沪教版相似三角形专题复习教案

相似三角形综合复习
一、基础知识
(一).比例
1.第四比例项、比例中项、比例线段；
2.比例性质：
（1）基本性质：
bc ad d
c b a =⇔=ac b c b
b a =⇔=2
（2）合比定理：d d
c b b a
d c b a ±=
±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b b
a
n d b m c a n m d c b a
3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2
，则点P 为线段AB 的黄金分割点．
4．平行线分线段成比例定理
(二)相似
1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.
2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.
3.相似三角形的判定
● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质
● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.
● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.
● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.
梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:
１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等
3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:
位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.
位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
二、经典例题
例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？
B
[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.
例2. 如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．
例3. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于（ ）
A ．4.5米
B ．6米
C ．7.2米
D ．8米
例4. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？
例5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．
例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？
三．适时训练
（一）选择题
1．梯形两底分别为m 、n ，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A ）
mn n m + （B ）n m mn +2 （C ）n m mn + （D ）mn
n
m 2+ 2．如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且
AC AD ＝3
1
，AE ＝BE ，则（ ） （A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD （C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD
题2 题4 题5
3．P 是Rt △ABC 斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条
4．如图，∠ABD ＝∠ACD ，图中相似三角形的对数是（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
5．如图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）
（A ）∠APB ＝∠EPC （B ）∠APE ＝90°（C ）P 是BC 的中点（D ）BP ︰BC ＝2︰3 6．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且有下列条件： （1）∠B ＋∠DAC ＝90°；（2）∠B ＝∠DAC ；（3）
AD CD ＝AB
AC
；（4）AB 2＝BD ·BC 其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有（ ）
（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个
题6 题7 题8
7．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论中错误的是（ ）
（A ）AE ⊥AF （B ）EF ︰AF ＝2︰1（C ）AF 2＝FH ·FE （D ）FB ︰FC ＝HB ︰EC 8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ）
（A ）△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周长 （B ）△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积 （C ）△ABE ∽△DEC （D ）△ABE ∽△EBC
9．如图，在□ABCD 中，E 为AD 上一点，DE ︰CE ＝2︰3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ︰S △EBF ︰S △ABF 等于（ ）
（A ）4︰10︰25 （B ）4︰9︰25 （C ）2︰3︰5 （D ）2︰5︰25
题9 题10 题11
10．如图，直线a ∥b ，AF ︰FB ＝3︰5，BC ︰CD ＝3︰1，则AE ︰EC 为（ ）．
（A ）5︰12 （B ）9︰5 （C ）12︰5 （D ）3︰2 11．如图，在△ABC 中，M 是AC 边中点，E 是AB 上一点，且AE ＝
4
1
AB ，连结EM 并延长，交BC 的延长线于D ，此时BC ︰CD 为（ ）
（A ）2︰1 （B ）3︰2 （C ）3︰1 （D ）5︰2
12．如图，矩形纸片ABCD 的长AD ＝9 cm ，宽AB ＝3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（ ）
（A ）4 cm 、10 cm （B ）5 cm 、10 cm （C ）4 cm 、23 cm （D ）5 cm 、23 cm
题12
（二）填空题
13．已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是_____cm ，a ＋b 与
a －
b 的比例中项是_____cm ． 14．若
c b a +＝a c b +＝b
c
a +＝－m 2，则m ＝______． 15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______． 16．如图，□ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝
2
1
FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝______．
题16 题17 题18 17．如图，AB ∥CD ，图中共有____对相似三角形．
18．如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件______（只要写出一种
合适的条件）．
19．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．
题19 题20 题21
20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，AE ＝EC ，AD ＝18，BE ＝15，则
△ABC 的面积是______．
21．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD
面积是_________．
22．如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE ＝2EB ，AD ＝8 cm ，AD ＝8 cm ，BC ＝14 cm ，
则S 梯形AEFD ︰S 梯形BCFE ＝____________．
(三)解答题
23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．
24. 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 中点，延长AC 、DE 相交于点F ，
求证
BC AC ＝DF
AF
．
25. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE 交AC 于F ，求
证AF ＝FC ．
26. 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．
求证：
AB AE ＋CD
CG
＝1． 27. 如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交
CE 及BA 的延长线于F 、H ，求证：（1）DG 2＝BG ·CG ；（2）BG ·CG ＝GF ·GH ． 28. 如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ．
（1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？ （2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ． 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．
29. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC
（AB ＞AE ）．
（1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设
BC
AB
＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．
30. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2 cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S △BCP ＝
4
1
S △ABC ？ 31. 如图，小华家（点A 处）和公路（L ）之间竖立着一块35m•长且平 行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s ，已知广告牌和
公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．
32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：
如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC
是否相似？
某学生对上题作如下解答：
答：△AOB ∽△DOC ．理由如下：
在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴
AO DO
OC OB
=，
∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．
请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．
33.如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：
DA
DF
CD⋅
=
2；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
E
G
34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离
EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.
35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

