新初三数学尖子生学案Day20(主讲人：刘蒋巍)
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲 数学建模(含答案)
第二十讲 数学建模趣题引路】某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元。
因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m 3污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理.方案1：工厂污水先净化处理后再排出；每处理1m 3污水所有原材料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1m 3污水需付14元排污费．问题：（1）设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 元，分别求出依方案1和方案2处理污水时y 与x 的函数关系式；（2）设工厂每月生产量为6000件产品时，你若作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选用哪种处理污水的方案？请通过计算加以说明．解析（1）设选用方案1，每月利润为y 1，元，选用方案2，每月利润为y 2，元，则： y 1=(50-25) x -2×0.5x -30000=24x -30000，y 2=(50-25) x -14×0.5x =18x ． 故y 1=24x -30000，y 2=18x ；（2）当x =6000时，y 1=24×6000-30000=114000（元），y 2=18x =18×6000=108000（元） ∴y 1>y 2．答：我若作为厂长，应选方案1．点评 本例是生产经营决策问题，其难点在于建立相应的数学模型，构建函数关系式，然后，通过问题中所给的条件判断，若不能判断，就要进行分类讨论．知识延伸】例 某工厂有14m 长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房，工程条件为：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a元；③拆去1m 旧墙，用所得材料建造1m 新墙的费用为2a元，经过讨论有两种方案；（I ）利用旧墙的一段x m （x <14）为矩形厂房一面的边长；（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x （x ≥14）.问：如何利用旧墙，即x 为多少米时，建墙费用最省？（I ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？解析 设利用旧墙的一面矩形边长为x m ，则矩形的另一边长为126xm ． （I ）利用旧墙的一段x m(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·4a元，将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为(14-x )·2a 号元，其余建新墙的费用为(2x +2126x⨯-14)·a 元．故总费用为142523621471424a x x y x a x a a x x -⎛⎫⎛⎫=•+•++-•=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（0<x <14）∴7135y a a ⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦.当且仅当364x x =，即x =12 m 时，y min =35a （元）； （Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14，则修旧墙的费用为4a ·14=72a 元，建新墙的费用为（2x +252x-14）a 元 故总费用为725271262142722y a x a a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x ≥14） 设14≤x 1<x ₂，则x 1-x ₂<0，x 1x ₂>196， 则()121212121261261261x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴函数y=x +126x-14在区间(14，+∞)上为增函数． 故当x =14时，y min =72a +2a (14+12614-7)=35.5a >35a 综上讨论可知，采用第（I ）方案，建墙总费用最省，为35a 元．点评 解答选择方案应用题同处理其他应用题一样，重点要过好三关（1）事理关：读懂题意，知道讲的是什么事情，要比较的对象是什么；（2）文理关：把实际问题文字语言转化为数学的符号语言，然后用数学式子表达数学关系式；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，要对数学知识有检索的能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化．好题妙解】佳题新题品味例 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出他们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500元，以后每月工资比上一年工资增加230元；B 公司允诺第一个月工资为2000元，以后每月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取、试问：（1）若该人打算在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他第n 年的月工资收入各为多少？ （2）如该人打算连续在一家公司工作10年，仅以工资收入来看，该人去哪家公司较合算？解析（1）此人在A 、B 公司第n 年的月工资数分别为a n =1500+230(n -1)，b n =2000(1+5%)n -1，其中n 为正整数；（2）若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(a 1+a 2+……+a 10)=304200（元）.若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(b 1+b 2+……+b 10) =301869（元）故该人应选择在A 公司工作．点评 最佳方案的选择问题充分体现了数学在生活中的无穷乐趣，同时也从数学角度诠释了“知识就是力量”，“知识就是财富”的道理．