高中数学必修5课时作业：第1章数列12

(2)
由
an＋1＝ 2Sn＋2，得
Sn＋
1
＝
an＋
1－ 2
2
＋
1＝
2·３n－ 2
2
＋
1
＝
3n,
3n－ 6 ∴（Sn＋ 1) k≥ bn 对 n∈N＋恒成立， 即 k≥ n 对 n∈N＋ 恒成立，
A． an＝ Sn＋1 B ． an＝ Sn－1＋1
C． 2an＝Sn D ． an＝ 2Sn－ 1
5．如果数列
{ an} 的首项
1
2an
a1＝ 3，an ＋1＝ 3an＋ 2，那么
a17 等于 (
)
1
A. 27
B
． 24
1 C． 27 D. 24
S6
S9
6．设等比数列
{ an} 的前
n 项和为
Sn，若
an＋
2＋
1)
，∴
a2 n＋
1＋
2an＋1＝
anan＋2＋
an＋
an＋
2，∴
an＋
an＋
2＝ 2 an ＋
1，∴
an(1
＋
q2－
2q)
＝0，∴ q＝1. 即 an＝ 2，所以 Sn＝2n.
a1＋ a7
a2＋ a6
＋
9． D 法一： S7＝
2
＝
2
＝
2
＝ 49.
a2＝ a1＋ d＝ 3 法二：由
a6＝ a1＋ 5d＝ 11
已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ n2＋2n. (1) 求数列 { an} 的通项公式；
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
1
(2)
令
bn＝
，且数列 Sn
{ bn} 的前
n 项和为
Tn，求
Tn；
(3) 若数列 { cn} 满足条件： cn＋1＝ acn＋ 2n，又 c1＝3，是否存在实数
1 13
1
∴
＝ a17
＋ a1
2×
(17
－
1)
＝
3＋
24＝27，即
a17＝
. 27
S6 6． B 设公比为 q，则 S3＝
＋ q3 S3
S3＝ 1＋ q3＝ 3? q3＝2
S9 1＋ q3＋ q6 1＋ 2＋ 4 7
于是 ＝ S6
1＋ q3
＝
1＋ 2
＝. 3
a1＋ p－ 7．C ∵ ap＝ a1＋( p－ 1) d，aq＝ a1＋ ( q－ 1) d，∴
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1＝ 2， an＋1＝ 2Sn＋ 2，等差数列 { bn} 满足 b3＝ 3， b5＝ 9. (1) 分别求数列 { an} ， { bn} 的通项公式； (2) 若对任意的 n∈ N＋， ( Sn＋ 1) k≥ bn 恒成立，求实数 k 的取值范围．
(1) 若 a＝ 50，求经过 5 年该市被更换的公交车总数； (2) 若该市计划 6 年内完成全部更换，求 a 的最小值．
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
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已知数列 { an} 为等差数列， a1＋ a7＝20， a11－ a8＝ 18.
(1) 求数列 { an} 的通项公式；
1 an＝ a1 ·（2)
n－
1＝
1 3·（
)
2
. n－ 1
15． 1007 解析： S ＝ 2013 1－ 2＋ 3－4＋…＋ 2013＝ 1＋(3 － 2) ＋ (5 － 4) ＋…＋ (2013 － 2012) ＝ 1007. 三、解答题 16．(1) ∵ a4＝ a1＋ 3d，∴ d＝－ 3 ∴ an＝ 28－ 3n (2) a1＋ a3＋a5＋…＋ a19 是首项为 25，公差为－ 6 的等差数列， 共有 10 项，其和 S＝10×25 10×９ ＋ 2 ×( － 6) ＝－ 20.
