大学概率论与数理统计复习
大三学生的概率论与数理统计复习指南
大三学生的概率论与数理统计复习指南概率论与数理统计是大学数学课程的重要内容，也是许多专业考试的重点。
作为大三学生，复习概率论与数理统计对于提高学习成绩和应对考试非常重要。
本文将为大三学生提供一份概率论与数理统计的复习指南，帮助大家系统地复习这门课程。
一、概率论复习1. 概率的基本概念与性质概率的基本概念包括随机试验、样本空间、事件等，复习时应该对这些概念有清晰的理解。
同时，了解概率的性质，如非负性、规范性、可列可加性等。
2. 随机变量与分布函数随机变量是概率论的核心概念，有离散随机变量和连续随机变量两种类型。
复习时应了解随机变量的定义和性质，并熟练掌握常见离散和连续随机变量的分布函数、概率质量函数或概率密度函数。
3. 随机变量的数字特征随机变量的数字特征包括数学期望、方差、标准差等。
复习时应了解这些特征的定义和计算方法，并能够通过特征判断随机变量的性质。
4. 大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论的两个重要定理，分别描述了随机变量的平均值和总和的性质。
复习时应掌握这两个定理的概念和应用。
5. 统计量与抽样分布统计量是样本数据的函数，常用的统计量有样本均值、样本方差等。
抽样分布则是统计量的分布，复习时应了解常见统计量的定义和性质，以及抽样分布的概念和计算方法。
6. 参数估计与假设检验参数估计与假设检验是统计推断的基本方法，复习时应了解点估计、区间估计和假设检验的基本步骤和应用场景，并能够应用常见的估计方法和检验方法解决问题。
二、数理统计复习1. 统计数据的描述统计数据的描述包括测度数据和分类数据的处理方法。
复习时应了解测度数据的计数、频率、累积频率等描述方法，以及分类数据的频数、频率和统计图形等描述方法。
2. 统计数据的整理与分组整理和分组是统计数据处理的基础，复习时应熟悉数据整理和分组的步骤，并了解各种分组方式的选择和应用。
3. 统计图表与统计指标统计图表能够直观地表达数据的分布和规律，常见的统计图表有直方图、饼图、箱线图等。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计复习笔记
概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:1可以在相同的条件下重复地进行;2每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E的所有可能结果组成的集合. 样本点基本事件:E的每个结果.随机事件事件:样本空间S的子集.必然事件S:每次试验中一定发生的事件. 不可能事件:每次试验中一定不会发生的事件.二. 事件间的关系和运算事件B包含事件A 事件A发生必然导致事件B发生.∪B和事件事件A与B至少有一个发生.3. A∩B=AB积事件事件A与B同时发生.4. A-B 差事件事件A 发生而B 不发生.5. AB= A 与B 互不相容或互斥事件A 与B 不能同时发生.6. AB=且A ∪B=S A 与B 互为逆事件或对立事件表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德摩根律 B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为PA,称为事件A 的概率.1非负性 PA ≥0 ; 2归一性或规范性 PS=1 ;3可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…,PA 1∪A 2∪…=P A 1+PA 2+…2.性质1 P = 0 , 注意: A 为不可能事件2有限可加性对于n个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,PA1∪A2∪…∪An=PA1+PA2+…+PAn有限可加性与可列可加性合称加法定理3若A B, 则PA≤PB, PB-A=PB-PA .4对于任一事件A, PA≤1, PA=1-PA .5广义加法定理对于任意二事件A,B ,PA∪B=PA+PB-PAB .对于任意n个事件A1,A2,…,An…+-1n-1PA1A2…An四.等可能古典概型1.定义如果试验E满足:1样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,en};2每一个基本事件的概率相等,即Pe1=Pe2=…= Pen.则称试验E所对应的概率模型为等可能古典概型.2.计算公式 PA=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率PB|A=PAB / PA PA>0.2.乘法定理 PAB=PA P B|A PA>0; PAB=PB P A|B PB>0.PA 1A 2…A n =PA 1PA 2|A 1PA 3|A 1A 2…PA n |A 1A 2…A n-1 n ≥2, PA 1A 2…A n-1 > 03. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S ,则当PB i >0时,有全概率公式 PA=()()i ni i B A P B P ∑=1当PA>0, PB i>0时,有贝叶斯公式P B i|A=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足PAB = PA PB 时,称A,B 为相互独立的事件.1两个事件A,B 相互独立 PB= P B|A .2若A 与B,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足PAB =PA PB, PAC= PA PC, PBC= PB PC,称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足PABC =PA PB PC,则称A,B,C 三事件相互独立.个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k 1<k ≤n,任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X e 称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数Fx=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:10≤Fx≤1 ,F -∞=0,F∞=1. 2Fx 单调不减,即若x 1<x 2 ,则 Fx 1≤Fx 2.3Fx 右连续,即Fx+0=Fx. 4P{x 1<X≤x 2}=Fx 2-Fx 1.二.离散型随机变量 只能取有限个或可列无限多个值的随机变量1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k k=1,2,… 也可以列表表示. 其性质为:1非负性 0≤P k ≤1 ; 2归一性11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 Fx=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x kk=1,2,…处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布1X~0-1分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p 0<p<1 .2X~bn,p 参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k=0,1,2,…,n 0<p<1 3X~参数为的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !k=0,1,2,… >0 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数Fx 可以表示成某一非负函数fx 的积分Fx=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f x 称为X 的概率密度函数.2.概率密度的性质1非负性 fx ≥0 ; 2归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;3 P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; 4若f x 在点x 处连续,则f x=F/x .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布1X ～U a,b 区间a,b 上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . 2X 服从参数为的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 >0.3X~N ,2参数为,的正态分布222)(21)(σμσπ--=x e x f -<x<, >0.特别, =0, 2=1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N 0,1,其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, -x=1-Φx .若X ～N ,2, 则Z=σμ-X ~N 0,1, P{x 1<X ≤x 2}=Φσμ-2x-Φσμ-1x .若P{Z>z }= P{Z<-z }= P{|Z|>z /2}= ,则点z ,-z , z / 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧分位点. 注意：z =1- , z 1- = -z .四.随机变量X 的函数Y= g X 的分布1.离散型随机变量的函数若gx k k=1,2,…的值全不相等,则由上表立得Y=gX 的分布律.