数学分析第八章不定积分

分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线
互相平行 .
在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体 原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x0 ) =
图 8 -1
y0 ( 称为 初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x0 , y0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v′( t) = a , 则
∫ 10 . csc2 x d x = - cot x + C .
∫ 11 . sec x· tan x d x = sec x + C .
∫ 12 . csc x·cot x d x = - csc x + C .
∫ 13 .
dx 1 - x2 = arc sin x + C = - arccos x + C1 .
习题
1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、( 4 ) 两式相比照 :
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182
第八章 不 定 积 分
∫ ( 1 ) f′( x ) d x = f ( x ) + C;
∫ ( 2) d f ( x) = f ( x) + C .
2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点
(2 , 5) .
3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
原函数不一定仍是初等函数 ) .当然 , 一个函数如果存在间断点 , 那么此函数在其
间断点所在的区间上就不一定存在原函数
( 参见本节习题第 4 题 ) .
定理 8 .2 设 F 是 f 在区间 I 上的一个原函数 , 则 ( i) F + C 也是 f 在 I 上的原函数 , 其中 C 为任意常量函数 ① ;
定义 1 设函数 f 与 F 在区间 I 上都有定义 .若
F′( x ) = f ( x) , x ∈ I ,
则称 F 为 f 在区间 I 上的一个 原函数 .
例如 , 1
3
x
是
x2 在 (
- ∞ , + ∞ ) 上的一个
原函数
, 因为 ( 1
3
x
)′=
2
x;
又如
3
3
-1 2 cos 2x 与
1
-
cos 2 x + 1
∫p ( x )d x =
a0
n+ 1
a1 n
x + x+
n+ 1
n
an - 1 2
+
x + a x+ C .
2
n
∫ ∫ 例 2
x4 + 1d x =
2
(x - 1+
2 ) dx
2
2
x +1
x +1
13
= 3x
- x + 2 arctan x + C .
2
2
∫ ∫ 例 3
dx cos2 x sin2 x =
x
adx =
xa + C ( a > 0 , a ≠ 1 ) .
ln a
∫ 7 . cos ax d x = 1 sin ax + C ( a ≠ 0 ) . a
∫1
8 . sin ax d x = - cos ax + C ( a ≠ 0 ) . a
∫ 9 .
2
sec x d x = tan x + C .
( ii ) f 在 I 上的任意两个原函数之间 , 只可能相差一个常数 . 证 (i ) 这是因为 [ F ( x ) + C]′= F′( x ) = f ( x ) , x∈ I .
( ii ) 设 F 和 G 是 f 在 I 上的任意两个原函数 , 则有
[ F ( x ) - G( x )]′= F′( x) - G′( x) = f ( x ) - f ( x ) = 0 , x ∈ I .
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
若已知
1
2
= 2 a( t - t来自百度文库 ) + v0 t + C 1 .
s( t0 ) = s0 , 则 C1 = s0 - v0 t0 , 代入上式得到
s( t) = 1 a( t - t0 )2 + v 0 ( t - t0 ) + s0 . 2
二 基本积分表
怎样求原函数 ? 读者很快就会发现 这要 比求 导数困 难得 多 .原因在 于原 函
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第八章 不定积 分
§ 1 不定积分概念与基本积分公式
正如加法有其逆运算减法 , 乘法有其逆运算除法一样 , 微分法也有它的逆运
算———积分法 .我们已经知道 , 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它
的导函数 , 那么与之相反的问题是 : 求一 个未 知函 数 , 使其导 函数 恰好是 某一 已
( 4)
按照写法 (2 ) , 本节开头所举的几个例子可写作
① 这里 既把 C 看 作常量 函数 , 又 把它作 为该 常量 函数 的 函数 值 .在 不 致混 淆 时 , 以 后 常 说“ C 为 任 意常数” .
② 不 久可看 到 , 被积 表达式 可认 同为 f 的原函 数 F 的微分 , 即 d F = F′( x ) d x = f ( x ) d x .
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .
一 原函数与不定积分
∫f ( x) d x = F( x ) + C .
( 2)
这时又称 C 为 积分常数 , 它可取任一实数值 .于是又有
∫f ( x) d x ′= [ F( x ) + C] ′= f ( x ) ,
( 3)
∫d f ( x ) d x = d[ F ( x ) + C ] = f ( x) d x .
是 f ( x) = arctan x 的一个原函数 , 就不那样明显了 .事实上 , 研究原 函数必须 解
决下面两个重要问题 :
1 . 满足何种条件的函数必定存在原函数
? 如果存在 , 是否唯一 ?
2 . 若已知某个函数的原函数存在 , 又怎样把它求出来 ?
关于第一个问题 , 我们用下面两 个定 理来回 答 ; 至于 第二 个问题 , 其 解答 则
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
, 那么
F( x ) = xarctan x - 1 ln (1 + x 2 ) 2
是本章接着要介绍的各种积分方法
.