中考真题欣赏例（长沙市）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：（1）在所给的直角坐标系（图1）中：①根据提供的数据描出实数对（x，y）对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数关系式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润为p元，根据日销售规律：①试求出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数关系式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问：日销售利润p是否存在最小值？若有，试求出，若无，试说明理由；②在给定的直角坐标系中，画出日销售利润p元与日销售单价x元之间的函数图象，观察图象，写出x 与p的取值范围．解析（1）①准确描出四点位置；②猜测它是一次函数y=kx+b，由两点（3，18），（5，14）代人上式求得k=-2，b=24，则有y=-2x+24.（9，6），（11，2）代人同样满足，∴所求函数关系式为y=-2x+24.由实际意义知，所求函数关系式为：y=-2x+24（0≤x<12）和y=0（x≥12）．（2）①p=xy-2y，即p=y(x-2)=( 24-2x)(x-2) =-2x2+28x-48=-2(x-7)2+50．当x=7时，日销售利润取最大值50元．当x>12时，此时无人购买，故此时利润p=0（x≥12）．由实际意义知，当销售价x=0即亏完本卖出，此时利润p=-48，即为最小值；②据实际意义有：0≤x<2时，亏本卖出．当x=2或x=12时，利润p=0.当x>12时，即高价卖出，无人购买，p=0.故作出图象，（图2）由图象知，x≥0，-48≤p≤50．例 （1998年“粗冲之杯”初中数学邀请赛）某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理在市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为多少元？解析 设商品每个售价x 元，每日利润为y 元，则当x >18时，y =[60-5(x -18)](x -10)=-5(x -20)2+500， 即在商品提价时，提到20元时，max y ＝500元；当x <18时，y ＝()()60101810x x +--⎡⎤⎣⎦＝()21017490x --+． 即在商品降价时，降到17元时，max y ＝490元．综上可得，此商品售价定为20元时，才能获得每日最大利润．点评：本题首先应搞清题目的意思，设未知数，转化为函数问题，因为售价的上升或下降，利润的情况是不一样的，故应分情况讨论．过关检测】A 级1．某移动通讯公司开设了两种通讯业务，“全球通”：使用者先缴50元月租费，然后每通话1min ，再付话费0.4元；“快捷通”：不缴月租费，每通话1min ，付话费0.6元（本题通话均指市内通话）．若一个月内通话x min ，两种方式的费用分别为1y 元和2y 元．（1）写出1y ，2y 与x 之间的函数关系式； （2）一个月内通话多少分钟，两种通讯费用相同?（3）某人估计一个月内通话300 min ，应选择哪种移动通讯合算些?2．某旅行社有客房120间，每间房的日租金为50元，每天都客满．旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房将日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高? 比装修前日租金总收入增加多少元?3．某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是多少?B 级1．某环形道路上顺时针排列着4所中学：1A ,2A ,3A ,4A ，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最少?并求调出彩电的最少总台数．2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少?。
刘蒋巍：《中考数学考前复习的9点建议》
刘蒋巍：《中考数学考前复习的9点建议》1.编拟知识结构网络图提倡学生在老师的指导下，编拟适合自己的知识结构网络图（如有可能，可与学生一起编拟基础题型及其发展结构表）。
2.用好课本，发挥例题的的功能。
对教材例题的挖掘、演变。
3.通过题组训练，提高知识的灵活应用能力。
将相同、相似的知识点或者方法集中编成习题，通过题组训练，让学生在整体上有所把握，举一反三。
4.加强变题的训练。
5.解决跨学科习题。
如：（a）在公路L的同侧有两个村庄A、B，先要在公路上取一点D建立一个超市.怎样选择点D,使得超市到村A、村B的距离和最小？（b）在直角坐标系中，已知点A(-3,4)、点B(5,6),在x轴上取一点C，使得AC+BC 最小.(c) 经过点A(-3,4)的入射光线，被x轴反射后，经过点B(5,6)，求入射光线的解析式.(d) ......6.设计问题情景（a）实际问题解决型如2021年苏州中考第27题（b）呈现新概念型如2020年南通中考第26题《对余四边形》（对角互余四边形）、2017年常州中考第26题《等角线四边形》、2015年嘉兴中考24题《等邻边四边形》等等。
已经考过的新定义不会再考了，大家想想还可以考哪些？对角线互相垂直的四边形、对角线互相垂直的圆的内接四边形、三角形垂足四边形、内合矩形、菱形的三等分线、凸四边形的面积、三角形周长面积最值与外接圆模型等等。
你可以从边、角、对角线、周长、面积等角度思考、探究新的性质。
还有与数学史有关的。
黄金分割、杨辉三角、裴波纳契数列、勾股定理的证明......7.编拟开放习题8.密切注意高初中数学的知识交汇处。
譬如：基本不等式的几何解释以及y=1/x 图像的凹凸性（2021常州中考第26题出题背景）、二次函数与抛物线、反比例函数与双曲线、图形的翻折旋转（高中的立体几何中经常涉及，因此也是中考热点）、锐角三角函数（二倍角、特殊角、构造图形求特殊角加减后所得角的三角函数值等等）及其应用（摩天轮、测建筑物高、路灯照明范围、堤坝坡度等等）等等9.关注高考，把握最新的考试动态高考改革，对中考改革有着直接的影响。
初一数学尖子生学案Day1(主讲人：刘蒋巍)
