2log 319-⎛⎫++--⋅+ ⎪⎝⎭=013lg1011)1111244++-+=+-+= 20．（1）a ＝1，b ＝0；（2）当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝0． 【分析】（1）利用二次函数的性质求出a ，b 的值；（2）求出函数(|21|)x y g =-的解析式，利用换元法对勾函数的性质，得出最值以及取得最值时的x 值．【详解】（1）f (x )＝ax 2﹣2x +1+b （a ≠0）在x ＝1处取得最小值0， 即1a ＝1，f (1)＝a +b ﹣1＝0，解得a ＝1，b ＝0； （2）由（1）知f (x )＝(x ﹣1)2，()()12f x g x x x x==+-，g (|2x ﹣1|)＝121221x x -+--，令t ＝|2x ﹣1|，∵1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则1,3t ⎤∈⎦， 由对勾函数的性质可得()min ()10g t g ==，此时t ＝1即|2x ﹣1|＝1，解得x ＝1；又)1122g =-=，())14332133g g =+-=>， 当t ＝3时，解得x ＝2时，所以当x ＝2时，g (|2x ﹣1|)max ＝43，当x ＝1时，g (|2x ﹣1|)min ＝021．（1）()cos(2)3f x x π=-；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（3）[-. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期为π，求得2w =，再由16f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求得ϕ的值，即可求得函数()f x 的解析式；（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得()cos()3g x x π=+，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，函数()cos()f x x =+ωϕ的最小正周期为π， 所以2wππ=，可得2w =，所以()cos(2)f x x ϕ=+， 又由16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()cos(2)cos()1663f πππϕϕ=⨯+=+=， 可得2,3k k Z πϕπ+=∈，即2,3k k Z πϕπ=-∈， 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-， 所以函数()f x 的解析式为()cos(2)3f x x π=-.（2）由（1）知()cos(2)3f x x π=-， 令222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()cos(2)3f x x π=-的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈. （3）将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 得到函数cos[2()]cos(2)333y x x πππ=+-=+， 再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()cos()3y g x x π==+，因为2[,]63x ππ∈-，可得[,]36x πππ+∈，所以()1g x -≤≤，所以函数()g x 的值域为[-. 【点睛】 解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.22．（1）()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈；（2）3万元． 【分析】（1）对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资为5x -万元，当5t =时，求得3a =，13b =，代入()(5)1ax f x b x x =+-+即可． （2）转化成一个基本不等式的形式，最后结合基本不等式的最值求法得最大值，从而解决问题．【详解】（1）因为1at P t =+，Q bt = 所以当5t =时，55512a P ==+，553Q b ==，解得3a =，13b =． 所以31t P t =+，13=Q t ，从而()3513x x f x x -=++，[]0,5x ∈ （2）由（1）可得()()()313613531+553131313x x x x x f x x x x +--+-+⎛⎫=+==-+≤-= ⎪+++⎝⎭当且仅当3113x x +=+，即2x =时等号成立．故()f x 的最大值为3． 答：当分别投入2万元、3万元销售甲、乙两种商品时总利润最大，为3万元．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。
江苏省南通市如东县2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题(word版,含答案)
2020-2021学年度第一学期期末考试高二数学一､选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.一物体做直线运动,其位移s 与时间t 的关系是22,s t t =+则物体在t=2时的瞬时速度为 A.4B.6C.8D.102.命题p:“34m <<”是命题q:“曲线22135x y m m-=--表示双曲线”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.抛物线2y ax =的焦点是直线x+4y-1=0与坐标轴的交点,则该抛物线的准线方程是1.4A y =-B.x=-11.4C x =-D.y=-14.古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日五尺,问日织几何?”意思是:“女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这名女子每天分别织布多少?”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景,则从第一天开始,要使织布机织布的总尺数为165尺,则所需的天数为 A.7B.8C.9D.105.若函数1()ln f x kx x x=-+在区间(1,+∞)单调递增,则k 的取值范围是 1.[,)2A +∞B.[1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-2]6.已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式492m x y +≥恒成立,则m 的取值范围是 1.[,)2A +∞B.[1,+∞)C.(0,1]1.(0,]2D7.在公差不为0的等差数列{a n }中,12312,,,,k k k a a a a a 成公比为4的等比数列,则k 3= A ､84B.86C.88D.968.已知函数f(x)=lnx,若对任意的12,(0,),x x ∈+∞都有12[()()]f x f x -22212122()()x x k x x x ->+恒成立,则实数k 的最大值是 A.-1B.0C.1D.2二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,下列结论中正确的是A.f(x)在[-2,-1]上是增函数B.当x=3时,f(x)取得最小值C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.f(x)在[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数10.等差数列{}n a 中,51211,10,a a ==-n S 是数列{}n a 的前n 项和,则116.1A a a +=B.S8是{Sn}中的最大项C.S 9是{S n }中的最小项D.|a 8|<|a 9|11.下列命题中是真命题的是.A y =的最小值为2B.当a>0,b>0时,114a b++ C.若222,a b +=则a+b 的最大值为2D.正数a,b 满足a+b=2,则11422a b +++的最小值为1212.已知12,F F 是椭圆221122111(0)x y a b a b +=>>和双曲线222222221(0)x y a b a b -=>>的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且12,3F PF π∠=则以下结论正确的是22221122.A a b a b -=-2212.3B b b =221211.144C e e +=2212.D e e +的最小值为1+三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡不需写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上｡13.命题“不等式2230ax ax -->的解集为空集∅”是真命题,则实数a 的取值范围是____. 14.数列{}n a 满足12323(1)(2)n a a a na n n n ++++=++,则n a =___.15.已知231(),()log (21),x f x x a g x x=-+=+若对1[1,3],x ∀∈2[1,3],x ∀∈使得12()()g x f x =，则实数a 的取值范围为___.16.已知双曲线C: 22221y x a b-= (a>0,b>0)的上､下焦点分别为12,,F F 过F 1且垂直于y 轴的直线与C 交于A,B两点,直线22,AF BF 分别交x 轴于点C,D,若|CF 2|+|DF 2|=12,则过点2,),(,(20)M a b N -的直线的斜率的最大值为_____.此时双曲线的离心率为____.四､解答题:本大题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 17.(本小题满分10分)在①数列{}n a 为递增的等比数列,且2512,a a +=②数列{}n a 满足122,n n S S +-=③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.问题:设数列{}n a 的前n 项和为1,2,n S a =_________.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设2221log log n n n b a a +=⋅求数列{}n b 的前n 项和.n T18.(本小题满分12分)已知椭圆22:14x C y +=和直线l:y=2x+m.(1)当椭圆C 与直线l 有公共点时,求实数m 的取值范围; (2)设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,求|AB|的最大值.19.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差为正数.a=1,其前n 项和为,n S 数列{}n b 为等比数列,12,b =且222312,10.b S b S =+=(1)求数列{a n }与{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b 的前n 项和.n T (3)设*1,,n nn c b n S =+∈N 求数列{}n c 的前2n 项和.20.(本小题满分12分)如图,有一个半圆形场馆,政府计划改建为一个方舱医院,改建后的场馆由病床区(矩形ABCD)及左右两侧两个大小相同的休闲区(矩形AHLJ 和BEFG)组成,其中半圆的圆心为O,半径为50米,矩形BEFG 的一边BG 在BC 上,矩形AHLJ 的一边AH 在AD 上,点C,D,F,I 在圆周上,E,J 在直径上,且,6EOF π∠=设BOC θ∠=.若每110万元,记病床区及休闲区的总造价为f(θ)(单位:万元). (1)求f(θ)的表达式;(2)为进行改建预算,当θ为何值时,总造价最大?并求出总造价的最大值.21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为12,,F F 且1260,F BF ︒∠=过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆于点D,交y 轴于点E. (1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为AD 的中点,过点E 且与OP 垂直的直线交OP 于点G,判断直线EG 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+,其中a ∈R. (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为l,求a 的值; (2)讨论函数f(x)的单调性;(3)若函数f(x)的导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点,证明:当x ∈(1,e)时,2().f x e >-2020～2021学年度第一学期期末考试高二数学参考答案一、单选题：1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4． 【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7.【答案】B 8．【答案】B 二、多选题9．【答案】CD 10．【答案】AB 11.【答案】BCD 12．【答案】BD 三、填空题：13．【答案】[]3,0- 14． 【答案】()31n + 15．【答案】20,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．【答案】4四、解答题：17. 在①数列{a n }为递增的等比数列，且a 2+a 3＝12，②数列{a n }满足S n +1﹣2S n ＝2，③数列{a n }满足1121222n n n n a a a na ++++﹣＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{a n }的前n 项和为S n ，12a ＝，_____． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝2221log log n n a a +⋅ ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）选① 数列{a n }为递增的等比数列，且a 2+a 3＝12，设等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），则a 1q （1+q ）＝2q （1+q ）＝12，解得q ＝2（﹣3舍去）， ……… 3分 所以a n ＝2n ； ………………5分 选② 数列{a n }满足S n +1﹣2S n ＝2，可得S n +1+2＝2（S n +2），数列{S n +2}是首项为S 1+2＝4， 公比为2的等比数列，则S n +2＝2n +1，即为S n ＝2n +1﹣2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2n +1﹣2﹣2n +2＝2n ， ……………… 3分 a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *； ……………… 5分选③ 2n a 1+2n ﹣1a 2+…+2a n ＝na n +1（1），当n ≥2时，2n ﹣1a 1+2n ﹣2a 2+…+2a n ﹣1＝（n ﹣1）a n （2）， 由（2）×2﹣（1）可得2a n ＝na n +1﹣2（n ﹣1）a n ，即a n +1＝2a n ， 又因为a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，也满足上式， ……………… 3分 故数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n ，n ∈N *； (5)分（2）由（1）可得a n ＝2n ，b n ＝2221log log n n a a +⋅()1111(2)22n n n n ==-++ ……………… 7分所以()11111111111232435112n T n n n n -+-+-+-+--++＝()111112212n n +--++＝()()3234212n n n +-++＝ ……………… 10分 18. 