若gx k k=1,2,…的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=gX 的分布律.2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X x,则求其函数Y=gX 的概率密度f Y y 常用两种方法：1分布函数法 先求Y 的分布函数F Y y=P{Y ≤y}=P{gX ≤y}=()()dx x f ky Xk∑⎰∆其中Δk y 是与gX ≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间可能不只一个,然后对y 求导即得f Y y=F Y/y .2公式法 若gx 处处可导,且恒有g /x>0 或g / x<0 ,则Y=g X 是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=yhyhfyf XY其它βα<<y其中hy是gx的反函数 , = min g -,g = max g -,g .如果f x在有限区间a,b以外等于零,则 = min g a,g b = max g a,g b .第三章二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量X,Y称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数Fx,y=P{X≤x,Y≤y}称为X,Y的X和Y的联合分布函数.2.分布函数的性质1Fx,y分别关于x和y单调不减.20≤Fx,y≤1 , Fx,- =0, F-,y=0, F-,-=0, F,=1 .3 Fx,y关于每个变量都是右连续的,即 Fx+0,y= Fx,y, Fx,y+0= Fx,y .4对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= Fx 2,y 2- Fx 2,y 1- Fx 1,y 2+ Fx 1,y 1二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量X,Y 只能取有限对或可列无限多对值x i ,y j i ,j =1,2,… 称X,Y 为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为X,Y 的联合分布律.也可列表表示.2.性质 1非负性 0≤p i j ≤1 .2归一性 ∑∑=i jijp 1 .3. X,Y 的X 和Y 的联合分布函数Fx,y=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f x,y,使对任意的x 和y,有Fx,y=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),(则称X,Y 为二维连续型随机变量,称fx,y 为X,Y 的X 和Y 的联合概率密度.2.性质 1非负性 f x,y ≥0 . 2归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .3若f x,y 在点x,y 连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2 4若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. X,Y 关于X 的边缘分布函数 F X x = P{X ≤x , Y<}= F x , .X,Y 关于Y 的边缘分布函数 F Y y = P{X<, Y ≤y}= F ,y2.二维离散型随机变量X,Y关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i · i =1,2,… 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }=∑∞=1i ij p = p·jj =1,2,… 归一性11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量X,Y关于X 的边缘概率密度f X x=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y y=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义若对一切实数x,y,均有Fx,y= FX x FYy ,则称X和Y相互独立.2.离散型随机变量X和Y相互独立⇔p i j= p i··p·j i ,j =1,2,…对一切x i,y j成立.3.连续型随机变量X和Y相互独立⇔f x,y=f X xf Y y对X,Y所有可能取值x,y都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义设X,Y是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=yj}>0,则称P{X=xi |Y=yj}为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称P{Y=yj |X=xi}为在X=xi 条件下随机变量Y 的条件分布律.,}{},{jj ijjippyYPyYxXP•=====,}{},{•=====ij iijippxXPyYxXP第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i i =1,2,… 概率密度f x数学期望均值EX∑∞=1i i i p x 级数绝对收敛⎰∞∞-dx x xf )(积分绝对收敛方差DX=E{X-EX 2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=EX 2-EX 2 级数绝对收敛 积分绝对收敛函数数学期望EY=EgXi i i p x g ∑∞=1)(级数绝对收敛 ⎰∞∞-dx x f x g )()(积分绝对收敛标准差X=√DX .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, Ec = c , EcX = cEX , Dc = 0 , D cX = c 2 DX .,Y为任意随机变量时, E X±Y=EX±EY .3. X与Y相互独立时, EXY=EXEY , DX±Y=DX+DY .4. DX = 0 P{X = C}=1 ,C为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 EX DX~ 0-1分布P{X=1}= p 0<p<1 p p 1- p ~ b n,p 0<p<1 n p n p 1- p ~~ Ua,b a+b/2 b-a 2/12服从参数为的指数分布2~ N ,22四.矩的概念随机变量X的k阶原点矩EX k k=1,2,…随机变量X 的k 阶中心矩E{X-EX k}随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩EX k Y l l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{X-EX k Y-EY l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11 k=1,2,… 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1k=1,2,…二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E X = EX , D X = DX / n .特别,若X~ N ,2 ,则 X ~ N , 2 /n .分布 1定义 若X ～N 0,1,则Y =∑=ni i X 12~ 2n 自由度为n 的2分布.2性质 ①若Y~ 2n,则EY = n , DY = 2n .②若Y 1~ 2n 1 Y 2~ 2n 2 ,则Y 1+Y 2~ 2n 1 + n 2.③若X~ N ,2 , 则22)1(σS n -~ 2n-1,且X 与S 2相互独立.3分位点 若Y~ 2n,0< <1 ,则满足的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为2分布的上、下、双侧分位点.3. t 分布1定义 若X~N 0,1 ,Y~ 2 n,且X,Y 相互独立,则t=nY X~tn 自由度为n 的t 分布. 2性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N ,2 时,nS X μ-~ t n-1 . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N 1,12 且12=22=2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N 2,22 Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t n 1+n 2-2 , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w3分位点 若t ~ t n ,0 < <1 , 则满足的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧分位点.注意: t 1- n = - t n.分布 1定义 若U~2n 1, V~ 2n 2, 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~Fn 1,n 2自由度为n 1,n 2的F 分布.2性质条件同3.2③22212221σσS S ~Fn 1-1,n 2-13分位点 若F~ Fn 1,n 2 ,0< <1,则满足的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=- 第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数1, 2,…, k .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩 ll=1,2,…,k 得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值.2.