电路原理(邱关源)习题答案第二章 电阻电路的等效变换练习

第二章 电阻电路的等效变换“等效变换”在电路理论中是很重要的概念，电路等效变换的方法是电路问题分析中经常使用的方法。

所谓两个电路是互为等效的，是指（1）两个结构参数不同的电路再端子上有相同的电压、电流关系，因而可以互相代换；（2）代换的效果是不改变外电路（或电路中未被代换的部分）中的电压、电流和功率。

由此得出电路等效变换的条件是相互代换的两部分电路具有相同的伏安特性。

等效的对象是外接电路（或电路未变化部分）中的电压、电流和功率。

等效变换的目的是简化电路，方便地求出需要求的结果。

深刻地理解“等效变换”的思想，熟练掌握“等效变换”的方法在电路分析中是重要的。

2-1 电路如图所示，已知12100,2,8s u V R k R k ==Ω=Ω。

若：（1）38R k =Ω；（2）处开路）33(R R ∞=；（3）处短路）33(0R R =。

试求以上3种情况下电压2u 和电流23,i i 。

解：（1）2R 和3R 为并联，其等效电阻842R k ==Ω，则总电流 mA R R u i s 3504210011=+=+=分流有mA i i i 333.86502132====… V i R u 667.666508222=⨯==（2）当∞=3R ，有03=imA R R u i s 1082100212=+=+=V i R u 80108222=⨯==（3）03=R ，有0,022==u imA R u i s 50210013===2-2 电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。

求：（1）电压2u 和电流2i ；（2）若电阻1R 增大，对哪些元件的电压、电流有影响影响如何解：（1）对于2R 和3R 来说，其余部分的电路可以用电流源s i 等效代换，如题解图（a ）所示。

因此有 32332R R i R i += 32322R R i R R u s+=!（2）由于1R 和电流源串接支路对其余电路来说可以等效为一个电流源，如题解图（b ）所示。

因此当1R 增大，对432,,R R R 及s u 的电流和端电压都没有影响。

但1R 增大，1R 上的电压增大，将影响电流源两端的电压，因为s s si u u i R u -+=21显然s i u 随1R 的增大而增大。

注：任意电路元件与理想电流源s i 串联，均可将其等效为理想电压源s i ，如本题中题解图（a ）和（b ）。

但应该注意等效是对外部电路的等效。

图（a ）和图（b ）中电流源两端的电压就不等于原电路中电流源两端的电压is u 。

同时，任意电路元件与理想电压源s u 并联，均可将其等效为理想电压源s u ，如本题中对而言，其余部分可以等效为s u ，如题图（c ）所示。

但等效是对外部电路（如4R ）的等效，而图（c ）中s u 上的电流则不等于原电路中s u 中的电流。

2-3电路如图所示。

（1）求s o u u ；（2）当)(//212121R R R R R R R L +=>>时，s ou u 可近似为212R R R +，此时引起的相对误差为00212100⨯+-s os o u u R R R u u?当L R 为)//(21R R 的100倍、10倍时，分别计算此相对误差。

解：（1）L L R R R R R +⨯=22 R R u i s +=1 R R R u Ri u s o +==1 所以 LL L s o R R R R R R R R R R R u u 212121++=+= （2）设2121R R R R K R L +=，带入上述s o u u 式子中，可得2122121212121212)1()(R R R K K R R R R K R R R R R R R R K R u u s o +⨯+=+⨯+++⨯=相对误差为000000212212212002121001100111 10011100)(⨯-=⨯+-+=⨯+++-++=⨯+-=KK K K K R R R K KR R R R R R K K u u R R R u u s o s o η当100=K 时001-=η10=K 时 0010-=η】2-4 求图示电路的等效电阻ab R ，其中Ω=Ω==Ω==4,2,154321R R R R R ，Ω===2,121R S G G 。

解：(a)图中4R 被短路，原电路等效为图(a1)所示。

应用电阻的串并联，有[][]Ω=+=+=4.442//1//1////5321R R R R R ab(b)图中1G 和2G 所在支路的电阻 Ω=+=21121G G R所以 [][]Ω=+=+=322//2//34R R R R ab(c)图可以改画为图(c1)所示，这是一个电桥电路，由于4321,R R R R ==处于电桥平衡，故开关闭合与打开时的等效电阻相等。

《Ω=++=++=5.1)21//()21()//()(4231R R R R R ab(d)图中节点1,1'同电位（电桥平衡），所以11'-间跨接电阻2R 可以拿去（也可以用短路线替代），故Ω=++=++=5.01//)11//()11(//)//()(12121R R R R R R ab(e)图是一个对称的电路。