已知椭圆22:14x C y +=和直线2l y x m =+：.（1）当椭圆C 与直线l 有公共点时，求实数m 的取值范围； （2）设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求AB 的最大值. 解：（1）联立22+=142x y y x m ⎧⎪⎨⎪=+⎩，得221716440x mx m ++-=.因为椭圆C 与直线l 有公共点，所以22=(16)417(44)0m m ∆-⨯⨯-≥， ………………4分 解得m 所以实数m 的取值范围是[， ……………… 6分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，结合（1）的方程，有212121644,1717m m x x x x -+=-=， 所以12AB x -=……………… 10分=……………… 12分 有（1）知，若椭圆C 与直线l 有两个交点，则0∆>，所以2[0,17)m ∈.所以当0m =时，AB . 19. 已知等差数列{a n }的公差为正数．a 1＝1，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，b 1＝2，且b 2S 2＝12，b 2+S 3＝10．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． （3）设1n n nc b S =+，n ∈N *，求数列{}n c 的前2n 项和． 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则0d >，等比数列{b n }的公比为q ，因为a 1＝1，b 1＝2，且b 2S 2＝12，b 2+S 3＝10， 可得2q （2+d ）＝12，2q +3+3d ＝10，解得q ＝2，d ＝1， ……………… 2分 则a n ＝1+n ﹣1＝n ，b n ＝2n ； ……………… 4分 （2）a n •b n ＝n •2n ，前n 项和T n ＝1•2+2•22+3•23+…+n •2n ，2T n ＝1•22+2•23+3•24+…+n •2n +1， ……………… 6分两式相减可得﹣T n 23122222n n n +=+++⋯+⋅﹣ ()1212212n n n +-=⋅-﹣ 化简可得T n ＝2+（n ﹣1）•2n +1； ……………… 8分（3）由112n S n n +＝（） 可得()()21122211nn n c n n n n =+=+-++ 则前n 项和1111124221)2231n n A n n +++++-+-+＝（）（- ()()21-2121121n n +--+＝ ……………… 10分1221n n --+＝ 则数列{}n c 的前2n 项和为212221n n --+． ……………… 12分20. 如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形ABCD ）及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形AHLJ 和BEFG ）组成，其中半圆的圆心为O ，半径为50米，矩形BEFG 的一边BG 在BC 上，矩形AHLJ 的一边AH 在AD 上，点C ，D ，F ，I 在圆周上，E ，J 在直径上，且∠EOF ＝6π，设∠BOC ＝θ万元和110万元，记病床区及休闲区的总造价为()f θ（单位：万元）． （1）求()f θ的表达式；（2）为进行改建预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．解：（1）由题意半径为50米，显然R ＝50，如图示，由图形可知：，在矩形ABCD 中，BC ＝R sin θ，OB ＝R cos θ，所以游泳池面积为S 矩形ABCD ＝2OB •BC ＝2R 2sin θcos θ＝R 2sin2θ．在矩形BEFG 中，EF ＝R sin 6π＝，BE ＝R cos 6π﹣R cos θ＝R （3﹣cos θ），所以休息区面积为：2S 矩形BEFG ＝2BE •EF ＝R 2﹣cos θ），万元和110万元，则f （θ•R 2sin2θ+2t •R 2﹣cos θ）即f （θ）＝201×502θ﹣2cos θ6π＜θ＜2π）； ………… 6分（2）由（1）得()f θ'＝125（θ+2sin θ）＝2502θ+sin θ）＝﹣250（2sin θθ+1）， ∵θ∈（6π，2π），∴sin θ∈（，1），令()f θ'＝0，解得sin θ，∵θ∈（6π，2π），∴θ＝3π，θ，()f θ'，f （θ）的变化如下：θ （6π，3π） 3π（3π，2π） ()f θ'+ 0 ﹣ f （θ） 递增极大值极小值故θ＝3π时，总造价f （θ）取极大值1252（即当θ＝3π时，总造价的最大值是1252……………… 12分21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点()2,0A ，上顶点为B ，左右焦点分别为1F ，2F ，且1260F BF ︒∠=，过点A 作斜率为()0k k ≠的直线l 交椭圆于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）设P 为AD 的中点，过点E 且与OP 垂直的直线交OP 于点G ，判断直线EG 是否过定点?若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由. 解：（1）由题意得：2a =，因为在2Rt OBF △中，1260F BF ∠=︒， 所以230OBF ∠=︒，OB b =，2OF c =， 所以2BF a =，所以cos30ba︒=，2b=，b = 所以椭圆方程为22143x y +=. ……………… 4分（2）设直线()():20AD y k x k =-≠，*令0x =，则2y k =-，所以()0,2E k -，将*代入22143x y +=，整理得()2223416120k x k x +--=，设()00,D x y ，则2216234D k x k +=+，所以228634D k x k -=+，222861223434D k k y k k k ⎛⎫- ⎪=-=- ⎪++⎝⎭， ………………6分 设(),P P P x y ，因为P 为AD 的中点，所以22221868223434P k k x k k ⎛⎫- ⎪=+= ⎪++⎝⎭，22112623434P k k y k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， 所以22286,3434k k OP k k ⎛⎫⎪=- ⎪++⎝⎭， ……………… 8分 设直线EG 过定点()00,H x y ，则OP EH ⊥，则()00,2EH x y k =+，0OP EH ⋅=，所以220022861203434k x ky k k k+-=++，即()20024236034k x ky k --=+对任意的0k ≠都成立，所以002300x y -=⎧⎨=⎩，所以032x =，所以3,02H ⎛⎫⎪⎝⎭.所以直线EG 过定点3,02H ⎛⎫⎪⎝⎭. ……………… 12分22. 已知函数f （x ）＝alnx +x 2﹣（a +2）x ，其中a ∈R ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率为1，求a 的值； （2）讨论函数f （x ）的单调性；（3）若函数f （x ）的导函数f ′（x ）在区间（1，e ）上存在零点，证明：当x ∈（1，e ）时，f （x ）＞﹣e 2．解：（1）根据条件()2(2)a f x x a x'=+-+， 则当x ＝2时，(2)4(2)2122a a f a '=+-+=-+=， ……………… 1分 解得a ＝2； ………………2分 （2）函数f （x ）的定义域是（0，+∞），(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=， ……………… 3分 ①a ≤0时，2x ﹣a ＞0，令()f x '＞0，解得：x ＞1，令()f x '＜0，解得：0＜x ＜1，故f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，②0＜a ＜2时，令()f x '＞0，解得：x ＞1或0＜x ＜2a ， 令()f x '＜0，解得：2a ＜x ＜1， 故f （x ）在（0，2a ）递增，在（2a ，1）递减，在（1，+∞）递增， ③a ＝2时，()f x '≥0，f （x ）在（0，+∞）递增，④a ＞2时，令()f x '＞0，解得：x ＞2a 或0＜x ＜1，令()f x '＜0，解得：1＜x ＜2a ， 故f （x ）在（0，1）递增，在（1，2a ）递减，在（2a ，+∞）递增； 综上a ≤0时，f （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，……………… 6分0＜a ＜2时，f （x ）在（0，2a ）递增，在（2a ，1）递减，在（1，+∞）递增， a ＝2时，f （x ）在（0，+∞）递增，a ＞2时，f （x ）在（0，1）递增，在（1，2a ）递减，在（2a ，+∞）递增； （3）证明：因为(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=， 又因为导函数()f x '在（1，e ）上存在零点，所以()f x '＝0在（1，e ）上有解，则有1＜2a ＜e ，即2＜a ＜2e ， 且当1＜x ＜2a 时，()f x '＜0，f （x ）单调递减，当2a ＜x ＜e 时，()f x '＞0， f （x ）单调递增，所以f （x ）≥f （2a ）＝aln 2a +24a ﹣2a （a +2）＝alna ﹣24a ﹣（1+ln 2）a ，设g （x ）＝xlnx ﹣24x ﹣（1+ln 2）x ，2＜x ＜2e ， 则()g x '＝lnx +1﹣2x ﹣（1+ln 2）＝lnx ﹣2x ﹣ln 2， 则11(())02g x x ''=-<，所以()g x '在（2，2e ）上单调递减， 所以g （x ）在（2，2e ）上单调递减，则g （2e ）＝2eln 2e ﹣e 2﹣2e （1+ln 2）＝﹣e 2＜g （2），所以g （x ）＞﹣e 2，则根据不等式的传递性可得，当x ∈（1，e ）时，f （x ）＞﹣e 2．…………… 12分。
2020-2021学年江苏省南通市如东县高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（上）期中数学试卷1. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(12)的x 的取值范围是( )A. (−∞,34)B. (14,34) C. (−∞,14)∪(34,+∞)D. [0,34)2. 物理学规定音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB 与60dB 之间，则60dB 声音的声波强度I 1是40dB 声音的声波强度I 2的( )A. 32倍B. 1032倍C. 100倍D. lg 32倍3. 已知集合M ={(x,y)|2x +y =2}，集合N ={(x,y)|x −y =4}，则M ∩N 是( )A. x =2，y =−2B. (2,−2)C. {2,−2}D. {(2,−2)}4. 如图，已知全集U =R ，集合A ={x|x <−2或x >6}，B ={x|−4≤x ≤5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. {x|−2≤x <6}B. {x|x ≤−4或x ≥6}C. {x|−2≤x ≤6}D. {x|−2≤x ≤5}5. 函数f(x)=√2x +1+√2x −1的定义域是( )A. [−12,+∞)B. [12,+∞)C. [−12,12]D. (12,+∞)6. 正数a ，b 满足9a +1b =2，若a +b ≥x 2+2x 对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的取值范围是( )A. [−4,2]B. [−2,4]C. (−∞,−4]∪[2,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)7.如图，函数f(x)的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f(x)≥x2−x−a的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是()A. {a|−2<a<−1}B. {a|−2≤a<−1}C. {a|−2≤a<2}D. {a|a≥−2}8.函数f(x)=−4x2+12x4的大致图象是()A. B.C. D.9.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹⋅布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)=x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A. f(x)=1√x+x B. g(x)=x2−x−3C. f(x)={2x 2−1,x≤1|2−x|,x>1D. f(x)=1x−x10.已知x∈R，条件p：x2<x，条件q：1x≥a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有()A. −1B. 0C. 1D. 211.已知集合M={−2,3x2+3x−4,x2+x−4}，若2∈M，则满足条件的实数x可能为()A. 2B. −2C. −3D. 112.下列说法中正确的有()A. 不等式a+b≥2√ab恒成立B. 不等式a+b≤√2(a2+b2)恒成立C. 若a，b∈(0,+∞)，则ba +ab≥2D. 存在a，使得不等式a+1a≤2成立13.若命题“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是．14.已知a>0，b>0，且2ab=a+b+4，则a+b的最小值为．15.设f(x)=x2−2ax+1，x∈[0,2]，当a=3时，f(x)的最小值是，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围为．16.已知f(2x+1)=x2−2x，则f(7)=．17.已知函数f(x)=x2−(a+b)x+a．(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值；(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)>0．18.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我们控制住了疫情．接着我们一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−km+1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将产品的销售价格定为每件产品12+24xx元．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.化简下列各式：(1)(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；(2)(1−log63)2+log62⋅log618log64．