最大似然估计法若总体分布形式可以是分布律或概率密度为px, 1, 2,…, k ,称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数1, 2,…,k 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L 1, 2,…, k 关于1, 2,…, k 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ i =1,2,…,k 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1)无偏性 若E ∧θ=,则估计量∧θ称为参数的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E X = EX , ES 2=DX, EA k =k =EX k ,即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值EX,方差DX,总体k 阶矩k 的无偏估计,2有效性 若E ∧θ1 =E ∧θ2= , 而D ∧θ1< D ∧θ2, 则称估计量∧θ1比∧θ2有效.3一致性相合性 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数的相合估计量.二.区间估计1.求参数的置信水平为1-的双侧置信区间的步骤1寻找样本函数W=WX 1 ,X 2 ,…,X n ,,其中只有一个待估参数未知,且其分布完全确定.2利用双侧分位点找出W 的区间a,b,使P{a<W <b}=1-.3由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间θθ,为所求.2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间2已知 nX σμ-~N 0,1 2/ασz n X ±2未知 nS X μ-~ t n-1 )1((2/-±n t n S X α 2未知22)1(σS n -~ 2n-1 ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n S n n S n ααχχ 3.两个正态总体1均值差 1- 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N0,1 )(2221212n n z Y Xσσα+±-未知22221σσσ==212111)(n n S Y X w +---μμ～tn 1+n 2-2)11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 2③.2 1, 2未知, W=22212221σσS S ~ Fn 1-1,n 2-1,方差比12/22的置信区间为注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上下限中的下标/2改为,另外的下上限取为- 即可.。
概率论与数理统计总复习
概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。
随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。
2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。
6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。
例：从甲、乙两班各选一个代表。
②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
大学概率论与数理统计复习资料
知识点：概率的性质事件运算古典概率常用公式(2)P(A BP P(A) P(B)- P(AB)(加法定理)nnP(U A) Y p(A)i d innP(U A)=l-n [1-P(A)]i di d(3) P(B/A)二 P(AB)/P(A) (4)P(AB)二 P(A)P(B/A)二P(B)P(A/B) P(AB)二 P(A)P(B) (A 与B 独立时)P(AB)二0(A,B 互不相容时)(5) P (A- Bp P(ABp P(A)- P(AB)P(A- B)二 P(AB)二 P(A) - P(B)(当B A 时)n(6) P (B)八 P(A i )P(B/A i )(全概率公式)i=1(其中A ,,A 2 A n 为"的一个划分,且P(A i 0)) (7) P (A /B) = nP(A)P(B/A)(逆概率公式)迟 P(A i )P(B/A)事件的独立性条件概率全概率与贝叶斯公式(1)P(Ap r/nP(AP L(A)/L(S)（设A,4…A 两两互斥,有限可加性）（A ，4, A 相互独立时）i =1应用举例1、已知事件A, B 满足P(AB) = P(AB),且P(A) = 0.6 ,贝卩P(B)=()。
2、已知事件A,B 相互独立，P(A) =k, P(B) =0.2, P(0 B)=0.6，贝k - ()。
3、已知事件A,B 互不相容，P(A) =0.3, P(B) = 0.5,则 P(A B)=()。
4、若P(A) =0.3, P(B)=0.4 ,P(AB) = 0.5, P(BA B)=( )。
5、A, B,C是三个随机事件，C B，事件AUC - B与A的关系是6、5张数字卡片上分别写着1, 2, 3, 4, 5,从中任取3张，某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
(1 )试求他在5:40〜5:50到家的概率；(2)结果他是5:47到家的。
试求他是乘地铁回家的概率。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计是数学的一个重要分支，主要研究各种随机现象的规律性及其数值描述。
下面将对概率论与数理统计的一些重要知识点进行总结。
一、概率论知识点总结1. 随机事件与概率- 随机事件：指在一定条件下具有不确定性的事件。
- 概率：用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
2. 古典概型与几何概型- 古典概型：指随机试验中，所有基本事件的可能性相等的情况。
- 几何概型：指随机试验中，基本事件的可能性不完全相等，与图形的属性有关的情况。
3. 随机变量与概率分布- 随机变量：定义在样本空间上的函数，用来描述试验结果与数值之间的对应关系。
- 离散随机变量：取有限个或可列个数值的随机变量。
- 连续随机变量：取无限个数值的随机变量。
4. 期望与方差- 期望：反映随机变量平均取值的数值。
- 方差：反映随机变量取值偏离期望值的程度。
5. 大数定律与中心极限定理- 大数定律：指在独立重复试验中，随着试验次数增加，事件发生的频率趋近于其概率。
- 中心极限定理：指在独立随机变量之和的情况下，当随机变量数目趋于无穷时，这些随机变量之和的分布趋近于正态分布。
二、数理统计知识点总结1. 抽样与抽样分布- 抽样：指对总体进行有规则地选择一部分样本进行观察和研究的过程。
- 抽样分布：指用统计量对不同样本进行计算所得到的分布。
2. 参数估计与置信区间- 参数估计：根据样本推断总体的未知参数。
- 置信区间：对于总体参数估计的一个区间估计，用来表示这个参数的可能取值范围。
3. 假设检验与统计显著性- 假设检验：用来判断统计推断是否与已知事实相符。
- 统计显著性：基于样本数据，对总体或总体参数进行判断的一种方法。
4. 方差分析与回归分析- 方差分析：用来研究因素对于某一变量均值的影响程度。
- 回归分析：通过观察变量之间的关系，建立数学模型来描述两个或多个变量间的依赖关系。
5. 交叉表与卡方检验- 交叉表：将两个或多个变量的数据按照某种方式交叉排列而形成的表格。
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版
概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。
以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。
一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。
（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。
（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。
2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。
3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。
4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。
5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。
6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。
（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。
2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。
3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
非常全面的概率论与数理统计复习材料
为 21 的倍数的概率 p2;
解：p1=错误!=错误!, p2= 错误!= 错误!
前提是如果在某一区域任取一 例 1 把长度为 a 的棒任意折成三段,求它们可以构成一个三角形的概率;
点,而所取的点落在中任意两 解：设折得的三段长度分别为 x,y 和 a-x-y,那么,样本空间,S={x,y|0xa,0ya,0a-x-ya};
A、A=
B、AB= C、A错误!=
D、B=错误!