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
18. 为了加强环保建设， 提高社会效益和经济效益， 某市计划用若干时间更换 5000 辆燃 油型公交车，每更换一辆新车， 则淘汰一辆旧车， 替换车为电力型和混合动力型车．今年初 投入了电力型公交车 128 辆，混合动力型公交车 200 辆；计划以后电力型车每年的投入量比 上一年增加 50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆．
所以
k
a a 2 n n＋2
＋
kb(
an＋
an＋
2)
＋
b2＝
k
a2 2 n＋1
＋
2kban＋
1＋
b2，故
kb(
an＋an ＋2－ 2an＋1)
＝0
恒成立，
f an＋1
kan＋1 an＋1
故 kb＝ 0，而 k≠0，故 b＝ 0，A 正确 . f an ＝ kan ＝ an ， B 正确．若数列 { an} 的前 n 项
17． (1) 由 an＋1＝ 2Sn＋2①，
得 an＝ 2Sn－1＋ 2( n≥2) ②，
①－②得 an＋1－ an＝ 2( Sn－ Sn－1) ，∴ an＋ 1＝3an，
又∵
a2 6 ＝＝
a1 2
3，∴
an ＋ 1 ＝
an
3(
n∈
N＋)
，∴
an＝ 2·３n－ 1，
又 b5－ b3＝2d＝ 6，∴ d＝ 3，∴ bn＝ 3＋ ( n－3) ×3＝ 3n－ 6.
2n－1－ 1，即有 an＝ Sn－1＋ 1.
2an
1 3an＋2 3 1
5． A 对已知式子 an＋1＝3an＋ 2两边分别取倒数得，
＝ an＋1
2an
＝
2＋
， an
1 13
1
3
即
an
－
＋1
an＝
2，∴｛an}
是以
3 为首项，以
2为公差的等差数列，
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
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12．等差数列 { an} 前 9 项的和等于前 4 项的和，若 a1＝ 1，ak＋ a4＝ 0，则 k＝ ________.
2 13．已知数列 { an} ， an＝ 3n－1，把数列 { an} 的各项排成三角形状，如图所示．记
A( m， n)
表示第 m行，第 n 列的项，则 A(7,5) ＝ ________.
2．下列选项中两个数没有等比中项的是 ( )
A． 2 和 4 B ．－ 1 和－ 3
C. 2和 3 D ．－ 6 和 4
3．已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，若 a1＝ 1， d＝ 2，则 S8 等于 (
)
A． 26 B ． 32
C． 54 D ． 64 4．已知数列 { an} 的通项公式为 an＝ 2n－1，Sn 为其前 n 项和， 当 n>1( n∈ N＋) ，则下列等式 成立的是 ( )
λ ，使得数列
cn＋ λ 2n
为等差数列？若存在，求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
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一、选择题
1．B ∵a1＝ 3，a2＝ 1，∴ d＝ 1－ 3＝－ 2，∴ an＝ 3＋ ( n－1) ×( － 2) ＝－ 2n＋ 5，由－ 97
解析：由图中的规律可知第 行的第 5 个数为数列的 a26，
2 所以 A(7,5) ＝ a26＝325.
7 行有 7 个数，且前 6 行的数列的个数为 21 个，所以第 7
1 n－1 14．3·（2)
解析：
n≥２时，
4Sn－
4Sn－1＝ 4an＝
6an－an－ 1，∴
an 1 ＝ ，∴
an－ 1 2
12． 10 1
解析：∵ S9＝ S4， a＝1，∴ d＝－ 6，
1 ∴ ak＋ a4＝a1＋ ( k－ 1) d＋ a1＋ 3d＝2a1＋ ( k＋2) d＝ 2＋( k＋2) ·( － 6) ＝0，即 k＝10.
2 13. 325
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10．定义在 ( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列 { an} ，
{ f ( an)} 仍是等比数列，则称 f ( x) 为“保等比数列函数”．若一次函数 f ( x) ＝ kx ＋ b( k≠0)
是定义在 ( －∞， 0) ∪(0 ，＋∞ ) 上的“保等比数列函数”，则下列结论不正确的是
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
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n＋ 1
A． 2 － 2
B
． 2n
C． 3n D ． 3n－ 1
9．设 Sn 是等差数列 { an} 的前 n 项和，已知 a2＝ 3， a6＝ 11，则 S7 等于 (
)
A． 27 B ． 35
C． 39 D ． 49
＝－ 2n＋ 5，得 n＝ 51.