20.已知全集为R，集合A={x∈R|x−5x+3>0}，B={x∈R|2x2−(a+10)x+5a≤0}．(1)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围；(2)从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是B⊆∁R A的什么条件(充分必要性)．①a∈[−7,10)；②a∈(−7,10]；③a∈(6,10]．21.已知f(x)=xx2+4，x∈(−2,2)．(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)求证：函数f(x)在(−2,2)上是增函数；(3)若不等式f(x)<(a−2)t+5对任意x∈(−2,2)和a∈[−3,0]都恒成立，求t的取值范围．22.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上是增函数，而y=f(x)在区间I上是减函数，x则称函数y=f(x)在区间I上是“弱增函数”．)x+b(m、b是常数)在区间(0,1]上是“弱增函数”，(1)若函数ℎ(x)=x2+(m−12求m、b应满足的条件；(2)已知f(x)=|x−1|+|x−2|+|x−3|+k|x−4|(k是常数且k≠0)，若存在区间I使得y=f(x)在区间I上是“弱增函数”，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】由f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)=f(|x|)，于是f(2x−1)<f(12)⇔f(|2x−1|)<f(12)，再结合偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，脱掉函数符号计算即可．本题考查奇偶性与单调性的综合，关键在于对偶函数概念的理解与灵活应用，属于中档题．【解答】解：∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)=f(|x|)，∵f(2x−1)<f(12)，∴f(|2x−1|)<f(12)，又函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，∴|2x−1|<12，即−12<2x−1<12，∴14<x<34．故选：B．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的实际应用，考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质求解．【解答】解：∵η=10lg I I，∴60dB声音的声波强度I1=106⋅I0，40dB声音的声波强度I2=104⋅I0，∴I 1I 2=106⋅I 0104⋅I 0=102=100，故选：C ．3.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 解方程组{2x +y =2x −y =4即可得出x ，y 的值，即可得出M ∩N ． 【解答】解：联立方程组{2x +y =2x −y =4，解得{x =2y =−2，∴M ∩N ={(2,−2)}． 故选：D ．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查补集、交集的求法，考查交集、补集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B ，由此能求出结果． 【解答】解：∵全集U =R ，集合A ={x|x <−2或x >6}，B ={x|−4≤x ≤5}， ∴图中阴影部分表示的集合为：(∁U A)∩B ={x|−2≤x ≤6}∩{x|−4≤x ≤5}={x|−2≤x ≤5}． 故选：D ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了求函数的定义域，考查二次根式的性质，是一道基础题． 根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答】 解：由题意得：{2x +1≥02x −1≥0，解得：x ≥12， 故函数的定义域是[12,+∞)， 故选：B ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查基本不等式求最值的方法，一元二次不等式的解法，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．首先由基本不等式求得a +b 的最小值，然后求解一元二次不等式即可确定实数x 的取值范围． 【解答】解：由题意可得：a +b =12(a +b)(9a +1b )=12(10+9b a+a b)≥12(10+2√9)=8，当且仅当{9ba=ab9a+1b=2，即{a =6b =2时等号成立，则a +b 的最小值为8， 若a +b ≥x 2+2x 对任意正数a ，b 恒成立，由恒成立的结论可得：x 2+2x ≤8，解得：−4≤x ≤2． 故选：A ．7.【答案】B【解析】 【分析】本题考查分段函数的图象，含参不等式的解法，注意运用分离法，考查数形结合思想方法，属于中档题．求得f(x)的分段函数式，由条件可得a ≥x 2−x −f(x)，令g(x)=x 2−x −f(x)，画出g(x)的图象，结合图象可得a 的范围． 【解答】解：根据题意可知f(x)={2x +2,x ≤0−x +2,x >0，不等式f(x)≥x 2−x −a 等价于a ≥x 2−x −f(x)， 令g(x)=x 2−x −f(x) ={x 2−3x −2,x ≤0x 2−2,x >0， 可得g(x)的大致图象，如图所示，又g(0)=−2，g(1)=−1，g(−1)=2， ∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数必为0， 则−2≤a <−1，即a 取值范围是{a|−2≤a <−1}． 故选：B ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查函数图象的判断，以及函数的奇偶性．利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊值定义点的位置判断选项即可． 【解答】解：函数f(x)=−4x 2+12x 4是偶函数，排除选项B ，C ， 当x =2时，f(2)=−1532<0，对应点在第四象限，排除A ；故选：D ．9.【答案】BCD【解析】 【分析】本题主要考查了简单函数的新定义问题，考查了解方程，同时考查了学生的计算能力． 逐个分析选项，解方程f(x 0)=x 0，若方程有解，则函数f(x)为“不动点”函数，否则函数f(x)不是“不动点”函数， 【解答】解：对于选项A ：当√x +x 0=x 0时，√x =0，方程无解，所以函数f(x)=√x x 不是“不动点”函数，对于选项B ：当x 02−x 0−3=x 0时，解得x 0=3或−1，所以函数g(x)=x 2−x −3是“不动点”函数，对于选项C ：当x 0≤1时，2x 02−1=x 0，解得x 0=1或−12；当x 0>1时，|2−x 0|=x 0，方程无解，所以函数f(x)={2x 2−1,x ≤1|2−x|,x >1是“不动点”函数，对于选项D ：当1x 0−x 0=x 0时，解得x 0=±√22，所以函数f(x)=1x −x 是“不动点”函数， 故选：BCD ．10.【答案】ABC【解析】 【分析】本题考查充分不必要条件的应用，涉及一元二次不等式的求解．属于中档题． 根据条件p 得到x 的范围，进而得到1x 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件判断a 的取值范围即可． 【解答】解：因为x∈R，条件p：x2<x，所以p：x∈(0,1)；>1，当x∈(0,1)时，1x若p是q的充分不必要条件，则由p⇒q，反之不成立．∴a≤1．实数a的取值可能有−1，0，1，故选：ABC．11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系及元素的互异性，要注意检验，属于中档题．根据集合元素的互异性，2∈M必有2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，2=3x2+3x−4或2=x2+x−4，若2=3x2+3x−4，即x2+x−2=0，∴x=−2或x=1，检验：当x=−2时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去；当x=1时，x2+x−4=−2，与元素互异性矛盾，舍去．若2=x2+x−4，即x2+x−6=0，∴x=2或x=−3，经验证x=2或x=−3为满足条件的实数x．故选：AC．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于基础题．由已知结合基本不等式的成立条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：当a<0，b<0时A显然不成立;当a+b≤0时B显然成立，当a+b>0时，(a+b)2−2(a2+b2)=−(a−b)2≤0，故a+b≤√2(a2+b2)，B一定成立;由a>0，b>0可得ba >0,ab>0，∴ba +ab≥2√ab⋅ba=2，当且仅当ba =ab即a=b时取等号，C正确；当a<0时，a+1a≤2成立，D正确．故选：BCD．13.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”，则相应二次方程有不等的实根．本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”是真命题，∴x2+(a−1)x+1=0有两个不等实根∴Δ=(a−1)2−4>0∴a<−1或a>3故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞)14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用．由已知结合ab≤(a+b2)2，然后解不等式即可求解a+b的范围，进而可求a+b的最小值．【解答】解：因为a>0，b>0，且2ab=a+b+4，又2ab≤2×(a+b2)2=(a+b)22，当且仅当a=b时取等号，所以a+b+4≤(a+b)22，即(a+b)2−2(a+b)−8⩾0，解得，a+b≥4或a+b≤−2(舍)，则a+b的最小值为4．故答案为：415.【答案】−7(−∞,0]【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，二次函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力．当a=3时，f(x)=x2−6x+1在x∈[0,2]上单调递减，故f(x)的最小值是f(2)；若f(0)是f(x)的最小值，则f(x)在x∈[0,2]上单调递增，再考虑对称轴x=a所在的位置即可．【解答】解：当a=3时，f(x)=x2−6x+1在x∈[0,2]上单调递减，∴f(x)的最小值是f(2)=−7；若f(x)的最小值为1，则f(x)在x∈[0,2]上单调递增，而f(x)=x2−2ax+1的开口向上，对称轴为x=a，∴a≤0，即a的取值范围是(−∞,0]．故答案为：−7；(−∞,0]．16.【答案】3【解析】 【分析】因为f(7)=f(2×3+1)，由此利用f(2x +1)=x 2−2x ，能求出f(7)的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：∵f(2x +1)=x 2−2x ，∴f(7)=f(2×3+1)=32−2×3=3． 故答案为：3．17.【答案】解：(1)由题意可得：1，2是x 2−(a +b)x +a =0的两根，所以{a +b =3a =2，所以a =2，b =1，(2)当b =1时，f(x)=x 2−(a +1)x +a >0，可得(x −a)(x −1)>0， 当a <1时，解可得：x <a 或x >1， 当a =1时，解可得：x ≠1， 当a >1时，解可得：x <1或x >a 综上可得，当a <1时，{x|x <a 或x >1}， 当a =1时，{x|x ≠1}， 当a >1时，{x|x <1或x >a}．【解析】(1)由题意可得：1，2是x 2−(a +b)x +a =0的两根，然后结合方程的根与系数关系可求；(2)当b =1时，由已知可得(x −a)(x −1)>0，然后对a 与1的大小进行讨论即可求解． 本题主要考查了一元二次不等式与相应方程的关系，一元二次不等式的解法，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．18.【答案】解：(1)∵不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即m =0时，x =2， ∴2=4−k0+1，解得k =2，∴x =4−2m+1>0， 得y =12+24xx ⋅x −(8+16x)−m =36−16m+1−m(m ≥0)；(2)y =36−16m +1−m =37−16m +1−(m +1) ≤37−2√16m+1⋅(m +1)=29，当且仅当16m+1=m +1，即m =3时，等号成立，故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．【解析】(1)根据年利润=年销售量×销售价格−成本−年促销费用即可列出y 与m 的函数关系；(2)结合(1)中所得的函数关系和均值不等式即可得解．本题考查函数的实际应用，训练了利用均值不等式求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)(235)0+2−2⋅(214)−12−(0.01)0.5；=1+(12)2⋅(94)−12−[(0.1)2]0.5=1+14×23−110=1615；(2)因为：1−log 63=log 66−log 63=log 62； 所以：(1−log 63)2+log 62⋅log 618log 64=(log 62)2+log 62⋅log 618log 622=log 62(log 62+log 618)2log 62=log 6362=1．【解析】直接根据指数幂以及对数的运算性质求解即可．本题考查了指数幂以及对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)集合A ={x ∈R|x−5x+3>0}，即A =(−∞,−3)∪(5,+∞)，所以∁R A =[−3,5]，集合B ={x ∈R|2x 2−(a +10)x +5a ≤0}={x ∈R|(2x −a)(x −5)≤0}， 若B ⊆∁R A ，且5∈∁R A =[−3,5]， 只需−3≤a2≤5，所以−6≤a ≤10．(2)由(1)可知B ⊆∁R A 的充要条件是a ∈[−6,10]， 选择①，则它是B ⊆∁R A 的不充分不必要条件； 选择②，则它是B ⊆∁R A 的必要不充分条件； 选择③，则它是B ⊆∁R A 的充分不必要条件．【解析】本题主要考查了集合与集合之间的关系，充分条件、必要条件的判断． (1)首先要对A 、B 两个集合进行化简分析，再求出集合A 的补集，再根据B ⊆∁R A ，求出a 的取值范围；(2)结合(1)的结论，根据充分条件、必要条件的概念即可得解．21.【答案】解：(1)f(x)在(−2,2)为奇函数，证明如下：f(x)的定义域(−2,2)关于原点对称， f(−x)=−x (−x)2+4=−x x 2+4=−f(x)，即f(x)为(−2,2)内为奇函数； (2)证明：设−2<x 1<x 2<2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=x 1x 2(x 2−x 1)+4(x 1−x 2)(x 12+4)(x 22+4)=(x 1−x 2)(4−x 1x 2)(x 12+4)(x 22+4)，由−2<x 1<x 2<2，可得x 1−x 2<0，x 1x 2<4，即4−x 1x 2>0，x 12+4>0，x 22+4>0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， 所以函数f(x)在(−2,2)上是增函数；(3)不等式f(x)<(a −2)t +5对任意x ∈(−2,2)恒成立， 由函数f(x)在(−2,2)上是增函数，可得f(x)<f(2)=14， 则(a −2)t +5≥14，即(a −2)t ≥−194， 再由(a −2)t ≥−194对a ∈[−3,0]恒成立， 设g(a)=at −2t +194，可得g(−3)≥0，且g(0)≥0，由{−3t −2t +194≥0−2t +194≥0，可得t ≤1920，则t 的取值范围是(−∞,1920].