解法一：由于结点1与1'，2与2'等电位，结点3,3,3'''等电位，可以分别把等电位点短接，电路如图(e1)所示，则Ω==+⨯=323)42(2R R R R ab解法二：将电路从中心点断开（因断开点间的连线没有电流）如图(e2)所示。

则 Ω==+=3232)2//2(2R R R R R ab？解法三：此题也可根据网络结构的特点，令各支路电流如图(e3)所示，则左上角的网孔回路方程为1222Ri Ri =故 12i i = 由结点①的KCL 方程1212225.0i i i i i ==+=得 i i i 4112==由此得端口电压 Ri iR i R i R u ab 235.04125.0=⨯+⨯+⨯= 所以 Ω===323R i u R ab ab(f)图中(1,1,2)ΩΩΩ和(2,2,1)ΩΩΩ构成两个Y 形连接，分别将两个Y 形转化成等值的△形连接，如图(f1)和(f2)所示。

，等值△形的电阻分别为Ω='='Ω=⨯++='Ω=⨯++='Ω==Ω=⨯++=Ω=⨯++=4 422121812222 55)12121( 5.2)21111(23212321R R R R R R R R并接两个∆形，最后得图(f3)所示的等效电路，所以[][]2211332//(//)////(//) 2//(5//4) 2.5//8//(5//4)204020 // 1.26919219ab R R R R R R R '''=+=+⎡⎤=+=Ω⎢⎥⎣⎦(g)图是一个对称电路。

解法一：由对称性可知，节点1,1,1'''等电位，节点2,2,2'''等电位，连接等电位点，得图(g1)所示电路。

则 Ω==++=667.165)363(R R R R R ab"解法二：根据电路的结构特点，得各支路电流的分布如图(g2)所示。

由此得端口电压R i R i R i R i u ab ⨯=⨯+⨯+⨯=65316131所以 Ω===667.165R i u R ab ab注：本题入端电阻的计算过程说明，判别电路中电阻的串并联关系是分析混联电路的关键。

一般应掌握以下几点（1）根据电压、电流关系判断。

若流经两电阻的电流是同一电流，则为串联；若两电阻上承受的是同一电压，就是并联。

注意不要被电路中的一些短接线所迷惑，对短接线可以做压缩或伸长处理。

（2）根据电路的结构特点，如对称性、电桥平衡等，找出等电位点，连接或断开等电位点之间的支路，把电路变换成简单的并联形式。

（3）应用Y ，∆结构互换把电路转化成简单的串并联形式，再加以计算分析。

但要明确，Y ，∆形结构互换是多端子结构等效，除正确使用变换公式计算各阻值之外，务必正确连接各对应端子，更应注意不要把本是串并联的问题看做Y, ∆结构进行变换等效，那样会使问题的计算更加复杂化。

（4）当电路结构比较复杂时，可以根据电路的结构特点，设定电路中的支路电流，通过一些网孔回路方程和结点方程确定支路电流分布系数，然后求出断口电压和电流的比值，得出等效电阻。

!2-5 在图(a)电路中，Ω=Ω=Ω===2,6,12,6,2432121R R R V u V u s s 。

图(b)为经电源变换后的等效电路。

（1）求等效电路的s i 和R ；（2）根据等效电路求3R 中电流和消耗功率； （3）分别在图(a),(b)中求出2,1R R 及R 消耗的功率； （4）试问21,s s u u 发出的功率是否等于s i 发出的功率21,R R 消耗的功率是否等于R 消耗的功率为什么解：（1）利用电源的等效变换，图(a)中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。

等效后的电路如题解2-5图所示，其中 A R u i s s 21224111===A R u i s s 166222===对题解2-5图电路进一步简化得图(b)所示电路，故—A i i i s s s31221=+=+=Ω=+⨯==4612612//21R R R（2）由图(b)可解得三条并联支路的端电压V i R R u s 432424)//(3=⨯+⨯=⨯=所以3R 的电流和消耗的功率分别为W i R P AR u i 8222242233333=⨯=====（3）根据KVL ，图(a)电路中21,R R 两端的电压分别为V u u u Vu u u s s 246204242211=-=-==-=-= 则21,R R 消耗的功率分别为WR u P WR u P 326)2(33.33310012)20(2222221211======[(b)图中R 消耗的功率W R u P 44422===（4）(a)图中21s s u u 和发出的功率分别为 W R u u P s s u 401220241111=⨯=⨯=W R u u P s s u26262222=⨯=⨯=(b)图中s i 发出功率Wi u P s si 1234=⨯=⨯=显然 21s us u si P P P +≠由（3）的解可知21P P P +≠以上结果表明，等效电源发出的功率一般并不等于原电路中所有电源发出的功率之和；等效电阻消耗的功率一般也并不等于原电路中所有电阻消耗的功率之和。