初一数学尖子生学案Day1②2,3- 分析：绝对值为非负数，已知几个非负数和为0,则这几个非负数均为0,因为023=-++y x ，则03=+x ，02=-y ，则3-=x ，2=y③4 分析：321-+-++x x x 表示数轴上点x 到点3,2,1-的距离之和，根据几何意义绘图，得：2=x 时，321-+-++x x x 取得最小值，即413322212=+=-+-++数轴动点问题（一）与数轴上的动点问题相关的基本概念数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d =|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB 中点坐标=（a+b ）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a ，向左运动b 个单位后表示的数为a —b ；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b .4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系.（二）数轴上的动点问题基本解题思路和方法：1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t 的式子表示）.2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t 的式子表示）.3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程.4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果. 注：数轴上线段的动点问题方法类似热身训练.如图，数轴上两点B A 、分别表示有理数2-和5，我们用AB 来表示B A 、两点之距离. （1）直接写出AB 的值_______（2）若数轴上一点C 表示有理数m ，则AC 的值是_______（3）当代数式52-++n n 的值取最小值时，写出表示n 的点所在的位置_________（4）若点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.（1）数轴上两点B A 、分别表示有理数2-和5，则AB 的值为7)2(5=-- （2）若数轴上一点C 表示有理数m ，则AC 的值是_2+m（3）当52-++n n 的值取最小值时，则n 的点所在的位置为_线段AB(包括端点)_（4）若点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.因为点B A 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动所以A 点坐标)22(t --，B 点坐标)35(t -，又因为点A 到表示1-的点的距离是点B 到表示1-的距离的2倍.则)1(352)1(22---=----t t ，即t t -=--2621，解得=t 811或413秒问题1、如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a ，b满足2a ++(c －7)2=0．(1) a = ，b = ，c = ．(2) 若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数 表示的点重合．(3) 点A ，B ，C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB = ，AC = ，BC = ．(用含t 的代数式表示)(4) 请问：3BC －2AB 的值是否随着时间t 的变化而改变? 若变化，请说明理由；若不变，请求其值．问题2、如图，射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足OA=20cm ，AB=60cm ，BC=10cm （如图所示），(第24题图)M C B A O 点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发. （1）当PA=2PB 时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分 点，求点Q 的运动速度； （2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点E 、F ，求EFAPOB 的值.问题3、已知：b 是最小的正整数，且a 、b 、c 满足（c -5）2+|a +b |=0，请回答问题 （1）请直接写出a 、b 、c 的值．a =________，b =________，c =________（2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：|x +1|-|x -1|+2|x +5|.（3）若点A 、点C 分别以每秒1个单位和2个单位长度的速度向左运动，请问几秒时，A ，C 之间的距离为1个单位长度？（4）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．问题4、若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足｜a＋2｜＋（b－1）2＝0.（1）求线段AB的长；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x－1＝12x＋2的根，在数轴上是否存在点P，使P A＋PB＝PC，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由.（3）若P是A左侧的一点，P A的中点为M，PB的中点为N，当P点在A点左侧运动时，有两个结论：①PM＋PN的值不变；②PN－PM的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确结论，并求出其值.问题5、已知多项式－m3n2－2中含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数。
新初三数学尖子生学案Day14(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day14主讲人：刘蒋巍（，﹣4）代入y中得，k1＝4，为，4，﹣1），＝x，，解得，或，的垂直平分线，（x＜0）的图象于点D，∵动点P从点D出发，沿射线个单位长度，到达反比例函数（点，∴设移动后的点P的坐标为（，（则代数式．或（舍去），），∴；y（；93399DE，DE∴，∴，4的最小值是．，1．0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，＝2x﹣4，＝2，在反比例函数的图象上，∴反比例函数的关系式为y，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q∴PQ（2n﹣4）[2，62 6B为线段AC的黄金．＝20cm，则AB的长为（10）cm；20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．【解答】解：（1）∵点B为线段∴AB20＝（10故答案为：（101010，，10BCG，，，求的值；的值．AO，∴．，，+44+8 0，求的值；OB′上的一个动点，将△，求的取值范围．，∴，BM，10，，AC．，，上运动，OA＝OC，AB′6，PA，．•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数（x＞0）的图象经过点P．小明说：k值最小，在点B位置时（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．）代入得：，解得：，所在直线的函数表达式为y x；不完全同意小明的说法，理由为：）（x）2，当x时，k max，则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1当n≠2时，y x（（，时，为x5 n1．21共页第页。