【解析】(1)运用函数的奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f(−x)，与f(x)比较可得结论；(2)运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤； (3)先运用f(x)的单调性，可得(a −2)t ≥−194，再由(a −2)t ≥−194对a ∈[−3,0]恒成立，设g(a)=at −2t +194，由一次函数的单调性可得t 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力．22.【答案】解：(1)由题意，ℎ(x)=x 2+(m −12)x +b(m,b 是常数)在(0,1]上是增函数， ℎ(x)x=x +b x +(m −12)在(0,1]上是减函数，∴−m−122≤0，b ≥1，∴m ≥12，b ≥1；(2)∵f(x)=|x −1|+|x −2|+|x −3|+k|x −4|， 当x <1时，f(x)=−(k +3)x +(6+4k)，f(x)x=−(k +3)+6+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +3)>06+4k >0，无解;当1≤x <2时，f(x)=−(k +1)x +(4+4k)，f(x)x=−(k +1)+4+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{−(k +1)>04+4k >0，无解;当2≤x <3时，f(x)=(1−k)x +4k ，f(x)x=(1−k)+4k x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{1−k >04k >0，解得：0<k <1;当3≤x <4时，f(x)=(3−k)x +(4k −6)，f(x)x=(3−k)+4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3−k >04k −6>0，解得：32<k <3;当x ≥4时，f(x)=(3+k)x +(−4k −6)，f(x)x=(3+k)+−4k−6x，使得y =f(x)在区间I 上是“弱增函数”，则{3+k >0−4k −6>0，解得：−3<k <−32，综上，k 的取值范围是(−3,−32)∪(0,1)∪(32,3)．【解析】本题考查了函数的新定义问题，考查函数的单调性，考查分类讨论思想，转化思想，属于较难题．(1)由于ℎ(x)在(0,1]上是“弱增函数”，所以ℎ(x)在(0,1]上单调递增，y =ℎ(x)x在(0,1]上单调递减，由此可求出m 及b 满足的条件； (2)通过讨论x 的范围，求出f(x)x的解析式，根据“弱增函数”的定义，得到关于k 的不等式组，解出即可．。
2020-2021学年江苏省南通市通州区、启东市高三(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省南通市通州区、启东市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z满足z（1﹣i）＝﹣2i，则复数z的模为（）A．1B．C．D．22．已知集合A＝{x|y＝lg（4﹣x2）}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|0＜x＜2}D．R3．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A．B．C．D．4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作﹣个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A．B．C．D．5．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传则不同的安排方案共有（）A．18种B．36种C．48种D．72种6．已知、为单位向量，且，则，的夹角为（）A．或B．C．或D．7．已知，，，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b8．已知定义域为R的函数f（x）在[2，+∞）单调递减，且f（4﹣x）+f（x）＝0，则使得不等式f（x2+x）+f（x+1）＜0成立的实数x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣1或x＞3C．x＜﹣3或x＞1D．x≠﹣1二、多项选择题（共4小题）.9．某高中积极响应国家“阳光体育运动″的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4：3：3的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（）A．估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人10．已知a＞0，b＞0，2a+3b＝1，下列结论正确的是（）A．a2+b2的最小值为B．log24a+log24b的最大值为﹣1C．的最小值为D．4a+8b的最小值为11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且AF＝2BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．直线AB的斜率为C．△AOB的面积为D．△CMD为等腰直角三角形12．已知函数f（x）＝|sin2x|+cos2x，则（）A．f（x）＝f（x+π）B．f（x）的最小值为C．f（x）的图象关于对称D．f（x）在上单调递减三、填空题（共4小题）.13．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知0＜a1＜1，其前n项之积为T n，且T12＝T6，则T n取最小值时，n的值是．14．写出一个图象关于直线x＝1对称的奇函数f（x）＝．15．已知椭圆ax2+by2＝1与直线x+y＝1交于点A，B，点M为AB的中点，直线MO（O为原点）的斜率为，则＝；又OA⊥OB，则2a+b＝．16．若关于x的不等式e x﹣alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．17．已知集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝3n，n∈N*}，将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n．（1）若a m＝27，求m的值；（2）求S50的值．18．在①2a cos C+c＝2b，②，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD上的点．（1）当E是PD的中点时，求证：PB∥平面AEC；（2）设PA＝AB＝1，，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为，求PE的长．20．今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课．某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关，从高三年级中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：男生女生合计喜欢抖音上课10不喜欢抖音上课8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？（2）若从这30人中的女生中随机抽取2人，记喜欢抖音上课的人数为X，求X的分布列、数学期望．附临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.637.879参考公式：，其中n＝a+b+c+d．21．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若PF＝3FQ，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．22．已知函数f（x）＝ae x﹣x，a∈R．（1）若f（x）在x＝0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1+x2＞2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知复数z满足z（1﹣i）＝﹣2i，则复数z的模为（）A．1B．C．D．2解：因为复数z满足z（1﹣i）＝﹣2i，所以，故．故选：B．2．已知集合A＝{x|y＝lg（4﹣x2）}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|0＜x＜2}D．R解：∵A＝{x|4﹣x2＞0}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}．故选：C．3．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】分别计算甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球的种数和甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球的种数，利用概率的计算公式求解即可．解：甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有4×9＝36种，其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有4×3＝12种，所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为．故选：A．4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作﹣个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A．B．C．D．【分析】根据等腰三角形的边角关系，用SA和OA表示出AB的一半，从而得出侧棱与底面内切圆半径的比．解：设O为正六棱锥S﹣ABCDEF底面内切圆的圆心，连接OA，OB，如图所示：由题意可知∠AOB＝，∠SAB＝，∴OA＝AB，SA•cos（）＝SA•sinθ＝AB，∴，设内切圆半径为r，则tan＝，r＝，∴侧棱与底面内切圆的半径的比为．故选：A．5．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传则不同的安排方案共有（）A．18种B．36种C．48种D．72种【分析】先把4人分为（2，1，1），再分配到3个社区，根据分步计数原理可得．解：先把4人分为（2，1，1），再分配到3个社区，故有C42A33＝36种，故选：B．6．已知、为单位向量，且，则，的夹角为（）A．或B．C．或D．【分析】根据，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，然后即可求出的值，从而可得出的值．解：∵，，∴＝，∴，∴，且，∴．故选：D．7．已知，，，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】可令f（x）＝x﹣lnx，求导，根据导数符号可判断出f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，然后画出图形，根据a﹣4＝可得出f（a）＝f（4），同理可得出f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），进而可得出f（c）＜f（b）＜f（a），从而可得出a，b，c的大小关系．解：令f（x）＝x﹣lnx，，则f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，如图所示：，∴a﹣lna＝4﹣ln4，∴f（a）＝f（4），同理f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），又f（2）＜f（3）＜f（4），∴f（c）＜f（b）＜f（a），∴a＜b＜c．故选：C．8．已知定义域为R的函数f（x）在[2，+∞）单调递减，且f（4﹣x）+f（x）＝0，则使得不等式f（x2+x）+f（x+1）＜0成立的实数x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣1或x＞3C．x＜﹣3或x＞1D．x≠﹣1【分析】由已知可得函数的对称性，然后结合函数在已知区间[2，+∞）单调递减可判断定义域上的单调性，从而可求．解：f（4﹣x）+f（x）＝0，则f（x）关于（2，0）对称，因为f（x）在[2，+∞）单调递减，∴f（x）在R上单调递减，且f（x+1）＝﹣f（3﹣x），∴f（x2+x）+f（x+1）＜0⇔f（x2+x）﹣f（3﹣x）＜0，∴f（x2+x）＜f（3﹣x），∴x2+x＞3﹣x⇔x＞1或x＜﹣3，故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某高中积极响应国家“阳光体育运动″的号召，为确保学生每天一小时体育锻炼，调查该校3000名学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4：3：3的比例分层抽样，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是（）A．估计该校学生每周平均体育运动时间为5.8小时B．估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为300人C．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为10%D．估计该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为600人【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数，即可判断选项A；根据频率分布直方图计算出高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数，即可判断选项B；根据频率分布直方图计算出该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的频率和人数，即可判断选项C，D．解：对于A，估计该校学生每周平均体育运动时间为1×0.05+3×0.2+5×0.3+7×0.25+9×0.15+11×0.05＝5.8小时，故选项A正确；对于B，高一年级的总人数为人，由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为（0.025+0.1）×2＝0.25，所以估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数约为1200×0.25＝300人，故选项B正确；对于C，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为（0.075+0.025）×2＝20%，故选项C错误；对于D，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数约为3000×0.2＝600人，故选项D正确．