运 A1,A2,…,An 构成的一个完备事件组或分斥指 A1,A2,…,An 两两互不相容,且错误!Ai=
算
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A 运
结合律 A∪B∪C=A∪B∪C A∩B∩C=A∩B∩C 算
分配律 A∪B∩C=AC∪BC A∩B∪C=A∪C∩B∪C 法
题 例 3 某物品成箱出售,每箱 20 件,假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为和,一顾客在购买时,他可以开箱,从箱中任取
三件检查,当这三件都是合格品时,顾客才买下该箱物品,否则退货;试求：1 顾客买下该箱的概率 ；
2 顾客买下该箱物品,问该箱确无次品的概率 ;
解:设事件 A0—箱中 0 件次品, A1—箱中 1 件次品,事件 B—买下该箱;由已知 PA0=, PA1=,
必然事件---每次试验中必定发生的事件; 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件;
事 包含 AB 件 相等 A=B 之 对立事件,也称 A 的逆事件 间 互斥事件 AB=也称不相容事件 的 A,B 相互独立 PAB=PAPB 关
例 1 事件 A,B 互为对立事件等价于 D A、A,B 互不相容 B、A,B 相互独立 C、A∪B＝Ω D、A,B 构成对样本空间的一个剖分 例 2 设 PA=0,B 为任一事件,则 C A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
大学概率论与数理统计必过复习资料及试题解析(绝对好用)汇总
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4）3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5）（6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式：（4） Bayes公式： 7．事件的独立性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）；（3）对任意，4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，；（6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3）若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，，若不单调，先求分布函数，再求导。
第三章随机向量1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有（1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1）离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续时，；，； (3) 二维时， (4)；（5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）；（3）；（4）独立时， 3．协方差（1）；；；（2）（3）；（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布，或，或或，（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，或理解为若，则第六章样本及抽样分布 1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值（，）；样本方差）样本标准样本阶原点矩，样本阶中心矩 2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）分布，其中标准正态分布，若且独立，则；（2）分布，其中且独立；（3）分布，其中性质 4．正态总体的抽样分布（1）；（2 ；（3 且与独立；（4）；，（5）（6）第七章参数估计 1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min或max） 3．估计量的评选原则，则为无偏；(2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则生的概率为 2．设随机变量服从泊松分布，且，则______.3．设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间密度为4．设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，_________，5．设总体的概率密度为是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为解：1．即所以 .2．由知即解得，故 . 3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故 .5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立. （B）若，则（C）若，则与也独立. 与也独立（D）若，则与也独立.（） 2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）（C）. （D）. （）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立. （B）（C）. （D）. （） 4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）. （A）. . （）（C）（D） 5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）X1是的无偏估计量. （B）X1是的极大似然估计量. （C）X1是的相合（一致）估计量. （D）X1不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）事实上由图可见A与C不独立2．所以 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若独立则有应选（A）. 2 ， 9 故应选（A） 5．，所以X1是的无偏估计，应选（A）. 三、（7分）已知一批产品中90% 0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’则（1）（2） .四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：的概率分布为即的分布函数为五、（10分）设二维随机变量在区域匀分布. 求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密（1）的概率密度为（2）利用公式其中当或时时故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标互独立，且均服从分布. 求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离1）；（2）. 七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16 样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95 区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为，因为，所以接受《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）（1）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，，，则事件、、中仅发生或仅概率为（2）甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为（3）设随机变量的概率密度为现对察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________. （4）设二维离散型随机变量的分布列为若，则（5）设是总体的样本，是样本方差，若，（注：, , , ）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理 . . （2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则 . 所求概率为所以（3）其中，，（4）的分布为这是因为，由得，故（5）即，亦即 . 二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（））（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（B）（C）（）（D）解（1）由知，故（A）应选C. （2）即时故当应选（3）应选（4）应选（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D. 三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理
高校统计学专业概率论与数理统计知识点整理概率论是统计学中的基础学科，它研究的是随机现象的数量规律性。
而数理统计则是应用概率论的数学统计方法来进行数据分析、推断和决策的学科。
在高校统计学专业中，概率论与数理统计是学生必须掌握的重要知识点。
本文将对这些知识点进行整理，以帮助学生更好地理解和掌握。
一、概率论1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
样本空间可以用集合论的概念表示，包括必然事件、不可能事件和其他事件。
2. 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，可以用频率或理论方法计算。
概率的性质包括非负性、规范性、可列可加性等。
3. 随机变量与概率分布随机变量是指根据随机事件取值而变动的变量，可以是离散型或连续型。
概率分布则是随机变量取值的可能性分布情况，分为离散型分布和连续型分布两种。
4. 期望值与方差期望值是随机变量取值的平均值，可以用来衡量随机事件的中心趋势。
方差是对随机变量取值的分散情况进行度量，方差越大表示随机变量的取值越分散。