新初三数学尖子生学案Day28(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day28在研究)0(2>++=a c bx ax y 性质之前，我们可以对)0(2>++=a c bx ax y 作“配方”工作，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=（最值问题的研究）我们从“配方法求最值”的角度分析，若0>a ，则a b ac a b ac a b x a c bx ax y 4444)2(2222-≥-++=++=，什么时候取得“＝”号呢？当0)2(2=+a b x a 的时候，也就是02=+a b x 的时候，即ab x 2-=的时候，从图象上来看，就是在a b x 2-=处取得最值（0>a 的时候是最小值，0<a 的时候是最大值）。
且最值为ab ac 442-。
（对称性的研究）当m a b x +-=2（0>m ）时，ab ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b +-2，a b ac am 4422-+）当m a b x --=2（0>m ）时，a b ac am y 4422-+=，此时点坐标（m a b --2，ab ac am 4422-+）当m 任意变化时，这两个点是关于垂直于x 轴的直线a b x 2-=对称的，所以抛物线ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=具有对称性，对称轴为直线a b x 2-=。
（单调性的研究）由于初中阶段不要求掌握单调性的研究方法，所以我们只需记住结论：“当0>a 时，a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递减，当a b x 2->，函数单调递增。
当0<a 时，ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=，关于对称轴a b x 2-=对称，当a b x 2-<，函数单调递增，当ab x 2->，函数单调递减。
新初三数学尖子生学案Day18(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案Day18．2（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且x1x2﹣4，求实数k的值．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵x1x2﹣4，∴x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD2，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为22．故答案为22．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC2，∴OA＝OC，∴图中的阴影部分的面积＝222＝4﹣π，故答案为：4﹣π．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是．【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y（x＞0）的图象经过OA的中点C，＝S△BOD，S△ACD＝S△OCD＝2，∴S△COE∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，＝S△OAB，∴4S△OCE∴4k＝2+2k，∴k，故答案为：．（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（）A．h＝R+r B．R＝2r C．r a D．R a【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；∵AD⊥BC，∴∠DAC∠BAC60°＝30°，在Rt△AOE中，∴R＝2r，故B正确；∵OD＝OE＝r，∵AB＝AC＝BC＝a，∴AE AC a，∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，∴r，R a，故C错误，D正确；故选：C．（2020•随州）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（）A．1B．3C．1D．3【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3＝x•x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，x4＝x•x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x＝3x+2﹣4x﹣2+3x＝2x，解方程x2﹣x﹣1＝0得x1，x2，∵x＞0，∴x，∴x4﹣2x3+3x＝21．故选：C．（2020•随州）如图，直线AB与双曲线y（k＞0）在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为2．【解答】解：过点A、B分别作AM⊥OC，BN⊥OC，垂足分别为M、N，∵B是AC的中点，∴AB＝BC，∵AM∥BN，∴，∴CN＝MN，设BN＝a，则AM＝2a，∵点A、B在反比例函数的图象上，∴OM•AM＝ON•BN，∴OM ON，即：OM＝MN＝NC，设OM＝b，则OC＝3b，∵△AOC的面积为3，即OC•AM＝3，∴3b×2a＝3，∴ab＝1OM•AM b×2a＝ab＝1|k|，∴S△AOM∴k＝﹣2（舍去），k＝2，故答案为：2．（2020•鄂州）如图，点A是双曲线y（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y上运动时，点B在双曲线y上移动，则k的值为﹣9．【解答】解：∵点A是反比例函数y（x＜0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC ＝x ，AC，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OB ＝3OA ，∴，∴OD ＝3AC ，BD ＝3OC ＝3x ，∴B （，﹣3x ），∵点B 反比例函数y图象上，∴k （﹣3x ）＝﹣9，故答案为：﹣9．