故选：ABD．10．已知a＞0，b＞0，2a+3b＝1，下列结论正确的是（）A．a2+b2的最小值为B．log24a+log24b的最大值为﹣1C．的最小值为D．4a+8b的最小值为【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及基本不等式分别检验各选项即可判断．解：∵a＞0，b＞0，2a+3b＝1，∴b＝＞0，故0＜a＜，故a2+b2＝＝，当a＝时，上式取得最小值，A错误；因为1＝2a+3b，当且仅当2a＝3b＝，即a＝，b＝时取等号，解得，ab，log24a+log24b＝log24ab≤﹣1，即最大值﹣1，B正确；＝＝5+，当且仅当时取等号，此时取得最小值5+2，C错误；4a+8b＝2＝2，当且仅当2a＝3b且2a+3b＝1，即a＝，b＝时取等号，此时取得最小值2，D正确．故选：BD．11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且AF＝2BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．直线AB的斜率为C．△AOB的面积为D．△CMD为等腰直角三角形【分析】利用抛物线的定义及其性质，进行逐个验证，即可解出．解：令∠AFC＝α，∠BFD＝β，∵AC＝AF，∴∠FCA＝α，∠CAF＝π﹣2α，∵BF＝BD，∵∠BDF＝β，∠DBF＝π﹣2β，又∵π﹣2α+π﹣2β＝π，∴，∴∠CFD＝90°，A正确，设AB：x+my+1，令A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消x可得y2﹣4my﹣4＝0，∴，又因，∴y1＝﹣2y2，∴，，，∴，或，，，∴，即，B错，，O到AB距离，∴S△AOB＝＝，C正确，时，x1＝2，，此时，∴△CDM不是等腰直角三角形，D错，故选：AC．12．已知函数f（x）＝|sin2x|+cos2x，则（）A．f（x）＝f（x+π）B．f（x）的最小值为C．f（x）的图象关于对称D．f（x）在上单调递减【分析】可判定f（x）＝|sin2x|+cos2x是周期为π的偶函数，可判断A的正误；当0≤x≤时，f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）∈[﹣1，]，可判断B的正误；由f（﹣x）≠f（x），可判断C的正误；当x∈时，2x+）∈，可判断D的正误．解：∵f（﹣x）＝|sin（﹣2x）|+cos（﹣2x）＝|sin2x|+cos2x＝f（x），∴y＝f（x）为偶函数，又f（x+π）＝|sin2（x+π）|+cos2（x+π）＝|sin2x|+cos2x＝f（x），∴y＝f（x）的周期为π，故A正确；又当0≤x≤时，（2x+）∈[，]，f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）的最小值为﹣1，故B错误；又f（﹣x）＝|cos2x|+sin2x≠|sin2x|+cos2x＝f（x），∴f（x）的图象不关于直线对称，故C错误；当x∈时，2x+）∈，f（x）在上单调递减，故D正确，综上所述，AD正确，故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知0＜a1＜1，其前n项之积为T n，且T12＝T6，则T n取最小值时，n的值是9．【分析】由题意可得a9a10＝1，故有a9≤1，a10≥1，故T9最小，由此求得T n取最小值时，n的值．解：∵各项都为正数的等比数列{a n}中，已知0＜a1＜1，其前n项之积为T n，且T12＝T6，∴a1a2…a12＝a1a2…a6，∴a7a8…a12＝1＝•q51＝，∴a9a10＝1．∴a9≤1，a10≥1，故T9最小，∴T n取最小值时，n的值是9，故答案为：9．14．写出一个图象关于直线x＝1对称的奇函数f（x）＝（答案不唯一）．．【分析】根据题意，由正弦函数的性质以及图象变换可得答案．解：根据题意，要求f（x）为奇函数且其关于直线x＝1对称，考虑f（x）由正弦函数变形得到，则f（x）＝，故答案为：f（x）＝，（答案不唯一）15．已知椭圆ax2+by2＝1与直线x+y＝1交于点A，B，点M为AB的中点，直线MO（O为原点）的斜率为，则＝；又OA⊥OB，则2a+b＝2．【分析】设A，B的坐标，代入椭圆的方程作差求出直线AB用a，b表示的斜率，由题意可得a，b的关系，将直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由OA ⊥OB，可得x1x2+y1y2＝0，进而求出a，b的值，求出2a+b的值．解：A（x1，y1），B（x2，y2），将A，B的坐标代入椭圆的方程：，整理可得，∴，即，即，∴，∴，联立消y可得，可得，，因为OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，∴，∴，∴．答案：．16．若关于x的不等式e x﹣alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为[0，e]．【分析】a＜0，e x≥alnex不恒成立，a≥0时，问题转化为exe x≥aexlnex，令g（x）＝xe x，求出以及≤1，求出a的范围即可．解：e x﹣alnx≥a⇔e x≥alnx+a⇔e x≥alnex，若a＜0，x→0时，lnex→﹣∞，e x→1，∴alnex→+∞，此时e x≥alnex不恒成立，∴a≥0，e x≥alnex⇔exe x≥aexlnex，令g（x）＝xe x，g'（x）＝（x+1）e x＝0，解得：x＝﹣1，g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴，eg（x）≥ag（lnex），ln（ex）≤0时，g（x）＞0，g（lnex）≤0不等式恒成立，如图示：ln（ex）＞0时，，令f（x）＝x﹣lnex，由，解得：x＝1，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）min＝f（1）＝0，∴x≥lnex，∴g（x）≥g（lnex），即，∴，∴0≤a≤e，故答案为：[0，e]．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝3n，n∈N*}，将A∪B中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a n}，设数列{a n}的前n项和为S n．（1）若a m＝27，求m的值；（2）求S50的值．【分析】（1）由A，B中的元素的特点，由并集的定义求得所求；（2）由2×50＝100，34＝81＜100，35＝243＞100，求得数列{a n}中前50项中含A中和B中的元素，再求和，可得所求和．解：（1）因为a m＝27，所以数列{a n}中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，数列{a n}中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项，所以m＝16．（2）因为2×50＝100，34＝81＜100，35＝243＞100，所以数列{a n}中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，所以数列{a n}中前50项中含有A中的元素为2×1，2×2，2×3，⋅⋅⋅，2×46，共有46项，所以S50＝（3+9+27+81）+（2×1+2×2+2×3+…+2×46）＝2282．18．在①2a cos C+c＝2b，②，③（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C 这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．（1）求角A的大小；（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）选①，由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；选②，由已知结合二倍角公式及诱导公式化简可求A；选③，由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos A，进而可求A；（2）由（1）结合余弦定理及基本不等式可求bc范围，然后结合三角形面积公式可求．解：（1）选①，由正弦定理得2sin A cos C+sin C＝2sin B，所以2sin A cos C+sin C＝2sin（A+C）＝2（sin A cos C+cos A sin C），即sin C（2cos A﹣1）＝0，又C∈（0，π），所以sin C＞0，所以，又A∈（0，π），从而得．选②，因为＝，所以，，又因为A∈（0，π），所以．选③因为（sin B+sin C）2＝sin2A+3sin B sin C，所以sin2B+sin2C+2sin B sin C＝sin2A+3sin B sin C，即sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，所以由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理知，因为A∈（0，π），所以．（2）由（1）得，又a＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣ab≥2bc﹣bc ＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取得等号，，所以ABC面积的最大值为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD上的点．（1）当E是PD的中点时，求证：PB∥平面AEC；（2）设PA＝AB＝1，，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为，求PE的长．【分析】（1）连接BD，使AC交BD于点O，连接EO，证明OE∥PB，然后证明PB∥平面AEC．（2）说明AB，AD，AP两两互相垂直，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线PC与平面AEC所成角的正弦函数值，然后求解PE即可．【解答】（1）证明：连接BD，使AC交BD于点O，连接EO，因为O，E分别为BD，PD的中点，所以OE∥PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）解：因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，由PA＝1，，得，因为底面ABCD为菱形且AB＝1，所以AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，所以底面ABCD为正方形，从而AB，AD，AP两两互相垂直，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），不妨设，所以，，，设平面AEC的法向量为，由，令x＝1，则y＝﹣1，，所以，设直线PC与平面AEC所成角为α，则．由，解方程得，故．20．今年疫情期间，许多老师进行抖音直播上课．某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关，从高三年级中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：男生女生合计喜欢抖音上课10不喜欢抖音上课8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关？（2）若从这30人中的女生中随机抽取2人，记喜欢抖音上课的人数为X，求X的分布列、数学期望．附临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.637.879参考公式：，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）利用已知条件补充列联表，求解由30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率，求解K2，即可判断是否有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关．（2）X的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望．解：（1）列联表补充如下：男生女生合计喜欢抖音上课10616不喜欢抖音上课6814合计161430由30人中随机抽取1人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是，故喜欢抖音上课的学生共有16人．由已知数据可求得：k2＝，所以没有95%的把握认为喜欢抖音上课与性别有关．（2）X的可能取值为0，1，2．，所以X的分布列为：X012 PX的数学期望为：．21．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若PF＝3FQ，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．【分析】（1）方法一、设直线PQ方程为x＝my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），与双曲线的方程联立，运用韦达定理，解不等式求得m的范围，求得y1，y2，由PF＝3FQ，解得m，可得直线方程；方法二、设点P（x1，y1），Q（x2，y2），结合向量共线的坐标表示，以及点满足双曲线的方程，化简整理可得Q的坐标，以及直线FQ的斜率，进而得到所求直线方程；（2）证法一、运用分析法证明，结合斜率公式和韦达定理，化简整理可得证明；证法二、可设直线l的方程为x＝my+3，P（my1+3，y1），Q（my2+3，y2），与双曲线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得结论．解：（1）方法一、设直线PQ方程为x＝my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），由⇒（5m2﹣4）y2+30my+25＝0，，，，∴直线l方程为；方法二、设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由PF＝3FQ，知，所以（3﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣3，y2），即，将P（12﹣3x2，﹣3y2），Q（x2，y2）代入双曲线C方程得，消去y2解得，又点P在x轴上方，所以点Q在x轴下方，所以，所以，所以，所以直线l的方程为．（2）证法一：，要证为定值，只需证为定值，＝＝，∴为定值．证法二：因为点P在x轴上方，所以直线l的斜率不为0，F（3，0），可设直线l的方程为x＝my+3，P（my1+3，y1），Q（my2+3，y2），联立方程消去x整理得，（5m2﹣4）y2+30my+25＝0，则即，，，又A（﹣2，0），B（2，0），，，所以，又因为，所以，即为定值．22．已知函数f（x）＝ae x﹣x，a∈R．（1）若f（x）在x＝0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）若f（x）有两个不同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1+x2＞2．【分析】（1）利用导数的几何意义可得f'（0）＝0，从而可求得a的值；（2）①求出f'（x），对a分类讨论，根据导数求出函数f（x）的单调性和最值，从而可求得满足题意的a的取值范围；②令，利用导数可得g（x）的单调性，分析可得要证x1+x2＞2，只需证g（x1）＜g（2﹣x1），构造函数H（x）＝g（x）﹣g（2﹣x）（x＜1），求得导数，判断单调性，即可得证【解答】（1）解：f'（x）＝ae x﹣1，f'（0）＝a﹣1＝0⇒a＝1．（2）①解：f'（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在R上单调递减，不可能有两个零点，舍去；当a＞0时，令且当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f（x）＞0，f（x）单调递增，∴，当且仅当时，f（0）＝a＞0，，∴f（x）在和上各有一个零点，∴实数a的取值范围是（0，）．②证明：由f（x）＝ae x﹣x＝0，得，令，则，由，得x＜1；由，得x＞1．所以g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，（1，+∞）单调递减，由于x1，x2是方程g（x）＝0的实根，不妨设x1＜1＜x2，要证x1+x2＞2，只要证x2＞2﹣x1＞1．由于g（x）在（1，+∞）单调递减，故只要证g（x2）＜g（2﹣x1），由于g（x1）＝g（x2）＝0，故只要证g（x1）＜g（2﹣x1），令，则，因为x＜1，所以1﹣x＞0，2﹣x＞x，所以e2﹣x＞e x，即e2﹣x﹣e x＞0，所以H'（x）＞0，所以H（x）在（﹣∞，1）上为增函数．所以H（x）＜H（1）＝0，即有g（x1）＜g（2﹣x1）成立．所以x1+x2＞2．。