5. 常见概率分布常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续型概率分布则包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的过程，包括点估计和区间估计两种方法。
点估计是用单个值来估计总体参数，区间估计则是用一个区间来估计总体参数。
2. 假设检验假设检验是通过对样本数据进行统计推断，判断总体参数是否满足某种假设。
其中包括提出原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和判断拒绝域等步骤。
3. 方差分析方差分析是通过对多个总体的均值进行比较，判断它们是否存在显著差异的统计方法。
方差分析可以用于比较不同处理组之间的平均差异。
4. 回归分析回归分析是建立反映变量间关系的数学模型，利用样本数据对总体模型进行推断和预测的方法。
常用的回归模型包括一元线性回归和多元线性回归。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
概率论与数理统计期末复习20题及解答
概率论与数理统计期末复习20题及解答【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（1）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ．11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x 求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相关系数),(Y X R ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t XX X X X k T +++=．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ．【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量．18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.解答部分【第一章】 随机事件与概率1、甲袋中有4个白球3个黑球，乙袋中有2个白球3个黑球，先从甲袋中任取一球放入乙袋, 再从乙袋中任取一球返还甲袋. 求经此换球过程后甲袋中黑球数增加的概率.【解】设A 表示“从甲袋移往乙袋的是白球”，B 表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”，C 表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”，则AB C =， 又2163)(,74)(===A B P A P ，于是由概率乘法定理得所求概率为 )()(AB P C P =)()(A B P A P ==722174=⋅.2、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率．【解】 设i A 表示“此人第i 次拨号能拨通所需电话” )2,1(=i ，A 表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”，则211A A A A +=，由概率加法定理与乘法定理得所求概率为)()()()(211211A A P A P A A A P A P +=+=)()()(1211A A P A P A P +=2.091109101=⋅+=.3、已知将1,0两字符之一输入信道时输出的也是字符0或1，且输出结果为原字符的概率为)10(<<αα. 假设该信道传输各字符时是独立工作的. 现以等概率从“101”，“010”这两个字符串中任取一个输入信道.求输出结果恰为“000”的概率.【解】设:1A 输入的是“101”，:2A 输入的是“010”，:B 输出的是“000”，则2/1)(1=A P ，2/1)(2=A P ，αα21)1()(-=A B P ，)1()(22αα-=A B P ，从而由全概率公式得)()()()()(2211A B P A P A B P A P B P +=)1(21)1(2122αααα-+-=)1(21αα-=.4、试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为85.0．（1）求该考生选出此题正确答案的概率；（2）已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．【解】设A 表示“该考生会解这道题”，B 表示“该考生选出正确答案”，则85.0)(=A P ，2.0)(=A P ，1)(=A B P ，25.0)(=A B P ．（1）由全概率公式得)()()()()(A B P A P A B P A P B P +=25.02.0185.0⨯+⨯=9.0=．（2）由贝叶斯公式得944.018179.0185.0)()()()(≈=⨯==B P A B P A P B A P ．【第二章】 随机变量及其分布5、设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．（1）求系数A 及B ；（2）求X 落在区间)1,1(-内的概率；（3）求X 的概率密度．【解】（1）由分布函数的性质可知0)2()(lim )(=-⋅+==-∞-∞→πB A x F F x ，12)(lim )(=⋅+==+∞+∞→πB A x F F x ，由此解得 π1,21==B A ． （2）X 的分布函数为)(arctan 121)(+∞<<-∞+=x x x F π， 于是所求概率为21))1arctan(121()1arctan 121()1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P ．（3）X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．6、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,0,10,)(x ax x f ，求：（1）常数a ；（2）)5.15.0(<<X P ；（3）X 的分布函数)(x F ．【解】（1）由概率密度的性质可知⎰∞+∞-dx x f )(121===⎰aaxdx ， 由此得2=a ．（2） )5.15.0(<<X P 75.000212/122/3112/1=+=+=⎰⎰x dx xdx .（3）当0<x 时，有00)(==⎰∞-xdx x F ；当10<≤x 时，有20020)(x xdx dx x F x=+=⎰⎰∞-；当1≥x 时，有1020)(1100=++=⎰⎰⎰∞-xdx xdx dx x F .所以，X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,0)(2x x x x x F7、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<+=.,0;1,1),1(),(其它y x xy A y x f 求：（1）系数A ；（2）X 的边缘概率密度)(x f X ；（3）概率)(2X Y P ≤．【解】（1）由联合概率密度的性质可知=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(14)1(1111==+⎰⎰--A dy xy A dx ，由此得41=A ． （2）当11<<-x 时，有=)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(214111=+⎰-dy xy ； 当1-≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X ．所以X 的边缘概率密度⎩⎨⎧<<-=.,0;11,2/1)(其它x x f X（3）)(2X Y P ≤⎰⎰≤=2),(x y dxdy y x f dy xy dx x ⎰⎰--+=211141dx x x x )1221(412511+-+=⎰-32=．8、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;20,10,1),(其它x y x y x f求：（1）),(Y X 的边缘概率密度)(x f X ，)(y f Y ；（2）概率)1,21(≤≤Y X P ；（3）判断X ,Y 是否相互独立.【解】（1）当10<<x 时，有x dy dy y x f x f xX 2),()(20⎰⎰===+∞∞-；当0≤x 或1≥x 时，显然有0)(=x f X .于是X 的边缘概率密度为⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其它x x x f X 当20<<y 时，有⎰⎰-===+∞∞-1221),()(y Y ydx dx y x f y f ； 当0≤y 或2≥y 时，显然有0)(=y f Y .于是Y 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0;20,21)(其它y y y f Y（2）⎰⎰⎰⎰===≤≤∞-∞2/12/102/11-41),()}1,21{(y dx dy dx y x f dy Y X P .（3）容易验证)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不独立.9、设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，]2.0,0[~U X ，Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,5)(5y y e y f y Y（2）求X 和Y 的联合概率密度),(y x f ；（2）求概率)(X Y P ≤．【解】（1）由题意知，X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;2.00,5)(其它x x f X因为X 和Y 相互独立，故X 和Y 的联合概率密度⎩⎨⎧><<==-.,0;0,2.00,25)()(),(5其它y x e y f x f y x f y Y X（2）12.005052.00)1(525),()(---≤=-===≤⎰⎰⎰⎰⎰e dx e dy e dx dxdy y x f X Y P x x y xy ．【第三章】数字特征10、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=,,0,21,)2(,10,)()(其它x x a x b x b a x f ，已知21)(=X E ，求：（1）b a ,的值；（2）)32(+X E ． 