求证：
AE//BC；
（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。

所作△EDC改成相似于△ABC。

请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。

36.如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别
为B、C，且⊙O直经BD=6，连结CD、AO。

（1）求证：CD∥
AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出
自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长。

37.已知：如图，在正方形ABCD中，AD = 1，P、Q
分别为AD、BC上两点，且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E，EF平行BC交
PQ于F，AP、BQ分别为方程0
2=
+
-n
mx
x的两根.（1）求m的值（2）试用
AP、BQ表示EF
（3）若S△PQE =
8
1
，求n的值
38. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A
以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果
P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（06
t
≤≤），那么：
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式。

（2）当△POQ的面积最大时，△ POQ沿直线PQ翻折
后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，
并说明理由。

（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
39.如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN
O P A X
Y
B
Q
O 于E ，且BC ＝10，AE ＝16，求△ABC 的面积．
40. 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．
41.在Rt △ABC 中，∠C=90
， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，
DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F （1）求证:AC 是⊙O 的切线;
（2）联结EF ，求
EF
AC
的值. 42. 请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如右图1,若
弦AB 、CD 交于点P 则PA ·PB=PC ·PD ．请你根据以上材料，解决下列问题.
已知⊙O 的半径为2，P 是⊙O 内一点，且OP=1，过点P 任作一弦AC ，过A 、C 两点分别作⊙O 的切线m 和n ，作PQ ⊥m 于点Q ，PR ⊥n 于点R.（如图2）
(1)若AC 恰经过圆心O ,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：
PR
PQ 1
1+的值； (2)若OP ⊥AC, 请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：
PR
PQ 11+的值； (3)若AC 是过点P 的任一弦（图2）, 请你结合(1)(2)的结论, 猜想：
PR
PQ 11+的值，并给出证明． 43.已知90AOB ∠=︒，
OM 是AOB ∠的平分
线．将一个直角的直角顶点P 在射线
OM 上移动，点P 不与点O 重合. （1）如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图，在（1）的条件下，设CD 与OP 的交点为点G ，且3PG PD =
，求GD OD
的值； （3）若直角RPS 的一边与射线OB 交于点D ，另一边与直线OA 、直线OB 分别交于点C 、E ，且以P 、D 、E 为顶点的三角形与OCD ∆相似，请画出示意图；当1OD =时，直接写出OP 的长.
P O （图3） P （图4）
R
Q n
m C A
P O
（图2
） P O
A B D C （图1）
A C
E
O
B F
D （第
41题）
O
E D B A R
B P
C
A
D O
G S M
44.图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起（C 与C '重合）． （1）固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30︒得到△CDE ，连结AD BE 、（如图2）．此时线段BE 与AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△QRP （如图3）．设△QRP 移动（点P Q 、在线段CF 上）的时间为x 秒，若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=︒<<︒，边BC 交D E ''于点M ，边AC 交D C ''于点N （如图4）．此时线段C N E M ''的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M ''的值；如果有变化，请你说明理由．
图1 图2 图3 图4 45. 如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．
(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若22AB =，求BC 的长．
46.已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A . （1）求证： BC 是⊙O 的切线； （2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长.
47.在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''（使E BC '∠＜180°），连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于
点O.
（1）如图①，当AC=BC 时，D A ':E B '的值为；
（2）如图②，当AC=5，BC=4时，求D A ':E B '的值；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB=60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.
图① 图②
48. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC,D C ⊥BC ,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12,点E 在下底边BC 上，点F 在AB 上． （１）若EF 平分直角梯形ABCD 的周长，设BE 的长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积；
B A M F
P C '
C C
A N
(C ')D
'E A D C (C ')Q A R
E '
D 'O
D E'O
E'A
D
（２）是否存在线段EF 将直角梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．
（３）若线段EF 将直角梯形ABCD 的周长分为１：２两部分，将△BEF 的面积记为1S ,五边形AFECD 的面积记为2S ,且12:,S S k =求出k 的最大值． 49．在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连结BE ，且BE ＝2AE ， BD 是
∠EBC 的平分线．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE
于点Q ．
（1）当点P 在线段ED 上时（如图①）
，求证：BE PD =+
； （2）当点P 在线段ED 的延长线上时（如图②），请你猜
想
BE PD PQ 、三者之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）
； （3）当点P 运动到线段ED 的中点时（如图③），连结QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交BD 于点G ．若
BC ＝12，求线段PG 的长．
图图图32
1
A B
C
D
E
Q P
G
P
Q E
D
C
B
A
P Q
E
D
C B
A F
50．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，0），点B （0，3），点P 从点B 出发沿BA 方向向点A 匀速
运动，速度为每秒1个单位长度，点Q 从点A 出发沿AO 方向向点O 匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结P Q ．若设运动的时间为t 秒 （0＜t ＜2）．
（1）求直线AB 的解析式； （2）设△AQP 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△AOB 此时t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结PO ，并把△PQO 沿QO 翻折，得到四边形PQP O '，那么是否
存在某一时刻t ，使四边形PQP O '为菱形？若存在，请求出此时点
Q 的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．。