2021届高二新题数学人教A版2019专题01空间向量与立体几何(选择题、填
2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。
2020-2021学年江苏省南通市如东县掘港高级中学高三数学文期末试题含解析
2020-2021学年江苏省南通市如东县掘港高级中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 命题的否定是( )A. B.C. D.参考答案：【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B解析：命题的否定是，故选B.【思路点拨】根据含一个量词的全称命题的否定方法写出结论.3. 设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（）A．（﹣1，0] B．[0，4）C．（0，4] D．[﹣1，0）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜4，即M=（﹣1，4），∵N=[﹣5，0]，∴M∩N=（﹣1，0]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4. 函数的定义域为（）A．B． C． D．参考答案：C略5. 对于函数，如果存在锐角使得的图像绕坐标原点逆时针旋转角，所得曲线仍是一函数，则称函数具备角的旋转性，下列函数具有角的旋转性的是（A）（B）（C）（D）参考答案：6. 设，给出到的映射，若点的像的图象可以由曲线按向量m平移得到，则向量m的坐标为A． B． C．D．参考答案：B略7. “”是“”的A. 充分且不必要条件B. 既不充分也不必要条件C.充要条件D. 必要不充分条件参考答案：D8. 若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B 略9. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向左平移个单位长度参考答案：B10. 函数y=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用函数经过的特殊点，以及特殊函数的值，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=是偶函数，所以选项B 错误，第x=e 时，y=e ，所以选项A ，错误；当x ∈（0，1）时，y=xlnx ，y′=lnx+1，x=时，y′=0，0＜x ＜，y′＜0，函数是减函数，＜x ＜1，y′＞0，函数是增函数．所以C 错误． 故选：D ．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，单调性，特殊点，往往是判断函数的图象的方法，考查转化思想以及计算能力．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_______________．参考答案：12. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。
2020-2021学年江苏省南通市海门市高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省南通市海门市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2<0}，B={x|−1<x<m}，A∩B=A，则实数m的取值范围为()A. (2,+∞)B. (−1,2)C. [2,+∞)D. (−1,2]2.已知复数Z=(1+2i)(2−i)(其中i为虚数单位)，则复数Z的共轭复数在复平面内对应的点为()A. (3,4)B. (3,−4)C. (4,3)D. (4,−3)3.“m2<n2”是“lnm<lnn”()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.2021年春节临近在河北省某地新冠肺炎疫情感染人数激增，为防控需要，南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的三人中少有1名女医生的概率为()A. 2328B. 514C. 1556D. 275.若(x2+3x)n的二次式展开式中x7项的系数为15，则n=()A. 5B. 6C. 7D. 86.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2，b⃗ =(1,1)，a⃗⋅b⃗ =−2，则cos<a⃗，a⃗+b⃗ >=()A. 12B. −12C. √22D. −√227.已知函数f(x)=x2e ax+1−ax，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行，则a=()A. −2B. −2或−1C. −1或2D. −18.已知实数a，b，c∈R，满足lnae a =be b=−ce c,b>1，则a，b，c大小关系为()A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，给出下面几个结论中正确的是()A. f(x)的图象关于点(−1,1)对称B. f(x)是单调函数C. f(x)的值域为(−1,1)D. 函数g(x)=f(x)−x有且只有一个零点10.某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件质量的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值Z服从正态分布N(200,224)，则()(附：√224≈14.97，若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544)A. P(185.03<Z<200)=0.6826B. P(200≤Z<229.94)=0.4772C. P(185.03<Z<229.94)=0.9544D. 任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为8185件11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π4，且直线x=−π12是其中一条对称轴，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为π2B. 函数f(x)在区间[−π6,π12]上单调递增C. 点(−5π24,0)是函数f(x)图象的一个对称中心D. 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度，可得到g(x)=sin2x的图象12.已知正数a，b满足1a +4b=√ab，则()A. ab+1ab最小值为2 B. ab的最小值为4C. a+4b的最小值为8D. 4a+b的最小值为8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若数列{a n}满足：a n+a n+1=2n+1，a1=1，则a2021=______ ．14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)=______ ．15.设椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，则2e12+2e22=______ ．16.我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图，三棱柱ABC−A1B1C1为一个“堑堵”，底面△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且AB=5，AC=3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当△APC1的面积取最小值时，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知数列{a n}满足12a1−5+22a2−5+32a3−5+⋯+n2a n−5=n3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，求T n．18.在平面四边形ABCD中，已知AB=2√6，AD=3，∠ADB=2∠ABD，∠BCD=π3．(1)求BD；(2)求△BCD周长的最大值．19. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD =π2，AB =BC =12AD =a ，E 是AD 的中点，O 是AC与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1−BCDE ．(Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1−BCDE 的体积为36√2，求a 的值．20. 甲、乙两人组成“虎队”代表班级参加学校体育节的篮球投篮比赛活动，每轮活动由甲、乙两人各投篮一次，在一轮活动中，如果两人都投中，则“虎队”得3分；如果只有一个人投中，则“虎队”得1分；如果两人都没投中，则“虎队”得0分.已知甲每轮投中的概率是34，乙每轮投中的概率是23；每轮活动中甲、乙投中与否互不影响.各轮结果亦互不影响．(1)假设“虎队”参加两轮活动，求：“虎队”至少投中3个的概率； (2)①设“虎队”两轮得分之和为X ，求X 的分布列； ②设“虎队”n 轮得分之和为X n ，求X n 的期望值． (参考公式E(X +Y)=EX +EY)21.已知函数f(x)=x3−ax．6(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意x∈[0,+∞)，f(x)≥−sinx恒成立，求a的取值范围．22.已知抛物线P：y2=2px(p>0)，焦点为F，M为P上任一点，l为过M点的切线．x+1，求抛物线方程；(1)若l的方程为y=12(2)求证：FM与l的夹角等于l与x轴的夹角．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A ={x|−1<x <2}； ∵A ∩B =A ； ∴A ⊆B ； ∴m ≥2；∴m 的取值范围为[2,+∞)． 故选：C ．可求出A ={x|−1<x <2}，而根据A ∩B =A 即可得出A ⊆B ，从而得出m ≥2，即得出m 的范围． 考查描述法、区间的定义，交集的定义及运算，以及子集的定义．2.【答案】D【解析】解：∵Z =(1+2i)(2−i)=2−i +4i −2i 2=4+3i ， ∴Z −=4−3i ，则复数Z 的共轭复数在复平面内对应的点为(4,−3)， 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得Z −，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：lnm <lnn ，则0<m <n ，故m 2<n 2， 反之，m 2<n 2，得|m|<|n|，推不出lnm <lnn ， 故“m 2<n 2”是“lnm <lnn ”的必要不充分条件． 故选：B ．判断条件和结论，互推关系即可．本题考查了充要条件的定义，以及不等式的解法，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：南通市某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n =C 83=56，选派的三人中少有1名女医生包含的基本事件个数m =C 83−C 53=46，∴选派的三人中少有1名女医生的概率为P =m n=4656=2328．故选：A ．基本事件总数n =C 83=56，选派的三人中少有1名女医生包含的基本事件个数m =C 83−C 53=46，由此能求出选派的三人中少有1名女医生的概率．本题考查概率运算，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：(x 2+3x )n 中，T r+1=C n r (x 2)n−r (3x )r =3r C n r x 2n−3r，∵二次式展开式中x 7项的系数为15， 由2n −3r =7，得n =7+3r 2，∴3r C 7+3r 2r=15，解得r =1，∴n =7+32=5．故选：A ．推导出T r+1=3r C n r x 2n−3r ，由二次式展开式中x 7项的系数为15，得n =7+3r 2，从而3r C 7+3r 2r=15，由此能求出结果．本题考查二项展开式的运算，涉及到二项式定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等核心素养，是基础题．6.【答案】C【解析】解：cos <a ⃗ ，a ⃗ +b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |=2⃗ 2⋅√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b⃗ +b ⃗ =2⋅√4−4+2=√22．故选：C ．通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．7.【答案】A【解析】解：∵f(x)=x2e ax+1−ax，∴f′(x)=2xe ax+1+ax2e ax+1−a，∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=2x平行，∴f′(1)=2e a+1+ae a+1−a=2，即(2+a)e a+1=2+a，∴2+a=0，即a=−2．故选：A．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再由导数值等于2列式求得a值．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：因为lnae a =be b=−ce c,b>1，则a>0，c<0，对于函数f(x)=x−lnx，(x>0)，f′(x)=1−1x，可得f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，∴f(x)≥(1)=1>0，∴lna<a，即 lnae a <ae a，∴ae a >be b，令函数ℎ(x)=xe x ，ℎ′(x)=1−xe x，可得ℎ(x)的图像如下：∴a<b，综上：a>b>c，故选：D．由已知可得a>0，c<0，利用lna<a，可得ae a >be b，构造函数ℎ(x)=xe x，即可比较a，b大小．