【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(12)2(])[(2110=+=-++-⎰⎰ba dx x a dxb x b a ； 又dx x xf X E ⎰∞+∞-=)()(.216)2(])[(2110=+=-++-=⎰⎰b a dx x x a xdx b x b a联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,216,12b a b a 解得41=a ，23=b ． （2） 由数学期望的性质，有432123)(2)32(=+⋅=+=+X E X E ． 11、设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(2x x Ae x f x求：（1）常数A ；（2）)(X E 和)(X D ．【解】（1）由概率密度的性质可知=⎰∞+∞-dx x f )(122==⎰∞+-Adx Ae x ， 由此得2=A ．（2）由数学期望公式得⎰⎰∞++∞-=-=⋅=0022212)(dt te dx ex X E t tx x21)2(Γ21==. 由于⎰∞+-⋅=02222)(dx ex X E xdt e t t tx ⎰+∞-==0224121!241)3(Γ41=⋅==，故利用方差计算公式得41)21(21)]([)()(222=-=-=X E X E X D .12、设),(Y X 的联合概率分布如下：XY1104/14/12/10（1）求Y X ,的数学期望)(X E ,)(Y E ，方差)(X D ，)(Y D ．（2）求Y X ,的协方差),cov(Y X 与相 关系数),(Y X R ．【解】 由),(Y X 的联合概率分布知Y X ,服从"10"-分布：4/1)0(==X P ，4/3)1(==X P ， 2/1)0(==Y P ，2/1)1(==Y P ，由"10"-分布的期望与方差公式得16/3)4/11(4/3)(,4/3)(=-⨯==X D X E ， 4/1)2/11(2/1)(,2/1)(=-⨯==Y D Y E ，由),(Y X 的联合概率分布知2/14/1114/1010104/100)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=XY E ,从而8/12/14/32/1)()()(),cov(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，=),(Y X R 334/116/38/1)()(),cov(==Y D X D Y X ．【第四章】正态分布13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩X （百分制）近似服从正态分布，已知满分为100分平均成绩为75分，95分以上的人数占考生总数的2.3%.（1）试估计本次考试的不及格率（低于60分为不及格）；（2）试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例. [已知9332.0)5.1(,8413.0)1(≈≈ΦΦ，9772.0)2(=Φ]【解】 由题意，可设X 近似服从正态分布),75(2σN .已知%3.2)95(=≥X P ，即%3.2)20(1)7595(1)95(1)95(=-=--=<-=≥σΦσΦX P X P ，由此得977.0)20(=σΦ，于是220≈σ，10≈σ，从而近似有)10,75(~2N X .（1）0668.09332.01)5.1(1)5.1()107560()60(=-≈-=-=-=<ΦΦΦX P ， 由此可知，本次考试的不及格率约为%68.6.（2）)107565()107585()8565(---=≤≤ΦΦX P 6826.018413.021)1(2)1()1(=-⨯≈-=--=ΦΦΦ，由此可知，成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的%26.68.14、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X （单位：mm ）表示轴的直径，随机变量Y （单位：mm ）表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴 衬的内径与轴的直径之差在3~1mm 之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．[已知9772.0)2(≈Φ]【解】 设X Y Z -=，由X 与Y 的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知，)4.03.0,5052(~22+--=N X Y Z ， 即)5.0,2(~2N Z ．于是所求概率为)2()2()5.021()5.023()31(--=---=≤≤ΦΦΦΦZ P .9544.019772.021)2(2=-⨯≈-=Φ【第五章】 数理统计基本知识15、设总体)1,0(~N X ，521,,,X X X 是来自该总体的简单随机样本，求常数0>k 使)3(~)2(25242321t X X X X X k T +++=．【解】 由)1,0(~N X 知)5,0(~221N X X +，于是)1,0(~5221N X X +，又由2χ分布的定义知)3(~2252423χX X X ++，所以)3(~2533/)(5/)2(2524232125242321t X X X X X X X X X X T +++⋅=+++=，比较可得53=k ．16、设总体)5 ,40(~2N X ，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率)1|40(|<-X P ． 【解】 由题设40=μ，5=σ，64=n ，于是)1,0(~8540N X nX u -=-=σμ从而)58|8/540(|)1|40(|<-=<-X P X P .8904.019452.021)6.1(2)58|(|=-⨯≈-=<=Φu P【第六章】参数估计17、设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≥=--,,0,2,);()2(其它x e x f x λλλ其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本，n x x x ,,,21 为样本观测值.（1）求参数λ的矩估计量．（2）求参数λ的最大似然估计量． 【解】（1）21)2(),()(02)2(2+=+===-+∞=---+∞+∞∞-⎰⎰⎰λλλλλλdt e t dx ex dx x xf X E t tx x ，令)(X E X =，即21+=λX ，解得参数λ的矩估计量为21-=∧X λ． （2）样本似然函数为∑====--=--=∏∏ni i i n x nni x n i i eex f L 1)2(1)2(1),()(λλλλλλ，上式两边取对数得∑--==ni i n X n L 1)2(ln )(ln λλλ，上式两边对λ求导并令导数为零得=λλd L d )(ln 0)2(1=∑--=n i i n x nλ， 解得2121-=∑-==x nx nni i λ，从而参数λ的最大似然估计量为 21-=∧X λ． 18、设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0;0,e 1);(2x x x xf x λλλ 其中参数0>λ．设n X X X ,,,21 是取自该总体的一组简单随机样本, n x x x ,,,21 为样本观测值. （1）求参数λ的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数λ的无偏估计，请说明理由. 【解】（1）样本似然函数为,e1e1),()(1121211∏∏∏=-=-=∑⋅====n i x inni x i n i i ni iixx x f L λλλλλλ上式两边取对数得∑∑==-+-=ni i ni i x x n L 111ln ln 2)(ln λλλ， 求导数得∑=+-=ni i x n L d d 1212)(ln λλλλ， 令0)(ln =λλL d d解得2211x x n n i i==∑=λ，于是参数λ的极大似然估计量为 221ˆ1X X n n i i ==∑=λ. （2）dx x X E x λλ/202e 1)(-+∞⎰=dx x x λλ/20e )(-+∞⎰=dx t t t x -∞+=⎰=e 02λλλΓλ2)3(==， λλλ=⋅====221)(21)(21)2()ˆ(X E X E X E E ， 于是221ˆ1X X n ni i ==∑=λ是λ的无偏估计.【第七章】假设检验19、矩形的宽与长之比为618.0（黄金分割）时将给人们视觉上的和谐美感. 某工艺品厂生产矩形裱画专用框架. 根据该厂制定的技术标准，一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为618.00=μ的正态分布. 现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取25个样品，测得其宽与长之比的平均值为,646.0=x 样本标准差为093.0=s . 试问在显著性水平05.0=α水平上能否认为这批产品是合格品？【解】由题意，待检验的假设为0H ： 618.00==μμ； 1H ： 618.0≠μ．因为σ未知，所以检验统计量为)24(~)618.0(525/618.0/0t S X S X n S X t -=-=-=μ， 关于0H 的拒绝域为 06.2)24()1(||025.02/==->t n t t α． 现在646.0=x ，093.0=s ，所以统计量t 的观测值为505.1093.0)618.0646.0(5=-=t ． 因为)24(06.2505.1||025.0t t =<=，即t 的观测值不在拒绝域内，从而接受．．原假设，即可以认为这批产品是合格品．20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用. 临床统计表明，在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为220=μ（单位:mmHg ,毫米汞柱）的正态分布. 现在研制了一种新的替代药品，并对一批志愿者进行了临床试验. 现从该批志愿者中随机抽取16人测量收缩压增高值，计算得到样本均值)mmHg (5.19=x ，样本标准差)mmHg (2.5=s . 试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论 （取显著性水平05.0=α）.【解】由题意，待检验的假设为0H ： 220==μμ； 1H ： 22<μ．因为σ未知，所以取统计量)15(~)22(4/0t S X nS X t -=-=μ， 且关于0H 的拒绝域为 753.1)15()1(05.0-=-=--<t n t t α. 现在5.19=x ，2.5=s ，所以统计量t 的观测值为923.12.5)225.19(4-≈-=t ． 因为)15(753.1923.105.0t t -=-<-≈，即t 的观测值在拒绝域内，从而拒绝．．原假设，即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.。