如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是半圆O 上不同于,A B 的两点,AD BC AC =与BD 相交于点,F BE 是半圆O 所任圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ，()1求证：CBA DAB ∆∆≌；()2若,BE BF =求AC 平分DAB ∠．【答案】()1证明见解析；()2证明见解析．【解析】【分析】()1利用,AD BC =证明,ABD BAC ∠=∠利用AB 为直径，证明90,ADB BCA ∠=∠=︒结合已知条件可得结论；()2利用等腰三角形的性质证明：,EBC FBC ∠=∠再证明,CBF DAF ∠=∠利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：,EBC CAB ∠=∠从而可得答案．【详解】()1证明：,AD BC = ,AD BC∴=,ABD BAC ∴∠=∠AB Q 为直径，90,ADB BCA ∴∠=∠=︒,AB BA = CBA DAB ∴ ≌．()2证明：,90,BE BF ACB =∠=︒ ,FBC EBC ∴∠=∠90,,ADC ACB DFA CFB ∠=∠=︒∠=∠ ,DAF FBC EBC ∴∠=∠=∠BE 为半圆O 的切线，90,90,ABE ABC EBC ∴∠=︒∠+∠=︒90,ACB ∠=︒ 90,CAB ABC ∴∠+∠=︒,CAB EBC ∴∠=∠,DAF CAB ∴∠=∠AC ∴平分DAB ∠．已知：如图， ABC 为锐角三角形，AB=BC ，CD ∥AB ．求作：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=12BAC ∠．作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C ，P 两点；②连接BP ．线段BP 就是所求作线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC【答案】（1）见解析；（2）∠BPC ，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解析】【分析】（1）按照作法的提示，逐步作图即可；（2）利用平行线的性质证明：,ABP BPC ∠=∠再利用圆的性质得到：∠BPC=12∠BAC ，从而可得答案．【详解】解：（1）依据作图提示作图如下：（2）证明：∵CD ∥AB ，∴∠ABP=BPC ∠．∵AB=AC ，∴点B 在⊙A 上．又∵∠BPC=12∠BAC （在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．）（填推理依据）∴∠ABP=12∠BAC 故答案为：∠BPC ；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．()3如图2，连接AG，求证：EG【答案】（1）见解析；（2）152+；（3【解析】如图1，⊙I 与直线a 相离，过圆心们把点P 称为⊙I 关于直线a 的“远点（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________关于直线m 的“特征数”为_________；②若直线n 的函数表达式为4y =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以)1,0是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线y=∵直线n的函数表达式为3当x=0时，y=4；当y=0时，x=-∴直线n经过点E（0，4），点F设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）,将点()1,4M 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中，114=k b n mk b +⎧⎨=+⎩①②②-①得：n-4=mk-k ，③又∵直线NF ⊥直线l ，。
刘蒋巍：《尖子生学案：初三期末复习(2021.01)》
刘蒋巍：《尖子生学案：初三期末复习》2021.01几何最值问题（1）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为94，F是线段AC上一点，过点A的（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为2.3（3）在线段NP上从左向右依次有点A、O、B三点，其中NA=AO=OB=BP=1，以O为圆心，1为半径作圆，M为⊙O上任意一点，连接PM向外作等边△PMQ，NQ的取值范围为≤≤NQ12+1-332AB 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为+的最小值为上一动点，则2PC PD.如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是正方形内切圆圆O 上的一动点，则BE AE 22的最小值为10如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（﹣4，0），P 是抛物线上一点（点P 与点A 、B 、C 不重合）．（1）b=，点B 的坐标是；（2）连接AC 、BC ，判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系，并说明理由．解：（1）∵点A （﹣4，0）在二次函数y=﹣+bx+2的图象上，∴﹣﹣4b+2=0，∴b=﹣．当y=0时，有﹣x 2﹣x+2=0，解得：x 1=﹣4，x 2=，∴点B 的坐标为（，0）．故答案为：﹣；（，0）．（2）∠CBA=2∠CAB ，理由如下：作∠CBA 的角平分线，交y 轴于点E ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，如图2所示．∵点B （，0），点C （0，2），∴OB=，OC=2，BC=．设OE=n ，则CE=2﹣n ，EF=n ，由面积法，可知：OB•CE=BC•EF ，即（2﹣n ）=n ，解得：n=．∵==，∠AOC=90°=∠BOE，∴△AOC∽△BOE，∴∠CAO=∠EBO，∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB．已知y=ax²+bx+c(a≠0).a,b,c均为整数.对于任意实数x,均有x≤y≤2x²+0.25.(1)求c的值.(2)求解析式.已知抛物线p x y 22=，过2,0(pF 的直线与此抛物线交于),,(),,(2211y x B y x A 两点，求（1）21x x （2）21y y （3）FBFA 11+（4）由B A ,分别向直线2py -=作垂线BM AM ,，垂足为N M ,，求证90=∠MFN X 、y 互换证明：设A (11,y x )、B (22,y x )，直线AB 的方程为2(px k y -=。
尖子生学案：初三期末复习(2021.01.10)主讲人：刘蒋巍