本题考查了函数的性质，转化思想，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A：f(x)的定义域为R，f(−x)=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，从而判断选项A错误；对于B：x>0时，f(x)=11x+1是增函数；x<0时，f(x)=11x−1是增函数，∴f(x)在R上是增函数，∴若x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)，选项B正确；对于C：x>0，x趋向正无穷时，可得出f(x)趋向1；x<0，x趋向负无穷时，f(x)趋向−1，从而得出f(x)的值域为(−1,1)，选项C正确；对于D：g(x)=f(x)−x=x(11+|x|−1)=0时，x=0，从而得出g(x)只有一个零点，选项D正确．故选：BCD．容易看出f(x)是奇函数，从而得出f(x)的图象关于(0,0)对称，从而判断选项A错误；容易判断f(x)是R上的增函数，从而判断选项B正确，并可求出f(x)的值域，并判断选项C正确；可得出g(x)=x(11+|x|−1)=0时，x=0，从而判断选项D正确．本题考查了奇函数的定义及判断，奇函数图象的对称性，反比例函数的单调性，增函数的定义，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：因为N(200,224)，所以μ=200，σ=√224≈14.97，故μ+σ=214.97，μ+2σ=229.94，μ−σ=185.03，μ−2σ=170.06，故P(170.06<Z<229.94)=0.9544，P(185.03<Z<214.97)=0.6826，由正态分布函数的对称性可知A 选项应为P(185.03<Z <200)=0.3413，故A 错； P(200≤Z <229.94)=0.4772，故B 正确；P(185.03<Z <229.94)=P(185.03<Z <200)+P(200<Z <229.94)=0.3413+0.4772=0.8185，故C 错；由C 可知任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间(185.03,229.94)内的件数约为10000×0.8185=8185件，故D 正确． 故选：BD ．根据该厂机器零件的质量指标值Z 服从正态分布N(200,224)，可得μ=200，σ=√224，结合由正态分布函数的对称性即可求出所求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．11.【答案】AC【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为12⋅2πω=π4，∴ω=4，f(x)=sin(4x +φ)．∵直线x =−π12是其中一条对称轴，∴4×(−π12)+φ=kπ+π2，k ∈Z ， |φ|<π2，∴φ=−π6，f(x)=sin(4x −π6). 故函数f(x)的最小正周期为2π4=π2，故A 正确； 当x ∈[−π6,π12]，4x −π6∈[−5π6,π6]，函数f(x)没有单调性，故B 错误；令x =−5π24，求得f(x)=0，可得点(−5π24,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故C 正确； 将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y =sin(2x −π6)的图象； 再把得到的图象向左平移π6个单位长度，可得到g(x)=sin(2x +π6)的图象，故D 错误， 故选：AC ．由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：∵1a +4b=√ab≥2√1 a⋅4b=√ab，即√ab⋅√ab≥4，即ab≥4，当且仅当1 a=4b，即b=4a时取等号，则ab的最小值为4，故B正确，设t=ab，则t≥4，则ab+1ab =t+1t在[4,+∞)上为增函数，则最小值为4+14=174，故A错误，a+4b≥2√4ab≥2√4×4=8，第一个等号当a=4b时取等号，第二个等号在b=4a时取等号，在两个等号不能同时取得，则a+4b>8，故C错误，4a+b≥2√4ab≥2√4×4=8，第一个等号当4a=b时取等号，第二个等号在b=4a时取等号，在两个等号能同时取得，则a+4b≥8成立，即4a+b的最小值是8，故D正确，故选：BD．利用基本不等式的性质分别进行求解即可．本题主要考查基本不等式的应用，根据基本不等式的性质分别进行判断，注意等号成立的条件是解决本题的关键．13.【答案】2021【解析】解：因为a n+a n+1=2n+1，a1=1，所以当n=1时，a1+a2=3，解得a2=2，当n=2时，a2+a3=5，解得a3=3，当n=3时，a3+a4=7，解得a3=4，…以此类推，可得a n=n，故a2021=2021．故答案为：2021．利用题中的恒等式，分别取n=1，2，3，…，通过列举找到数列的规律，利用规律求解即可．本题考查了数列递推公式的应用，对于选择和填空题出现数列的递推公式，常用的方法就是列举寻找规律，利用规律性解决问题，属于中档题．14.【答案】2【解析】解：因为足f(1−x)=f(1+x)，所以有f(−x)=f(2+x)，又f(x)为R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则有f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，因为f(x+2)=−f(x)，所以f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)=0，故在一个周期内f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2021)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=2．故答案为：2．利用恒等式以及奇函数的定义可以求出f(x)的周期为4，再利用恒等式可得f(1)+f(3)=0，f(2)+f(4)= 0，即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，将所求的式子利用周期进行求解即可得到答案．本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数的奇偶性以及周期性的应用，求解函数周期时，经常运用赋值代换的方法，属于中档题．15.【答案】4【解析】解：由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a，由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2m，∴|AF1|=a+m，|AF2|=a−m，设直线AF1与渐近线y=−nmx相交于点B，则OB垂直平分线段AF1，连接AF2，∵O为线段F1F2的中点，∴AF2//OB，∴AF2⊥AF1，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即(a+m)2+(a−m)2=4c2，化简得，a2+m2=2c2，∴(ac )2+(mc)2=2，即1e12+1e22=2，∴2e12+2e22=2×2=4．故答案为：4．由椭圆和双曲线的定义可求得|AF 1|和|AF 2|，设直线AF 1与渐近线y =−nm x 相交于点B ，连接AF 2，可推出AF 2⊥AF 1，再结合勾股定理，即可得解．本题考查椭圆和双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】45π【解析】解：由堑堵的定义可知，△ABC 为直角三角形，故BC =√AB 2−AC 2=4， 由已知可得，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，且平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ， 而AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，而PC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥PC 1，又PC ⊥PC 1，AC ∩PC =C ，AC ，PC ⊂平面APC ， ∴PC 1⊥平面APC ，于是AP ⊥PC 1，设BB 1=z ，BP =t ，则B 1P =z −t ，∴AP =√AB 2+BP 2=√25+t 2，PC 1=√B 1C 12+B 1P 2=√16+(z −t)2， AC 1=√AC 2+CC 12=√9+z 2，由AP ⊥PC 1，得9+z 2=25+t 2+16+(z −t)2，整理得z =t +16t，∴PC 12=16+(z −t)2=16+162t 2，则S △APC 1=12AP ⋅PC 1=12√(16+162t 2)(25+t 2)=2√41+(t 2+400t 2)≥2√41+2√t 2⋅400t 2=18， 当且仅当t 2=400t 2，即t =2√5时，△APC 1的面积取得最小值为18，此时AP =√25+(2√5)2=3√5，设三棱锥P −ABC 的外接球的半径为R ，由图可知，线段AP 为外接球的直径， 故所求外接球的表面积S =4π×454=45π．故答案为：45π．由已知证明AP ⊥PC 1，设BB 1=z ，BP =t ，则B 1P =z −t ，求得AP ，PC 1，AC 1， 由AP ⊥PC 1，得z =t +16t，可得PC 12=16+(z −t)2=16+162t 2，写出三角形APC 1的面积，利用基本不等式求最值，得到对应的AP ，设三棱锥P −ABC 的外接球的半径为R ，由图可知，线段AP 为外接球的直径，得到外接球的半径，代入球的表面积公式得结论．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意，令b n =n2a n −5，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n =n3． 当n =1时，b 1=S 1=13， 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=n 3−n−13=13，∴数列{b n }是常数列，即b n =n2a n−5=13， 故a n =3n+52，n ∈N ∗．(2)由(1)知，1an a n+1=4(3n+5)[3(n+1)+5]=43[1(3n+5)−13(n+1)+5]，∴T n =1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=43(13×1+5−13×2+5)+43(13×2+5−13×3+5)+⋯+43[13n +5−13(n +1)+5] =43[13×1+5−13×2+5+13×2+5−13×3+5+⋯+13n +5−13(n +1)+5] =43[13×1+5−13(n +1)+5] =43[18−13(n +1)+5] =16−49n +24=n6n+16．【解析】本题第(1)题先令b n =n 2a n −5，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n =n3，再利用公式b n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{b n }的通项公式，再计算出数列{a n }的通项公式； 第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{1a n a n+1}的通项公式，然后对通项公式进行转化，再运用裂项相消法计算出前n 项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，运用裂项相消法求前n 项和；考查了转化与化归思想，构造思想，逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．18.【答案】解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得：AB AD =sin∠ADB sin∠ABD =sin2∠ABD sin∠ABD=2cos∠ABD ，∴cos∠ABD =√63， ∴cos∠ABD =AB 2+BD 2−AD 22AB×BD=24√6×BD=√63，即：BD2−8BD+15=0，解得：BD=3或5，当BD=3时，BD=AD=3，∴∠ABD=∠BAD，∠ADB=2∠ABD=2∠BAD，∴∠ABD=∠BAD=45°，∠ADB=90°，△ABD为等腰直角三角形，不符合题意，舍去，∴BD=5；(2)在△BCD中，∠BCD=π3，由余弦定理得：cos∠BCD=BC2+CD2−BD22BC×CD=12，∴BC2+CD2−BD2=BC×CD，∴(BC+CD)2=BD2+3BC×CD，由基本不等式得：BC×CD≤(BC+CD)24，∴(BC+CD)2≤BD2+34(BC+CD)2，∴14(BC+CD)2≤BD2，∴(BC+CD)2≤4BD2，∵BD=5，∴BC+CD≤10，即5<BC+CD≤10，所以10<BC+CD+BD≤15．所以△BCD周长的最大值为：15．【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理可求出cos∠ABD=√63，再利用余弦定理即可求出BD；(2)在△BCD中，∠BCD=π3，由余弦定理可得(BC+CD)2=BD2+3BC×CD，再利用基本不等式得(BC+ CD)2≤4BD2，结合BD的值即可求出△BCD周长的最大值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理，以及基本不等式的运用，是中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)在图1中，因为AB=BC=12AD=a，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，A1O、OC为平面A1OC内两条相交直线，从而BE⊥平面A1OC，又ED=//BC，所以EDCB是平行四边形，所以CD//BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC ，(Ⅱ)因为平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 平面A 1BE ∩平面BCDE =BE ，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1−BCDE 的高， 根据图1得出AO =A 1O =√22AB =√22a ，∴平行四边形BCDE 的面积S =BC ⋅AB =a 2， V =13×S ×A 1O =13×a 2×√22a =√26a 3， 由√26a 3=36√2，得出a =6．【解析】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形对应关系是解题关键，考查了空间线面垂直的判定，棱锥体积的应用，属中档题．(Ⅰ)运用E 是AD 的中点，判断得出BE ⊥AC ，BE ⊥平面A 1OC ，考虑CD//BE ，即可判断CD ⊥平面A 1OC ． (Ⅱ)A 1O 是四棱锥A 1−BCDE 的高，平行四边形BCDE 的面积S =BC ⋅AB =a 2，运用体积公式求解即可得出a 的值．20.【答案】解：(1)设甲、乙在第n 轮投中分别记作事件A n ，B n ，“虎队”至少投中3个记作事件C ，则P(C)=P(A 1A 2−B 1B 2)+P(A 1−A 2B 1B 2)+P(A 1A 2B 1B 2−)+P(A 1A 2B 1B 2)=C 21⋅34⋅(1−34)⋅(23)2+(34)2⋅C 21⋅23⋅(1−23)+(34)2⋅(23)2=23．(2)①“虎队”两轮得分之和X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6， 则P(X =0)=(1−34)2⋅(1−23)2=1144，P(X =1)=2×[34⋅(1−34)⋅34⋅(1−23)2+(1−34)2⋅23⋅(1−23)]=10144，P(X =2)=34⋅(1−23)⋅34⋅(1−23)+34⋅(1−23)⋅(1−34)⋅23+(1−34)⋅23⋅34⋅(1−23)+(1−34)⋅23⋅(1−34)⋅23=25144，P(X =3)=2×[34⋅23⋅(1−34)⋅(1−23)]=12144，P(X =4)=2×[34⋅(1−34)⋅(23)2+23⋅(1−23)⋅(34)2]=60144，P(X =6)=(34)2⋅(23)2=36144．