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，概率论与数理统计都扮演着重要的角色。
为了更好地理解和应用这门学科，我们需要进行系统的复习和总结。
本文将为大家提供一些有关概率论与数理统计的复习资料，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的可能性的数学学科。
它以概率为基础，通过建立数学模型来描述随机事件的规律性。
在概率论的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷硬币的结果、骰子点数的出现等都属于随机事件。
2. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
3. 随机变量：随机变量是指随机事件的结果所对应的数值。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限或可数的，例如掷骰子的点数；连续型随机变量的取值是无限的，例如身高、体重等。
4. 概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其对应的概率的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。
5. 期望：期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中获取总体信息的学科。
它通过对样本数据进行分析和推断，来对总体进行估计和推断。
在数理统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
样本是对总体的一种观察和研究。
2. 统计量：统计量是样本数据的函数，用于对总体参数进行估计。
例如，样本均值、样本方差等都是统计量。
3. 抽样分布：抽样分布是指统计量的分布规律。
《概率论与数理统计》(公共)复习提纲
概率论与数理统计（公共课）复习提纲 注：方框标示的内容为重点。
第1章 随机事件及其概率1. 样本点与样本空间、事件的关系与运算；2. 事件的运算规律；(1) 交换律 A ∪B =B ∪A , A ∩B =B ∩A ;(2) 结合律 (A ∪B )∪C =A ∪(B ∪C ), (A ∩B )∩C =A ∩(B ∩C );(3) 分配律 (A ∪B )∩C =(A ∩C )∪(B ∩C ), (A ∩B )∪C =(A ∪C )∩(B ∪C)3. 事件概率的定义及其性质、古典概型的概率计算；条件概率 P (B |A ) = P (AB ) / P (A )；乘法公式 P (AB ) = P (A )P (B |A ) 或 P (AB ) = P (B )P (A |B )全概率公式 P (B ) = P (A 1)P (B |A 1) + … + P (A n )P (B |A n ) + …n = 2的情形(样本空间被对立事件划分) )|()()|()()(A B P A P A B P A P B P += n = 3的情形 )|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=贝叶斯公式(已知事件B 发生后，求其由A i 所引起的概率),...2,1,)|()()|()()()()|(===∑i A B P A P A B P A P B P B A P B A P jj j i i i i事件的独立性 P (AB ) = P (A )P (B )；9．有限事件的两两独立与相互独立；伯努利概型及其概率计算；随机变量及其分布与数字特征1. 常用离散型概率分布两点分布(0-1分布) P { X = x 1 } = p , P { X = x 2 } = 1 – p (0 < p < 1) E (X ) = p , D (X ) = p (1 – p )二项分布 X ~ b (n , p ) n k p p C k X P k n k k n ,...,1,0,)1(}{=-==-E (X ) = np , D (X ) = np (1 – p )泊松分布 X ~ P (λ) ,...2,1,0,!}{===-k e k k X P k λλE (X ) = D (X ) = λ2. 二项分布的泊松近似100,10,!)1(><=≈---n np e k p p C kk n k kn λλλ 3. 随机变量的分布函数(1) 定义：F (x ) = P { X ≤ x };(2) 性质：a. 单调非减；b. F (-∞) = 0、F (+∞) = 1；c. 右连续；4. 常用连续型概率分布均匀分布 X ~ U (a , b )密度函数：b x a a b x f <<-=,1)(，分布函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=bx b x a ab a x a x x F ,1,,0)( 2)(a b X E -=， 12)()(2a b X D -= 指数分布 X ~ e(λ)密度函数：0,)(>=-x ex f x λλ，分布函数：⎩⎨⎧>-=-其它,00,1)(x e x F x λ λ1)(=X E ， 21)(λ=X D正态分布 X ~ N (μ, σ2) μ=)(X E ， 2)(σ=X D标准正态分布 X ~ N (0, 1)，E (X ) = 0, D (X ) = 1；5. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的分布离散型：列出分布律；连续型：（1）用概率的方法求出函数 Y 的分布函数后，再求其密度函数；（2）如果函数 Y = f (X ) 满足严格单调，则可使用公式直接求 Y 的密度函数： 的反函数为其中)()(,|,)(|))(()(x f y y h y y h y h f y f X Y =<<'=βα6. 随机变量函数 Y = f ( X ) 的数学期望离散型：∑==ii i p x g X g E X E )()]([)(连续型：⎰+∞∞-==x x f x g X g E X E d )()()]([)( 7. 方差的计算D (X ) =E [ X – E (X ) ]2 = E (X 2) – [E (X )]28. 数学期望与方差的性质(E (X ), E (Y ), D (X ), D (Y )均存在)E (aX ± bY ) = aE (X ) ± bE (Y ) D (aX ± bY ) = a 2D (X ) + b 2D (Y )9. 中心极限定理定理3 设随机变量 X 1, X 2, …, X n , … 相互独立，服从同一分布，且 E (X i ) = μ, D (X i ) = σ2, ( i = 1, 2, …)，则)(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→σμ或),(~2n n N X X n i i σμ ∑= 即n 个随机变量的和的极限分布是正态分布。
《概率论与数理统计》复习总结(已完成)
大学教案总结之《概率论与数理统计》期末复习目录第一章 (4)定义：一般的，称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件。
.......................... 4 事件间的关系与运算 ....................................................................................................... 4 定义： ............................................................................................................................... 4 概率的性质： ................................................................................................................... 4 古典概率 ................................................................................................................................... 4 条件概率 .. (4)定义： (4)⑴条件概率的乘法公式：()()()A P A B P AB P |= (5)⑵全概率公式 ................................................................................................................... 5 ⑶贝叶斯公式 ................................................................................................................... 5 随机事件的独立性 ................................................................................................................... 5 第二章 一维随机变量及其分布 .. (6)定义：一维随机变量。
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第一章 随机事件及其概率知识点：概率的性质 事件运算 古典概率事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式常用公式 应用举例1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。