2．D 由等比中项的定义可知， 两个数有等比中项，则这两个数必须同号， 所以 D不符
合．
a1＋ a8
3． D ∵ S8＝
2
8×７ ＝8× a1＋ 2 ×2＝ 64.
4． B 由题意可得 { an} 为等比数列，首项
a1＝ 1，公比
q＝ 2，则
Sn＝
2
n
－
1
，所以
Sn－1＝
a1＋ q－
d＝ q
a1＝p＋ q－ 1
，
，
d＝ p
d＝－ 1
∴ap＋ q＝ a1＋( p＋ q－1) d＝ p＋ q－ 1－ ( p＋q－ 1) ＝0.
8． B 因数列 { an} 为等比数列，则 an＝ 2qn －1，因数列 { an＋ 1} 也是等比数列，则 ( an＋1＋
1) 2 ＝( an＋ 1)(
和为 Sn， { f ( an )} 的前 n 项和为 k· Sn，故由 C中选项可得 k＝ 1. 当 k＝ 1 时，数列 { an} 的前 n 项和与 { f ( an)} 的前 n 项和相等，故选 D.
二、填空题 11． 16 解析： a1＝ 1， a2＝ 2a1＝ 2， a3＝ 2a2 4， a4＝ 2a3＝ 8， a5＝ 2a4＝16.
(2) 若在数列 { an} 中的每相邻两项之间插入 2 个数，使之构成新的等差数列 { bn } ，求新 的等差数列 { bn} 的通项公式．
你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云
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20. 设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝ 1， Sn＋1＝ 4an＋ 2. (1) 设 bn＝ an＋1 －2an，证明数列 { bn} 是等比数列； (2) 求数列 { an} 的通项公式．
()
A． b＝0
B．数列 { f ( an)} 的公比与 { an} 的公比相同 C．若数列 { an} 的前 n 项和为 Sn， { f ( an )} 的前 n 项和为 k2· Sn，则 k＝ 1
D．数列 { an} 的前 n 项和与 { f ( an)} 的前 n 项和不可能相等
二、填空题： ( 每小题 6 分，共 6×5＝ 30 分) 11．若数列 { an} 满足： a1＝ 1， an＋ 1＝2an( n∈ N*) ，则 a5＝ ________.
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§12 单元测试一
班级 ________ 姓名 ________分数 ________
一、选择题： ( 每小题 5 分，共 5×10＝ 50 分 )
1．等差数列 3,1 ，－ 1，－ 3，…，－ 97 的项数为 ( )
A． 52 C． 49 D ． 50
B． 51
14．已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且有 a1＝ 3，当 n≥２时， 4Sn＝ 6an－ an－1＋ 4Sn－1，则 an＝________.
15．已知数列 {( － 1) n＋1· n} 的前 n 项和为 Sn，则 S ＝ 2013 ________.
三、解答题： ( 共 70 分，其中第 16 小题 10 分，第 17～ 21 小题各 12 分) 16．已知 { an} 是等差数列，其中 a1＝ 25， a4＝ 16. (1) 求 { an} 的通项公式； (2) 求 a1＋ a3＋ a5＋…＋ a19值．
a1＝ 1 ?
d＝ 2
， a7＝ 1＋6×2＝ 13，
a1＋ a7
＋
∴ S7＝
＝
＝ 49.
2
2
10． D
由
anan＋
2＝
a2 n＋
1，得
f ( an) f ( an ＋2) ＝ ( kan＋ b)( kan＋ 2＋ b) ＝ k2 anan＋ 2＋ kb( an＋an＋2)
＋ b2，
而 f 2( an＋1) ＝ ( kan＋1＋ b) 2 ＝k2a2n＋1＋2kban＋1＋ b2，
＝ S3
3，则
等于 S6
(
)
7 A． 2 B. 3
8
C. 3
D
．3
7．等差数列 { an} 中， ap＝ q，aq＝ p( p，q∈ N*，且 p≠q) ，则 ap＋q＝ (
)
p＋ q p－ q A. 2 B. 2
C． 0 D ． p＋ q
8．在等比数列 { an} 中， a1＝ 2，前 n 项和为 Sn，若数列 { an＋ 1} 也是等比数列，则 Sn 等于 ()