函数图象上的动点问题

(3)关系法：通过画图，把该要的条件列成一些关系，列 出一些代数式、方程等．
考点聚焦
归类探究
回归教材
● 探究三
二次函数上的动点
例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，
已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线， 垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D. ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的 大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标． 【分析】 (1)关注正方形APMN，顶点M或N如何作出； (2)为求P点坐标，如何做？作x轴或y轴的垂线试试．
2
9 当 x＝－1.5 时，PE 最长为 ， 4 9 9 此时△PDE 的周长最大，为 ＋ 2， 4 4 3 15 而点 P 的坐标为－2， 4 .
P
D
E
F
解题方法点析 二次函数动点问题解题技巧： (1)以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个 点，然后再去解；
(2)对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性；
∴ ab=1/2
AF=AB-BF= 2 b，BE=AB-AE= 2 a ∵ 点P在双曲线上 ∴ AF·BE= 2a 2b 2ab 1
● 探究三
二次函数上的动点
例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，
已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
二次函数上的动点
例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，
已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线， 垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D. ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
【关键】
化动Hale Waihona Puke Baidu静，把t当做定值，此时OP为2t.
● 探究二
反比例函数上的动点
例2. 如图，直线y=-x+1交x轴、y轴于A、B两点，点P（a，b）是双曲线
y=1/2x（x＞0）的图象上的一点，PM⊥x轴于点M， PN⊥y轴于点N，PM、 PN交直线AB于E、F两点，则AF·BE=_____.
【分析】由于P的坐标为（a，b），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么E、F、M、N四点的 坐标都可用a、b表示，然后利用勾股定理可以分别用a、b表示AE、BF、AF、BE， 最后即可求出AF•BE．
几何图形的相对位置关系.
● 探究一
一次函数上的动点
归类探究
例1. 如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，y=-x+8的图象交于点A.
动点P从点O开始沿OA方向以每秒2个单位的速度在线段OA上运动，作PQ//x 轴交直线y=-x+8于点Q，当运动时间为t秒时，PQ=________. 【分析】 因为PQ//x轴，故线段PQ的长 = Q点的横坐标 - P点的横坐标.
● 探究三
二次函数上的动点
例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点，
已知点A(－3，0)，B(0，3)，C(1，0)．
(1)求此抛物线的解析式； 【分析】已知三点，如何求二次函数的解析式？
9a－3b＋c＝0， 解：(1)由题意得c＝3， a＋b＋c＝0，
∵直线y=-x+1交x轴、y轴于A、B两点 解： ∴ A（1,0）、B（0,1） ∴ OA=OB=1，∠OAB=∠OBA=45°，AB= 2 ∵ PM⊥OA，PN⊥OB，P（a，b） ∴ AM=1-a，BN=1-b，△AEM、△BFN均为等腰直角三角形 ∴ AE=
2（1-a），BF= 2 （1-b）
【分析】(1)P点的位置在哪儿，你能完成第(2)问中的作图吗？ (2)观察图中△AOB， △AEF ,△PED，它们是怎样的三角形？ （等腰直角三角形） (3)△PDE的周长最大时PE最大吗？
P
D E F
(4)如何得出PE关于x的函数关系？讨论函数的最值；
● 探究三
二次函数上的动点
解题过程：
(2) ①∵A(－3，0)，B(0，3)， ∴OA＝OB，∴∠BAO＝45°. 又∵PF⊥AO，∴∠AEF＝45°， ∴∠PED＝45°，∴PD＝DE. 即△PDE为等腰直角三角形 设 F 点的横坐标为 x，则 P（x，－x2－2x＋3） 则 PF＝－x2－2x＋3，FE＝AF＝x＋3， 32 9 ∴PE＝PF－FE＝－x －3x＝－x＋ ＋ ， 2 4
函数图象上的动点问 题
知识探索
● 动点型问题是最近几年中考的一个热点题型，所谓“动点
型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线 段、射线或弧线上运动的一类开放性题目。解决这一类问 题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题。
● 求解函数图象中的动点问题时,首先要抓住动点的瞬间状
态,或者相对静止时的状态,再寻找它们的数量关系,以及
(1)求此抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线， 垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D. ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的 大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P 点的坐标．(结果保留根号)
∴ y＝－x2－2x＋3.
a＝－1， 解得b＝－2， c＝3，
另解：∵ 抛物线经过A（-3，0）、B（1，0）
y a( x 3)(x 1) ∴ 设其解析式为：
把B(0，3)代人上式，得 a=-1 ∴ y ( x 3)(x 1) x 2x 3
2
● 探究三
解： ∵ 点P在直线y=x上，OP=2t
∴ 点P的坐标为（ 2t ， 2t ） ∵ PQ//x轴 ∴ 点Q的纵坐标为 2t ， 又点Q在直线y=-x+8上
y
∴
2t x 8, x 8 2t
O
A P Q x
∴ 点Q的坐标为（ 8 2t ， 2t ） ∴ PQ= 8 2t 2t 8 2 2t