尖子生学案：初三期末复习主讲人：刘蒋巍2021.01.10函数图像一次函数与几何轨迹问题新定义问题在直角坐标系中，点P（a，b）的“变换点”的坐标定义如下：当a≥b时，点P1的坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，点P1的坐标为（b，﹣a）．（1）直接写出点A（5，6）、B（3，2）、C（4，4）的变换点A1、B1、C1的坐标；（2）P（a，b）为直线y=﹣2x+6上的任一点，当a＜b时，点P（a，b）的变换点在一条直线M上，求直线M的函数解析式并写出自变量的取值范围；1,32k b ==-解：（1）A （5，6）的变换点坐标是（6，﹣5），B （3，2）的变换点坐标是（3，﹣2），C （4，4）的变换点坐标是（4，﹣4）；…………6分（2）∵当a ＜b 时，∴x ＜﹣2x +6，得x ＜2，…………2分在x ＜2范围内任取两点，并求出变换点坐标设直线M 的函数解析式为y =kx +m ，......3分∴13(2)2y x x =-<． (1)分定义:如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”.（1）如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠A 为36°，求证：△ABC 是倍角三角形；（2）若△ABC 是倍角三角形，C B A ∠>∠>∠，∠B=30°，AC=24，求△ABC 面积；（3）如图2，△ABC 的外角平分线AD 与CB 的延长线相交于点D ，延长CA 到点E ，使得AE =AB ，若AB +AC =BD ，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明.（图1）（图2）（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C =180°，∠A =36°∴∠B=∠C =72°——————————————————2分∴∠A =2∠C即△ABC 是倍角三角形——————————————————3分（2）∵∠A >∠B >∠C ，∠B =30°①当∠B =2∠C ,得∠C =15°过C 作CH ⊥直线AB ，垂足为H ，可得∠CAH =45°∴AH=CH =22AC =4.∴BH =34∴AB=BH-AH=34-4—————————————————4分∴S=83821-=⋅CH AB —————————————————5分②当∠A =2∠B 或∠A =2∠C 时，与∠A >∠B >∠C 矛盾，故不存在。
新初三数学尖子生学案Day27(主讲人：刘蒋巍)
新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
教学内容 教学目标
新初三数学尖子生学案 Day27
主讲人：刘蒋巍
新初三数学尖子生学案 Day27
理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
教学重点 理解相似三角形综合问题；理解三角函数
教学难点 理解相似三角形综合问题；理解圆综合问题；理解三角函数
（2）①如图②-1，当 AB＝AP 时，若 PC＝2AC，则AC＝1，∴AC＝1；······················ 4 分 AP 3 AB 3
3
新初三数学尖子生学案 Day27（主讲人：刘蒋巍)
②如图②-2，当 PA＝PB 时，易证△ABC∽△APO，∴AC＝AB， AO AP
∵2AC＝PC，设 AC＝k，则 PC＝2k，∴1AkB＝A3Bk ，AB＝
O
B
B
P2
③
④
P4
答案:D
4
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5
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教学反思
6k，∴AC＝ 1 ＝ 6．···········6 分 AB 6 6
2
P
P
C A
C A
O
O
B
②-1
B
②-2
（1）如图③④，满足条件的点 P 共有 4 个．··················································· ······9 分
刘蒋巍：2023初三期末创新题汇编
2023初三期末创新题汇编★一元二次方程（2021·湖南张家界）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根（2020·河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根★圆（2021·河北）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按①到④的步骤操作： ①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对,x y）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，（2021·四川遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（00B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式d=来计算．例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：d====根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线9y=+的距离；（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r＝4，判断⊙M与直线9y=+的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．（2020·江苏连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m 的筒车O 按逆时针方向每分钟转56圈，筒车与水面分别交于点A 、B ，筒车的轴心O 距离水面的高度OC 长为2.2m ，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒P 首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P 距离水面多高？（3）若接水槽MN 所在直线是O 的切线，且与直线AB 交于点M ，8m MO =．求盛水筒P 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN 上．（参考数据：11cos43sin 4715︒︒=≈，11sin16cos7440︒︒=≈，3sin 22cos688︒︒=≈）（2020·内蒙古呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比510.6182-≈．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：ABM 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出BAN 的形状；（2）求证：BM BN BN BE =，且其比值51k -= （3）由对称性知AO BE ⊥，由（1）（2）可知MN BM 也是一个黄金分割数，据此求sin18︒的值．。