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第八章 不 定 积 分
定理 8 .1 若函数 f 在区间 I 上连续 , 则 f 在 I 上存在原函数 F , 即 F′(x)
= f ( x) , x∈ I . 本定理要到第九章§ 5 中才能获得证明 .
由于初等函数为连续函数 , 因此每个初等函数都有原函数 ( 只是初等函数的
=-
1 8
(
cos
4x
-
2cos 2 x )
+
C
.
∫ ∫ 例 5
x
-x 2
2x
-2 x
( 10 - 10 ) d x = ( 10 + 10 - 2 ) d x
∫ 2x
-2 x
= [ (10 ) + ( 10 ) - 2] d x
1
2x
- 2x
= 2 ln10 ( 10 - 10 ) - 2 x + C .
∫ 14 .
dx
2
=
arctan x +
C
=
-
arccot x + C1
.
1+ x
上列基本积分公式 , 读者必须牢牢记住 , 因为其他函数的不定积分经运算变
形后 , 最后归为这些基本不定积分 .当然 , 仅有这些基本公式是不够用的 , 即使像
ln x , tan x , cot x , sec x , csc x , arcsin x , arctan x 这样一 些基 本初 等函数 , 现 在 还 不知道怎样去求得它们的原函数 .所以我 们还 需要 从一些 求导 法则去 导出 相
应的不定积分法则 , 并逐步扩充不定积分公式 .
① 公 式 4 适 用于不 含坐 标原点 的任何 区间 , 读 者容 易验证
( ln | x | + C) ′ = 1 , x ≠ 0 . x
●
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§1 不定积分概念与基本积分公式
181
最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则
:
定理 8 .3 若函数 f 与 g 在 区 间 I 上 都存 在 原函 数 , k1 、k2 为 两 个任 意 常
= k1 f ( x) + k 2 g( x) .
线性法则 (5 ) 的一般形式为
n
n
∫ ∫ ∑ ∑ ki fi ( x ) d x =
ki fi ( x) d x .
i= 1
i= 1
根据上述线性运算法则和基本积分公式
, 可求得一些简单函数的不定积分
例 1 p( x) = a0 xn + a1 xn - 1 + + an - 1 x + an .
根据第六章拉格朗日中值定理的推论 , 知道
F( x ) - G( x) ≡ C, x ∈ I . 定义 2 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上的 不定积分 , 记作
∫f ( x )dx ,
( 1)
∫ 其中称 为积分号 , f ( x ) 为被积函数 , f ( x) d x 为 被 积表达式 ② , x 为 积 分变量 .
不定积分的几何意 义 若 F 是 f 的一 个原
函数 , 则称 y = F( x )的 图象 为 f 的 一条 积分 曲
线 .于 是 , f 的不 定积 分在 几何 上 表示 f 的某 一
积分曲线沿纵轴方 向任 意 平移 所得 一切 积分 曲
线组成的曲线族 ( 图 8 - 1 ) . 显然 , 若在 每一 条积
cos x + sin cos2 x sin2
x x
d
x
( 6) .
2
2
∫ ∫ 例 4
= (csc x + sec x1) d x = - cot x + tan x + C . cos 3 x· sin xd x = ( sin 4 x - sin 2 x ) d x
2∫
11
1
= 2 ( - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x ) + C
:
∫ 1 . 0d x = C .
∫ ∫ 2 . 1d x = dx = x + C .
∫ 3 .
xαd x =
xα+ 1 + C (α≠ - 1 , x > 0) .
α+ 1
∫ 4 . 1 d x = ln | x | + C ① ( x ≠0) . x
∫ 5 .
x
x
e dx = e + C.
∫ 6 .
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§1 不定积分概念与基本积分公式
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∫ x2 d x =
1 x3 + C,
3
1
∫sin 2 x d x = - cos 2 x + C, 2
1
2
∫arctan x d x = x arctan x - ln ( 1 + x ) + C . 2
此外 , 一个函数“ 存在不定积分” 与“ 存在原函数” 显然是等同的说法 .
数的定义不像导数定义那样具有构造性
, 即 它只 告诉 我们其 导数 恰好等 于某 个
已知函数 f , 而没有指出怎样由 f 求 出它 的原函 数的 具体 形式和 途径 .因 此 , 我
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第八章 不 定 积 分
们只能先按照微分法的已知结果去试探 .
首先 , 我们把基本导数公式改写成基本积分公式
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
尽管记号 (1 ) 中各 个部 分都 有其 特定 的 名称 , 但 在使 用时 必 须 把它 们 看作 一 整 体.
由定义 2 可见 , 不定积分 与原 函数 是总 体 与个 体的 关系 , 即若 F 是 f 的 一 个原函数 , 则 f 的不定积分是一个函数族 { F + C} , 其中 C 是 任意常 数 .为方 便 起见 , 写作