故X 的分布列如下图所示：②X 1有可能取为0，1，3， P(X 1=0)=(1−34)(1−23)=112，P(X 1=1)=34⋅(1−23)+(1−34)⋅23=512， P(X 1=3)=34⋅23=612，∴EX 1=0×112+1×512+3×612=2312，设“虎队”n 轮得分之和为X n ，则X n 的期望值EX n =nEX 1=2312n ．【解析】(1)设甲、乙在第n 轮投中分别记作事件A n ，B n ，“虎队”至少投中3个记作事件C ，则P(C)=P(A 1A 2−B 1B 2)+P(A 1−A 2B 1B 2)+P(A 1A 2B 1B 2−)+P(A 1A 2B 1B 2)，由此能求出结果．(2)①“虎队”两轮得分之和X 的可能取值为：0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．②X 1有可能取为0，1，3，分别求出相应的概率，求出EX 1，再由X n 的期望值EX n =nEX 1，能求出结果． 本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法、考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)=x 36−ax ，故f′(x)=12x 2−a ，当a ≤0时，f′(x)≥0，故f(x)在R 上单调递增， 当a >0时，令f′(x)=0⇒x =±√2a ，当x <−√2a 时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增， 当−√2a <x <√2a 时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减， 当x >√2a 时，f′(x)>0，故f(x)单调递增； (2)对任意x ∈[0,+∞)，f(x)≥−sinx 恒成立，即x 36−ax +sinx ≥0在[0,+∞)上恒成立，令F(x)=x 36−ax +sinx ，又F(x)≥F(0)，所以F(x)在[0,+∞)上单调递增，由F′(x)=12x2−a+cosx，所以F′(0)≥0，即1−a≥0，所以a≤1(必要性)，下证充分性，当a≤1时，F(x)≥x36−x+sinx，令g(x)=16x3−x+sinx，则g′(x)=12x2−1+cosx，令ℎ(x)=12x2−1+cosx，则ℎ′(x)=x−sinx≥0，故ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以g′(x)≥0，故g(x)在[0,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=0，所以F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求出导函数，分a≤0和a>0两种情况，然后再利用导函数的正负研究函数的单调性即可；(2)构造F(x)=x36−ax+sinx，由条件得到F(x)在[0,+∞)上单调递增，故F′(0)≥0，求出a≤1，再通过a≤1证明F(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，从而得到a的取值范围．本题考查了导数的综合应用，主要考查了利用导数研究函数的性质，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．22.【答案】解：(1)设M(x0,y0)，故切线l的方程为y0y=2p⋅x0+x2，即px−y0y+px0=0，故l的方程为x−2y+2=0时，p1=y02=px02，∴x0=2，y0=2，p=1，抛物线方程为y2=2x．(2)证明：当l不垂直于x轴时，设l与x轴的夹角为θ，∴tanθ=|py0|FM与l夹角设为α，k PM=y0x0−p2,k l=py0，∴tanα=|y0x0−p2−py01+y0x0−p2×py0|=|y02−px0+p22(x0−p2)y0+py0|=|px0+p22x0y0+p2y0|=|py0|∴tanθ=tanα，θ=α．【解析】(1)根据题意可以直接设出抛物线的切线方程，进而可以直接解出；(2)利用直线的倾斜角和斜率的关系，可以直接证明．本题考查了抛物线的性质，切线方程的设法，属于基础题．。
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2020~2021学年度第一学期期末考试高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,0,1A a =-，{},,0B a b =，若A B =，则()2021ab 的值为（ ）A.0B.-1C.1D.1±【答案】B【解析】根据元素互异性可知a ≠0，b ≠0， 因为A=B ，所以-1=a 或-1=b 。
当a=-1时，-11-ab ,1202120212====）（）此时（a b ； 此时所以因为时，则当,1a ,0a ,-12=≠==a a b 1)1()(20212021-=-=ab 。
2.已知a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1i 1i 2a -+=，则a =（ ）A.1C.3【答案】A【解析】.1,01,21,2)1()1(,2)1)(1(==-=+∴=-++=+-a a a i a a ai i 得得由3.某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（ ）A.6种B.24种C.36种D.72种【答案】C【解析】先从4名大学生中选2名构成1组，有42C 种方法，再与剩下得两名大学生分配到3个乡村有33A 种方法。
故有42C 33A =36（种）。
4.胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（John Taylor ，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例1 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如图，若2has =，则由勾股定理，22as s a =-，即210s sa a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因此可求得S a 为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形()2856a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上信息，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ） A.611.6B.692.5C.481.4D.512.4【答案】B 【解析】=≈=≈+=1.618a ,618.1251S PH as所以692.5. 5.电影《我和我的家乡》于2020年10月11日在中国内地上映，到2020年10月14日已累计票房22.33亿，创造了多个票房记录，某新闻机构想了解全国人民对《我和我的家乡》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：5，且人口最多的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于（ ） A.100B.160C.200D.240【答案】C【解析】由题意得3个区人口数之比为2：3：5，所以第三个区所抽取的人数最多，即所占比例为21。
又因为此区抽取的人数为100人，所以样本容量为200.6.若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈，则1tan 1tan αα+=-（ ）B.D.【答案】B【解析】,31cos sin =+αα由），，（πα0∈得,91cos sin 21=+αα98cos sin 2-=∴αα，317981cos sin 21)cos (sin cos sin ,0cos ,0sin 2=+=-=-=-∴<>αααααααα则联立317cos sin 31cos sin =-=+αααα，解得6171cos 6171sin -=+=αα。
17-1171tan +=α。
故答案选B 。
7.已知图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，且其阴离子排列如图2所示，图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D ，是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=（ ）A.26B.24C.10D.6【答案】D【解析】设方向上得单位向量为a ，图形中的另一个单位向量为b ，所以b a ,的夹角为60°，。
621*1*1*1288128,8)24()42(*,24,4222=+-=•+-=-+=-=+=故选D 。
8.设()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且()24f =，则不等式()80f x x->的解集为（ ） A.()(),22,-∞⋃+∞B.()()2,00,2-⋃C.()(),40,4-∞⋃D.()()2,02,-⋃+∞【答案】D【解析】令F(x)=xf(x),由f(x)是定义在（-∞，0） （0，+∞）上的奇函数，可得F(x)是定义在（-∞，0） （0，+∞）上的偶函数，由对任意的,0)()(,),,0(121122212,1>--≠+∞∈x x x f x x f x x x x x 满足可得F(x)在（0，+∞）上单调递增，且f(2)=4,F(2)=8,所以F(x)在（-∞，0）上单调递减，且F(-2)=8，不等式可得即即为,08)(,08)(,08)(>->->-x x F x x xf x x f {8)(0>>x F x 或 8)(0<<x F x ，即 20>>x x 或20<<-<x x 。
故选D 。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线C 的方程为()2214x y k k k+=∈-R ，则下列结论确的是（ ） A.当2k =时，曲线C 为圆B.当2k =-时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为3y x =±C.“02k <<”是“曲线C 表示椭圆”的充分不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 1、【答案】AC【解析】选项A ，当k=2时，C 方程为：12222=+y x ，曲线为圆。
{{选项B ，当k=-2时，C 方程为：12622=-x y ，所以渐近线为y=x x b3a±=±{{选项C ，曲线C 表示椭圆⇒{kk k k -≠>->4040是充分不必要条件。
所以)2,0(k ),4,2()2,0(k ∈∈⇒选项D ，2,4441故离心率不能为<=-+=kk k e 。
故选AC 。
10.已知0a >，0b >，且222a b +=，则下列不等式中一定成立的是（ ）A.1ab ≤B.112a b+≤C.lg lg 0a b +≥D.2a b +≤【答案】AD【解析】,24)(22)(,122222222≤+⇒=+≤++=+=+≤b a b a ab b a b a b a ab ∴A,D 都成立。
又,21a 12721a >+==bb 时，，当 此时B{不成立。
又1,0lg lg lg ≥≥=+ab ab b a 即 ，所以C 不成立。
11.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图像相邻的两对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结果正确的是（ ） A.函数()f x 的图像关于直线512x π=对称B 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x的最小值为2-C.若65f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45- D.要得到函数()f x 的图像，只需要将()gx x =的图像向右平移6π个单位【答案】BD【解析】选项A ，错误。
故A f ,20sin 2)125(±≠==ππ选项B ，正确。
，故取得最小值时，当B x f x x x 22-)(662],2,6[62],6,6[πππππππ-=+-∈+-∈选项C ，.532cos ,5232cos 2)22sin(2)6(===-=-αααπαπ得到f 因为532cos )cos )(sin cos (sin cos sin 222244-=-=-+=-ααααααa ，故C{错。
选项D ，个单位得到的图像向右平移62cos 2)(πx x g =)62sin(2)]32(2sin[2)32cos(2)6(2cos 2πππππ+=-+=-=-=x x x x y 故D 正确。
故选BD 。
12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A.三棱锥1P A BD -的体积为定值13B.过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A B C D -截得的多边形的面积为2C.直线1PA 与平面1A BD所成角的正弦值的范围为⎣⎦D.当点P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -2、【答案】BCD【解析】{选项A ，611*2*21*22*3111===--PBD A BD A P V V ，故A 错误。
{{{{{{{{{选项B ，此平面为平面C D B 11,23)2(*43211==C D B S ，故B{正确。
选项C ，2326*2*211==BD A S ，设点P 到平面A1BD 的距离为d ，则d=,3323*3161*3111==-BD A BD A P S V 当点P 在B1D1上运动时，|PA1|max=1，此时点P 在点B1或点D1处，|PA1|min=22,设直线PA1与平面A1BD 所成的角为α，则(sinα)max=，362233=(sin α)min=]36,33[sin 33133∈=α，故,故C 正确。
选项D ，BD A P D A B BD B 111109-∴︒=∠=∠三棱锥，的外接球球心为B 1D 的中点，故半径r=,2342321ππ==-r V BD A P ，故故D{正确。
故选BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.若双曲线2213x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则m =_____________. 【答案】6【解析】抛物线的焦点为（3，0），∴双曲线的右焦点为（3，0）3,3,===c b m a ，∴m+3=9,m=6.14.朱载堉是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”﹒十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f .则21f f =_____________. 【答案】32【解析】依题意13个音的频率成等比数列，记为 a n }，设公比为q ，,2,2,12111312113=∴==q a a q a a 且则34121437122)2(====∴q a a f fl5.设向量()11,a x y =，()22,b x y =，记1212a b x xy y ⋅=-，若圆22:480C x y x y +-+=上的任意三点1A ，2A ，3A ，且1223A A A A ⊥，则1223OA OA OA OA ⋅+⋅的最大值是_____________.3、【答案】64 【解析】圆C方程可整理为：为直径。