2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P Y ，则=k （ ）。
3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P Y 则（ ）。
4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P Y （ ）。
5、,,A B C 是三个随机事件，C B ⊂，事件()A C B -U 与A 的关系是（ ）。
6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。
（1）试求他在5:40~5:50到家的概率；（2）结果他是5:47到家的。
试求他是乘地铁回家的概率。
解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}，i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P （2）由贝叶斯公式8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。
看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16第二章 随机变量及其分布知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布重要内容）（R x x f ∈≥0)(4. 概率计算1=∑iip)()()(12121x F x F x x x F ≤⇒<单调递增，即）（1)(lim )(0)(lim )(2==+∞==-∞+∞→-∞→x F F x F F x x ）（)()0()(3x F x F x F =+右连续，即）（Rx x F ∈≤≤10)4(）（2．分布律的性质...)2,1(,10=≤≤i p i 1.分布函数的性质（1）非负性 （2）规范性3.分布密度函数的性质⎰+∞∞-=1)(dx x f （1）非负性 （2）规范性5.常用分布应用举例1、设2()(0)x f x ke x -=>是某随机变量的密度函数，则k =（ ）。
2、设随机变量X的概率密度为)22(,cos 21)(ππ+≤≤-=x x x f ，则)01(<<-X P ＝（ ）。
3、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,0)(e x e x x x x F 则 )2(>X P =（ ）。
4、设),(~2σμN X,满足)1()1(-≤=->X P X P 的参数μ=（ ）。
5、离散型随机变量X 的分布律为11()(1,2,3)!P X k k c k ===，则c =（ ）。
6、土地粮食亩产量（单位：kg ）)60,360(~2N X.按亩产量高低将土地分成等级.若亩产量高于420kg 为一级，在360~420kg 间为二级，在315~360kg 间为三等，低于315kg 为四级.求等级Y 的概率分布。
(5.0)0(=Φ,8413.0)1(=Φ,7734.0)75.0(=Φ) 解7、110在长度为t 的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为t 21的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。
解 X 的分布律为),2,1,0(!)2()(2Λ===-k k te k X P kt中午12时到下午3时，表明3=t 求)1(≥X P8、一批产品由8件正品、2件次品组成。
若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直二项分布:到取到正品为止，求抽取次数X 的分布律。
解 X 所有可能的取值为1,2,3 i A ={第i 次取到正品}（3,2,1=i ）看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28第三章 多维随机变量及其分布知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要1.概率分布的性质2.二维概率计算3.边际密度函数计算4.常用分布 二维正态分布5.随机变量的独立性6.正态分布的可加性 应用举例1、设()Y X ,的密度函数()⎩⎨⎧>>=--其他,00,0,,2y x ke y x f y x 则k =（ ）。
2、设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y Pαβ且Y X ,相互独立，则（ ）。
3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X件，现从中随机的抽取一件，记⎩⎨⎧=等品抽到其它i X i 10，3,2,1=i 求（1）1X 和2X 的联合分布律；（2）并求)(21X X P ≠。
4、设随机变量),(Y X 在曲线x y =，xy =围成的区域D 里服从均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。
5、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它01421),(22y x y x y x f 求)(X Y P < 6、设随机变量321,,X X X 相互独立，并且均服从正态分布3,2,1),,(~2=i N X ii i σμ，则∑=+=31~)(i i i i b X a X （ ）。
看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18 第四章 随机变量的数字特征 知识点：随机变量的数学期望的性质与计算随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算 主要内容1、数学期望的计算2、性质当随机变量相互独立时 3、方差的计算 4,、方差性质 5、协方差与相关系数 协方差的计算相关系数的计算DYDXY X COV XY ),(=ρ应用举例1. 某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间[1200,3000]上的均匀2()()D X E X EX =-即(,)[()][()]Cov X Y E X E X Y E Y =--分布。
若售出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润？解 设每年准备该种产品k 吨（1200<k<3000）,则利润Y 为 2.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于０，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y （ ）。
A 、不相关的充分条件，但不是必要条件 B 、独立的充分条件C 、不相关的充分必要条件D 、独立的充分必要条件3.已知2)(,4)(==Y D X D ，X 与Y 相互独立，则)(c bY aX D +-=（ ）。
4.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 有相同的概率分布，数学期望与方差均存在，记Y X +=2ξ，Y X 3-=η，求ξηρ 解：因为X 与Y 相互独立，则EXEY XY E =)(X 与Y 有相同的概率分布，则DY DX EY EX ==,=)3-52(22EY XY X E -=22352EY EXEY EX --=22)(5EX EX -- 看作业习题4第五章 大数定律和中心极限定理知识点：切比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理 内容提要1. 切比雪夫不等式2. 独立同分布的中心极限定理]2,0[~,10021U X X X X i 独立同分布，且设Λ，则 31,1==i i DX EX则（1） )3100,100(~1001N X i i∑= （近似）中心极限定理（2）标准化后)1,0(~3100100-1001N Xi i∑=)(3100100-1001x Xi iΦ∑=的分布函数是，即)()3100100-(1001x x XP i iΦ≈≤∑=(4)221001100131001)(1)100(εεε-=-≥<-∑∑==i i i i X D X P（切比雪夫不等式）(5)同理)3001,1(~10011001N X X i i ∑== （近似） 标准化后)1,0(~30011-10011001N Xi i∑=（切比雪夫不等式）3． 第六章 数理统计的基本概念知识点：抽样分布 内容提要1、 基本概念 样本 统计量（常用统计量）2~(,),(1,2),,nX B n p n x R =∈L 定理设随机变量则对任意有2、 抽样分布定理 （1） 特别地：)1(~),1,0(~22χX N X 则若 （2） （3） （4）1.设总体Y X ,相互独立，且都服从)3,0(2N ，而）和（921921,,,),,,(Y Y Y X X X ΛΛ分别来自Y X 和的样本，问： （1）921X X X +++Λ服从什么分布？ (2)?)(2292221=+++C Y Y Y C 分布，服从若χΛ解： 92,1)3,0(~2Λ=∴i N X i则)9(~)3(2291χ∑=i i Y c=1/9 第七章 参数估计知识点：点估计 区间估计 估计量的评价标准 主要内容 1、 矩法~(0,1)(1,2),,iX N i n =L 设且相互独立称2~(0,1),~(),X N Y n χ设且X 与Y 相互独立,则称2、 极大似然估计法（3）解方程组求出估计量 3、估计量的评价标准 无偏性 4、区间估计单正态总体均值的置信区间 )117(),97(132--P应用举例 1． 7141P2. 设总体X 的概率分布为1 23其中θ)210(<<θ是未知参数，利用总体X 的如下样本值：11=x ，32=x ，矩估计法的具体步骤:11(2)1,2,,n rr ii A X r kn ===∑L 12,,,k k θθθL 这是一个包含个未知参数的方程组.12(4),,,,k θθθL 解出其中12(1)()(,,)1,2,rr r k v E X v r kθθθ===L L 求出12ˆˆˆ,,,.kθθθL 用表示(3)r rv A =令1212ˆˆˆ(5),,,,,,,.k kθθθθθθL L 用方程组的解分别作为的估计量这个估计量称为矩估计量33=x ，24=x ，15=x 。