大学概率论与数理统计复习

第一章 随机事件及其概率

知识点：概率的性质 事件运算 古典概率

事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式

常用公式 应用举例

1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。

2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P Y ，则=k （ ）。

3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P Y 则（ ）。

4、若,3.0)(=A P ===)(,

5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P Y （ ）

。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ⊂，事件()A C B -U 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率；

（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。

解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，

2A ={他是乘汽车回家的}，i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有

由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P （2）由贝叶斯公式

8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。

看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

第二章 随机变量及其分布

知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质

连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布

重要内容

）（R x x f ∈≥0)(

4. 概率计算

1

=∑i

i

p

)

()()(12121x F x F x x x F ≤⇒<单调递增，即）（1

)(lim )(0

)(lim )(2==+∞==-∞+∞

→-∞

→x F F x F F x x ）（)

()0()(3x F x F x F =+右连续，即）（R

x x F ∈≤≤10)4(）（2．分布律的性质

...)

2,1(,10=≤≤i p i 1.分布函数的性质

（1）非负性 （2）规范性

3.分布密度函数的性质

⎰

+∞

∞

-=1

)(dx x f （1）非负性 （2）规范性

5.常用分布

应用举例

1、设2()(0)x f x ke x -=>是某随机变量的密度函数，则k =（ ）。

2、设随机变量

X

的概率密度为

)2

2(,cos 21)(π

π+≤≤-=

x x x f ，则

)01(<<-X P ＝（ ）

。 3、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=.

,1,1,

ln ,

1,

0)(e x e x x x x F 则 )2(>X P =（ ）。 4、设),(~2σμN X

,满足)1()1(-≤=->X P X P 的参数μ=（ ）。

5、离散型随机变量X 的分布律为11()(1,2,3)!

P X k k c k ===，则c =（ ）。

6、土地粮食亩产量（单位：kg ）)60,360(~2N X

.按亩产量高低将土

地分成等级.若亩产量高于420kg 为一级，在360~420kg 间为二级，在315~360kg 间为三等，低于315kg 为四级.求等级Y 的概率分布。(5.0)0(=Φ,8413.0)1(=Φ,7734.0)75.0(=Φ) 解

7、110在长度为t 的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为t 2

1的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.求某一天中

午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。

解 X 的分布律为),2,1,0(!

)2()(2

Λ==

=-k k t

e k X P k

t

中午12时到下午3时，表明3=t 求)1(≥X P

8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直

二项分布:

到取到正品为止，求抽取次数X 的分布律。 解 X 所有可能的取值为1,2,3 i A ={第i 次取到正品}（3,2,1=i ）

看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28

第三章 多维随机变量及其分布

知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要

1.概率分布的性质

2.二维概率计算

3.边际密度函数计算

4.常用分布 二维正态分布

5.随机变量的独立性

6.正态分布的可加性 应用举例

1、设()Y X ,的密度函数

()⎩

⎨⎧>>=--其他,00

,0,,2y x ke y x f y x 则k =（ ）。

2、设离散型随机变量

(,)

X Y 的联合分布律为

(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

1/6

1/9

1/18

1/3

X Y P

αβ

且Y X ,相互独立，则（ ）。

3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10

),,,,(~),(22

2121ρσσμμN Y X