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教学内容 新初三数学尖子生学案 Day20：根与系数的关系，圆的基本性质（涉及相似）
教学目标 理解根与系数的关系；理解相似三角形；理解圆周角定理
教学重点 理解根与系数的关系；理解相似三角形；
教学难点 理解相似三角形；理解圆周角定理
教学准备 教材，考纲
教学过程
根与系数的关系
【例题求解】
【例 1】 已知 、 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为
。
思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化
【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 13a m 0 ， b 2 13b m 0 ，那么 b a 的值为( ) ab
。
2、已知 、 是方程的两个实数根，则代数式 3 2 2 2 的值为
。
3、CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x 2 6x 4 0 的两根，则△ABC 的面积是
。
4、设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 px q 0 的两根， x1 +1、 x2 +1 是关于 x 的方程 x 2 qx p 0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 ) 2 7 0 的两个 24
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新初三数学尖子生学案 Day20（主讲人：刘蒋巍)
拓展训练
1、(1)已知
x1
和
x2
为一元二次方程
2x2
2x
3m
1
0
的两个实根，并
x1
和
x2
满足不等式
x1
x1 x2 x2
4
1 ，则实
数 m 取值范围是
。
(2)已知关于 x 的一元二次方程 8x 2 (m 1)x m 7 0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是
1)
的值是(
)
A．1
B．-l
C． 1 D． 1
2
2
7、若关于 x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式： x1 (x1 1) x2 (x2 1) (x1 1)(x2 1) ，判断 (a b) 2 4 是 否正确?
8、已知关于 x 的方程 x 2 (2k 3)x k 2 1 0 。 (1) 当 k 是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根 x1 、 x2 满足： x2 x1 3 ，求 k 的值。
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新初三数学尖子生学案 Day20（主讲人：刘蒋巍)
【例 3】 已知关于 x 的方程： x 2 (m 2)x m 2 0 4
(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根 x1 、 x2 满足 x2 x1 2 ，求 m 的值及相应的 x1 、 x2 。
5、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x
的方程 x 2 7x c 7 0 的两根，那么 AB 边上的中线长是(
)
A． 3 2
B． 5 2
C．5
D．2
6、方程
x2
px
1997
0
恰有两个正整数根
x1
、
x2
，则
( x1
p 1)( x 2
A、 123 22
B、 125 或 2 22
C、 125 D、 123 或 2
22
22
思路点拨：可将两个等式相减，得到 a 、 b 的关系，由于两个等式结构相同，可视 a 、b 为方程 x 2 13x m 0 的 两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 x1 、 x2 的对称式，这类问题可通过变形用 x1 + x2 、 x1 x2 表示求解， 而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
根。 (1)当 m＝2 和 m>2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。 (2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ＝1，且 AB<CD，求 AB、CD 的 长． 思路点拨：对于(2)，易建立含 AC、BD 及 m 的关系式，要求出 m 值，还需运用与中点相关知识找寻 CD、AB 的另一隐含关系式。 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数” (方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
思路点拨：对于(2)，先判定 x1 、 x2 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例 4】 设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?并求出 这个最小值。 思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△ ≥0)进行的。
。
12、两个质数 a 、 b 恰好是整系数方程的两个根，则 b a 的值是( ) ab
A．9413
B． 9413 194
C． 9413 99
D． 9413 97
13、设方程有一个正根 x1 ，一个负根 x2 ，则以 x1 、 x2 为根的一元二次方程为( )
A． x 2 3x m 2 0
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新初三数学尖子生学案 Day20（主讲人：刘蒋巍)
9、已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，x 1 0 的两个根，则 4 3 的值为
。
11、△ABC 的一边长为 5，另两边长恰为方程 2x 2 12x m 0 的两根，则 m 的取值范围是